江苏省姜淮高考复读学校高三数学寒假作业(4)
2022江苏姜淮高考复读学校高三数学寒假作业4
2022江苏姜淮高考复读学校高三数学寒假作业4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1．已知向量a =35，，b ⊥a ，且|b |=2，则向量b 的坐标是 .2. 已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最小值是 ．3. 在等比数列{a n }中，若a 3a 83a 13=243，则2910a a 的值为 .4. 若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范畴是 .5．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是 ．6.若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为2，则直线m 的倾斜角是 .7. 若关于x 的方程kx －ln x =0有解，则k 的取值范畴是 .8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22m n m n S n S m ≠==，，，则m n S += .9、过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 。
10. 设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都成立，则a 的取值范畴是 .11． 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 ．12. 设函数()22f x x x bx c =-++，则下列命题中正确命题的序号是 .①当0b <时，()f x 在R 上有最大值；②函数()f x 的图象关于点()0c ，对称； ③方程()f x =0可能有4个实根；④当0b >时，()f x 在R 上无最大值； ⑤一定存在实数a ，使()f x 在[)a +∞，上单调递减.13．设,m n Z ∈,函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若关于x 的方程012||=++m x 有唯独的实数解，则m n += . 14. 已知数列{}n a 满足： 1321ma =-(m ∈N ﹡)，13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩，则数列{}n a 的前4m+4项的和44m S += .二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题满分14分）如图，一个半径为10m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d （m ）（P 在水下，则d 为负数），则d 与时刻t （s ）之间满足关系式：()()ππsin 0022d A t b A ωϕωϕ=++>>-<<，，，且当点P 从水面上出现时开始运算时刻. 现有以下四个结论：①10A =；②=ω215π；③=ϕ6π；④b =5. （1）直截了当写出正确结论的序号；（2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论.16．（本小题满分14分） 已知△ABC 的面积为93，且()18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量. （1）求角C 的大小； （2）求△ABC 的三边长.17. （本题满分15分）设命题p ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+112对一切正实数均成立．假如命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范畴．18．（本小题满分15分）如图，圆O 的方程为222=+y x ，直线l 是椭圆1222=+y x 的左准线，A 、B 是该椭圆的左、右焦点，点P 为直线l 上的一个动点，直线AQ ⊥OP 交圆O 于点Q ．（Ⅰ）若点P 的纵坐标为4，求现在点Q 的坐标，并说明现在直线PQ 与圆O 的位置关系； （Ⅱ）求当∠APB 取得最大值时P 点的坐标．19（本小题满分16分）设n 为正整数，规定： fn n x f f f x f 个]})([{)(=，已知⎩⎨⎧--=1)1(2)(x x x f )21()10(≤<≤≤x x ．（1）解不等式：)(x f ≤x ； （2）设集合=A {0，1，2}，对任意A x ∈，证明：x x f =)(3；（3）探求)98(2005f ； （4）若集合=B {x x f x =)(|12，∈x [0，2]}，证明：B 中至少包含有8个元素．20．（本小题满分16分）如图, 把正三角形ABC 分成有限个全等的小正三角形, 且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等. 设点A 为第一行,…, BC 为第n 行, 记点A 上的数为11a ,…, 第i 行中第j 个数为)i j 1(a ij ≤≤ . 若41a ,21a ,1a 222111=== . (1)求333231 , ,a a a ;(2)试归纳出第n 行中第m 个数nm a 的表达式 (用含n , m 的式子表示, 不必证明) (3)记,21nn n n n a a a S +++= 证明: .31411121-≤+++≤nnS S S n2020届高三数学寒假作业四参考答案1.或( 2、1 3. 3 4. 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5. π 6. 13507. (1e ⎤-∞⎥⎦， 8. 2()m n -+ 9、32 10. ⎡⎢⎣⎦11. 2 12. ①③⑤13．1 14．112(21)21m m +--15、【解】（1）①②④. …………………………6分（2）由题意得，点P 在最高位置时，d =15m ， 点P 在最低位置时，d =－5m ，因此有155A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，， 解得A =10，b =5，故①和④差不多上正确的. ……………………… 10分由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈，故它的周期是T =15.因此2π2π1515ωω==，. 因而②也是正确的. ……………………… 12分 由题意得t =0时，d =0，因此110sin 50sin 2ϕϕ+==，. 