123简单复合函数的导数江苏省扬州市苏教版高中数学选修2-2导学案
苏教版高中数学选修2-2《简单复合函数的导数》教学教案1
1.2.3 简单复合函数的导数学习目标1．掌握简单复合函数的导数的推导2．简单复合函数的导数的应用学习重点:掌握简单复合函数的导数的推导学习难点:简单复合函数的导数的应用学习过程【基础知识梳理】1、根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示2、运算法则法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：[()()]()().f x g x f x g x '''±=±法则2：[()]().()Cf x Cf x C ''=为常数法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数：[()()]()()()().f x g x f x g x f x g x '''=+法则4：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即： 2()()()()()[]()()f x f xg x f x g x g x g x ''-'= ()0g x ≠其中. 3、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数.由函数()y f u = 与 ()u x ϕ= 复合而成的函数一般形式是[()]y f x φ=，其中u 称为中间变量.【问题探究】问题1：求函数2(32)y x =-的导数 .问题2：考察函数sin 2y x =的导数.【建构数学】一般地，我们有u =ax +b 时，有若 y =f (u ),u =ax +b ，则'''x u x y y u =⋅，''x u y y a =⋅即： •对于一般的复合函数，结论也成立 . •复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 ，即'''x u x y y u =⋅【数学运用】例1 试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：31(1)(23);(2)ln(51);(3);(4)cos(12).31y x y x y y x x =-=+==-- 练习：试说明下列函数是怎样复合而成的，并求下列函数的导数：22(1)(2);(2)sin ;(3)cos();(4)ln sin(31).4y x y x y x y x =-==-=π － 例2 写出由下列函数复合而成的函数，并求它们的导数.（1）cos y u =,21u x =+ ; （2）ln y u =,ln u x =.例3 求y =(2x +1)5在x =1处的切线方程.【课堂练习】1.求下列函数的导数： 2321(1)(23);(2)(13);(3);(4)lnx y x y x y e y x=+=-==. 2.求曲线y =sin2x 在点P (π，0）处的切线方程.【回顾小结】（1）复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；（2）复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代.。
高中数学 常见函数的导数导学案 苏教版选修2-2 学案
常见函数的导数 NO.3学习目标：1掌握根据导数的概念，求函数导数的方法；2．牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数。
一、知识扫描：1. 导数： _______________________________________________________ ______________________________________________记作_____________2.导数)(0'x f 的几何意义:________________________________________ 3. 导函数：_______________________________________________________4. )(0'x f 与)('x f 的区别:_______________________________________5.求导公式:⑴________________________________⑵____________________________ ⑶________________________________⑷___________________________ ⑸________________________________⑹__________________________ (7)_______________________________(8)_________________________ (9)_______________________________(10)__________________________ (11)______________________________(12)__________________________ (13)______________________________(14)__________________________ 二、例题选讲：例1:已知2()5f x x x =+,⑴求()f x 在3x =处的导数；⑵求()f x 在x a =处的导数．例2:.已知()f x ='(),'(1).f x f例3、求下列函数在已知点处的导数： ⑴3;y x == ⑵10,;x y x a ==⑵ lg ,2;y x x == ⑷12log ,2;y x x ==⑸;y x a == ⑹2(sin cos )1,.224x x y x π=+-=例4.(1) 已知曲线方程2y x =，求过点(3,5)B 且与曲线相切的直线方程。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 1.2.3 简单复合函数的导数
