高考数学回归课本100个问题(必读)
高三数学回归教材,查缺补漏,清除得分障碍 专题
回扣——回归教材，查缺补漏，清除得分障碍1.集合与常用逻辑用语1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.[回扣问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是________(填等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形).答案等腰三角形2.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y ＝lg x}——函数图象上的点集.[回扣问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.答案∅3.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.[回扣问题3] 集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，且A∪B＝B，则实数a＝________.答案0，1，1 24.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.[回扣问题4] 满足{1，2} M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个.答案75.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.[回扣问题5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于________.答案 [0，＋∞)6.“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论.[回扣问题6] 已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是_______________________.答案 否命题：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ；命题的否定：已知实数a ，b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b7.在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”.[回扣问题7] “若x 2－3x －4＞0，则x ＞4或x ＜－1”的否命题是_________________________________________________________________. 答案 若x 2－3x －4≤0，则－1≤x ≤48.要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题8] 设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________条件.答案 充分不必要9.要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题.如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”.求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.[回扣问题9] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是____________________.解析 原不等式即(x 2＋x )a －2x －2＞0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1，3]，恒有f (a )≤0”.则⎩⎨⎧f （1）≤0，f （3）≤0，即⎩⎨⎧x 2－x －2≤0，3x 2＋x －2≤0，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23， 则符合题设条件的实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 10.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”.[回扣问题10] 在下列说法中：(1)“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(2)“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件；(3)“p 或q 为真”是“非p 为假”的必要不充分条件；(4)“非p 为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件.其中正确的是________(填序号).答案 (1)(3)2.函数与导数1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多.[回扣问题1] 若A ＝{1，2，3}，B ＝{4，1}，则从A 到B 的函数共有________个；其中以B 为值域的函数共有______个.答案 8 62.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.若f (x )定义域为[a ，b ]，复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x )≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a ，b ]，则f (x )定义域相当于x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[回扣问题2] 已知f (x )＝－x 2＋10x －9，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为________.答案 [1，3]3.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程组法等.[回扣问题3] 已知f (x )－4f (1x)＝－15x ，则f (x )＝________. 答案 x ＋4x4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.[回扣问题4] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2， 则f (f (π4))＝________. 答案 －25.函数的奇偶性f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |);f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )；定义域含0的奇函数满足f (0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f (x )与f (－x )的关系.[回扣问题5] 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )＋1，求f (x )的解析式.答案 f (x )＝⎩⎨⎧x （1＋x ）＋1，x ＞0，0，x ＝0，－x 2＋x －1，x ＜06.函数的周期性由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a ＞0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：①函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； ②若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ；③若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a . [回扣问题6] 设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于______.答案 －0.57.函数的单调性①定义法：设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数；②导数法：注意f ′(x )＞0能推出f (x )为增函数，但反之不一定.如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0；∴f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件.③复合函数由同增异减的判定法则来判定.④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题7] 函数f (x )＝x 3－3x 的单调递增区间是________.答案 (－∞，－1)，(1，＋∞)8.