因为ππ22ϕ-<<，因此π6ϕ=-. ……………………… 14分 16、【解】（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量，因此()cos cos tan tan sin20A B A B C +-=， …………………………2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. …………………………4分 因为0πC <<，因此sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = …………………………6分（2）()()218AC AB CB AC BC BA AC =⋅-=⋅-=，因此AC = ………………8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ⋅，即1πsin 23CB ⋅，解得CB = ……………………… 11分在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CB C =+-⋅=+-⨯=因此AB = ……………………… 14分 17、解：命题p 为真命题⇔函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R21016ax x a ⇔-+>对任意实数x 均成立……………………………………………2＇ ⇔ 0=a 时，0x ->解集为R ； 或者20,1104a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩…………………………………4＇ 2a ⇔>．命题p 为真命题⇔2a >． …………………………………………………………6＇命题q 为真命题⇔ax x <-+112对一切正实数均成立⇔1122)112(2112++=++=-+>x x x x x x a 对一切正实数x 均成立． ………9＇ 由于0x >112>1．因此，命题q 为真命题⇔ 1.a ≥ ………………………………………………………12＇依照题意知命题p 与q 为有且只有一个是真命题，当命题p 为真命题且命题q 为假命题时a 不存在；当命题p 为假命题且命题q 为真命题时a 的取值范畴是[1,2]．综上，命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题的实数a 的取值范畴是[1,2]．……15＇18．【解】（Ⅰ）由题意得A （－1，0），B （1,0），直线l 的方程为x ＝－2∴P （－2,4）------1分 ∴2204-=-=OPk ∵AQ ⊥OP ∴21=AQ k -------------------------------------------2分 ∴直线AQ 的方程为)1(21+=x y 即x －2y ＋1=0． -------------------------------------------3分⎩⎨⎧=+=+-201222y x y x 消去x 并整理得01452=--y y - ------------------------------------------4分解得 511＝－或y y = -------------------------------------------------------------------------------5分当1=y 时x ＝1，当51＝－y 时57＝－x ∴Q 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--51,57或（1，1）．-------------------------6分 当Q 为（1，1）时，直线PQ 的方程x ＋y －2=0． 圆心O 到直线的距离为211222=+，∴PQ 与圆O 相切．------------------------------------------------8分同理可得，当Q 为⎪⎭⎫ ⎝⎛--51,57时，PQ 也与圆O 相切．-----------------------------------------------------------9分（Ⅱ）不妨设P 点在x 轴上方，设P （－2，m ）（m ＞0）．-------------------------------------------------------10分 设准线l 与x 轴交于点Q ，记∠BPQ ＝α，∠APQ ＝β，∴tan ∠APB ＝tan （α－β）=mm m m m m 3213113tan tan 1tan tan +=⋅+-=+-βαβα--------------------------------------------12分 33322=⋅≤mm ，当且仅当m ＝3时取得等号．--------------------------------------------------------------14分 明显∠APB 为锐角，故∠APB 的最大值为300，现在P 点的坐标（－2，3±）．-------------------------------------------------------------------------------------15分 19．解：（1）①当0≤x ≤1时，由)1(2x -≤x 得，x ≥32．∴32≤x ≤1．②当1＜x ≤2时，因1-x ≤x 恒成立．∴1＜x ≤2． 由①，②得，)(x f ≤x 的解集为{x |32≤x ≤2}．（2）∵2)0(=f ，0)1(=f ，1)2(=f ，∴当0=x 时，0)1())2(()))0((()0(3====f f f f f f f ； 当1=x 时，1)2())0(()))1((()1(3====f f f f f f f ； 当2=x 时，2)0())1(()))2((()2(3====f f f f f f f ． 即对任意A x ∈，恒有x x f =)(3． （3）92)981(2)98(1=-=f ，914)92())98(()98(2===f f f f ，951914)914())98(()98(23=-===f f f f ，98)951(2)95())98(()98(34=-===f f f f ，一样地，)98()98(4r r k f f =+（∈r k ，N ）．∴92)98()98(12005==f f（4）由（1）知，32)32(=f ，∴32)32(=n f ．则32)32(12=f ．∴B ∈32． 由（2）知，对0=x ，或1，或2，恒有x x f =)(3，∴x x f x f ==⨯)()(3412． 则0，1，2B ∈．由（3）知，对98=x ，92，914，95 ，恒有x x f x f ==⨯)()(3412，∴98，92，914，95B ∈．综上所述，32，0，1，2，98，92，914，95B ∈．∴B 中至少含有8个元素．20.