2018年四川师大附中自主招生数学试卷
四川省成都市四川师大附中东校区2018-2019学年高一数学理上学期期末试卷含解析
四川省成都市四川师大附中东校区2018-2019学年高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果，,那么（）A、B、C、＝D、≠参考答案：C2. 已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝log n(n＋1)(n≥2，n∈N*)．定义：使乘积a1·a2·a3……a k为正整数的k(k∈N*)叫做“和谐数”，则在区间[1，2018]内所有的“和谐数”的和为A．2036 B．2048 C．4083 D．4096参考答案：A3. sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化成同角，再用和差公式即可求解．【解答】解：∵sin80°=sin（90°﹣10°）=cos10°，cos160°=cos=﹣cos20°，那么：sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=故选D4. 在△ABC中，若，则∠B等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：B5. 若，则等于（）（A）（B）-（C） (D) -参考答案：B略6. （5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A． 2 B．C．D．1参考答案：C考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．解答：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选C．点评：本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．7. 已知的值为（）A、－2B、 2C、 1D、参考答案：D8. 8．tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为( )A B．1 C. D.-参考答案：A9. 函数的定义域是（）A {x｜x＞0}B {x｜x≥1}C {x｜x≤1}D {x｜0＜x≤1}参考答案：D10. 已知函数, 则此函数的最小正周期为（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设参考答案：3+2略12. f(x)=log(3－2x－x2)的增区间为．参考答案：（﹣1，1）【考点】复合函数的单调性．【分析】由对数型复合函数的真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数的减区间得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2＞0，得x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1．当x∈（﹣1，1）时，内函数t=﹣x2﹣2x+3为减函数，而外函数y=为减函数，由复合函数的单调性可得，的增区间为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．13. 函数f（x）=的定义域是．参考答案：{x|x=2kπ，k∈z}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．14. 已知向量，，．若，则与的夹角为______．参考答案：70°【分析】由向量共线的运算得：=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0，180°]，即可得解．【详解】因为，．又，则不妨设=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），设与的夹角为θ，则cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0°，180°]，所以θ=70°，故答案为：70°【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题．15. 已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域是．参考答案：【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域是自变量的取值范围，同一法则f对括号的范围要求一致；先求出f（x）的定义域；再求出f（2x﹣1）的定义域．【解答】解：∵y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4，∴f（x）的定义域是[﹣1，4]，令﹣1≤2x﹣1≤4，解得0≤x≤，故答案为：．16. 已知数列的前n项和为，则这个数列的通项公式为_______参考答案：略17. 已知的图像关于直线对称，则实数的值为____________.参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
成都四川师范大学附属中学数学全等三角形综合测试卷(word含答案)
成都四川师范大学附属中学数学全等三角形综合测试卷（word含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．-【答案】10310【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP-；最小，最小值为10310③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-（cm）．综上所述，PA的最小值为10310-．故答案为：10310点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．3．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AM NP MP AP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=12AD，∴BC=BD+CD=AD+12AD=32AD，S△DAC=12AC•CD=14AC•AD，∴S △ABC=12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．6．如图，已知，点E是线段AB的中点，点C在线段BD上，8BD=，2DC=，线段AC交线段DE于点F，若AF BD=，则AC=__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDE AGE∆≅∆，而后证明AFG∆、CDF∆是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.【详解】解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，∵点E是线段AB的中点，∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中，BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.7．如图，已知AB AC=，AD平分BAC∠，60DEB EBC∠=∠=︒，若3BE=，3DE =，则BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形，∵3BE =，3DE =33DM =-∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴13322NM DM ==， ∴33333BN BM NM -+=-=-= ∴233BC BN ==+【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.8．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．9．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，点P、点D在射线OB上，且OD＝2，则CP+PM+DM的最小值是_____．【答案】34．【解析】【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT＝2，∴D′T＝42，∴C′D′＝34，∴CP+PM+DM的最小值是34．故答案为：34．【点睛】本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难） 11．已知点M(2,2)，且OM=22，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．(22,0)B ．(0,4)C ．(4,0)D ．(0,82) 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且OM=22,且点P 在坐标轴上当22OM OP == 时P 点坐标为：()()22,0,0,22±± ，A 满足；当22MO MP ==时：P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．12．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD ≌△ACD ；②2DE=2DF=AD ；③△ADE ≌△ADF ；④4BE=4CF=AB ．正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 由等边三角形的性质可得BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，利用SAS 可证明△ABD ≌△ACD ，从而可判断①正确；利用ASA 可证明△ADE ≌△ADF ，从而可判断③正确；在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD ，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD ，继而可得4BE=4CF=AB ，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高， ∴BD=DC ，AB=AC ，∠B=∠C=60°，在△ABD 与△ACD 中90AD AD ADB ADC DB DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD ，故①正确；在△ADE 与△ADF 中60EAD FAD AD ADEDA FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ADE ≌△ADF ，故③正确；∵在Rt △ADE 与Rt △ADF 中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD ，故②正确；同理2BE=2CF=BD ，∵AB=2BD ，∴4BE=4CF=AB ，故④正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.13．