第8课时简单复合函数的导数教学过程一、问题情境问题1(教材第23页)求函数y=(3x-1)2的导数.解一方面,y'x=[(3x-1)2]'=(9x2-6x+1)'=18x-6=6(3x-1).另一方面,函数y=(3x-1)2可由y=u2,u=3x-1复合而成,y关于u的导数记为y'u,y'u=2u,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(3x-1)'=3,因而有y'x=y'u u'x.问题2(教材第23页)求函数y=sin2x的导数.解一方面,y'x=(sin2x)'=(2sin x cos x)'=2cos2x.另一方面,函数y=sin2x可由y=sin u,u=2x复合而成,y关于u的导数记为y'u.y'u=cos u,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(2x)'=2,因而有y'x=y'u u'x.二、数学建构问题3举例说明哪些函数是复合函数?[2]问题4怎样求复合函数的导数?[3]一般地,若y=f(u),u=ax+b,则y'x=y'u·u'x=ay'u.法则理解1.复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量u的导数,乘以中间变量u对自变量x的导数;2.求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导;3.法则可以推广到两个以上的中间变量,但不要求掌握.三、数学运用【例1】(教材第24页例2)求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=cos(1-2x).(见学生用书P15)[处理建议]让学生练习对复合函数进行分解,再运用法则求导.[规范板书]解(1)函数y=可由y=,u=3x-1复合而成,则y'x=y'u·u'x=·3=-·3=-.(2)函数y=cos(1-2x)可由y=cos u,u=1-2x复合而成,则y'x=y'u·u'x=(cos u)'·(-2)=(-sin u)·(-2)=2sin(1-2x).[题后反思](1)对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,适当选取中间变量;(2)弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆;(3)求导的次序是由外向内;(4)复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.变式求函数y=的导数.[规范板书]解y==(3x-1)-4.设y=u-4,u=3x-1,则y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(3x-1)'=-4u-5·3=-12u-5=-12(3x-1)-5=.[题后反思]熟练掌握求导法则后,本例可以直接写成y'x=[(3x-1)-4]'=-4(3x-1)-5·3=-12(3x-1)-5=.高中数学【例2】求曲线y=sin2x在点P处的切线方程.(见学生用书P16)[处理建议]学生讨论、判断,并且由学生给出理由.[规范板书]解设f(x )=sin2x,则f'(x)=2cos2x,故曲线在点P(π,0)处的切线方程为2x+y-π=0.四、课堂练习1.函数y=cos(1-2x)的导数y'=2sin(1-2x).2.若y=e-2x-1,则y'=-2e-2x-1.3.函数y=x·的导数y'=.4.若某港口在一天24 h内潮水高度近似地满足关系S(t)=3sin(0≤t≤24),则18点时潮水起落的速度为多少?解S'(t)=3cos·=cos,所以S'(18)=cos=,即18点时潮水速度为.五、课堂小结1.对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,关键在于分清函数的复合关系,适当选取中间变量,利用幂函数的求导公式.2.一些根式函数或分母上是幂函数、分子为常数的分式函数,通常经过变形,转化成幂函数,这样求导起来会比较方便.3.求导的次序是由外向内.4.复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.高中数学。
高中数学 1.2导数的运算学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案
1．2 导数的运算一、学习内容、要求及建议1．预习目标(1)熟记常见函数的导数；(2)掌握函数和、差、积(包括数乘)、商的导数的运算法则； (3)了解内函数与外函数的有关概念，会求简单的复合函数的导数 2．预习提纲(1)回忆上一节导数的概念，思考利用导数的定义求一些简单函数的导数的流程． (2)阅读课本①写出下列常见函数的导数：一次函数y kx b =+；常数函数y C =；幂函数y x α=，正弦函数sin y x =；余弦函数cos y x =；指数函数xy e =和(0,1)xy a a a =>≠；对数函数ln y x =和log (0,1)a y x a a =>≠②试写出函数的和、差、积、商的求导法则． ③简单复合函数的导数：复合函数： 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量，设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且'x y = ．(3)课本第24页例1与例2的解题过程给你怎样的启示? 3．典型例题例1 利用导数的定义求下列函数的导数．(1)y =x 2＋x ；(2)21()x g x x+=． 分析： 首先计算()()y f x x f x ∆=+∆-的值，再化简yx∆∆，然后计算当x ∆无限趋近于0时，yx∆∆无限趋近于的常数． 解：(1)22()()()y x x x x x x ∆=+∆++∆-+(21)x x x =∆+∆+，21y x x x ∆=+∆+∆，当0x ∆→时，21y x x∆→+∆，所以21y x '=+． (2)11()()(2)(2)g x x g x x x x ∆+-=+-++∆=()x x x x-∆+∆，()()1()g x x g x x x x x ∆+--=∆∆+，当0x ∆→时，21y x x ∆→-∆，即21()g x x'=-．