解: (1) ∵11322122,a a a a =∴321.8a =∵,a a a a 32213122=∴.41a 31=…………(2分)∵,a a a a 32223321=∴.161a 33=∴,41a 31=,81a 32=.161a 33=…………(4分)(2)由,1a 11=,21a 21=.41a 31=可归纳出1n 312111a ,,a ,a ,a 是公比为21的等比数列, ……(5分)故.21a1n 1n -=…………(6分) 由,21a 21=;41a 22=,41a 31=,81a 32=.161a 33= 可归纳出nn 3n 2n 1n a ,,a ,a ,a 是公比为21的等比数列,…………(8分) 故,2121a1m 1n nm--⋅=即.21a 2m n nm -+=…………(10分)(3)由(2)知],)21(1[)21(211])21(1[)21(S n 2n n 1n n -=--=-- ∵,1)21(1n ≤-∴,)21(1)21(n n -≤ ∴.21)21()21(])21(1[)21(2n 2n 2n n 2n ---=⋅≥-又,1])21(1)21[(])21(1[)21(4])21(1[)21(2n n n n n 2n =-+≤-=--∴.2S 112n 2n -≤≤…………(13分) ∴.314S 1S 1S 1n nn 21-≤+++≤ …………(16分)。
江苏省姜淮高考复读学校高三数学寒假作业(6)
2012届高三数学寒假作业六一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．2)2(lg 50lg 2lg 25lg ++= ．2．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3A =，集合{}3,5B =，则()U AC B = ．3．已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是 ． 4．已知函数()()sin cos 2f x f x x π'=+，则()4f π= ．5．复数z 满足(12)5i z +=，则z ＝ ．6．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 ． 7．已知函数23()log log 2f x a x b x =-+，若1()42009f =，则(2009)f 的值为 ．8．已知命题 “在等差数列{}n a 中，若()210424a a a ++=，则11S 为定值”为真，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为 ．9．若存在实数[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，则实数x 的取值范围为 ．10．已知存在实数a 满足 2ab a ab >> ，则实数b 的取值范围为 ．11．在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于 ．12．设{}n a 是正项数列，其前n 项和n S 满足：4(1)(3)n n n S a a =-+,则n a = ． 13．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）．函数4sin ,()2log (1),0x x g x x x π⎧≤⎪=⎨⎪+>⎩，关于原点的中心对称点的组数为 ．14．下列说法：①当101ln 2ln x x x x>≠+≥且时，有；②函数x y a =的图象可以由函数2x y a =（其中01a a >≠且）平移得到；③ABC ∆中，A B >是sin A sin B >成立的充要条件；④已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称.其中正确的命题的序号 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省淮安市范集中学高三数学寒假作业4
淮安市范集中学高三年级数学寒假作业班级 姓名 编号 04 得分 家长签字一．填空1. 若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为__________。
2．若函数y ax =是增函数，则函数a y x=在(0，+∞)上是单调递__ __函数．（填“增”或“减．”） 3. （2009·淮安市联考）已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是___________。
4．函数322+--=x x y 的单调递减区间是__________.5. 函数),2[54)(2+∞-+-=在区间mx x x f 上是增函数，在区间]2,(--∞上是减函数，则)1(f = ．6．(2009·广州市期末)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2xf x =，则(2)f -= ．7．（2008· 通州市调研）设f(x)是奇函数，且当x>0时， f(x)=1x,则当x<0时，f(x)= ． 8. （2010·兴化市调研）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a = ．9. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是10.（200 9·东莞市第一次摸底）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是______．二．解答11.已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个实根，且2αβ<<，求m 取值范围； （Ⅱ）若220x ax ++=的两根都小于－1，求a 的取值范围。
12.已知二次函数2()163f x x x q =-++。
(1) 若函数在区间[]1,1-上存在零点,求实数q 的取值范围；(2) 问:是否存在常数(0)t t ≥,当[],10x t ∈时, ()f x 的值域为区间D ,且D 的长度为12t -。
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冬是清寒的。站在有风的地方，悄然回首，看见来时的路。一路有花的娇艳，有草的青葱，有树的挺拔，有鸟的鸣叫。抬起头，天空蓝的清澈。风起时，有笑颜。
冬，是寂寞的。万物都归于沉静中，孕育着来年的昌盛。隐忍才是最有力的，也因此，寂寞的冬天给人以太多的幻想与渴望。会去渴望温暖的一炉壁火，也会想要一个温暖的怀抱。围炉煮雪，相拥着取暖。
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201X苏教版高三数学寒假作业答案
寒假作业特指寒假内教师给学生布置的作业，由于时间较长，因此通常量较大。小学由四门到五门组成中学由七门到八门组成。下面是由YJBSY小编整理的苏教版高三数学寒假作业答案，有题有答案，欢迎大家阅读。