求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数；(4)导数法：适合于可导函数；(5)换元法(特别注意新元的范围)；(6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域.[回扣问题8] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 9.常见的图象变换(1)平移变换①函数y ＝f (x ＋a )的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位得到的.②函数y ＝f (x )＋a 的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴向上(a ＞0)或向下(a ＜0)平移|a |个单位得到的.(2)伸缩变换①函数y ＝f (ax )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴伸缩为原来的1a得到的.②函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.(3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称.[回扣问题9] 要得到y ＝lg x ＋310的图象，只需将y ＝lg x 的图象________.答案 向左平移3个单位，再向下平移1个单位10.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.[回扣问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 11.指、对数函数(1)对数运算性质已知a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0，m ，n ∈R.则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N＝log a M －log a N ，log a M n ＝n log a M ， 对数换底公式：log a N ＝log b N log b a. 推论：log a m N n＝n m log a N ；log a b ＝1log b a . (2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0，1)，对数函数y ＝log a x的图象恒过定点(1，0).[回扣问题11] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是________.答案a＞b＞c12.幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数为幂函数.(1)①若α＝1，则y＝x，图象是直线.②当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)图象是除点(0，1)外的直线.③当0＜α＜1时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的.④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y＝xα是减函数.[回扣问题12] 函数f(x)＝x 12－⎝⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________.答案 113.函数与方程(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标.(2)y＝f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x∈(a，b)使f(x0)＝0.这个x也就是方程f(x)＝0的根.(3)用二分法求函数零点.[回扣问题13] (判断题)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(－1，0).( )答案√14.导数的几何意义和物理意义(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数是曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率f′(x0)，相应的切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)v ＝s ′(t )表示t 时刻即时速度，a ＝v ′(t )表示t 时刻加速度. 注意：过某点的切线不一定只有一条.[回扣问题14] 已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点P (2，－6)作曲线y ＝f (x )的切线，则此切线的方程是________.答案 3x ＋y ＝0或24x －y －54＝015.利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )＜0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常数.注意：如果已知f (x )为减函数求参数取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此.[回扣问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________.解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1≥0，得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0， 解得a ≥13.a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0， 且只有x ＝1时，f ′(x )＝0，∴a ＝13符合题意. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点.[回扣问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________. 答案 x ＝13.三角函数与平面向量1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k∈Z)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r， tan α＝y x，(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关.[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为______.答案 －152.同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α. (3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[回扣问题2] cos9π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6＋sin 21π的值为______. 答案22－33 3.三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点，三个平衡位置点)；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0， k ∈Z.(3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)， 减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)； y ＝cos x 的增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)， 减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z)；y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z). (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数.[回扣问题3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z)4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝β cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2 tan α1－tan 2α.[回扣问题4] cos(π4＋x )＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x －2sin 2x1－tan x ＝________.答案7255.在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]； α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4.