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=（ ）A ．102aB ．92aC ．20aD ．18a 【答案】B【解析】 【分析】 根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论．【详解】解：1212B A B B =，11A B O α∠=，2212A B O α∴∠=， 同理332111222A B O αα∠=⨯=， 44312A B O α∠=， 112n n n A B O α-∴∠=， 101092A B O α∴∠=，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．14．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴∠ABQ ＝∠EBQ ，∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠BEQ ，∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，∴PQ ＝12DE ＝4． 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．15．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明②正确；③若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△DFC ，从而得到BE=FC ，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．①∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ED=DF ．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．∴②正确． ③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=90°．∴∠ABC=90°．∵∠ABC 是否等于90°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．综上所述，①②④正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．16．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（ ）A ．()20182(3),0-⨯ B ．()20180,2(3)-⨯ C ．()20192(3),0⨯ D ．()20190,2(3)-⨯ 【答案】D【解析】【分析】 计算出OB 、OB 1、 OB 2的长度，根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点B 2018的坐标．【详解】解：由题意可得，2242-3OB 1323322(3)⨯，OB 231= 323)⨯，…∵2018÷4=504…2，∴点B 2018在y 轴的负半轴上，∴点B 2018的坐标为()20190,2(3)-⨯．故答案为：D ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标规律及含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．17．如图，已知AD为ABC∆的高线，AD BC=，以AB为底边作等腰Rt ABE∆，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①DAE CBE∠=∠；②CE DE⊥；③BD AF=；④AED∆为等腰三角形；⑤BDE ACES S∆∆=，其中正确的有( )A．①③B．①②④C．①③④D．①②③⑤【答案】D【解析】【分析】①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE＝∠DAE，再得到△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC＝∠DEB，即可求得∠AED＝∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④根据△AEF≌△BED得到DE=EF, 又DE⊥CF，故可判断；⑤易证△FDC是等腰直角三角形，则CE＝EF，S△AEF＝S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE ＝S△ACE，所以S△BDE＝S△ACE．【详解】①∵AD为△ABC的高线，∴CBE＋∠ABE＋∠BAD＝90°，∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝45°，AE＝BE，∴∠CBE＋∠BAD＝45°，∴∠DAE＝∠CBE，故①正确；在△DAE和△CBE中，AE BEDAE CBEAD BC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE≌△BCE（SAS）；②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA＝∠ECB，∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠ECB＝90°，∴∠DEC＝90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE＝∠ADB＋∠ADE，∠AFE＝∠ADC＋∠ECD，∴∠BDE＝∠AFE，∵∠BED＋∠BEF＝∠AEF＋∠BEF＝90°，∴∠BED＝∠AEF，在△AEF和△BED中，BDE AFEBED AEFAE BE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD＝AF故③正确；∵△AEF≌△BED∴DE=EF, 又DE⊥CF，∴△DEF为等腰直角三角形，故④错误；④∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF＝S △ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF＝S△BED，∴S△BDE＝S△ACE．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．18．已知：如图，ABC∆、CDE∆都是等腰三角形，且CA CB=，CD CE=，ACB DCEα∠=∠=，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点.以下4个结论：①AD BE=；②180DOBα∠=-；③CMN∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.19．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32 【答案】A【解析】【分析】 连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM+MD 的最小值，再根据三角形的周长求出AD 的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴AD 的长为CM+MD 的最小值，∵△CDM 周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6 ∴S △ABC =12BC•AD=12×4×6=12， 故选A ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．20．如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AH BC ⊥，AE 平分BAC ∠，M 是 BC 中点，则下列结论正确的个数为（ ）（1）AB BE AC += （2）2AB BH BC += （3）2AB HM = （4）CH EH AC +=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】（1）延长AB取BD=BE，连接DE，由∠D=∠BED，2ABC C∠=∠，得到∠D=∠C，在△ADE和△ACE中，利用AAS证明ADE ACE≌，可得AC=AD=AB+BE；（2）在HC上截取HF=BH,连接AF，可知△ABF为等腰三角形，再根据2ABC AFB C∠=∠=∠，可得出△AFC为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC；（3）HM=BM-BH，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH，再结合（2）中结论，可得2AB HM=；（4）结合（1）（2）的结论，BC2BH BE BC BH BE BH CH EHAC AB BE=+=-+=-+-=+.【详解】解：①延长AB取BD=BE，连接DE，∴∠D=∠BED，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,∵2ABC C∠=∠，∴∠D=∠C，在△ADE和△ACE中，DAE CAED CAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE ACE≌∴AC=AD=AB+BE，故（1）正确；②在HC上截取HF=BH,连接AF，∵AH BC⊥，∴△ABF为等腰三角形，∴AB=AF，∠ABF=∠AFB，∵2ABC C∠=∠，∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF，∴FC=AF=AB，∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC，故（2）正确；③∵HM=BM-BH，∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH，由②可知BC-2BH=AB ，∴2AB HM =④根据①②结论，可得:BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+，故（4）正确；故选D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.。