习惯了把心情种在寂寞里过冬，深耕一陇陌上的花开。等待着，下一季的盛景。不会忘记冬的情怀，圣诞节的钟声会敲响，冬有自己的辉煌。静静的写下一首小诗，待到花开时，扦插在那枝头，为冬吟。
江苏省兴泰高补中心高三数学寒假作业四苏教版
寒假作业（四）一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分。
1、已知i 为虚数单位，复数2i1iz +=-，则 | z | ＝2、若实数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为3、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是4、如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等， 5、设,αβ为互不重合的平面，,m n①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则； ②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则. 其中所有正确命题的序号是6、已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 7、设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是 8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z 的最小值为9、已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为10、已知数列{}n b 满足11=b ，x b =2（*N x ∈），*11||(2,)n n n b b b n n N +-=-≥∈.若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为 11、在△ABC 中，π6A ∠=，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合）， 且22||||AB AD BD DC =+⋅，则B ∠等于12、已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 13、设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……； 以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；……当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2； 当n ＝2时，| A 2B 2 |当n ＝3时，| A 3B 3 |；当n ＝4时，| A 4B 4 |；……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝14、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为二、解答题：本大题共六小题，共计90分。
高三数学寒假作业4
卜人入州八九几市潮王学校沭阳县潼阳2021届高三数学寒假作业4参考公式：锥体体积公式V ＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．1、集合A ={2，1，0，1，2}，集合B ={x |x 2<1}，那么A B =．2、 复数32i iz -=+〔i 为虚数单位〕，那么||z 的值是． 3、 一组数12,,,n x x x 的方差是4，那么1221,22,,21n x x x ---的HY 差是．4、用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组。
假设第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，那么第20组抽取的号码为．5、 在等差数列{}n a 中，a 1=2，a 4=5，那么242n a a a +++=． 6、 曲线ln x y x=在e x =处的切线方程为． 7、 “a =2〞是“直线210ax y ++=和直线3(1)10x a y ++-=平行〞的条件．8、设函数x x f 2log )(=，在区间〔0,5〕上随机取一个数x ，那么2)(<x f 得概率为． 9、 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为1的扇形，那么其体积为．10、α为锐角，π3tan()44α-=-，那么cos2α=． 11、在平面直角坐标系xOy 中，设直线220x y +-=与圆2264110x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，那么线段AB 的长为．12、函数π()sin()(0)6f x x ωω=->的图象与x 正半轴交点的横坐标由小到大构成一个公差为π2的等差数列，将该函数的图像向左平移(0)m m >个单位后，所得图像关于原点对称，那么m 的最小值为．13、已设实数,b c 满足221b c +=，且()sin cos f x ax b x c x =++的图像上存在两条切线垂直，那么a b c ++的取值范围是．14、设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，首项11a >，2014201510a a ->,20142015101a a -<-，那么使1n T >成立的最大自然数n =． 二、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．15．〔本小题总分值是14分〕如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB BC =，BD AC ⊥，E 为PC 的中点．〔1〕求证：AC PB ⊥； 〔2〕求证：PA ∥平面BDE ．16．〔本小题总分值是14分〕函数π()sin 2cos(2),6f x x x x =+-∈R ． 〔1〕求()f x 的最小正周期； 〔2〕在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为,,a b c，假设1,a b ==B为锐角，且()f B ，求边c 的长． PE DC BA。
江苏省姜堰市姜淮高考复读学校2013届高三上学期期中考试数学试题