[回扣问题5] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 答案 －56656.解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径).已知三角形两边及一边对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍，在△ABC 中，A ＞B ⇔sin A ＞sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理判定三角形的形状.[回扣问题6] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 答案 27.有关三角形的常见结论(1)面积公式 S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A＝12ca sin B . (2)内切圆半径 r ＝2S ΔABCa ＋b ＋c.(3)三个等价关系：△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 对边，则a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔A ＞B .[回扣问题7] △ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝________. 答案 －16658.平面向量的基本概念及线性运算(1)加、减法的平行四边形与三角形法则：AB →＋BC →＝AC →；AB →－AC →＝CB →.(2)向量满足三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(3)实数λ与向量a 的积是一个向量，记为λa ，其长度和方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②λ＞0，λa 与a 同向；λ＜0，λa 与a 反向；λ＝0，或a ＝0，λa ＝0.(4)平面向量的两个重要定理①向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一实数λ，使b ＝λa . ②平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.[回扣问题8] 已知a ＝(4，2)，与a 共线的单位向量为________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫255，55或⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，－559.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a ，b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，特别地，a 2＝a ·a ＝|a |2，|a |＝a 2；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；当θ为锐角时，a ·b ＞0，且a ，b 不同向.a ·b ＞0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a ·b ＜0，且a ，b 不反向；a ·b ＜0是θ为钝角的必要非充分条件； (3)|a ·b |≤|a ||b |.[回扣问题9] 已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞10.向量b 在a 方向上的投影|b |cos θ＝a ·b|a |. [回扣问题10] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________. 答案 12511.几个向量常用结论：①PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； ④|PA →|＝|PB →|＝|PC→|⇔P 为△ABC 的外心.[回扣问题11] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为______. 答案 直角三角形4.数列、不等式1.等差数列的有关概念及运算(1)等差数列的判断方法：定义法a n＋1－a n＝d(d为常数)或a n＋1－a n＝a n－an－1(n≥2).(2)等差数列的通项：a n＝a1＋(n－1)d或a n＝a m＋(n－m)d.(3)等差数列的前n项和：S n＝n（a1＋a n）2，S n＝na1＋n（n－1）2d.[回扣问题1] 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝49，a4和a8的等差中项为11，则a n＝________，S n＝______________.答案2n－1 n22.等差数列的性质(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和S n＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋(a1－d2)n是关于n的二次函数且常数项为0.(2)若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列.(3)当m＋n＝p＋q时，则有a m＋a n＝a p＋a q，特别地，当m＋n＝2p时，则有a m ＋a n＝2a p.(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n成等差数列.[回扣问题2] 等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且SnTn＝3n－12n＋3，则a8b8＝________.答案4 33.等比数列的有关概念及运算(1)等比数列的判断方法：定义法an＋1an＝q(q为常数)，其中q≠0，a n≠0或an＋1an＝anan－1(n≥2).(2)等比数列的通项：a n＝a1q n－1或a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝a1（1－q n）1－q＝a1－a n q1－q.(4)等比中项：若a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项.值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab.如已知两个正数a，b(a≠b)的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为A＞B.[回扣问题3] 已知等比数列{a n}中，a3＝32，S3＝92，求a1与q.答案a1＝32，q＝1或a1＝6，q＝－124.等比数列的性质(1)若{a n}，{b n}都是等比数列，则{a n b n}也是等比数列；(2)若数列{a n}为等比数列，则数列{a n}可能为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列；(3)等比数列中，当m＋n＝p＋q时，a m a n＝a p a q；[回扣问题4] 在等比数列{a n}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.答案5125.数列求和的常见方法：公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.(1)分组法求数列的和：如a n＝2n＋3n；(2)错位相减法求和：如a n＝(2n－1)2n；(3)裂项法求和：如求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n；(4)倒序相加法求和.[回扣问题5] 数列{a n}满足a n＋a n＋1＝12(n∈N，n≥1)，若a2＝1，S n是{a n}前n项和，则S 21的值为________. 答案 926.求数列通项常见方法(1)已知数列的前n 项和S n ，求通项a n ，可利用公式a n ＝⎩⎨⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况.(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )可采用累加求和法，例如{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n ，求a n .(3)形如a n ＋1＝ca n ＋d 可采用构造法，例如a 1＝1，a n ＝3a n －1＋2，求a n . (4)归纳法，例如已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n －(a n ＋2)S n ＋1＝0，求S n ，a n .[回扣问题6] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 答案 ⎩⎨⎧2，n ＝12n －1，n ≥27.