四川师范大学附属中学数学代数式专题练习(解析版)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．民谚有云：“不到庐山辜负目，不食螃蟹辜负腹．”，又到了食蟹的好季节啦！某经销商去水产批发市场采购太湖蟹，他看中了A、B两家的某种品质相近的太湖蟹．零售价都为60元/千克，批发价各不相同．A家规定：批发数量不超过100千克，按零售价的92%优惠；批发数量超过100千克但不超过200千克，按零售价的90%优惠；超过200千克的按零售价的88%优惠．B家的规定如下表：________元；（2）如果他批发x千克太湖蟹（150＜x＜200），则他在A家批发需要________元，在B 家批发需要________元（用含x的代数式表示）；（3）现在他要批发170千克太湖蟹，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请说明理由．【答案】（1）4968；4890（2）54x；45x+1200（3）解：当x=170时，54x=54×170=9180，45x+1200=45×170+1200=8850，因为9180＞8850，所以他选择在B家批发更优惠【解析】【解答】解：（1）A：90×60×92%=4968（元），B：50×60×95%+40×60×85%=4890（元）。
（ 2 ）A：60×90%x=54x，B：50×60×95%+100×60×85%+（x-150）×60×75%=45x+1200.【分析】（1）根据A、B两家的优惠办法分别列式求出在两家批发需要的费用。
（2）根据题意列式分别表示出在A、B两家批发x千克太湖蟹（150＜x＜200）所需的费用。
（3）将x=170分别代入（2）种表示的在A、B两家批发所需费用的两个式子计算，然后再比较大小即可。
2．请观察图形，并探究和解决下列问题：（1）在第n个图形中，每一横行共有________个正方形，每一竖列共有________个正方形；（2）在铺设第n个图形时，共有________个正方形；（3）某工人需用黑白两种木板按图铺设地面，如果每块黑板成本为8元，每块白木板成本6元，铺设当n=5的图形时，共需花多少钱购买木板？【答案】（1）（n+3）；（n+2）（2）（n+2）（n+3）（3）解：当n=5时，有白木板5×（5+1）=30块，黑木板7×8-30=26块，共需花费26×8+30×6=388（元）．【解析】【解答】⑴第n个图形的木板的每行有（n+3）个，每列有n+2个，故答案为：（n+3）、（n+2）；⑵所用木板的总块数（n+2）（n+3），故答案为：（n+2）（n+3）；【分析】本题主要考查的是探索图形规律，并根据所找到的规律求值；根据所给图形找出正方形个数的规律是解决问题的关键.3．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．【答案】（1）解：十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍（2）解：设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，∴十字框中的五个数的和为（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x=5x（3）解：假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，根据题意得：5x=2016，解得：x=403.2．∵403.2不是整数，∴假设不成立，∴不能框住五个数，使它们的和等于2016．【解析】【分析】（1）算出十字框中的五个数的和，即可发现是16的5倍；（2）设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10 ，利用整式加法法则即可算出十字框中的五个数的和；（3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x ，根据（2）计算的结果及这五个数的和是2016,，列出方程，求解如解是整数即可，不是整数即不可。
2017-2018学年四川师大附中七年级(上)期末数学试卷(含解析)
2017-2018学年四川四大附中七年级（上）期末数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）A卷（共100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣|﹣2|的相反数是（）A．﹣B．﹣2 C．D．22．下列各组中的两项不是同类项的是（）A．﹣25mn和3mn B．﹣125和93C．x2y2和﹣3y2x2D．3．如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（）A．55°B．125°C．115°D．65°4．如果|a+2|与（b﹣1）2互为相反数，那么代数式（a+b）2017的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．20085．若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则以下说法正确的是（）A．a＞b B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|a|＞|b|6．多项式36x2﹣3x+5与3x3+12mx2﹣5x+7相加后，不含二次项，则常数m的值是（）A．2 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣87．下列说法中正确的个数为（）（1）过两点有且只有一条直线；（2）连接两点的线段叫两点间的距离；（3）两点之间所有连线中，线段最短；（4）射线比直线小一半．A．1个B．2个C．3个D．4个8．今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法：①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2000．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．若关于x的方程（k﹣2）x|k﹣1|+5k+1＝0是一元一次方程，则k＝（）A．2 B．0 C．2或0 D．不确定10．未来三年，国家将投入8500亿元用于缓解群众“看病难，看病贵”问题．将8500亿元用科学记数法表示为（）A．0.85×1011元B．8.5×1011元C．8.5×1012元D．85×1012元二、填空题（11-14每小题3分，15题6分，共18分）11．的系数与次数的积是．12．用一些大小相同的小正方体搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体的块数至少为．13．某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人是（填“赚或赔”）了元．14．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：|a﹣b|+|a+b|﹣2|c﹣a|＝．15．如图：（1）∵∠1＝∠2（已知）∴∥（2）∵c∥d（已知）∴∠2＝三、解答题（共52分）16．（5分）计算题（1）（2）17．（5分）小明在求一个多项式减去x2﹣3x+5时，误认为加上x2﹣3x+5，得到的答案是5x2﹣2x+4，则正确的答案是多少？18．（10分）解下列方程（1）（2）19．（5分）如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：①∠EOC的大小；②∠AOD的大小．20．（5分）（列方程解决实际问题）安阳市政府为引导低碳生活、倡导绿色出行，于2015年11月1日起陆续投放公共自行车供市民出行免费使用，小明同学通过查阅资料发现：在这项惠民工程中，目前共建设大、中、小型三种公共自行车存放站点160个，共可停放公共自行车3730辆，其中每个大型站点可存放自行车40辆，每个中型站点可存放自行车30辆，每个小型站点可存放自行车20辆．已知大型站点有11个，则中、小型站点各应有多少个？21．（10分）为了迎接2018年高中招生考试，某中学对全校九年级学生进行了一次数学摸底考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给出的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，被抽取的学生的总人数为多少？（2）请将表示成绩类别为“中”的条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角的度数是；（4）学校九年级共有400人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？22．（12分）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：（1）当AC＞BC时，点D在线段上；当AC＝BC时，点D与重合；当AC＜BC时，点D在线段上；（2）若AC＝18cm，BC＝10cm，若∠ACB＝90°，有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s，设运动时间是t（s），求当t为何值，三角形PCD的面积为10cm2？（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．B卷（50分）一、填空题（每题4分，共20分）23．已知：a﹣2b＝4，ab＝1，则（﹣a+3b+5ab）﹣（5b﹣2a+6ab）的值为．24．如图所示，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共有个角；画3条射线，图中共有个角；画n条射线，图中共有个角．25．在数轴上，B点对应的点是10，若A点到原点O的距离是A点与B的距离的4倍，则A点表示的数是．26．“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3＝2﹣3+4，7△2＝7﹣8，3△5＝3﹣4+5﹣6+7，…；按此规则，计算：（1）10△3＝（2）若x△7＝2003，则x＝．27．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于．二、解答题（共30分）28．（8分）如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1＝∠2，求证：FG∥BC．29．（10分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．30．（12分）将一副直角三角板如图1摆放在直线AD上（直角三角板OBC和直角三角板MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°），保持三角板OBC不动，将三角板MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转直至ON边第一次重合在直线AD上，整个过程时间记为t秒．