江苏省姜堰市姜淮高考复读学校2013届期中考试高三数学试题参考公式：棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1． 已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2,m }，若A ⊆B ，则实数m ＝ ▲ ．2． 若(1－2i)i ＝a ＋b i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则ab ＝ ▲ ．3． 某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号 的产品有16件，那么此样本的容量n ＝ ▲ ． 4． 在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个 红球的概率是 ▲ ．5． 已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ▲ ． 6． 已知π2cos()23α-=，则cos α＝ ▲ ． 7． 已知一个正六棱锥的高为10cm ，底面边长为6cm ，则这个正六棱锥的体积为 ▲ cm 3．8． 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝18，S 3＝26，则{a n }的公比q ＝ ▲ ． 9． 已知实数x ，y 满足2,2,03,x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤≤则2z x y =-的最大值是 ▲ ．10．在曲线331y x x =-+的所有切线中，斜率最小的切线的方程为 ▲ ． 11．已知直线y ＝a 与函数()2x f x =及函数()32x g x =⋅的图象分别相交于A ,B 两点，则A ,B 两点之间的距离为 ▲ ．12．已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,＋∞)，则1a ＋9c 的最小值是 ▲ ．13．如图，A ，B 是半径为1的圆O 上两点，且∠AOB ＝π3．若点C 是圆O 上任意一点，则→OA ▪→BC 的取值范围为 ▲ ． 14．已知a ，b ，c 是正实数，且abc ＋a ＋c ＝b ，设C(第13题图)222223111p a b c =-++++，则p 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知cos cos cos cos a C b C c B c A -=-， 且C ＝120°． （1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：（1）PB ∥平面AEC ；（2）平面PCD ⊥平面P AD ．17．（本小题满分14分）在一个矩形体育馆的一角MAN 内（如图所示），用长为a 的围栏设置一个运动器材储 存区域，已知B 是墙角线AM 上的一点，C 是墙角线AN 上的一点． （1）若BC ＝a ＝10，求储存区域三角形ABC 面积的最大值； （2）若AB ＝AC ＝10，在折线MBCN 内选一点D ， 使DB ＋DC ＝a ＝20，求储存区域四边形DBAC面积的最大值．18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，且圆C ：22360x y y +--=过A ，F 2两点． （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线PF 2的倾斜角为α，直线PF 1的倾斜角为β，当β－α＝2π3时，证明：点PA BC D E(第16题图)B (第17题图)P 在一定圆上．19．（本小题满分16分）已知函数22()ln ()a f x x a x a x=+-∈R ．（1）讨论函数()y f x =的单调区间；（2）设2()24ln2g x x bx =-+-，当a ＝1时，若对任意的x 1，x 2∈[1,e]（e 是自然对数的底数），12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分16分）设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ，其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数， 数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，对于任意的正整数n ，a n ＋S n ＝()k f n ． （1）若k ＝0，求证：数列{a n }是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{a n }能成等差数列．附加题21．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1,2(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度。
2021年高三数学寒假作业4含答案
2021年高三数学寒假作业4含答案一、选择题.1.（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y ﹣1=02.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是( )3.已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( )A.k≥或k≤－4B.－4≤k≤C. ≤k≤4D.－≤k≤44.点到直线的距离为（）A. 1B.C.D.25.直线l1：x+4y-2=0与直线l2：2x-y+5=0的交点坐标为（）A、（－6，2）B、（－2，1）C、（2，0）D、（2，9）6.两条平行线l1：3x-4y-1=0与l2：6x-8y-7=0间的距离为（）A、B、C、D、17.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5D．(x－1)2＋(y＋2)2＝58.点的内部，则的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)9.已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（）A. B.C. D.10.圆与圆的公共弦长为( )A. B. C. D.二．填空题.11.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的表面积为12π，则该正方体的体积为．12.已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________.13.过点A(－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．14.（5分）无论实数a，b（ab≠0）取何值，直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点．三、解答题.15.（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）求证：直线AB1∥平面BC1D．