不等式的基本性质 (1)a ＞b ⇔b ＜a ； (2)a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； (3)a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ； (4)若c ＞0，则a ＞b ⇔ac ＞bc ； 若c ＜0，则a ＞b ⇔ac ＜bc ；(5)若a ＞0，b ＞0，则a ＞b ⇔a n ＞b n (n ∈N *，n ≥2)[回扣问题7] 已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的取值范围是________. 答案 [1，7]8.解不等式包括一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式和含绝对值的不等式等.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.[回扣问题8] 不等式－1＜1x＜1的解集为________.答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 9.基本不等式：a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b ＞0). (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件. [回扣问题9] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b的最小值是________.答案 910.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.[回扣问题10]已知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求：①可行域所在区域面积________； ②z ＝x ＋2y 的最大值________；③z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值________. ④z ＝y ＋1x ＋1的范围是________； ⑤z ＝ax ＋y 仅在C (3，1)处取最小值，则a 的范围是______. 答案 ①12 ②25 ③92 ④[12，2] ⑤(－2，1)5.立体几何1.空间几何体的结构(棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球)[回扣问题1] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.( ) ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.( )③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.( )④用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.( ) 答案 ①× ②× ③√ ④× 2.简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高). (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高).(3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高).(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)， S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线). (5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高). (6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[回扣问题2] 棱长为a 的正四面体的体积为________，其外接球的表面积为________. 答案212a 3 32πa 2 3.空间点、线、面的位置关系 (1)平面的三个公理(2)线线位置关系(平行、相交、异面)(3)线面位置关系a ⊂α，a ∩α＝A (a ⊄α)，a ∥α (4)面面位置关系：α∥β，α∩β＝a[回扣问题3] 判断下列命题是否正确，正确的括号内画“√”，错误的画“×”.①梯形可以确定一个平面.( )②圆心和圆上两点可以确定一个平面.( )③已知a ，b ，c ，d 是四条直线，若a ∥b ，b ∥c ，c ∥d ，则a ∥d .( ) ④两条直线a ，b 没有公共点，那么a 与b 是异面直线.( )⑤若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线.( )答案 ①√ ②× ③√ ④× ⑤× 4.空间的平行关系(1)线面平行：⎭⎬⎫a ∥bb ⊂αa ⊄α⇒a ∥α；⎭⎬⎫α∥βa ⊂β⇒a ∥α；⎭⎬⎫α⊥βa ⊥βa ⊄α⇒a ∥α；(2)面面平行：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O a ∥βb ∥β⇒α∥β； ⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；⎭⎬⎫α∥βγ∥β⇒α∥γ；(3)线线平行：⎭⎬⎫a ∥αa ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；⎭⎬⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ；⎭⎬⎫a ∥cb ∥c ⇒a ∥b . [回扣问题4] 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.①如果a ，b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面.( ) ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与α内的任何直线平行.( ) ③如果直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b .( ) ④如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α.( ) 答案 ①× ②× ③× ④√ 5.空间的垂直关系(1)线面垂直：⎭⎬⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O l ⊥a ，l ⊥b⇒l ⊥α；⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β；⎭⎬⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β；⎭⎬⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α； (2)面面垂直：二面角90°；⎭⎬⎫a ⊂βa ⊥α⇒α⊥β；⎭⎬⎫a ∥βa ⊥α⇒α⊥β；(3)线线垂直：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b . [回扣问题5] 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是________. 答案 16.三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底面射影为底面外心；侧棱两两垂直(两相对棱垂直)⇔顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等(侧面与底面所成相等)⇔顶点在底面射影为底面内心；正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ，则S 侧cos θ＝S 底.[回扣问题6] 过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC .(1)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90°，则点O 是AB 边的________点. (2)若PA ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心.(3)若PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，则点O 是△ABC 的________心. (4)若P 到AB ，BC ，CA 三边距离相等，则点O 是△ABC 的________心. 答案 (1)中 (2)外 (3)垂 (4)内6.解析几何1.直线的倾斜角α与斜率k (1)倾斜角α的范围为[0，π). (2)直线的斜率①定义：k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k ).[回扣问题1] 直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 2.