点评： 当x ∆无限趋近于0时，讨论yx∆∆的变化趋势时，x ∆可以看作为变量，其余的可作为常量．例2 求下列函数的导数：(1) y =x 3； (2)31y x=；(3)y =； (4)y =(5)4xy =；(6)3log y =分析： 对于简单函数的求导，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y =31x= x －3；y =53x 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误． 解： (1) y '=(x 3)′=3x3－1=3x 2；(2) y '=331431()()33x x x x----''==-=-； (3) y '=xx x x x 212121)()(2112121==='='--；(4)3213535353535)()(x x x x y =='='='-；(5)4ln 4)4(xx y ='='； (6) xx y 33log 1)(log ='=' 点评： 运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨、步骤完整的解题习惯，不仅要会求，而且要解题规范、结果准确． 例3 求曲线x y sin =在点A )21,6(π处的切线方程． 分析： 先用公式求出x y sin =的导数，然后利用导函数求出曲线在点1(,)62A π处的切线斜率，最后应用点斜式写出方程．解： ∵ x y sin = ∴ xx y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y ∴ 所求切线的斜率23=k∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ， 即 0361236=-+-πy x ． 答：曲线x y sin =在点1(,)62A π的切线方程为0361236=-+-πy x点评： 利用常见函数的导数公式可以求出y =x n(n Q ∈)、y =sin x 及y =cos x 上任一点(定义域内)处的切线斜率，从而可得任一点处的切线方程． 例4 已知曲线y =331x 上的一点8(2,)3P ，求 (1)点P 处的切线方程；(2)过点P 的切线方程．分析： 考虑两个问题之间的差异，问题⑴实质上是问题⑵的一个部分，关键是要确定切点是什么．解：(1)232)31(x x y ='='，因为点8(2,)3P 在曲线上且2(2)24f '==，所以点P 处的切线的斜率为4，点P 处的切线方程为84(2)3y x -=-， 即12x －3y －16=0，(2)当点P 为切点时，由⑴知道该切线方程是12x －3y －16=0，若P 点不是切点时，设切点为3001(,)3Q x x ，此时有302000833()2x f x x x -'==-，得01x =-或02x =(舍去)，过点P 的切线的斜率为1， 过点P 的切线方程为823y x -=-，即3x －3y ＋2=0， 综上所述，过点P 的切线方程为：12x －3y －16=0或3x －3y ＋2=0．点评： 虽然点P 在曲线上，但未必是切点，故可分P 点是否为切点两种情况讨论．本题也可以先设出切点坐标，根据切点在曲线上、已知点在切线上、切点处的导数等于切线的斜率这三个条件列出三个方程，解方程组求出切点坐标，同学们可以自已尝试一下． 例5 求下列函数的导数：(1)323()622g x x x x =--+；(2) y =xe x ；(3)ln xy x =； (4) y =tan x ； (5) y =sin x cos x ； (6) y =(3x 2＋1)(2－x )； (7) y =(1＋x 2)cos x ．分析： 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导条件可进行适当的恒等变形．解： (1) 3223()()()(62)3362g x x x x x x ''''=---=--； (2) ()xxxy xe e xe ''==+；(3) 2ln 1ln ()x xy x x -''==； (4) 2222sin sin cos 1()cos cos cos x x x y x x x+''===； (5) 22(sin cos )cos sin cos 2y x x x x x ''==-=；(6) y ′=(3x 2＋1)(2－x )′ =(3x 2＋1)′(2－x )＋(3x 2＋1)(2－x )′=3⋅2x (2－x )＋(3x 2＋1)(－1)=－9x 2＋12x －1(7) y ′=(1＋x 2)cos x ′=(1＋x 2)′cos x ＋(1＋x 2)(cos x )′=2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x )=2x cos x －(1＋x 2)sin x ．点评： 通过本例可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，在解决新问题时做到举一反三、促类旁通． 例6 求下列函数的导数：(1)y =；(2)13x y -=-；(3)sin 4cos()38x y x π=+-；(4)21(cos ln )x y e x x -+=+；(5)2sin 2x y x =． 分析： 利用复合函数的求导运算法则，弄清各个小题的外函数y=f(u)，及内函数u=g(x)的表达式，有的问题也可以先化简再求导．解：(1)令u=4x ＋3，则∴(43)4ux y y u x '''''==⋅=+=⋅=故y '=(2)1(3)(1)xy x -''''=-=--．13ln 3x -13ln 3x -=+；(3)(sin 4)(cos())38x y x π'''=+-1(4)cos 4()sin()4cos 4sin()3838338x x x x x x πππ''=⋅--⋅-=--(4)2(cos ln )x y e x x -+=⋅-，22()(cos ln )(cos ln )x x y ex x e x x -+-+'''∴=⋅-+-=221(2)(cos ln )(sin )x x x ex x e x x-+-+'-+⋅⋅-+--221(cos ln )(sin )x x ex x e x x -+-+=--+--21(cos sin ln )x e x x x x-+=-+-+(5)22222sin 2(sin 2)sin 2()()()x x x x x y x x ''⋅-⋅''== =22443(2)cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2x x x x x x x x x x x xx x x '⋅-⋅-⋅-==．