北师大版八年级数学下册 认识分式 教案

《1 认识分式》教案第1课时教学目标（一）教学知识点1．在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感．2．了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系．3．掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系．（二）能力训练要求1．能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感．2．培养学生认识特殊与一般的辩证关系．（三）情感与价值观要求通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心．教学重难点教学重点：1．了解分式的形式BA （A 、B 是整式），并理解分式概念中的一个特点：分母中含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不得为零．2．掌握分式基本性质的内容，并有意识地运用它化简分式．教学难点：1．分式的一个特点：分母含有字母；一个要求：字母的取值限制于使分母的值不能为零．2．分子分母进行约分．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课［师］我们先试着解答下面的问题：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务．原计划每月固沙造林多少公顷？这一问题中有哪些等量关系？如果原计划每月固沙造林x 公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月；根据题意，可得方程____________．［生］根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间．（1）［生］这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数．（2）［师］这两位同学真棒！在这个问题中，谁能告诉我涉及到哪些基本量呢？它们的关系是什么？［生］涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间．工作量=工作效率×工作时间． ［师］如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？［生］因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间．题中的工作量是已知的．因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x 公顷． 原计划完成一期工程需x2400个月， 实际完成一期工程需c302400-x 个月， 根据等量关系（1）可列出方程：302400-x +4=x 2400． ［师］同学们可接着思考：如何用等量关系（2）设未知数，列方程呢？［生］因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间．不妨设原计划x 个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x －4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为x 2400公顷，实际每月固沙造林42400-x 公顷，根据题意可得方程42400302400-=+x x ． ［师］同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？［生］我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量．如x 2400，42400-x ，302400+x ．这些代数式和整式不同．我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易． ［师］的确如此．像302400424002400--x x x ，，这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式．从现在开始我们就来研究分式，相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性，不久的将来，一定会很迅速准确解出上面两个方程．Ⅱ．讲授新课1．通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别．［师］下面我们再来看几个问题：做一做．（1）正n 边形的每个内角为__________度．（2）一箱苹果售价a 元，箱子与苹果的总质量为m kg ，箱子的质量为n kg ，则每千克苹果的售价是多少元？（3）有两块棉田，有一块x 公顷，收棉花m 千克，第二块y 公顷，收棉花n 千克，这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？（4）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a 元，现降价x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b 元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是多少？［生］（1）n n ︒⋅-180)2(；（2）n m a -元； （3）y x ny mx ++千克；（4）xa b -册． ［师］很好！我们再来看：议一议． 上面问题中出现了代数式x a b y x ny mx n m a n n x x x -++-︒⋅--+，，，，，，180)2(424003024002400，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？（分组讨论后回答）［生］上面的几个代数式的共同特征：（1）它们都是由分子、分母与分数线构成；（2）分母中都含有字母．［生］它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母，而整式的分母中不含有字母．例如：4290y x x -，它们都含有分母，但分母中不含字母，所以它们是整式． ［师］同学们能够结合前后知识理解上述代数式，很好！下面我们给出这种代数式即分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式．如果除式B 中含有字母，那么称BA 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．分式中，字母可以取任意实数吗？［生］不可以．因为分式中分母含有字母，而分母是除式，不能为零．字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零，否则，分式就会无意义．2．例题讲解．［师］下面我们接着来看：想一想．（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？5x －7，3x 2－1，123+-a b ，7)(p n m +，－5，1222-+-x y xy x ，72，cb +54． （2）①当a =1，2时，分别求分式aa 21+的值． ②当a 为何值时，分式aa 21+有意义？ ③当a 为何值时，分式aa 21+的值为零？ ［生］（1）中5x －7，3x 2－1，7)(p n m +，－5，72是整式；123+-a b ，1222-+-x y xy x ， cb +54是分式． （2）解：①当a =1时，a a 21+=1211⨯+=1； 当a =2时，a a 21+=2212⨯+=43． ②当分母的值等于零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义．由分母2a =0，得a =0．所以，当a 取零以外的任何实数时，分式aa 21+有意义． ③分式的值为零，包含两层意思：首先分式有意义，其次，它的值为零．因此a 的取值有两个要求：⎩⎨⎧=+≠0102a a 所以，当a =－1时，分母不为零，分子为零，分式a a 21+为零． Ⅲ．