（1）从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒；（2）如图2，旋转三角板MON，使得OM、ON在直线OC的异侧，请直接写出∠CON与∠AOM数量关系；如图3，继续旋转三角板MON，使得OM、ON同时在直线OC的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．（3）若在三角板MON旋转的同时，另一个三角板OBC也绕点O以每秒12°的速度顺时针旋转，当ON边第一次重合在直线AD上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示∠AOM与∠AOC；②在旋转的过程中，当t为何值时OM平分∠AOC．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：﹣|﹣2|的相反数是2，故选：D．2．【解答】解：根据同类项的意义可知，﹣25mn和3mn、﹣125和93、x2y2和﹣3y2x2都是同类项，7.2a2b和12a2c不是同类项，故选：D．3．【解答】解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，∴∠BOD等于125°．故选：B．4．【解答】解：∵|a+2|与（b﹣1）2互为相反数，∴|a+2|+（b﹣1）2＝0，∴，解得：a＝﹣2，b＝1，则代数式（a+b）2017＝（﹣2+1）2017＝（﹣1）2017＝﹣1，故选：B．5．【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＜|b|，A、a＜b，故错误；B、ab＜0，故错误；C、a+b＞0，正确；D、|a|＜|b|，故错误；故选：C．6．【解答】解：36x2﹣3x+5+3x3+12mx2﹣5x+7＝3x3+（36+12m）x2﹣8x+12，∵多项式36x2﹣3x+5与3x3+12mx2﹣5x+7相加后，不含二次项，∴36+12m＝0，解得，m＝﹣3，故选：B．7．【解答】解：（1）过两点有且只有一条直线，此选项正确；（2）连接两点的线段的长度叫两点间的距离，此选项错误；（3）两点之间所有连线中，线段最短，此选项正确；（4）射线比直线小一半，根据射线与直线都无限长，故此选项错误；故正确的有2个．故选：B．8．【解答】解：这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生的数学中考成绩是个体；2000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，样本容量是2000．故正确的是①④．故选：C．9．【解答】解：∵（k﹣2）x|k﹣1|+5k+1＝0是一元一次方程，∴|k﹣1|＝1，且k﹣2≠0，解得：k＝0．故选：B．10．【解答】解：将8500亿元用科学记数法表示为8.5×1011元．故选：B．二、填空题11．【解答】解：﹣的系数与次数的积是：﹣×4＝﹣．故答案为：﹣．12．【解答】解：∵俯视图有5个正方形，∴最底层有5个正方体，由主视图可得第2层最少有2个正方体，第3层最少有1个正方体；由主视图可得第2层最多有4个正方体，第3层最多有2个正方体；∴该组合几何体最少有5+2+1＝8个正方体，最多有5+4+2＝11个正方体，故答案为：8．13．【解答】解：设赚了25%的衣服是x元则（1+25%）x＝120解得x＝96元则实际赚了24元；设赔了25%的衣服是y元则（1﹣25%）y＝120解得y＝160元，则赔了160﹣120＝40元．∵40＞24，∴赔大于赚，在这次交易中，该商人是赔了40﹣24＝16元．14．【解答】解：∵从数轴可知：a＜b＜0＜c，∴|a﹣b|+|a+b|﹣2|c﹣a|＝b﹣a﹣a﹣b﹣2（c﹣a）＝b﹣a﹣a﹣b﹣2c+2a＝﹣2c．故答案为：﹣2c．15．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴a∥b，故答案为：a，b；（2）∵c∥d，∴∠2＝∠3，故答案为：∠3．三、解答题16．【解答】解：（1），＝15×，＝﹣5；（2），＝﹣8×+64÷16，＝﹣2+4，＝2．17．【解答】解：根据题意得：（5x2﹣2x+4）﹣2（x2﹣3x+5）＝5x2﹣2x+4﹣2x2+6x﹣10＝3x2+4x﹣6．18．【解答】解：（1）去分母得：15x﹣10＝8x+4﹣10，移项合并得：7x＝4，解得：x＝；（2）方程整理得：＝1+，去分母得：1﹣20x＝3+20x，移项合并得：40x＝﹣2，解得：x＝﹣．19．【解答】解：①由∠COD＝∠EOC，得∠EOC＝4∠COD＝4×15°＝60°；②由角的和差，得∠EOD＝∠EOC﹣∠COD＝60°﹣15°＝45°．由角平分线的性质，得∠AOD＝2∠EOD＝2×45°＝90°．20．【解答】解：设小型站点应有x个，中型站点各应有（160﹣11﹣x）个，可得：40×11+30（160﹣11﹣x）+20x＝3730，解得：x＝118．答：中型站点应有31个，小型站点应有118个．21．【解答】解：（1）总人数＝22÷44%＝50（人）．（2）中的人数＝50﹣10﹣22﹣8＝10（人），条形图如图所示：（3）表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角的度数＝360°×＝72°，故答案为72°．（4）学校九年级共有400人参加了这次数学考试，估计该校九年级优秀人数为400×＝80（人）．22．【解答】解：（1）当AC＞BC时，如图1，点D在线段AC上；当AC＝BC时，如图2，点D与C重合；当AC＜BC时，如图3，点D在线段BC上；故答案为：AC，C，BC；（2）如图4，由题意得：PC＝2t，∵AC＝18，BC＝10，∴AC+BC＝18+10＝28，∵D是折中点，∴AD＝14，∴CD＝18﹣14＝4，∵∠ACB＝90°，∴S△PCD＝CD•PC，即10＝×4×2t，t＝，则当t为秒时，三角形PCD的面积为10cm2；（3）分两种情况：①点D在线段AC上时，如图5，∵E为线段AC中点，EC＝8，∴AC＝2CE＝16，∵CD＝6，∴AD＝AC﹣CD＝16﹣6＝10，∵D为折中点，∴AD＝CD+BC∴BC＝AD﹣CD＝10﹣6＝4cm；②点D在线段BC上，如图6，∵E为线段AC中点，EC＝8，∴AC＝2CE＝16，∵CD＝6，∴AD＝AC+CD＝16+6＝22，∵BD＝AC+CD＝22，∴BC＝BD+CD＝22+6＝28cm．综上所述，CB的长度是4 cm 或28 cm．一、填空题23．【解答】解：原式＝﹣a+3b+5ab﹣5b+2a﹣6ab＝a﹣2b﹣ab，当a﹣2b＝4，ab＝1时，原式＝4﹣1＝3．故答案为：3．24．【解答】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角＝；画2条射线，图中共有6个角＝；画3条射线，图中共有10个角＝；…，∴画n条射线，图中共有个角，故答案为：3，6，10，．25．【解答】解：设A点表示的数为x，∴OA＝|x|，AB＝|x﹣10|，∴|x|＝4|x﹣10|，∴4（x﹣10）＝±x，∴4x﹣40＝x，4x﹣40＝﹣x，∴x＝，x＝8故答案为：或826．【解答】解：（1）10△3＝10﹣11+12＝11；（2）∵x△7＝2003，∴x﹣（x+1）+（x+2）﹣（x+3）+（x+4）﹣（x+5）+（x+6）＝2003，解得x＝2000．故答案为：11；2000．27．【解答】解：如图，过A作AF∥CD，∵CD∥BE，∴AF∥BE，∴∠3＝∠BAF，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠1＝∠3﹣∠1，∵AF∥CD，∴∠CAF+∠2＝180°，∴∠3﹣∠1+∠2＝180°，故答案为：180°．二、解答题28．【解答】证明：∵CF⊥AB，ED⊥AB，∴DE∥FC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠1＝∠BCF（两直线平行，同位角相等）；又∵∠2＝∠1（已知），∴∠BCF＝∠2（等量代换），∴FG∥BC（内错角相等，两直线平行）．29．【解答】解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则＝++＝﹣1+1+1＝1．（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，∴＝＝1．30．【解答】解：（1）如图1中，∵∠MON＝∠NOD＝90°，∴t＝＝9s．故答案为9．（2）①结论：∠CON﹣∠AOM＝45°；理由：如图2中，∵∠CON＝90°﹣∠COM，∠AON＝45°﹣∠COM，∴∠CON﹣∠AOM＝（90°﹣∠COM）﹣（45°﹣∠COM）＝45°②如图3中，结论仍然成立．理由：∵∠CON＝90°+∠COM，∠AOM＝45°+∠COM，∴∠CON﹣∠AOM＝（90°+∠COM）﹣（45°+∠COM）＝45°．（3）①∠AOM＝10t，∠AOC＝12t+45；②∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOM，∴12t+45°＝2×10t，解得：t＝，∴当t为s时OM平分∠AOC。
2018年成都市川大附中自主招生数学试卷(含解析)
2018年成都市川大附中自主招生考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请把答案涂在答题卷的相应位置）1．如图，若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则|a﹣b|+|b|等于（）A．a B．a﹣2b C．﹣a D．b﹣a2．如果|m+1|+（n﹣2018）2＝0，那么m n的值为（）A．﹣1 B．1 C．2018 D．﹣20183．由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下，那么小正方体个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个4．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后小李从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为x，则小李得到的x值使分式的值为0的概率是（）A．B．C．D．5．已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（）A．B．±C．2 D．±26．将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，按下面的规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④．若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，矩形⑧的周长应该为（）A．288 B．220 C．178 D．1107．