点评： 复合函数的导数运算一定要注意中间变量，不要忘记中间变量对自变量的求导．例7 如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，求水升高的瞬时变化率．分析：我们可以利用瞬时变化率的定义(解法一)，也可以将水深为4 cm 的时刻，将水面附近的高度极小的台体近似看做圆柱体，然后对体积增量比时间增量取极限，体现出局部“以直代曲”的思想(解法二)；或者还可以建立函数关系式直接对时间求导得到(解法三，应该注意的是：高度是时间的函数，涉及到复合函数的求导法则)．解：法一 设时刻t s 时，杯中的水的体积为V cm 3，水面半径为r cm ，水深为h cm ，则2313364V r h h ππ==，3322333[()][3()3()()]6464V h h h h h h h h ππ∆=+∆-=∆+∆+∆，223[3()3()()()()]64V h h hh h h h t t t tπ∆∆∆∆=+∆+∆∆∆∆∆，记水升高的瞬时变化率为t h '，从而由2320364t h h π'=⨯⋅，当4h =时，解得80(/)9t h cm s π'=．法二 水面高度为4cm ，可求得水面的半径为32cm ．设水面高度增加h ∆时，水的体积增加V ∆，从而23()()2V h π∆≈⋅∆，故9()4V h t t π∆∆≈∆∆，当0t ∆→时，得到9204t h π'=⋅，于是80(/)9t h cm s π'=．法三 仿解法一得到3364V h π=，即332064t h π=，两边对t 求导得，292064t h h π'=⋅，当4h =时，解得80(/)9t h cm s π'=．点评：解法一和解法二实质都是利用导数的定义求导，而解法三是利用常见函数的导数及导数的运算法则求导． 4．自我检测(1)函数25y x =的导数是 ． (2)函数2(1)y x x =+的导数是 ． (3)函数cos 2x y x=的导数是 ． (4)函数25ln xy x =-的导数是 ．(5)函数2xe y x=的导数是 ．(6)已知函数()()32122f x x x m m =-+为常数图象上A 处的切线与30x y -+=的夹角为450，则点A 的横坐标是 ． (7)已知函数nm mxx f -=)(的导数为38)(x x f ='，则=nm ．(8)若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f 是 ． (9)求下列函数的导数．①5)12(+=x y ； ②f (x )=sin x 2； ③y =sin 2(2x ＋3π)三、课后巩固练习A 组1．已知y y '= ．2．函数y 0)x >的导数是 ． 3．若函数f (x )=x 3，则[](2)f '-= ．4．设010211()cos ,()(),()(),,()()n n f x x f x f x f x f x f x f x +'''====，,n N *∈则2008()f x ．5．设函数32()25f x x x x =-++，若()0f x '=，则x 的值为 ． 6．若对任意3,()4,(1)1x R f x x f '∈==-，则()f x =7． 若圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是______． 8．填空： (1) 2222[(31)(43)]( )(43)(31)( )x x x x '+-=-++(2)33(sin )( )sin ( )x x x x '=+(3)2222( )(1)( )()1(1)x x x x x +-'=++ (4)2221( )sin (1)( )()2sin 4sin x x x x x+-+'= 9．求下列函数的导数．(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) ； (2)sin()4y x π=-； (3)ln xy x=； (4)2ln y x x =； (5)y =x 2cos x (6)f (x )=354337xx x x ++；(7)f (x )=xx++-1111； (8)f (x )=xx2cos 12sin + ．10．若f (x )=sin α－cos x ，则f ′ (α)等于 ．11．设()(1)(2)(5)f x x x x x =++⋅⋅+，求(0)f '的值______．12．二次函数()y f x =的导函数()2f x x m '=+，且2(0)f m m =-，则()0f x >在R 上恒成立时m 的取值范围是 ． 13．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ． 14．设函数32()2f x x ax x '=++，(1)f '=9，则a=___________．15．已知函数f (x )=2cos 2x －1，则()f x '= ．16．函数y=(3＋sin x )4是由 两个函数复合而成的．17．函数2(13)y x =-的导函数y '= ；函数8log (13)y x =-的导函数y '= ． 18．已知函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()2'232xf x x f +=，则()=5'f ．19．曲线y =e x在x =1ln 32处的切线的斜率为 ． 20．曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 21．过原点作曲线y =e x的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． 22．