直线的方程(1)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线. (2)斜截式：y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线. (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线. (4)截距式：x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式. [回扣问题2] 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝03.点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. [回扣问题3] 直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋8y －7＝0的距离为________. 答案17104.两直线的平行与垂直①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. [回扣问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时，l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1与l 2重合. 答案 －112m ≠3且m ≠－1 3 5.圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆.[回扣问题5] 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －16.直线、圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ＞0⇔相交；Δ＜0⇔相离；Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则d＜r⇔相交；d＞r⇔相离；d＝r⇔相切.(2)圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则①当O1O2＞r1＋r2时，两圆外离；②当O1O2＝r1＋r2时，两圆外切；③当|r1－r2|＜O1O2＜r1＋r2时，两圆相交；④当O1O2＝|r1－r2|时，两圆内切；⑤当0≤O1O2＜|r1－r2|时，两圆内含. 若两圆相交把两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋C1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋C2＝0方程相减即得相交弦所在直线方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(C1－C2)＝0.[回扣问题6] 双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________. 答案内切7.对圆锥曲线的定义要做到抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支.[回扣问题7] 方程（x＋3）2＋y2＋（x－3）2＋y2＝6表示的曲线是________.答案线段y＝0(－3≤x≤3)8.求椭圆、双曲线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数.(1)椭圆标准方程：焦点在x轴上，x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)；焦点在y轴上，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0).(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).[回扣问题8] 与双曲线x 29－y 216＝1有相同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程为________. 答案 4x 29－y 24＝19.(1)在把圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，利用解情况可判断位置关系.有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系. (2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]或P 1P 2＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2].[回扣问题9] (判断题)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.( ) 答案 ×7.概率与统计1.随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样.[回扣问题1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户，低收入家庭160户，其他为高收入家庭，在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________. 解析 由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.答案 242.对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据.对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了.[回扣问题2] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________.答案 203.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标.中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标. 平均数：样本数据的算术平均数，即x －＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n ).平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2].(2)简化计算公式s 2＝1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－nx －2]，或写成s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方.[回扣问题3] 已知一个样本中的数据为0.12，0.15，0.13，0.15，0.14，0.17，0.15，0.16，0.13，0.14，则该样本的众数、中位数分别是________. 答案 0.15，0.1454.互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ). (1)公式适合范围：事件A 与B 互斥.(2)P (A －)＝1－P (A ).[回扣问题4] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，求出现奇数点或2点的概率之和为________. 答案 235.古典概型P (A )＝mn (其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件A 在试验中包含的基本事件个数).[回扣问题5] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为________. 答案1126.几何概型一般地，在几何区域D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的度量D 的度量.此处D 的度量不为0，其中“度量”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等.。
高三数学高考回归课本100个问题(81-90)
