活页作业1

活页作业(一) 回归分析的基本思想及其初步应用
1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上
解析：结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B.
答案：B
2．在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和( ) A ．越大 B ．越小 C ．可能大也可能小
D ．以上均错
解析：∵R 2
＝1－
∑i ＝1
n
(y i －y ^
i )2
∑i ＝1
n
(y i －y －
)2
，∴当R 2越大时，∑i ＝1
n
(y i －y ^
i )2越小，即残差平方和越小．
答案：B
3．某工厂车间加工零件的个数x 与所花费的时间y (单位：h)之间的线性回归方程为y ＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要时间为( )
A ．0.5 h
B ．3.5 h
C ．5.5 h
D ．6.5 h
解析：把x ＝600代入y ＝0.01x ＋0.5得y ＝6.5，故选D. 答案：D
4．已知两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：
经计算得回归方程y ＝b x ＋a 的系数b ＝0.575，则a ＝( ) A ．－14.9 B ．－13.9 C ．－12.9
D ．14.9
解析：x －＝15(100＋120＋…＋180)＝140，y －＝15(45＋54＋…＋92)＝65.6，∵b ^
＝0.575，
∴a ^＝y －－b x －
＝65.6－0.575×140＝－14.9.
答案：A
5．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^
＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^
＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)由于x －＝1
6(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
y －＝1
6(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又
b ＝－20，
所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^
＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.
当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
7．在判断两个变量y 与x 是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2分别为：其中模型1的相关指数R 2为0.98，模型2的相关指数R 2为0.80，模型3的相关指数R 2为0.50，模型4的相关指数R 2为0.25.则拟合效果最好的模型是( )
A ．模型1
B ．模型2
C ．模型3
D ．模型4
解析：相关指数R 2能够刻画用回归模型拟合数据的效果，相关指数R 2的值越接近于1，说明回归模型拟合数据的效果越好．
答案：A
8．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －
＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.y ^＝0.4x ＋2.3
B.y ^
＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
解析：利用正相关和样本点的中心在回归直线上对选项进行排除．因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.
答案：A
9．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －
)
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg
解析：由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确．又线性回归方程必过样本中心点(x －，y －
)，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时，其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．
答案：D
10．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(千箱)与单位成本(元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x －＝72，y －＝71，∑i ＝16x 2
i ＝79，∑i ＝1
6x i y i ＝1 481，b ^＝1 481－6×7
2×7179－6×
722
≈
－1.818 2，a ^
＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1千箱，单位成本平均下降________
元．
解析：由已知可得，y ^
＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本平均下降1.818 2元．
答案：1.818 2
11．假定小麦基本苗数x (千棵)与成熟期有效穗数y (千棵)之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
(1)以x (2)求y 与x 之间的线性回归方程．
(3)求
R 2，并说明基本苗数对有效穗数变化的贡献率． 解：(1)散点图如图所示：
(2)由散点图可以看出x 与y 之间具有线性相关关系，设线性回归方程为y ^＝b ^＝x ＋a ^
. 计算可得b ^≈0.291，a ^
≈34.664.
故所求线性回归方程为y ^
＝0.291x ＋34.664.
(3)R 2
＝1－
∑i ＝1
5
(y i －y ^
i )2
∑i ＝1
5
(y i －y －
)2
≈0.832.
所以基本苗数对有效穗数约贡献了83.2%.
12．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
(1)(2)求出回归方程； (3)作出残差图； (4)计算相关指数R 2；
(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
解：(1)作出该运动员训练次数(x )与成绩(y )之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)x －＝39.25，y －＝40.875，∑i ＝1
8x 2
i ＝12 656，∑i ＝1
8
x i y i ＝13 180，
∴b ^＝
∑i ＝1
8
x i y i －8x －y
－
∑i ＝1
8
x 2i －8x －
2
＝1.041 5，a ^＝y －－b ^x －
＝－0.003 875, ∴回归方程为y ^
＝1.0415x －0.003 875. (3)作残差图如图所示，
由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适． (4)计算得相关指数R 2＝0.985 5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
(5)由上述分析可知，我们可用回归方程y ^
＝1.041 5x －0.003 875作为该运动员成绩的预报值．
将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ≈49和y ≈57. 故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.。