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点,04M π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为 ．23．与直线2x －6y ＋1=0垂直，且与曲线y =x 3＋3x 2－1相切的直线方程是 ．B 组 24．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为 ．25．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2009(π2)＝ ． 26．抛物线y=x 2和直线y=x －1之间的最短距离是 ．27．若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =____．28．曲线y =－x 2＋4x 上有两点A (4，0)、B (2，4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB 及AB 所在直线的方程；(2)在曲线AB 上是否存在点C ，使过C 点的切线与AB 所在直线平行?若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．已知曲线31433y x =+，求过点P (2，4)的切线方程． 30．A (0，0)，B (2，2)是抛物线y =x 2－x 上两点，在抛物线y =x 2－x 上A 与B 间的求一点P ，使△APB 面积最大．31．当a 满足什么条件时，过点(1，a )可作曲线y =x 2＋1的两条切线．32．设f (x )=(x －1)(2x －1)3，求(0)f '，(1)f '-，(1)f '．33．求下列函数的导数： (1)y=cos(2)4x π+； (2)y=(3x ＋5)6； (3)y=(3x －8)7．34．求下列函数的导数：(1)y=cos(3)4x eπ-； (2)sin()3x π-；(3))cos(2)33x x ππ+-+．35．(1)曲线y=lnax (a >0)在与x 轴交点A 处的切线l 方程是什么?(2)在(1)中，过点A 且与直线l 垂直的直线m ，试求直线l ，m 与y 轴围成三角形的面积S (a )的表达式．36．水以20立方米/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．C 组 37．设)()2)(1()(n x x x x x f +⋅⋅++= ，求(0)f '的值． 38．用求导的方法求和：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1(x ≠1)．39．已知曲线y =x 2(x －32a)(a >0)，在点M (1,1x y )处的切线l 与x 轴的交点为(2x ，0)， 求证：当1x a >时，232ax ≥．40．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3． (1)求f (x )的解析式；(2)证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围的三角形的面积为定值，并求出此定值．四、学习心得五、拓展视野如何求三次曲线f (x )=ax 3＋bx 2＋cx ＋d 图象的对称中心呢?我们可以设对称中心为(00,x y )，有f (x )＋ f (20x －x )=20y ，代入曲线方程，通过待定系数法求出0x 、0y ，这种方法便于接受，但较麻烦．可以通过导数方法处理．对上等式两边求导，得()f x '+0(2)f x x '-⋅0(2)0x x '-=，即0()(2)f x f x x ''=-，这就是说()y f x '=的对称轴为0x x =，又()f x '=3ax 2＋2b x ＋c ，故0232b x a -=⨯，03bx a∴=-．同时，可以知道该点(00,x y )在曲线上，所以三次曲线对称中心为(,()33b bf a a--)．事实上，如果曲线存在两个极值点，该对称中心就是这两个点的中心．1．2 导数的运算检测反馈：1．10x ；2．231x +；3．2sin cos 2x x x y x --'=；4．52ln 2xy x'=-； 5．22x x xe e y x -'=；6．0或16 ；7．14；8．2)(4-=x x f 9．（1）解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．（2）解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ⋅(x 2)x ′=cos u ⋅2x =cos x 2⋅2x =2x cos x 2∴f ′(x )=2x cos x 2； （3）解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ⋅v ′x )=2u ⋅cos v ⋅2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)⋅2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π)即y ′x =2sin(4x +32π) 巩固练习：1．2 3．0 4． 20080()()cos f x f x x ==5． 13或1 6． 42x - 7． 40π cm 2/s 8． (1) 6x ，8x ；(2)3，cos x ; (3) 1，2x ；(4) 4x ；2 cos x9． （1） 18x 2－8x ＋9 （2）21ln cos();(3);(4)2ln 4xy x y y x x x xπ-'''=--==+ （5） y ′=2x cos x －x 2sin x （6）2x +1586115767-+x x （7）2)1(2x - ;(8)sec 2x 10． sin α 11． 120 12． 403m m <>或13． ln2－1 14． 615． 4cos (sin )2sin 2x x x ⋅-=- 16． 43sin y u u x⎧=⎨=+⎩17． 18x -6 ；1(31)ln 2x - 18． 619．4321．（1，e ），e 22． 1223． 3x +y +2=024．1； 25． 1 26． 827． 6428．（1）斜率k AB =-2；AB 所在直线的方程为2x+y-8=0; (2)存在， C 点的坐标为（3，3）。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 1.2.1 常见函数的导数》