2010届高考数学回归课本100个问题（81-90）81、求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系. 82.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x 、y=-x 、y=x+m 、y=-x+m 的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m 、a+m)、(-b+m 、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解 83、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x 对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a 对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a 对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题. 84、相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式|a |)k 1(x x k 1AB x x 2122∆+=-⋅+=122y y k11-⋅+=|a |)k 11(y y 2∆+=②涉及弦中点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线1b y ax 2222=±(a,b>0)上A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)中点为M(x 0,y 0),则K AB K OM =22ab ;对抛物线y 2=2px(p ≠0)有K AB ＝21y y p 2+85、轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)依赖于动点Q(x 1,y 1)而变化,Q(x 1,y 1)在已知曲线上,用x 、y 表示x 1、y 1,再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.86、运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax 2+Bx 2＝1;共渐进线x ab y ±=的双曲线标准方程可设为λλ(by a x 2222=-为参数,λ≠0);抛物线y 2=2px上点可设为(p2y 2,y 0);直线的另一种假设为x=my+a;解焦点三角形常用正余弦定理及圆锥曲线定义. 87、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;（3）给出0=+,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知,A B 与PQ 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=（7） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知A MB ∠是锐角,（8）给出=⎪⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC ∆中，给出+=()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心；（15）在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线;88、计数原理：分类相加；分步相乘；有序排列，无序组合89、排列数公式:m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m ＋1)=)!m n (!n -(m ≤n,m 、n ∈N *), 0!=1; n n A =n!; n.n!=(n+1)!-n!;11--=m n m n nA A ;11-++=m nm n m n mA A A 90、组合数公式：123)2()1()1()1(!⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅--⋅⋅⋅-⋅==m m m m n n n m A C mnm n =)!(!!m n m n -（m ≤n ）, 10=n C ;r n r n r n m n n m n C C C C C 11;+--=+=;;C C C C 1r 1n r n r 1r r r +++=+⋅⋅⋅++11--=m n m n C mn C ;。
高考数学回归课本100个问题(一)
高考数学回归课本100个问题（一）1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。
2．在应用条件A∪B＝Ｂ⇔A∩B＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．3，含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4、C U (A∩B)=C U A∪C U B;C U (A∪B)=C U A∩C U B;card(A∪B)=?5、A∩B=A ⇔A∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A∩C U B=∅⇔C U A∪B=U6、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝；命题“p 或q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q”的否定是“┐P 或┐Q”7、指数式、对数式：mna =，1m nmnaa -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg 51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。
8、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;9、反比例函数:)0x (xc y ≠=平移⇒b x ca y -+=(中心为(b,a))10、对勾函数xax y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a 递减，在时)0,[0(,0a a a ->递增，在),a [],a (+∞--∞11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．12．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()fb a f a b-=⇔=13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。
高中高考数学回归课本试卷试题
数学必修一回归试题1．会合 A={x|x=3k, kN },B={x|x=6z, z N } 的关系是 _________.2．设会合Ａ＝ ｛ x|(x-3)(x-a)=0,a R ｝,B={x|(x-4)(x-1)=0},求 AB, A B3．函数 y=1 是幂函数吗？函数 y=1 与 y= x 0 是同一个函数吗？ 4．设会合 A={a,b,c},B={0,1}, 试问从 A 到 B 的映照共有几个？并将它们分别列 出来？ 5．画出定义域为 {x| 3x 8, 且 x 5 }, 值域为 {y|1y 2, 且 y0 } 的一个函数图象。
（1）假如平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标知足 3 x 8, 1 y 2 ，那么哪些点不可以在图象上？（2）你的图象与其余人的有差别吗？为何？6．函数 y=[x] 的函数值表示不超出 x 的最大整数，如， [-3.5]=-4,[2.1]=2 。
则当 x ( 2.5,3]时，求函数 f(x) 的分析式，并画出图象。
7．P25 第 4 题。
18．已知函数 f ( x) 1[1, ) , 画出该函数的图象，并求出值域。
你能2x , x1 编一道以该函数为背景的数列问题吗？9．已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时， f(x)=x(1+x)+1 。
画出该函数图象，并求出函数的分析式。
10. 已知会合 A={ x| x 2 1}，B={x|ax=1}, 若 BA ，务实数 a 的值。
11．证明：（1）若 f(x)=ax+b, 则 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 )f ( x 2 )（； ）若g( x) x 2ax b ,2 22则 g (x 1x 2)g( x 1 ) g ( x 2 )。
试概括，什么函数拥有上述性质？模拟上式再编一22题。
12．P45，第 7 题。
1113．已知 x x 13，求以下各式的值： 求（ 1）x 2 x 2 ；（2）x 2 x 2 ；（3）x 2 x 2 14．P60，第 3 题。
高中数学 必做100题—回归精品练 苏教版选修2-2