16.已知两直线；求分别满足下列条件的的值：（1）直线过点，并且与垂直；（2）直线与平行，并且坐标原点到与的距离相等．17.已知圆：，点，直线.(1)求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上的任一点，都有为一常数，试求出所有满足条件的点的坐标.【】新课标xx年高三数学寒假作业4参考答案1.A考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程．专题：计算题．分析：因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值解答：解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．点评：本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．2.D3.A4.C5.B6.A7.B设所求圆的圆心坐标为(a，b)，由题意，知所求圆的半径与已知圆的半径相等，所求圆的圆心(a，b)与已知圆圆心(1，－2)关于原点(0,0)对称，∴所求圆的圆心坐标为 (－1,2)，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.8.. A9.B10.C11.8考点：球内接多面体．专题：球．分析：由题意求出正方体的对角线的长，就是球的直径，求出正方体的棱长，然后正方体的体积．解答：解：一个正方体的各个顶点都在一个表面积为12π的球面上，所以4πr2=12所以球的半径：，正方体的棱长为a：a=2，a=2，所以正方体的体积为：8．故答案为：8点评：本题是基础题，考查正方体的外接球的表面积，求出正方体的体积，考查计算能力．12.13.3x－y＋10＝0设原点为O，则所求直线过点A(－3,1)且与OA垂直，又k OA＝－，∴所求直线的斜率为3，故其方程为y－1＝3(x＋3)．即3x－y＋10＝0.14.（﹣2，3）考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：把已知直线变形为，然后求解两直线x+2=0和y﹣3=0的交点得答案．解答：解：由ax+by+2a﹣3b=0，得a（x+2）+b（y﹣3）=0，即，联立，解得．∴直线ax+by+2a﹣3b=0恒过定点（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．点评：本题考查了直线系方程，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．15.考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1﹣BCD的体积；（Ⅱ）先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1．即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD∥AB1，即可证：直线AB1∥平面BC1D．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵△ABC为正三角形，D为AC中点，∴BD⊥AC，由AB=6可知，，∴．又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，∴．…（4分）（Ⅱ）∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD．又BD⊥AC，∴BD⊥平面ACC1A1．又BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1．…（8分）（Ⅲ）连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，又OD⊂平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D．…（12分）点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．16.（1）利用直线l1过点（-3，-1），直线l1与l2垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值a=2，b=2．（6分）（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．a=2，b=-2或a=，b=2（12分）17.（1）设所求直线方程为，即.由直线与圆相切，可知，得，故所求直线方程为 …………………………5分（2）方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，，当为圆与轴右交点时，依题意，，解得（舍去），或. ……………………8分下面证明：点对于圆上任一点，都有为一常数.设，则.()222222222291881189(517)9552525102592(517)255x y x x x x PB x x x x x y PA ⎛⎫+++++-+ ⎪⎝⎭====+++-+++， 从而为常数. …………………………14分 方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，于是，将代入得，22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即对恒成立，所以 ，解得或（舍去），故存在点对于圆上任一点，都有为一常数. ………………14分。
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2012届高三数学寒假作业四一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1．已知向量a=，b ⊥a ，且|b |=2，则向量b 的坐标是 .2. 已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最小值是 ．3. 在等比数列{a n }中，若a 3a 83a 13=243，则2910a a 的值为 .4. 若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范围是 . 5．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是 ．6.若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为2，则直线m 的倾斜角是 .7. 若关于x 的方程kx －ln x =0有解，则k 的取值范围是 .8. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22m n m n S n S m ≠==，，，则m n S += . 9、过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 。