随堂练习巩固分式的概念，讨论分式有意义的条件限制．1．当x 取什么值时，下列分式有意义？（1）18-x ；（2）912-x ；（3）122+x Ⅳ．课时小结［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）［生］今天，我们认识了代数式里一个新的成员——分式．［生］我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母，并且还由除式不能为零，即分母不能为零，明白了分式中的字母是有条件约束的，分式中的字母的取值必须保证分母不为零．［生］……Ⅴ．活动与探究已知x =215+，求531x x x ++的值 第2课时教学目标（一）教学知识点1．分式的基本性质．2．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形．3．了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法．4．使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式．（二）能力训练要求1．能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质．2．培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力．（三）情感与价值观要求通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣．教学重难点教学重点：1．分式的基本性质．2．利用分式的基本性质约分．3．将一个分式化简为最简分式．教学难点：分子、分母是多项式的约分．教学过程Ⅰ．复习分数的基本性质，推想分式的基本性质． ［师］我们来看如何做不同分母的分数的加法：21+31．［生］21+31=3231⨯⨯+2321⨯⨯=63+62=65． ［师］这里将异分母化为同分母，21=3231⨯⨯=63， 31=2321⨯⨯=62．这是根据什么呢？ ［生］根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变．［师］很好！分式是一般化了的分数，我们是否可以推想分式也有分数的这一类似的性质呢？ Ⅱ．新课讲解1．分式的基本性质（1）63=21的依据是什么？ （2）你认为分式a a 2与21相等吗？mn n 2与m n 呢？与同伴交流． ［生］（1）将63的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到．即63=3633÷÷=21． 依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变．（2）分式a a 2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=21； 分式mn n 2与m n 也是相等的．在分式mn n 2中，n ≠0，所以mn n 2=n mn n n ÷÷2=mn ． ［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．［师］在运用此性质时，应特别注意什么？［生］应特别强调分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式中的“都”“同一个”“不为零”．［师］我们利用分数的基本性质可对一个分数进行等值变形．同样我们利用分式的基本性质也可以对分式进行等值变形．下面我们就来看一个例题．［例2］下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）x b 2=xy by 2（y ≠0）；（2）bx ax =ba ．［生］在（1）中，因为y ≠0，利用分式的基本性质，在xb 2的分子、分母中同乘以y ，即可得到右边，即x b 2=y x y b ⋅⋅2=xyby 2； ［师］很好！在（1）中，题目告诉你y ≠0，因此我们可用分式的基本性质直接求得．可（2）中右边又是如何从左边得到的呢？［生］在（2）中，bx ax 可以分子、分母同除以x 得到，即bx ax =x bx x ax ÷÷=ba ． ［生］“x ”如果等于“0”，就不行． 在bx ax 中，x 不会为“0”，如果是“0”，bx ax 中分母就为“0”，分式bxax 将无意义，所以（2）中虽然没有直接告诉我们x ≠0，但要由bx ax 得到b a ，bx ax 必须有意义，即bx ≠0由此可得b ≠0且x ≠0．［师］这位同学分析得很精辟！2．分式的约分．［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简．利用分式的基本性质也可以对分式化简． 我们不妨先来回忆如何对分数化简．［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简．例如123，3和12的最大公约数是3，所以123=31233÷÷=41． ［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简．［例3］化简下列各式：（1）ab bc a 2；（2）12122+--x x x ． ［师］在分数化简中，我们约去了分子、分母的公约数，那么在分式化简中，我们应如何办？ ［生］约去分子、分母中的公因式．例如（1）中a 2bc 可分解为ac ·（ab ）．分母中也含有因式ab ，因此利用分式的基本性质：ab bc a 2=)()(2ab ab ab bc a ÷÷=)()()(ab ab ab ab ac ÷÷⋅=ac ． ［师］我们可以注意到（1）中的分式，分子、分母都是单项式，把公有的因式分离出来，然后利用分式的基本性质，把公因式约去即可．这样的公因式如何分离出来呢？同学们可小组讨论．［生］如果分子、分母是单项式，公因式应取系数的最大公约数，相同的字母取它们中最低次幂．［师］回答得很好．可（2）中的分式，分子、分母都是多项式，又如何化简？ ［生］通过对分子、分母因式分解，找到它们的公因式．［师］这个主意很好．现在同学们自己动手把第（2）题试着完成一下．［生］解：（2）12122+--x x x =2)1()1)(1(-+-x x x =11-+x x ． ［生］老师，我明白了，遇到分子、分母是多项式的分式，应先将它们分解因式，然后约去公有的因式．［师］在例3中，ab bc a 2=ac ，即分子、分母同时约去了整式ab ；12122+--x x x =11-+x x ，即分子、分母同时约去了整式x －1．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分．下面我们亲自动手，再来化简几个分式．做一做化简下列分式：（1）yx xy 2205；（2）)()(b a b b a a ++． ［生］解：（1）y x xy 2205=)5()4(5xy x xy ⋅=x41； （2）)()(b a b b a a ++=ba ． ［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的：议一议． 在化简y x xy 2205时，小颖是这样做的：y x xy 2205=2205xx 你对上述做法有何看法？与同伴交流． ［生］我认为小颖的做法中，2205x x 中还有公因式5x ，没有化简完，也就是说没有化成最简结果． ［师］很好！y x xy 2205如果化简成x41，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式．因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式．Ⅲ．巩固、提高1．填空：（1）y x x -2=))(()(y x y x +-；（2）)(1422=-+y y 2．化简下列分式：（1）2332912yx y x ；（2）3)(y x y x --． Ⅳ．课时小结［师］通过今天的学习，同学们有何收获？（鼓励学生积极回答）［生］数学知识之间是有内在联系的，利用分数的基本性质就可推想出分式的基本性质． ［生］分式的约分和化简可联系分数的约分和化简．［生］化简分式时，结果一定要求最简．Ⅴ．活动与探究实数a 、b 满足ab =1，记M =a +11+b +11，N =a a +1+b b +1，比较M 、N 的大小．。