初一代数式求值讲义
初中数学讲义第6讲 代数式的求值
第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
初中数学竞赛代数专题讲义之代数式求值含例题习题及详解
代数式求值由数与字母经有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所组成的表达式叫做代数式。
已知一个代数式，把式中的字母用给定数值代替后，运算所得结果叫做在字母取给定数值时代数式的值。
一、专题知识1.基本公式（1）立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+（2）立方差公式：2233()()a b a ab b a b-++=-（3）完全立方和：33223()33a b a a b ab b +=+++（4）完全立方差：33223()33a b a a b ab b -=-+-2.基本结论（1）33322()33a b a b a b ab +=+--（2）33322()33a b a b a b ab -=-+-（3）22()()4a b a b ab-=+-二、经典例题例题1已知y z x z x yx y z+++==求代数式y z x +的值。
【解】（1）0x y z ++≠，由等比性质得2()2x y z y zx y z x+++==++；（2）0x y z ++=，则y z x +=-，所以1y zx+=-。
例题2已知234100x y +-=，求代数式y x x y xy y x x 65034203152223--++++的值。
【解】32221532043506x x y xy y x x y++++--322222215205034103410105(3410)(3410)(3410)1010x xy x x y y y x y x x y y x y x y =+-++-++-+=+-++-++-+=例题3实数,,a b c满足条件：231224a b ab -=+=-，求代数式2a b c ++的值。
【解】22222442318224a b a ab b ab c ab ⎧-=⇒-+=⎪⎨+=-⇒+=-⎪⎩两式相加得，()2220a b ++=只有2=0a b +且0c =，所以20a b c ++=。
初一数学《代数式求值》参考精品PPT课件
⒉ 物体自由下落的高度h(米)和下落时间
t(秒)的关系,在地球上大约是:h＝4.9t2，在 月球上大约是:h＝0.8 t2.
⑴ 填写下表：
t
0 2 4 6 8 10
h＝4.9 t2 0 19.6 78.4 176.4 313.6 490
h=0.8 t2 0 3.2 12.8 28.8 51.2 80
5n+6 11 16 21 26 31 36 41 46
n2 1 4 9 16 25 36 49 64 (1)随着n的值逐渐变大，两个代数式 的值如何变化？ (2)估计一下，哪个代数式的值先超 过100。
⒈ 人体的血液的质量约占人体体重 的6％～7.5％。
⑴ 如果某人体重是a千克，那么他
的血液质量大约在什么范围？ ⑵ 亮亮体重是35千克，他的血液质 量大约在什么范围内？ ⑶ 估计你自己的血液质量。
⑵ 物体在哪儿下落得快？
⑶ 当h＝20米时，比较物体在地球上在
月球上自由下落所需的时间.
通过表格，估计当h＝20米时， t(地球)≈2(秒)，t(月球)≈5(秒).
3、按下列图示的程序计算,若开始输入 的值为x=3,则最后输出的结果是 。
4.某计算装置有一数据输入口A和一运算 结果的输出口B，下表是小明输入的一些 数据和这些数据经该装置计算后输出的相 应结果： 按照这个计算装 置的计算规律， 若输入的数是10， 则输出的数是 .
反馈练习：
1、如图，是一个简单的数值运算程序 当输入x的值为－1时，则输出的数值 为。
2、 根据下图所示的程序计算函数值。 若输入的值为1.5，则输出的结果为 .