【精品练】高中数学必做100题—回归选修2-2时量：60分钟 班级： 姓名： 计分：（说明：《选修2-2》共精选12题，“◎”为教材精选（或变式），“☆”为《精讲精练.选修2-2》精选）1..已知车轮旋转的角速度与时间的平方成正比.如果车轮启动后转动第一圈需要0.8S,求转动后第3.2S 时的瞬时角速度. （◎P 10 4）2. 已知函数x x x f ln )(=.(1)求这个函数的导数;(2)讨论这个函数的单调性;(3)求此函数在点1=x 处的切线方程;(4)求此函数在定义域上的极值.（◎P 18 6）3. 已知()f x =，分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.4. （1）若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积1()2S r a b c =++，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，则此四面体的体积V = .（2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设ABC ∆的两边,AB AC 互相垂直，则222AB AC BC +=.” 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三侧面,,ABC ACD ADB 两两垂直，则 .”5. 试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论： 已知01a <<，则1491a a+≥-.6．已知,()2x y k k Z ππ≠+∈，sin sin x θ是，cos θ的等差中项，sin y 是sin ,cos θθ的等比中项. 求证：（1）1cos2cos22x y =； （2）22222(1tan )1tan 1tan 1tan x y x y --=++. （☆P 18 9，◎P 43 例6）7.（1）已知1510z i =+，234z i =-，12111z z z =+，求z . （◎P 65 3） （2）已知(12)43i z i +=+，求z 及z z. （◎P 65 B1）8. (1)以初速度为40-s m /垂直向上抛一物体,ts 时刻的速度(单位:s m /)为t v 1040-=,问多少秒后此物体达到最高?最大高度是多少?(2)由定积分的性质和几何意义,说明下列各式的值: 1.dx x a aa ⎰--22 2.()dx x x )11(102---⎰9. 一边长为a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒.(1)把方盒的容积V 表示为x 的函数;(2)x 多大时,方盒的容积V 最大? （◎P 37 A2）10. [理] 数列{}n a 满足2,n n S n a n N =-∈*．（n S 为前n 项和）（1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．11. 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--. （1）求导数'()f x ；（2）若'(1)0f -=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2)-∞-和[)2,+∞上都是增函数，求a 的取值范围. （☆P 45 例3）12.（2006年江西卷）已知函数()f x 32x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值，（☆P 49 例2）（1）求a 、b 的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[]1,2x ∈-时，不等式2()f x c <恒成立，求c 的范围.。
回归课本的100个数学问题6 不等式
回归课本的100个数学问题6 不等式回归课本的100个数学问题6 不等式1、均值不等式①a2?b2?2ab并且当且仅当a?b，取得等号。
证明：(a?b)2?0?a2?2ab?b2?0?a2?b2?2ab并且当且仅当a?b，取得等号。
注：这个不等式是无条件成立的。
②若a,b?0，则a?b?2ab 令a,b?0，则前面的不等式，有a?b?(a)2?(b)2?2ab?2ab，即a?b?ab。
并且当且仅当a?b，即a?b取得等号。
2a?b我们将称为代数平均值，ab 称为几何平均值。
那么，这个不等式的2意义是：两非负数代数平均值不小于几何平均值，而且当且仅当两数相等时，两平均值相等。
我们将这个不等式称为均值不等式，或者基本不等式。
注意，它是对a,b?0才成立的。
③一般的均值不等式a?a?......?an1n假设ai?0，An??ak?12，Gn?nk?1nn?ak?1ni，则An?Gn。
并且当且仅当a1?a2?...?an时，An?Gn。
证明：先假设ai?0，?i?N?。
当n?1时，结论显然成立。
假设当n?k时，结论成立。
即Ak?Gk，且当且仅当a1?a2?...?an时，结论成立。
当n?k?1时， 1 (k?1)Ak?1?(k?1)Ak?1(k?1)Ak?1?a1?a2?... ?ak?ak?1?2k2k(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?a k1(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?ak?[?]?2 kkkkAk?1? ?k?1kAkk?1ak?1a1a2......a k?12kk?1k这样，Ak2?1?kAkk?1ak?1a1a2......ak，Ak?1?Ak?1ak?1a1a2......ak，?1k?1 aa......aa Akk?。
1?a1a2......akak?1，Ak?1?12kk?1?Gk?1 从上面的证明以及n?k时不等式取等号的条件，要使得Ak?1?Gk?1，必须?(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?ak??k k??Ak?1?ak?1 ?a?a?......?a 2k?1?这样，易得a1?a2?...?ak?ak?1 即n?k?1时，结论也成立，故结论对任意n?N?总成立。
高考数学回归课本100个问题(二)(1)
ab 2 2 k + 1 k 2高考数学回归课本 100 个问题（二）51、常用不等式：若 a , b > 0 ，（1≥ a + b ≥ ≥ 2 （当且仅当 a = b 时取等号） ； 2 1 + 1 a b（2）a 、b 、c ∈ R ， a 2 + b 2 + c 2≥ ab + bc + ca （当且仅当a = b = c 时，取等号）；b b + m（3）若 a > b > 0, m > 0 ，则52、①一正二定三相等；<a a + m（糖水的浓度问题）。
②积定和最小,和定积最大。
常用的方法为：拆、凑、平方；53、如：①函数y = 4x -9 2 - 4x (x > 1 )2的最小值 。
（答：8）②若若 x + 2 y = 1，则 2x + 4y的最小值是（答： 2 ）；③正数 x , y 满足 x + 2 y = 1，则 1 + 1 的最小值为（答： 3 + 2 ）；xy54、 a - b ≤ a ± b ≤ a + b (何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a55、不等式证明之放缩法1 1Ⅰ、 - = < ；k + 1 + k 2 kⅡ 、 1<k 21 = k (k - 1) 1 - 1 k - 1 k ； 1 > k 21 = k (k + 1) 1 - 1 k k + 1（程度大）Ⅲ 、 1 < k 2 1 = k 2- 1 1 (k - 1)(k + 1) = 1 ( 2 1 - k - 1 1 ) k + 1； （程度小）56、不等式证明之换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。
如：已知 x 2+ y 2= a 2，可设 x = a cos θ, y = a sin θ；已知 x 2+ y 2≤ 1 ，可设 x = r cos θ, y = r sin θ( 0 ≤ r ≤ 1)；已 知 x + y a2 b2= 1 ，可设 x = a cos θ, y = b sin θ；a 2 +b 2 22⎭⎭⎭ ⎭ ⎭ ⎭ ⎭ ⎭⎭b ⊂ α⎬ ⎬ ⎭⎬ ⎬ ⎭⎭ ⎭ ⎭2⎭已 知 x - y a 2 b 2= 1 ，可设 x = a sec θ, y = b tan θ；57、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方④公式法：|f(x)|>g(x) ⇔ f(x)>g(x)orf(x)<-g(x)|f(x)|<g(x) ⇔ -g(x)<f(x)<g(x)60. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a ⊄ α) 、a ⊂ α③平面与平面:α∥β、α∩β=a61. 常用定理:a //b ⎫α⊥ β⎫ ①线面平行b ⊂α⎪ ⇒ a //α;α// β ⎫⇒ a //α; a ⊥ β⎪⇒ a //α⎬a ⊄α⎪ a ⊂ β⎬⎬ a ⊄α⎪a //α⎫ α//β ⎫ ②线线平行: a ⊂ β⎪⇒ a //b ;a ⊥α⎫ ⇒ a //b ;α⋂γ= a ⎪ ⇒ a //b ; a // b ⎫⇒ c // b⎬α⋂β= b ⎪a ⊂ α,b ⊂ α⎫ b ⊥α⎬⎬β⋂γ= b ⎪a // c ⎬ ③面面平行: a ⋂b = O ⎪⇒ α// β ; a ⊥ α⎫ ⇒ α// β;α// β⎫ ⇒ α//γ⎬a // β,b // β ⎪ a ⊥ β⎬γ// β⎬PO ⊥ α⎫62、④线线垂直: a ⊥ α⎫ ⇒ a ⊥ b ;所成角 900； ⎭ a ⊂ α ⎪ ⇒ a ⊥ PA a ⊥ AO ⎪ (三垂线);逆定理?a ⊂α,b ⊂α⎫ α⊥ β ⎫ α//β⎫ a // b ⎫⑤线面垂直: a ⋂b = O ⎪⇒l ⊥α;α⋂β= l ⎪⇒ a ⊥ β; ⎬⇒a ⊥β; a ⊥α⎭ a ⊥α⎬ ⇒ b ⊥α l ⊥ a ,l ⊥b ⎪⑥面面垂直：二面角 900; a ⊂α, a ⊥ l ⎪ a ⊂ β⎫ ⇒ α⊥ β; a // β ⎫ ⇒ α⊥ βa ⊥ α⎬ 62. 求空间角之异面直线所成角θ的求法： π（1）范围：θ∈(0,]；2（2） 求法：平移以及补形法、向量法。