若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（）A．a＜0 B．a＞4 C．a＜0或a＞4 D．0＜a＜48．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A．7 B．11 C．12 D．169．如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD ＝（）A．B．C．D．10．一次函数y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y111．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886 B．903 C．946 D．99012．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②当x≥1时，y随x的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0；⑤＜1，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共有4个小题，每题5分，共20分，请把答案直接填在答题卷相应位置）13．如果ab＜0，那么++＝．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED 的最小值为．15．如图，矩形ABCD四个顶点均在函数y＝的图象上，且矩形面积为2，则x A＝．16．两条平行线间的距离公式一般地；两条平行线l1：Ax+By+C1＝0和l2：Ax+By+C2＝0间的距离公式是d＝如：求：两条平行线x+3y﹣4＝0和2x+6y﹣9＝0的距离．解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得2x+6y﹣8＝0和2x+6y﹣9＝0，因此，d＝两条平行线l1：3x+4y＝10和l2：6x+8y﹣10＝0的距离是．三、解答题（本大题共有5个大题，共70分．请保留必要的步骤和过程，写在答题卷的对应题号的位置．注意：写错位置一律不给分）17．（5分）已知x2﹣4x+1＝0，求的值．18．（5分）如果＝3+，求m的值．19．（12分）植树节前夕，某校所有学生参加植树活动，要求每人植2～6棵．活动结束后，校学生会就本校学生的植树量进行了调查．经过对调查数据的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该校共有多少名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“3棵”部分所对应的圆心角的度数；（4）在这次调查中，众数和中位数分别为多少？（5）从该校中任选一名学生，其植树量为“6棵”的概率是多少？20．（15分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连接BP，交CE于点H．（1）若∠PBA：∠PBC＝1：2，判断△PBC的形状并说明；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．21．（15分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD 的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC＝CP，AB＝3，求CD的长．22．（18分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B（2，0），交y轴于点C（0，﹣）．直线y＝mx+过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点（不与点B、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作DM⊥y轴于点M．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式及点D的坐标；（2）若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；（3）过点P作PF⊥BD于点F，设△PEF的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C 的最大值．参考答案与试题解析1．【解答】解：由数轴可知：﹣2＜b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，b＜0，∴原式＝a﹣b﹣b＝a﹣2b，故选：B．2．【解答】解：由题意得，m+1＝0，n﹣2018＝0，解得m＝﹣1，n＝2018，所以，m n＝（﹣1）2018＝1．故选：B．3．【解答】解：根据三种视图的形状，可以得到俯视图上的小立方体的摆放、个数，如图所示：（其中数字表示在该位置上摆立方体的个数）因此需要小立方体的个数为8个，故选：D．4．【解答】解：当x＝﹣3时，分式的值为0．画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，小李得到的x值使分式的值为0的结果有2个，∴小李得到的x值使分式的值为0的概率为＝；故选：A．5．【解答】解：∵a2+b2＝6ab，∴（a+b）2＝8ab，（a﹣b）2＝4ab，∴（）2＝＝2，又∵a＞b＞0，∴＝．故选：A．6．【解答】解：由分析可得：第⑤个的周长为：2×（8+13），第⑥的周长为：2×（13+21），第⑦个的周长为：2×（21+34），第⑧个的周长为：2×（34+55）＝178，故选：C．7．【解答】解：令y＝x2+ax+a，这个函数开口向上，式子的值恒大于0的条件是：△＝a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜4．故选：D．8．【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7．∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，∴t≥2，∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16．故选：D．9．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为AB、BC边的中点，∴AE＝BF，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠AED＝∠BFA，∵∠BAF+∠AED＝∠BAF+∠BFA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥DE，取AD的中点H，连接CH，因为H是AD的中点，CH∥AF，设CH与DG相交于点M，则MH是三角形ADG的中位线，所以DM＝GM，所以CH垂直平分DG，∴CD＝CG，∴∠CGD＝∠CDG，∵AB∥CD，∴∠CGD＝∠AED，设正方形的边长为2a，则AE＝a，由勾股定理得，DE＝＝＝a，∴cos∠AED＝＝＝，∴cos∠CGD＝cos∠AED＝．故选：D．10．【解答】解：一次函数y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，即：﹣kx+4＝有解，∴﹣kx2+4x﹣k＝0，△＝16﹣4k2＞0，k2＜4，∴2k2﹣9＜﹣1＜0，∴函数图象在二、四象限，如图，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵﹣1＜﹣，0＜y2＜y1，∵当x＝时，y3＜0，∴y3＜y2＜y1，故选：D．11．【解答】解：一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→L，发现：当x＝0时，有两个点，共2个点，当x＝1时，有3个点，x＝2时，1个点，共4个点；当x＝3时，有4个点，x＝4，1个点，x＝5，1个点，共6个点；当x＝6时，有5个点，x＝7，1个点，x＝8，1个点，x＝9，1个点，共8个点；当x＝10时，有6个点，x＝11，1个点，x＝12，1个点，x＝13，1个点，x＝14，1个点，共10个点；…当x＝，有（n+1）个点，共2n个点；2+4+6+8+10+…+2n≤2018≤2018且n为正整数，得n＝44，∵n＝44时，2+4+6+8+10+…+88＝1980，且当n＝45时，2+4+6+8+10+…+90＝2070，1980＜2018＜2070，∴当n＝45时，x＝＝990，46个点，∴1980＜2018＜1980+46，∴2018个粒子所在点的横坐标为990．故选：D．12．【解答】解：①由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可知：a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，∴①正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即当x≥1时，y随x的增大而增大，∴②错误；③∵抛物线的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，∴③正确；④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴④正确；⑤观察图象可知：当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，4a+c＞2b，∵b＜0，＜1，∴⑤正确．∴①③④⑤正确．故选：D．13．【解答】解：∵ab＜0，∴a、b异号，∴++＝1﹣1﹣1＝﹣1；故答案为﹣1．14．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED＝B′E+ED＝B′D的值最小．∵点B关于AC的对称点是B′，BC＝5，∴B′C＝5，BB′＝10．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．∵S△ABB′＝•AB•B′D＝•BB′•AC，∴B′D＝＝＝，∴BE+ED＝B′D＝．故答案为．15．【解答】解：如图，连接OA、OD，过点A、D分别作AE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，点A在反比例函数y＝的图象上，设点A的坐标（x，），根据矩形和双曲线的对称性可得，D（，x），∵S△AOE＝S△DOF又∵S△AOD+S△DOF＝S△AOE+S梯形ABEF，∴S△AOD＝S梯形AEFD＝S矩形ABCD＝×2＝，即，（DF+AE）•EF＝，也就是，（+x）（﹣x）＝，解得：x＝，或x＝＜0（舍去），故答案为：．16．【解答】解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得6x+8y﹣20＝0和6x+8y﹣10＝0，∴d＝＝1．故答案为：1．17．