3、在如图所示的运算流程中，若输 出的数y=3，则输入的数x=______。
填写下表，并观察下列两个代数式的值 的变化情况
七年级代数式讲义
课题代数式和求代数式的值教学目标探索代数式的基础知识重点、难点求代数式的值考点及考试要求列代数式和求代数式的值知识框架考点一：用字母表示数1、用字母表示数、用字母表示偶数、奇数2、用字母表示运算律、运算法则和公式3、用字母表示实际问题中的数量关系【找规律】-------归纳推理1、观察下列等式：第1个等式：1111(1); 1323a==⨯-⨯第2个等式：21111();35235a==⨯-⨯第3个等式：31111(); 57257a==⨯-⨯第4个等式：41111();79279a==⨯-⨯.........解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：5____________;a==（2）用含n的代数式表示第n个等式：_________________na==（n为正整数）。
考点二：代数式和列代数式1、代数式（1）定义：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
注意：（1）代数式是由数字和字母通过基本运算符号连结的式子；（2）单独的一个数或字母也是代数式；（3）记清6种基本的运算符号，知道不含哪些容易混进去的符号。
如：22211,3,,,0,,,,121s x a b ab a a b a t y +++-等都是代数式。
（2）代数式的读法（3）代数式的书写规范2、列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。
列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。
典型例题例1、以下各式不是代数式的是（ ）A ．0B ．3a 2＋2a －1C ．a ＋b=b ＋aD ．m3 例2、有三个连续偶数，最大一个是2n ＋2，则最小一个可以表示为 ···· （ ）A 、2n ＋1B 、2nC 、2n －2D 、2n －1例3、某商品价格为a 元，降价10%后，又降价10%，销售额猛增，商店决定再提价20%提价后这种商品价格为 。
2024年北师大七年级数学上册1 代数式第2课时 代数式求值(课件)
5. 根据一项科学研究，一个10～50 岁的人每天所需的睡 眠时间t(单位:h)可用公式t=11-1n0计算出来，其中n代表 这个人的年龄。根据这个公式，解答下列问题:
(2) 一个35岁的成年女性每天睡眠时间是7h，她的睡眠时
间够吗? 解：当 n=35 时， t=11-1n0 =11-3150 =7.5 。 因为7＜7.5，所以她的睡眠时间不够。
1.代数式6p可以表示什么？
6的p倍
p的6倍
6个p的和
2.求代数式3a2-2ab的值，其中a=6，b=-23 。
解：当a=6，b=-23 时， 3a2-2ab=3×62-2×6×(-23)=116。
3. 华氏温度 f (单位: ℉)与摄氏度c(单位:℃)之间
存在如下的关系：
f=
9 5
c+32。小华对潇潇说：“
（1）设一个人的体重为 w kg，身高为 h m，请
w
用含w，h的代数式表示这个人的BMI。 h2
（2）张老师的身高为 1.75 m，体重是 65 kg，他
的体重是否适中？
你的身体质量
指数是多少？
当w=65，h=1.75时
w h2
65 = 1.752
21.22
张老师体重适中.
对应训练
【课本P79 随堂练习 第1题】
1.填写下表，并观察-8n+5和-n2这两个代数式的值的变化情况。
n
12345678
-8n+5 -3 -11 -19 -27 -35 -43 -51 -59 -n2 -1 -4 -9 -16 -25 -36 -49 -64
（1）随着 n 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
第07讲 代数式的有关概念及求值-2021-2022学年七年级数学上册讲义(机构专用,北师大版)
教师讲义【例9】原产量n 千克增产20%之后的产量应为（ ）A ．（1－20%）n 千克B ．（1+20%）n 千克C ．n +20%千克D ．n ×20%千克【例10】甲乙两人岁数的年龄和等于甲乙两人年龄差的3倍，甲x 岁，乙y 岁，则他们的年龄和如何用年龄差表示（ ）A ．(x +y )B ．(x －y )C ．3(x －y )D ．3(x +y )【例11】三角形一边为a +3,另一边为a +7,它的周长是2a +b +23,求第三边（ ）A ．b －13B ．2a +13C ．b +13D ．a +b －13【例12】公路全长P 米，骑车n 小时可到，如想提前一小时到，则需每小时走_______米.（ ）A ．nP +1 B ．1-n P C ．1+nP P D ．1+n P【例13】当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值．【例14】当61x y ==-，时，代数式12(2)33x y y -++的值是( ) A ．5- B ．2- C ．23-D ．23【例15】已知：a ＝12，b ＝3，求 的值。
【例16】当x=13，y=3时，求下列代数式的值: （1）3x 2-2y 2+1； （2）2()1x y xy --。