常见函数的导数教学目标：1、能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式；2、熟记常见函数的导数；3、掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数，会求函数图象的的切线的方程。
教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式教学过程：一、引入新课1导数的相关知识设函数＝f在区间a，b上有定义，，假设△无限趋近于零时，，那么称f在＝处可导，并称该常数A为函数f在＝处的导数，记作．2如何求切线的斜率。
二、探究新知对于函数，如何求它的导数呢？本节课我们将学习常见函数的导数首先我们来求下面几个函数的导数〔1〕=b ; 〔2〕=2 ; 〔3〕=问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？三、知识建构1几种常见函数的导数:问题引入1：110 0通过以上运算我们能得到什么结论公式一: C为常数，问题引入2：1通过以上运算我们能得到什么结论公式二:除此以外：公式三:公式四:公式五：对数函数的导数:公式六：指数函数的导数:四、新知运用例1 利用求导公式，求以下函数的导数：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕练：以下式子中正确式子个数为：①②③④例2 〔1〕求函数的图象在点处的切线方程。
〔2〕假设直线为函数图象的切线，求及切点坐标。
思考：求函数的图象过点的切线的方程。
五、稳固训练1〔1〕，那么，〔2〕函数的导数2〔1〕求函数的图象在点处的切线的方程。
〔2〕直线能作为以下函数图象的切线吗？假设能，求出切点坐标；假设不能，简述理由。
①②③④3、求函数的图象过点的切线的方程。
2018-2019学年高一数学苏教版选修2-2学案：1.2.2+3 简单复合函数的导数
1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．理解导数的四则运算法则，能运用运算法则求函数的导数．(重点) 2．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(难点) 3．积函数、商函数求导公式的正确运用．(易错点)[基础·初探]教材整理1导数的四则运算法则阅读教材P21，完成下列问题．1．导数的四则运算法则设两个函数f(x)，g(x)可导，则判断正误：(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.()(2)已知函数y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．()(3)已知函数f(x)＝(x＋1)(x＋2)，则f′(x)＝2x＋1.()【解析】(1)由f′(x)＝2x，则f(x)＝x2＋C.(2)由y＝2sin x－cos x，则y′＝(2sin x)′－(cos x)′＝2cos x＋sin x.(3)由f(x)＝(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以f′(x)＝2x＋3.【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2复合函数的导数阅读教材P23，完成下列问题．1．判断正误：(1)函数f(x)＝x e x的导数是f′(x)＝e x(x＋1)．()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．()【答案】(1)√(2)×2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝____________. 【解析】f′(x)＝2(2x＋a)(2x＋a)′＝4(2x＋a)，∴f′(2)＝4(4＋a)＝20，∴a＝1.【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________ 疑问3：_______________________________________________ 解惑：_______________________________________________[小组合作型](e)＋ln x (e 为自然对数的底数)，则f ′(e)＝________.(2)求下列函数的导数：①f (x )＝(x ＋2)(x －3)；②f (x )＝lg x －3x ； ③f (x )＝11－x ＋11＋x；④f (x )＝sin x1＋sin x .【自主解答】 (1)f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，则f ′(e)＝2f ′(e)＋1e .∴f ′(e)＝－1e . 【答案】 －1e (2)①∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1.②f ′(x )＝(lg x )′－(3x )′＝1x ln 10－3x ln 3. ③∵f (x )＝1＋x ＋1－x 1－x ＝21－x，∴f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－2(1－x )′(1－x )2＝2(1－x )2.④∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x，∴f ′(x )＝1′－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋sin x ′＝－－(1＋sin x)′(1＋sin x)2＝cos x (1＋sin x)2.1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[再练一题]1．