(整理)高考数学考前必看系列材料之三回归课本篇
高考数学考前必看系列材料之三回归课本篇《回归课本篇》（一上）一、选择题1．如果X = {}x |x >－1 ，那么(一上40页例1(1)) (A) 0 ⊆ X (B) {0} ∈ X (C) Φ ∈ X (D) {0} ⊆ X2．ax 2+ 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是(一上43页B 组6) (A)0<a ≤1 (B) a<1 (C) a ≤1 (D) 0<a ≤1或a<03．命题p ：“a 、b 是整数”，是命题q ：“ x 2+ ax + b = 0 有且仅有整数解”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．若y = 15x + b 与y = ax + 3互为反函数，则 a + b =(A) －2 (B) 2 (C) 425 (D) －105．已知x + x – 1 = 3，则23x + 23-x 的值为 (A) 3 3 (B) 2 5 (C) 4 5 (D) －4 5 6．下列函数中不是奇函数的是(A) y = (a x + 1)x a x －1 (B) y = a x – a －x 2 (C) y = | x |x (D) y = log a 1 + x1－x7．下列四个函数中，不满足f (x 1 + x 22 )≤f (x 1) + f (x 2)2的是(A) f (x ) = ax + b (B) f (x ) = x 2 + ax + b (C) f (x ) = 1x(D) f (x ) = － lnx8．已知数列{a n }的前n 项的和 S n = a n － 1（a 是不为0的实数），那么{a n } (A) 一定是等差数列 (B) 一定是等比数列 (C) 或者是等差数列，或者是等比数列 (D) 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列二、填空题 9．设A =(){}6x 4y y ,x +-=，B =(){}3x 5y y ,x -=，则A ∩B =_______. (一上17页例6)10．不等式x 2－3x －132－x≥1的解集是_______. (一上43页例5(2))11．已知A = {}x || x －a |< 4 ，B = {}x || x －2 |>3 ，且A ∪B = R ，则a 的取值范围是________. (一上43页B 组2) 12．函数y = 1x 218-的定义域是______；值域是______. 函数y =1－( 12)x 的定义域是______；值域是______. (一上106页A 组16)13．已知数列{a n }的通项公式为a n = pn + q ，其中p ，q 是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？______ 如果是，其首项是______，公差是________. (一上117页116) 14．下列命题中正确的是 。
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T 2| a b|；
（2）函数 f ( x) 满足 f x f a x ( a 0) ，则 f ( x) 是周期为 a 的周期函数”：①函数 f ( x) 满足
f x f a x ，则 f ( x) 是周期为 2 a 的周期函数；②若 f ( x a )
1 2 x 2x 4 2
④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 9、反比例函数: y 10、对勾函数 y x
c c ( x 0) 平移 y a (中心为(b,a)) xb x
a 是奇函数, a 0时, 在区间(， 0), (0， )上为增函数 a 0时, 在(0，a ],[ a ,0)递减 x
函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）反比例函 数: y
c c ( x 0) 平移 y a (中心为(b,a)) xb x
17.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定 义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为 A,值域为 B,则 f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。 题型方法总结 18Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 19Ⅱ求函数解析式的常用方法： （1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： f ( x) ax bx c
8、二次函数 ①三种形式:一般式 f(x)=ax2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点 f(x)=a(x-h)2+k;零点式 f(x)=a(x-x1)(xx2)(轴?);b=0 偶函数; ③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 如：若函数 y 的定义域、值域都是闭区间 [ 2,2b] ，则 b ＝ （答：2）
高考数学回归课本 100 个问题
1．区分集合中元素的形式：如： { x | y = lg x} —函数的定义域； { y | y = lg x} —函数的值域；
{( x, y ) | y = lg x} —函数图象上的点集。
2．在应用条件 A∪B＝Ｂ A∩B＝Ａ Ａ Ｂ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况． 3，含 n 个元素的集合的子集个数为 2n,真子集个数为 2n－1;如满足 {1, 2} M {1, 2,3, 4,5} 集合 M 有 ______个。 （答：7） 4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=? 5、A∩B=A A∪B=B A B CUB CUA A∩CUB= CUA∪B=U 6、注意命题 p q 的否定与它的否命题的区别: 命题 p q 的否定是 p q ；否命题是 p q ； 命题“p 或 q”的否定是“┐P 且┐Q” ， “p 且 q”的否定是“┐P 或┐Q” 7、指数式、对数式：
。（答：
f ( x)
1 2 x 2x 1） 2
（2）代换（配凑）法――已知形如 f ( g ( x)) 的表达式，求 f ( x) 的表达式。如（1）已知 ；（2）若 f (1 cos x) sin 2 x, 求 f x 2 的解析式（答： f ( x 2 ) x 4 2 x 2 , x [ 2, 2] ）
1 (a 0) 恒成立，则 T 2a . f ( x)
1 (a x a )
16、函数的对称性。①满足条件 f x a f b x 的函数的图象关于直线 x
ab 对称。 （2）证明 2
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1 1 ；（3）若函数 f ( x) 是定义在 R 上的 f ( x ) x 2 2 ，则函数 f ( x 1) =_____（答： x 2 2 x 3 ） x x
奇函数，且当 x (0,) 时， f ( x) x(1 3 x ) ，那么当 x (,0) 时， f ( x) =________（答：
2
；顶点式： f ( x) a ( x m) n ；零点式： f ( x) a ( x x1 )( x x2 ) ） 。如已知 f ( x) 为二次函数，且
2
f ( x 2) f ( x 2) ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,求 f ( x) 的解析式
a n n am ， a
m
m n
0 ， ， a 1 ， log a 1 0 ， log a a 1 ， lg 2 lg 5 1 ， log e x ln x ， 1 m an
a b N log a N b(a 0, a 1, N 0) ， a loga N N 。
在(， a ],[ a ,)递增
11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域． 12．函数与其反函数之间的一个有用的结论： f
1
(b) a f (a ) b
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13 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不 等式表示． 14、奇偶性：f(x)是偶函数 f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数 f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过 原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 15、周期性。 ①若 y f ( x) 图像有两条对称轴 x a, x b( a b) ，则 y f ( x) 必是周期函数，且一周期为