其中a=5，b=7； (2)3x 2-2xy+y 2，其中x ＝1，y= ；19、(1)20、小明读一本共m 页的书，第一天读了该书的13，第二天读了剩下的15． （1）用代数式表示小明两天共读了多少页．（2）求当m=120时，小明两天读的页数．六、课堂小结 学生总结，老师补充 七、课后作业1、a 与b 的平方差可表示为 .2、2x +3y 可以解释为 .3、某商店钢笔每枝a 元，铅笔每枝b 元，小明买了3枝钢笔和2枝铅笔，应付 元.4、个位数字是a ，十位数字是b 的两位数可表示为 ，交换个位与十位数字后的两位数是 .5、一项工程，甲队单独完成需a 天，乙队单独完成需b 天，两队合作要 天完成.6、当n 为整数时，偶数可表示为 ，奇数可表示为 .7、下列各式：⑴132ab ⑵ x ﹒2 ⑶ 30%a ⑷ m －2℃ ⑸ 232y x ⑹ a －b ÷c ,其中不符合代数式书写要求的有（ ）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个8、如果两个数的和是10，其中一个数用字母x 表示，那么表示这两个数的积的代数式是（ ） A 、10x B 、x (10+x ) C 、x (10－x ) D 、x (x －10)③②①22、求代数式的值:(1)(3a-2b)2，其中a= ，b= ； (2)(a+b)2-(a-b)2，其中a ＝ ,b ＝23、用火柴棒按下面的方式搭成图形． （1）根据上述图形填写下表．（2）第n 个图形需要火柴棒根数为s ，写出用n 表示s 的公式．（3）当n=10时，求出s 值．附答案： 典型例题：例1： B 例2：C 例3：C 例4：B 例5.9n 例6：x +5 例7：a 3 例8：4h 例9：a240例10：（1）(20)x x -；（2）22n -，2n ，22n +；（3）23a +；（4）95x ％；（5）3(1)2m m - 例11：⑴（5＋3）t =8t ⑵(5－3)t =2t ⑶ 5(m ＋n )＋3n ⑷ 5(m ＋n )－3n 例12：第一个猴子摘走15m 个，还剩1(1)5m m --个，第二个猴子摘走11(1)55m m --个， 还剩41(1)155m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦个，第三个猴子摘走11111(1)15555m m m m ⎡⎤------⎢⎥⎣⎦个， 还剩11111111(1)11(1)15555555m m m m m m m m ⎧⎫⎡⎤-------------⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭个 例13：解：当x=7，y=4，z=0时，图形编号 ① ② ③ 火柴棒根数x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0) =7×(14-4)=70．例14：B 例15：解：＝＝＝3 课堂练习1、x+y2、2x －23、2n ,5n4、b a 433+5、13+n6、21)32x y -+(7、()mx ny +，ax8、2mn m n+ 9、)]1(2[-+n x 10、C 11、B 12、D 13、D 14、A 15、D 16、B 17、B18、（1）111++b a ；（2）)3%(20+a ；（3）34-xy ；（4）222)(b a b a ++. 19、(1) (2) 20、（1）715m （2）56 课后作业 1、a 2－b 2 2、2个x 和3个y 的和 3、3a +2b 4、10b ＋a ,10a ＋b 5、ba ab + 6、2n ，2n ＋1或2n －1 7、B 8、C 9、D 10、D 11、B 12、C 13、C 14、B 15、C 16、ab 17、10x +y 18、1÷(y x 11+) 19、2n 20、（1）2m ；4m ；8m （2）n m 2 21、（1）2321+6×21=2621 （2）2321+（m －1）·21 22、(1)1 (2)23、（1）7 12 17 （2）s=5n+2 （3）52。
3.2 代数式的值(第1课时)求代数式的值 课件-七年级数学上册(人教版2024).ppt
解：（1）当a=4，b=12时，
2
− = 4²-
12
4
确定的，所以在代入字母的值之前，
= 13；
− = （ − 3）²-
2
−3
必须写出“当……时”，表示这个代
数式的值是在这种情况下求得的.
（2）当a=-3，b=2时，
2
的值：
=
29
；
3
概念归纳
求代数式的值的一般步骤：
（1）代入：用给定的数代替代数式中相应的
随堂练
1.当x=1时,代数式4 - 3x的值是 ( A )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:当x=1时,4 - 3x=4 - 3×1=1.故选A.
1
2
2.若 + +(2y+1)2=0,则x2+y3的值为 ( C )
1
8
A.1 B. - 1 C.
D.2
解析:由题意知x= -
1
,y=
2
-
1 2 3
,x +y =
x²+2xy+y²=
1 2
2
1
2
+ 2 × × −4 + −4
2
=
1
12
4
课本练习
3.一辆汽车从甲地出发，行驶3.5 km后，又以vkm/h的速度行驶了t h，这
辆汽车行驶的全部路程s是多少千米？如果v=56，t=0.5，求s的值.
解：s=3.5+vt.
当 v=56，t=0.5 时，
s=3.5+56×0.5=31.5.