【解答】解：原式＝＝∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1.．18．【解答】解：去分母得：3x﹣2＝3（x+1）+m，3x﹣2＝3x+3+m，3x﹣3x﹣2﹣3＝m，m＝﹣5．19．【解答】解：（1）根据题意得：300÷30%＝1000（人），答：该校共有1000名学生；（2）植5株的人数是：1000×35%＝350（人），补图如下：（3）根据题意得：×360°＝72°，答：植3棵部分所对应的圆心角的度数是72°；（4）植5棵的人数最多，则众数是5棵；把这些数从小到大排列，第501和502个数的平均数是中位数，则中位数是4棵．（5）因为共有1000人，植6株树的人数是50，则植树量为“6棵”的概率是＝．20．【解答】（1）解：△PBC是等边三角形，理由是：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA：∠PBC＝1：2，∴∠OBC＝60°，∵沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，∴PC＝BC，∴△PBC是等边三角形；（2）证明：∵根据折叠得出△EBC≌△EPC，∴BE＝PE，∴∠1＝∠2，∵E为AB的中点，∴BE＝AE，∴AE＝PE，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴BP⊥AF，∵对折矩形ABCD，∴BP⊥CE，∴AF∥CE，∵根据矩形ABCD得：AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．21．【解答】（1）证明：连结AO，AC；如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝90°，∵E是CD的中点，∴AE＝CD＝CE＝DE，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠ECA+∠OCA＝90°，∴∠EAC+∠OAC＝90°，∴OA⊥AP，∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP＝90°，OC＝CP＝OA，即OP＝2OA，∴sinP＝＝；∴∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，在Rt△BAC中，∵∠BAC＝90°，AB＝3，∠ACO＝60°，∴AC＝＝＝3，又∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠ACD＝90°﹣∠ACO＝30°，∴CD＝＝＝2．22．【解答】解：（1）将B，C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y＝x2+x﹣．∵直线y＝mx+过点B（2，0），∴2m+＝0，解得m＝﹣，直线的解析式为y＝﹣x+．联立直线与抛物线，得∴x2+x﹣＝﹣x+，解得x1＝﹣8，x2＝2（舍），∴D（﹣8，7）；（2）∵DM⊥y轴，∴M（0，7），N（0，）∴MN＝7﹣＝6．设P的坐标为（x，x2+x﹣），E的坐标则是（x，﹣x+）PE＝﹣x+﹣（x2+x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∵PE∥y轴，要使四边形PEMN是平行四边形，必有PE＝MN，即﹣x2﹣x+4＝6，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，当x＝﹣2时，y＝﹣3，即P（﹣2，﹣3），当x＝﹣4时，y＝﹣，即P（﹣4，﹣），综上所述：点P的坐标是（﹣2，﹣3）和）（﹣4，﹣）；（3）在Rt△DMN中，DM＝8，MN＝6，由勾股定理，得DN＝＝10，∴△DMN的周长是24．∵PE∥y轴，∴∠PEN＝∠DNM，又∵∠PFE＝∠DMN＝90°，∴△PEF∽△DMN，∴＝，由（2）知PE＝﹣a2﹣a+4，∴＝，∴C＝﹣a2﹣a+，C＝﹣（a+3）2+15，C与a的函数关系式为C＝﹣a2﹣a+，当a＝﹣3时，C的最大值是15。
成都四川师范大学附属中学数学整式的乘法与因式分解综合测试卷(word含答案)
成都四川师范大学附属中学数学整式的乘法与因式分解综合测试卷（word 含答案）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【答案】C【解析】【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.3．下列四个多项式，可能是2x 2＋mx －3 (m 是整数)的因式的是A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1【答案】B【解析】【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.【详解】因为m是整数，∴将2x2＋mx－3分解因式：2x2＋mx－3=（x-1）（2x+3）或2x2＋mx－3=（x+1）（2x-3），故选：B.【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.4．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc 的值是( )A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】把已知的式子化成12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．【详解】原式=12（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）=12[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]=12[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]=12×（1+4+1）=3，故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．5．在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，现将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）A ．-1B ．b ﹣aC ．-aD ．﹣b【答案】D【解析】【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.【详解】∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--2()()()2(3)()(2)S AB AD a a b AB a a a b a =-+--=-+--∴21S S -=(2)(2)(3)a a b a -+--2(3)()(2)a a b a -----32b b b =-+=-故选D.【点睛】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.6．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）.A ．3B ．-3C ．5D ．-5【答案】A【解析】【分析】观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决．【详解】∵m 2-m-1=0，∴m 2-m=1，∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现，逐次降低m 的次数.7．若3x y -=，则226x y y --=( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】 由3x y -=得x=3+y ，然后，代入所求代数式，即可完成解答.【详解】解：由3x y -=得x=3+y代入()2222369669y y y y y y y +--=++--=故答案为C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）A ．30B ．20C ．60D ．40【答案】A【解析】【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.【详解】设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，则2260x y -=，∵S 阴影=S △AEC +S △AED=11()()22x y x x y y -+- =1()()2x y x y -+ =221()2x y - =1602⨯ =30.故选A.【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.9．将多项式241x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A ．4xB ．4x -4C ．4x 4D ．4x -【答案】B【解析】【分析】完全平方公式：()222=2a b a ab b +++，此题为开放性题目．【详解】设这个单项式为Q ，如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q=±4x ；如果这里首末两项是Q 和1,则乘积项是22422x x =⋅,所以Q=44x ；如果该式只有24x 项，它也是完全平方式，所以Q=−1；如果加上单项式44x -，它不是完全平方式故选B.【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的基本形式.10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形 ABCD ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．(a + 1)(b + 3)B ．(a + 3)(b + 1)C ．(a + 1)(b + 4)D ．(a + 4)(b + 1)【答案】B【解析】【分析】 通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.【详解】平移后，如图，易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).故选B.【点睛】本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．x+1x＝3，则x 2+21x ＝_____． 【答案】7【解析】【分析】 直接利用完全平方公式将已知变形，进而求出答案．【详解】解：∵x +1x ＝3， ∴（x +1x ）2＝9， ∴x 2+21x +2＝9， ∴x 2+21x＝7． 故答案为7．【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．12．