10. 设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都成立，则a 的取值范围是 . 11． 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为 ． 12. 设函数()22f x x x bx c =-++，则下列命题中正确命题的序号是 .①当0b <时，()f x 在R 上有最大值；②函数()f x 的图象关于点()0c ，对称； ③方程()f x =0可能有4个实根；④当0b >时，()f x 在R 上无最大值； ⑤一定存在实数a ，使()f x 在[)a +∞，上单调递减.13．设,m n Z ∈,函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若关于x 的方程012||=++m x 有唯一的实数解，则m n += .14. 已知数列{}n a 满足： 1321ma =-(m∈N﹡)，13,3,2, 3.n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩，则数列{}n a 的前4m+4项的和44m S += .二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （本题满分14分）如图，一个半径为10m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d （m ）（P 在水下，则d 为负数），则d 与时间t （s ）之间满足关系式：()()ππsin 0022d A t b A ωϕωϕ=++>>-<<，，，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间. 现有以下四个结论：①10A =；②=ω215π；③=ϕ6π；④b =5.（1）直接写出正确结论的序号；（2）对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论.16．（本小题满分14分） 已知△ABC 的面积为，且()18AC AB CB ⋅-=，向量(t a n t a ns i n 2A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量. （1）求角C 的大小； （2）求△ABC的三边长.17. （本题满分15分）设命题p ：函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R ；命题q ：不等式ax x +<+112对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分15分）如图，圆O 的方程为222=+y x ，直线l 是椭圆1222=+y x 的左准线，A 、B 是该椭圆的左、右焦点，点P 为直线l 上的一个动点，直线AQ ⊥OP 交圆O 于点Q ．（Ⅰ）若点P 的纵坐标为4，求此时点Q 的坐标，并说明此时直线PQ 与圆O 的位置关系；（Ⅱ）求当∠APB 取得最大值时P 点的坐标．19（本小题满分16分）设n为正整数，规定：fn n x f f f x f 个]})([{)(=，已知⎩⎨⎧--=1)1(2)(x x x f ，，)21()10(≤<≤≤x x ． （1）解不等式：)(x f ≤x ； （2）设集合=A {0，1，2}，对任意A x ∈，证明：x x f =)(3；（3）探求)98(2005f ； （4）若集合=B {x x f x =)(|12，∈x [0，2]}，证明：B 中至少包含有8个元素．20．（本小题满分16分）如图, 把正三角形ABC 分成有限个全等的小正三角形, 且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等. 设点A 为第一行,…, BC 为第n 行, 记点A 上的数为11a ,…, 第i 行中第j 个数为)i j 1(a ij ≤≤ . 若41a ,21a ,1a 222111=== .(1)求333231 , ,a a a ;(2)试归纳出第n 行中第m 个数nm a 的表达式 (用含n , m 的式子表示, 不必证明)(3)记,21nn n n n a a a S +++= 证明: .31411121-≤+++≤nnS S S n2012届高三数学寒假作业四参考答案1. 或(2、1 3. 3 4. 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 5. π 6. 13507.(1e ⎤-∞⎥⎦， 8. 2()m n -+ 9、32 10. ⎡⎢⎣⎦11. 2 12. ①③⑤13．1 14．112(21)21m m +-- 15、【解】（1）①②④. …………………………6分 （2）由题意得，点P 在最高位置时，d =15m ， 点P 在最低位置时，d =－5m ，于是有155A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，，解得A =10，b =5，故①和④都是正确的. ……………………… 10分由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈，故它的周期是T =15. 所以2π2π1515ωω==，. 因而②也是正确的. (12)分由题意得t =0时，d =0，所以110sin 50sin 2ϕϕ+==，. 因为ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=-. ……………………… 14分 16、【解】（1）因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量， 所以()cos cos tan tan sin20A B A B C +-=， …………………………2分即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. …………………………4分因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = …………………………6分（2）()()218AC AB CB AC BC BAAC =⋅-=⋅-=，于是AC =………………8分因为△ABC 的面积为1sin 2CACB C ⋅，即1πsin 23CB ⋅，解得CB = (11)分在△ABC 中，由余弦定理得((2222212cos 254.2AB CA CB CA CBC =+-⋅=+-⨯=所以AB = ……………………… 14分17、解：命题p 为真命题⇔函数)161lg()(2a x ax x f +-=的定义域为R21016ax x a ⇔-+>对任意实数x 均成立……………………………………………2＇ ⇔ 0=a 时，0x ->解集为R ； 或者20,1104a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩…………………………………4＇ 2a ⇔>．