(2)x=1,
七年级数学代数式求值人教四年制版知识精讲
七年级数学代数式求值人教四年制【本讲教育信息】一. 教学内容：代数式求值二. 重点、难点：代数式求值是中学代数中的非常重要的部分，在因式分解与分式中都有相当部分的问题与此有关。
代数式求值的方法主要有直接代入法，整体代入法等。
【典型例题】[例1] 已知1817=a ，181=b ，91=c ，求代数式ac ab a +-23的值。
分析：由题设知：1=+b a ，98=-b a ，1=+-c b a ，利用这些关系，对原式进行化简。
解：ac b a b a a ac ab a +-+=+-))((23∵1=+b a ∴原式ac b a a +-=)(原式)(c b a a +-=∵1=+-c b a ∴原式a =∴原式1817= [例2] 已知19951996+=x a ，19961996+=x b ，19971996+=x c ，求222c b a ++ ca bc ab ---的值。
分析：由题设条件是求不出a 、b 、c 的值，观察所求的代数式，联想到公式，问题立即可以解决。
解：∵19951996+=x a ①19961996+=x b ②19971996+=x c ③∴①—②得：1-=-b a ②—③得：1-=-c b ①—③得：2-=-c a ∴])()()[(21222222c a c b b a ca bc ab c b a -+-+-=---++ 3])2()1()1[(21222=-+-+-=[例3] 设0=++c b a ，0333=++c b a ，求191919c b a ++的值。
分析：由题设求出a 、b 、c 的值相当困难，考虑用乘法公式将题设条件变形，试求a 、b 、c 的关系。
解：∵))((322233ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++而0=++c b a ，0333=++c b a ∴0=abc即a 、b 、c 中至少有一个为0 不妨设0=c ，则b a -=∴000)(1919191919191919=++-=++-=++b b b b c b a[例4] 已知2+-y x 与2)1(-+y x 互为相反数，求y x +值。
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代数式求值
【知识要点】
1•代数式的值的意义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号计算出的结果就是代数式的值。
2•求代数式的值的一般步骤：
(1)代入。
将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原。
(2)计算。
按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先
乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行。
(3)先化简，后代入求值。
化简时，先去小括号(要注意符号的改变)，然后再合并同类项(所含字母相同，并且所含字母的指数也相同)。
3.求代数式值的方法：(1)直接带入求值，(2)整体带入求值，(3)先化简再求值，(4)消元、降次、设参数、代数变形等数学方法
【典型例题】
例1已知x是最大的负整数，y是绝对值最小的有理数，求代数式2x3 5x2y-3xy2 -15y3的值。
例2•已知x 二-^4 3 1
，求代数式x1999- x1998 - x199? • x 1 的值
I 2 6丿
例3已知=5，求代数式2 2a"的值
a +
b a +b 2a —b
例4当x = 7时，代数式ax3- bx -5的值为7;当x = -7时，代数式ax3 bx 5的值为多少?
例5.已知a =3b，c ，求a -bY的值
2 a+b+c
例6.若多项式2mx2 _x2• 5x • 8 _ 7x2 _3y - 5x 的值与x 无关，求m2 - 9m2 - 5m - 4 - m 的值.
例7、已知3严严与|x2是同类项’求沁+沁冷航的值
例8、已知：x2 -x 一仁0，贝U -x32x22002的值为多少
例9、设(2x —1 f =a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a i x+a0，求：(1) a^a^a^a^a^a5; (2) a。
_a i • a? _a3 • a4 - ; (3)
a。
a：
【巩固练习】
1 .已知a -b =3, b -c =2;求代数式 a -c 23a • 1 -3c 的值
2.已知2x2 3y 7的值是8,则4x2，6y的值为（）
3、已知心by号，求代数式出|的值。
4. 若彳｛話，且"HO , 求2—的值。
5、8ab -、4a —3 6ab 5 ab a — b —7a 丨-2 其中a = 1,b = 1。
课堂表现：_ 作业完成情况: 教师寄语：
成 功 就 是 每 天 进 步
占 八、、 !
【家庭作业】
1、如果-x a y a+1与3x 5y b -1的和仍是一个单项式，求2a- b 的值.
2、已知 a = _2,b=0.25，求代数式 9ab _3a 2b 2 5 8ab 2 3a 2b 2_7_7ab 的值。
4、已知A= mxz+ 2x- 1 ， B= 3x2- nx+ 3,且多项式A- B 的值与m n 的取值无关，试确定 m n 的值.
1 2 2 2 2
5、 a b —5ac —(3a c —a b) (3ac —4a c)，其中 a = —1,b = 2,c = -2. 2
7、已知 A=3x 2n -8x n +ax n+1-bx n-1，B=2x n+1-ax n -3x 2n +2bx n-1，A-B 中 x n+1 项的系数为 3, x n-1 项的系数 为-12，求 3A-
2B 。
家庭作业（家长签字）： _________________________________________________________________________________ 家长寄语: 占
八3、已知3x a1y
b ，与2x 2是同类项, 5 1 求 2a 2b •3a 2b- — a 2b 的值。
2
6、 2 (x 2)
| 已知： =0,求 2(xy 2 +x 2y) -[2 xy 2 -3(1 -x 2y)] -2 的值。