已知a-b=4，ab=6，则22a b = _________．【答案】28【解析】【分析】对完全平方公式进行变形即可解答.【详解】解：∵222()216a b a ab b -=-+=∴22a b +=2()a b -+2ab=16+2×6=28故答案为28.【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式并能够进行灵活变形是解答本题的关键.13．如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5【解析】【分析】根据前两项，此多项式如用十字相乘方法分解，m 应是3或-5；若用完全平方公式分解，m 应是4，若用提公因式法分解，m 的值应是0，排除3、-5、4、0的数即可.【详解】当m=5时，原式为245x x -+，不能因式分解，故答案为：5.【点睛】此题考查多项式的因式分解方法，熟记每种分解的因式的特点及所用因式分解的方法，掌握技巧才能熟练运用解题.14．因式分解:214y y ++=______ 【答案】212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：2222111124222y y y y y ⎛⎫⎛⎫++=+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .15．4x(m －n)＋8y(n －m)2中各项的公因式是________.【答案】4(m －n)【解析】根据题意，先变形为4x(m －n)＋8y(m －n)2，把m-n 看做一个整体，即可找到公因式4（m-n ）.故答案为：4（m-n ）.点睛：此题主要考查了提公因式法因式分解，根据公因式的特点，利用整体法确定公因式即可，关键是要把n-m 与m-n 变形为统一的式子.16．已知3a b +=，2ab =-， （1）则22a b +=____；（2）则a b -=___．【答案】13；【解析】试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=9，把ab=-2代入得：a 2+b 2-4=9，即a 2+b 2=13；（a-b ）2=a 2+b 2-2ab=13+4=17，即．17．设2m ＝5，82n ＝10，则62m n -＝________． 【答案】12【解析】试题分析：将62m n - 变形为228m n ÷ ，然后结合同底数幂的除法的概念和运算法则进行求解即可． 本题解析： 6621222285102m n m n m n -=÷=÷=÷= 故答案为： 12. 点睛：本题主要考查了同底数幂的除法法则的逆用,同底数幂的除法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相减.即m n m n a a a +÷= (m,n 是正整数).18．若(x+p)与(x+5)的乘积中不含x 的一次项，则p ＝_____．【答案】-5【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a +b ）（m +n ）＝am +an +bm +bn 计算，再根据乘积中不含x 的一次项，得出它的系数为0，即可求出p 的值．【详解】解：（x +p ）（x +5）＝x 2+5x +px +5p ＝x 2+（5+p ）x +5p ，∵乘积中不含x 的一次项，∴5+p ＝0，解得p ＝﹣5，故答案为：﹣5．19．因式分解：3x3﹣12x=_____．【答案】3x（x+2）（x﹣2）【解析】【分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x3﹣12x=3x（x2﹣4）=3x（x+2）（x﹣2），故答案为3x（x+2）（x﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．20．长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为_____．【答案】70．【解析】【分析】由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab（a+b），代入可求得答案【详解】∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=142=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70，故答案为：70．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab（a+b）是解题的关键．。
四川省成都市四川师大附中外国语学校2018年高二数学文月考试题含解析
四川省成都市四川师大附中外国语学校2018年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的全面积为A. 2 B． C．D．参考答案：D略2. 过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2?2c﹣3=2?8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．3. 设函数的定义域为，的定义域为，则( )A. B. C. D.参考答案：C4. “”是“直线与直线平行”的（）A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略5. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时,应假设A.三个内角都不大于B.三个内角都大于C.三个内角至多有一个大于D.三个内角至多有两个大于参考答案：B本题主要考查反证法.由于利用反证法在证明时，对结论进行假设为对立事件，因此，证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时, 应假设“三个内角都大于”6. 若正四棱柱的底面边长为1，与底面成角，则直线到底面的距离为( )A. B.1 C.D．参考答案：A略7. 下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.参考答案：BA，，故错误；B，，正确；C，，故错误；D，，故错误.故选B.点睛：常用求导公式：. 8. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C共面的是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】共线向量与共面向量．【分析】一般地如果M，A，B，C四点共面，那么=a，（a+b+c=1）．【解答】解：若M，A，B，C四点共面，则=a，（a+b+c=1），在A中，，不成立；在B中，1﹣，不成立；在C中，，不成立；在D中，，成立．故选：D．9. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f ￠(x)可能为（）参考答案：D略10. 已知，分别为双曲线：（，）的左、右顶点，是上一点，且直线，的斜率之积为2，则的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数满足，则当h趋向于0时，趋向于________．参考答案：-12【分析】由当趋向于时，，再根据的定义和极限的运算，即可求解．【详解】当趋向于时，，因为，则，所以．【点睛】本题主要考查了导数概念，以及极限的运算，其中解答中合理利用导数的概念与运算，以及极限的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12. 中，则= ▲．参考答案：13. 若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．参考答案：【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再计算的值．【详解】设幂函数f（x）＝xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α，解得α；∴f（x），∴．故答案为：．【点睛】本题考查了利用待定系数法求出函数的解析式与计算函数值的应用问题，是基础题目．14. 每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功的概率为．参考答案：（1﹣p）6?p4【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由题意知符合二项分布概率类型，由概率公式计算即可．【解答】解：每次试验的成功率为p（0＜p＜1），重复进行10次试验，其中前6次都未成功，后4次都成功，所以所求的概率为（1﹣p）6?p4．故答案为：（1﹣p）6?p4．15. 若的展开式中各项的系数和为27，则实数的值是_________．参考答案：4令，则有．16. 复平面内，已知复数所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是__________．参考答案：试题分析：∵z对应的点z(x,－)都在单位圆内，∴|Oz|<1,即<1.∴x2+<1.∴x2<.∴－.考点：本题主要考查复数的几何意义，简单不等式解法。
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版)
XXX2018自主招生数学试卷(PDF版) XXX自主招生试卷1.已知 $x+x=-3$，求 $x^3+x^3+1000$。
2.已知 $x+1/x=x/(x+t)$，求所有可能的 $t$ 之和。
3.平行四边形 $ABCD$ 中，$AB=15$，$CD=10$，$AD=3$，$CB=4$，求其面积。
4.已知 $y=x^3-4x+6$，其中 $a\leq x\leq b$，且 $x$ 的最小值为 $a$，最大值为 $b$，求 $a+b$。
5.已知 $y=2(x-2)^2+m$，若抛物线与 $x$ 轴交点与顶点组成正三角形，求 $m$ 的值。
6.正方形 $ABCD$ 边长为 $200$，$BC$ 以 $BC$ 为直径的半圆，$DE$ 为 $BC$ 的切线，求 $DE$ 的长。
7.在直角坐标系中，已知 $\triangle ABC$，$B(2,0)$，$C(9/2,0)$，过点 $O$ 作直线 $DMN$，$OM=MN$，求$M$ 的横坐标。
8.四圆相切，$\odot B$ 与 $\odot C$ 半径相同，$\odotA$ 过 $\odot D$ 圆心，$\odot A$ 的半径为 $9$，求 $\odotB$ 的半径。
9.横纵坐标均为整数的点为整点，$1/2<m<a$，$y=mx+a(1\leq x\leq 100)$，不经过整点，求 $a$ 可取到的最大值。
10.已知 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，$DE$ 过重心，$S_{\triangle ABC}=1$，求 $S_{\triangle ADE}$ 的最大值，并证明结论。