求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3x e x－2x＋e；(3)y＝ln xx2＋1；(4)y＝x2－sin x2cosx2.【自主解答】(1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.(3)y′＝x2＋1－2x2·ln xx(x2＋1)2.(4)∵y＝x2－sin x2cosx2＝x2－12sin x，∴y′＝2x－12cos x.(1)y＝e2x＋1；(2)y＝1(2x－1)3；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.【精彩点拨】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．【自主解答】(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝e u和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(e u)′(2x＋1)′＝2e u＝2e2x＋1.(2)函数y＝1(2x－1)3可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u x′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－6(2x－1)4.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝－5u ln 2＝5(x－1)ln 2.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′＝3u2·cos x＋3cos v＝3sin2x cos x＋3cos 3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[再练一题]2．求下列函数的导数．(1)y＝x1－1－x；(2)y＝log2(2x2－1)．【解】(1)y＝x1－1－x＝x(1＋1－x)(1－1－x)(1＋1－x)＝x(1＋1－x)1－(1－x)＝1＋1－x.设y＝1＋u，u＝1－x，则y′＝y u′·u x′＝(1＋u)′·(1－x)′＝1 2u ·(－1)＝－121－x.(2)设y＝log2u，u＝2x2－1，则y′＝y′u·u x′＝1u ln 2·4x＝4x(2x2－1)ln 2.[探究共研型]探究【提示】 函数y ＝(3x ＋2)2可看出函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′ ＝6u ＝6(3x ＋2)．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解．【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4(a －1)2＋1＝12，解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．[再练一题]3．若将上例中条件改为“直线l与圆C：x2＋y2＝14相交”，求a的取值范围．【解】由例题知，直线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.∵直线l与圆C：x2＋y2＝14相交，∴圆心到直线l的距离小于半径．即d＝|2－a|4(a－1)2＋1<12.解得a>118.[构建·体系]1．函数y＝(2 017－8x)3的导数y′＝________.【导学号：01580009】【解析】y′＝3(2 017－8x)2×(2 017－8x)′＝3(2 017－8x)2×(－8)＝－24(2 017－8x)2.【答案】－24(2 017－8x)22．函数y＝x2cos 2x的导数为________．【解析】y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.3．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.【解析】f′(x)＝13x－1·(3x－1)′＝33x－1，∴f′(1)＝32.【答案】3 24．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.【解析】令y＝f(x)，则曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝e ax，所以f′(x)＝(e ax)′＝(e ax)·(ax)′＝a e ax，所以f′(0)＝a e0＝a，故a＝2.【答案】 25．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.【解】(1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些不足：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_______________________________________________(2)_______________________________________________。
苏教版高二数学选修2-2 1.2.3 简单复合函数的导数 学案