命题p 为真命题⇔2a >． …………………………………………………………6＇命题q 为真命题⇔ax x <-+112对一切正实数均成立⇔1122)112(2112++=++=-+>x x x xx x a 对一切正实数x 均成立． ………9＇ 由于0x >1>12>1<．所以，命题q 为真命题⇔ 1.a ≥ ………………………………………………………12＇根据题意知命题p 与q 为有且只有一个是真命题，当命题p 为真命题且命题q 为假命题时a 不存在；当命题p 为假命题且命题q 为真命题时a 的取值范围是[1,2]．综上，命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题的实数a 的取值范围是[1,2]．……15＇ 18．【解】（Ⅰ）由题意得A （－1，0），B （1,0），直线l 的方程为x ＝－2∴P （－2,4）------1分 ∴2204-=-=OP k ∵AQ ⊥OP ∴21=AQ k-------------------------------------------2分 ∴直线AQ 的方程为)1(21+=x y 即x －2y ＋1=0． -------------------------------------------3分⎩⎨⎧=+=+-201222y x y x 消去x 并整理得1452=--y y -------------------------------------------4分 解得511＝－或y y =-------------------------------------------------------------------------------5分当1=y 时x ＝1，当51＝－y 时57＝－x ∴Q 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--51,57或（1，1）．-------------------------6分当Q 为（1，1）时，直线PQ 的方程x ＋y －2=0． 圆心O 到直线的距离为211222=+，∴PQ 与圆O 相切．------------------------------------------------8分 同理可得，当Q 为⎪⎭⎫ ⎝⎛--51,57时，PQ 也与圆O 相切．-----------------------------------------------------------9分（Ⅱ）不妨设P 点在x 轴上方，设P （－2，m ）（m ＞0）．-------------------------------------------------------10分 设准线l 与x 轴交于点Q ，记∠BPQ ＝α，∠APQ ＝β， ∴tan ∠APB ＝tan （α－β）=mm m m m m 3213113tan tan 1tan tan +=⋅+-=+-βαβα--------------------------------------------12分 33322=⋅≤mm ，当且仅当m ＝3时取得等号．--------------------------------------------------------------14分显然∠APB 为锐角，故∠APB 的最大值为300， 此时P 点的坐标（－2，3±）．-------------------------------------------------------------------------------------15分19．解：（1）①当0≤x ≤1时，由)1(2x -≤x 得，x ≥32．∴32≤x ≤1．②当1＜x ≤2时，因1-x ≤x 恒成立．∴1＜x ≤2． 由①，②得，)(x f ≤x 的解集为{x |32≤x ≤2}．（2）∵2)0(=f ，0)1(=f ，1)2(=f ，∴当0=x 时，0)1())2(()))0((()0(3====f f f f f f f ；当1=x 时，1)2())0(()))1((()1(3====f f f f f f f ； 当2=x 时，2)0())1(()))2((()2(3====f f f f f f f ． 即对任意A x ∈，恒有x x f =)(3．（3）92)981(2)98(1=-=f ，914)92())98(()98(2===f f f f ，951914)914())98(()98(23=-===f f f f ， 98)951(2)95())98(()98(34=-===f f f f ，一般地，)98()98(4r r k f f =+（∈r k ，N ）．∴92)98()98(12005==f f （4）由（1）知，32)32(=f ，∴32)32(=n f ．则32)32(12=f ．∴B ∈32．由（2）知，对0=x ，或1，或2，恒有x x f =)(3，∴x x f x f ==⨯)()(3412． 则0，1，2B ∈．由（3）知，对98=x ，92，914，95 ，恒有x x f x f ==⨯)()(3412，∴98，92，914，95B ∈．综上所述，32，0，1，2，98，92，914，95B ∈．∴B 中至少含有8个元素．20.解: (1) ∵11322122,a a a a =∴321.8a =∵,a a a a 32213122=∴.41a 31=…………(2分)∵,a a a a 32223321=∴.161a 33=∴,41a 31=,81a 32=.161a 33=…………(4分)(2)由,1a 11=,21a 21=.41a 31=可归纳出1n 312111a ,,a ,a ,a 是公比为21的等比数列, ……(5分)故.21a 1n 1n -=…………(6分) 由,21a 21=;41a 22=,41a 31=,81a 32=.161a 33=可归纳出nn 3n 2n 1n a ,,a ,a ,a 是公比为21的等比数列,…………(8分)故,2121a 1m 1n nm --⋅=即.21a 2m n nm -+=…………(10分)(3)由(2)知],)21(1[)21(211])21(1[)21(S n 2n n 1n n -=--=-- ∵,1)21(1n ≤-∴,)21(1)21(n n -≤ ∴.21)21()21(])21(1[)21(2n 2n 2n n 2n ---=⋅≥-又,1])21(1)21[(])21(1[)21(4])21(1[)21(2n n n n n 2n =-+≤-=--∴.2S 112n 2n -≤≤…………(13分) ∴.314S 1S 1S 1n nn21-≤+++≤ …………(16分)。