1．2.3简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1这三个函数都是复合函数吗？思考2试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4； (3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝ .(2)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝ . (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝ . 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y ＝sin 3x 是由函数 复合而成的．2．设f (x )＝e －x 则f ′(x )＝ .3．函数y ＝(1－2x )4在x ＝12处的导数为 ． 4．过曲线y ＝11＋x 2上一点，使曲线在该点的切线平行于x 轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合，∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3.(2)y ＝1(2x ＋1)4＝(2x ＋1)－4，函数y ＝1(2x ＋1)4看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－8(2x ＋1)5. (3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5(ln 3)(x －1). (4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′ ＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)，∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝⎛⎭⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 0(1＋x 20)2＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x 2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。
苏教版高中数学选修2-2《简单复合函数的导数》教学教案2
1.2.3 简单复合函数的导数学习目标：1.掌握求复合函数()f ax b ＋的导数的法则；2.熟练求简单复合函数的导数．学习重点：复合函数的求导法则．学习过程：一、问题情境1．问题情境：什么是简单复合函数？引例 函数2(31)y x ＝－是由哪两个函数复合而成的？函数sin 2y x ＝呢？2．探究活动：怎么样求简单复合函数的导数？以函数2(31)y x ＝－和sin 2y x ＝为例．二、建构数学1．与一次函数复合的函数的导函数公式．2．推广：注 1．复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数；2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、数学运用例1 求下列函数的导数：（1）3(23)y x ＝－； （2）ln(51)y x ＝＋．例2 求下列函数的导数：（1）131y x ＝－； （2）cos(12)y x ＝－． 点评 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例3 求y －的导数．点评 本题练习商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理． 例4 求44sin cos y x x ＝＋的导数．点评 可先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确；也可利用复合函数求导数，应注意不漏步．练习：课本第24页第2，3，4题．四、回顾小结(1)复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；(2)复合函数求导的基本步骤是：分解—求导—相乘—回代．五、课外作业1．见课本P26习题1.2第8～10题．2．补充：已知函数22()3cos sin 222x x f x ＝＋－，求5π()6f ．。
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1．2.3 简单复合函数的导数
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如f (ax ＋b )的导数)．
一、知识回顾
函数的和、差、积、商的求导法则
设两个函数分别为f (x )和g (x ) 两个函数的和的导数
[f (x )＋g (x )]′＝ 两个函数的差的导数
[f (x )－g (x )]′＝ 常数与一个函数的乘积的导数
[C ·f (x )]′＝ (C 为常数) 两个函数的积的导数
[f (x )·g (x )]′＝ 两个函数的商的导数 [f (x )g (x )
]′＝ (g (x )≠0) 二、知识探究
1．复合函数的概念
由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．
cos()cos 44y x y u u x 如由及复合而成.
32
21(1)(2)(31)(3)sin (4)sin 2y x y x x
y x x y x
思考：下列哪些函数可以由两个基本初等函数复合得到？
2．复合函数的求导法则
2
(2)(31)(4)sin 2y x y x 思考：下列这些复合函数可以借助于已有的知识求出导函数吗？
2(2)(31),6(31)
(4)sin 2,2cos 2y x y x y x y x
思考：对照下列复合函数的复合形式，发现规律.
ln(2)x u x y y u y x 对于猜想，尝试对函数求导进行验证 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y x ′＝ ，即y x ′＝ ． 其中y x ′，y u ′分别表示y 关于 的导数及y 关于 的导数．
三、知识应用
(1)ln(51)(2)cos(12)
y x y x 例1：求下列函数的导数
31(1)(23)(2)31y x y x 例2：求下列函数的导数
四、当堂训练
1.指出下列函数的复合关系：
(1)y ＝(a ＋bx n )m ；(2)y ＝(x 2＋4x )3；
(3)y ＝e2＋x 2；(4)y ＝2sin(2－x 2)．
2.求下列函数的导数．
(1)y ＝(2x ＋3)2；
(2)y ＝e －2x ；
(3)y ＝sin (πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．。