科学素养1.已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为 $85$，求另两边长（写出 $10$ 组）。
2.阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 $f[bx_1+(1-b)x_2]<bf(x_1)+(1-b)f(x_2)$，分别取 $b=11/4$ 和 $b=3$。
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2018年四川师大附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（5分）如图，若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则|a﹣b|+|b|等于（）A．a B．a﹣2b C．﹣a D．b﹣a2．（5分）如果|m+1|+（n﹣2018）2＝0，那么m n的值为（）A．﹣1B．1C．2018D．﹣20183．（5分）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下，那么小正方体个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个4．（5分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后小李从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为x，则小李得到的x值使分式的值为0的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（）A．B．±C．2D．±26．（5分）将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，按下面的规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④．若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，矩形⑧的周长应该为（）A．288B．220C．178D．1107．（5分）若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（）A．a＜0B．a＞4C．a＜0或a＞4D．0＜a＜48．（5分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A．7B．11C．12D．169．（5分）如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD＝（）A．B．C．D．10．（5分）一次函数y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y111．（5分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（）A．886B．903C．946D．99012．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②当x≥1时，y随x 的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0；⑤＜1，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果ab＜0，那么++＝．14．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BE+ED的最小值为．15．（5分）如图，矩形ABCD四个顶点均在函数y＝的图象上，且矩形面积为2，则x A＝．16．（5分）两条平行线间的距离公式一般地；两条平行线l1：Ax+By+C1＝0和l2：Ax+By+C2＝0间的距离公式是d＝如：求：两条平行线x+3y﹣4＝0和2x+6y﹣9＝0的距离．解：将两方程中x，y的系数化成对应相等的形式，得2x+6y﹣8＝0和2x+6y﹣9＝0，因此，d＝两条平行线l1：3x+4y＝10和l2：6x+8y﹣10＝0的距离是．三、解答题（本大题共有5个小题，共70分.请保留必要的，17．（10分）（1）已知x2﹣4x+1＝0，求﹣的值；（2）如果＝3+，求m的值．18．（12分）植树节前夕，某校所有学生参加植树活动，要求每人植2～6棵．活动结束后，校学生会就本校学生的植树量进行了调查．经过对调查数据的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该校共有多少名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“3棵”部分所对应的圆心角的度数；（4）在这次调查中，众数和中位数分别为多少？（5）从该校中任选一名学生，其植树量为“6棵”的概率是多少？19．（15分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连接BP，交CE于点H．（1）若∠PBA：∠PBC＝1：2，判断△PBC的形状并说明；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．20．（15分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC＝CP，AB＝3，求CD的长．21．（18分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B（2，0），交y轴于点C（0，﹣）．直线y＝mx+过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点（不与点B、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作DM⊥y轴于点M．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式及点D的坐标；（2）若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；（3）过点P作PF⊥BD于点F，设△PEF的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C的最大值．参考答案一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．选：B．2．选：B．3．选：D．4．选：A．5．选：A．6．选：C．7．选：D．8．选：D．9．选：D．10．选：D．11．选：D．12．选：D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．答案为﹣1．14．答案为．15．答案为：．16．答案为：1．三、解答题（本大题共有5个小题，共70分.请保留必要的，17．（10分）（1）已知x2﹣4x+1＝0，求﹣的值；（2）如果＝3+，求m的值．【解答】解：（1）﹣＝＝＝，∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1，∴原式＝＝﹣23；（2）∵＝3+，∴＝，∴3+m＝﹣2，∴m＝﹣5．18．（12分）植树节前夕，某校所有学生参加植树活动，要求每人植2～6棵．活动结束后，校学生会就本校学生的植树量进行了调查．经过对调查数据的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该校共有多少名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，计算出“3棵”部分所对应的圆心角的度数；（4）在这次调查中，众数和中位数分别为多少？（5）从该校中任选一名学生，其植树量为“6棵”的概率是多少？【解答】解：（1）根据题意得：300÷30%＝1000（人），答：该校共有1000名学生；（2）植5株的人数是：1000×35%＝350（人），补图如下：（3）根据题意得：×360°＝72°，答：植3棵部分所对应的圆心角的度数是72°；（4）植5棵的人数最多，则众数是5棵；把这些数从小到大排列，第501和502个数的平均数是中位数，则中位数是4棵．（5）因为共有1000人，植6株树的人数是50，则植树量为“6棵”的概率是＝．19．（15分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连接BP，交CE于点H．（1）若∠PBA：∠PBC＝1：2，判断△PBC的形状并说明；（2）求证：四边形AECF为平行四边形．【解答】（1）解：△PBC是等边三角形，理由是：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA：∠PBC＝1：2，∴∠OBC＝60°，∵沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，∴PC＝BC，∴△PBC是等边三角形；（2）证明：∵根据折叠得出△EBC≌△EPC，∴BE＝PE，∴∠1＝∠2，∵E为AB的中点，∴BE＝AE，∴AE＝PE，∴∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴BP⊥AF，∵对折矩形ABCD，∴BP⊥CE，∴AF∥CE，∵根据矩形ABCD得：AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．20．（15分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）若OC＝CP，AB＝3，求CD的长．【解答】（1）证明：连结AO，AC；如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝90°，∵E是CD的中点，∴AE＝CD＝CE＝DE，∴∠ECA＝∠EAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠ECA+∠OCA＝90°，∴∠EAC+∠OAC＝90°，∴OA⊥AP，∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP＝90°，OC＝CP＝OA，即OP＝2OA，∴sin P＝＝；∴∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，在Rt△BAC中，∵∠BAC＝90°，AB＝3，∠ACO＝60°，∴AC＝＝＝3，又∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠ACD＝90°﹣∠ACO＝30°，∴CD＝＝＝2．21．（18分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B（2，0），交y轴于点C（0，﹣）．直线y＝mx+过点B与y轴交于点N，与抛物线的另一个交点是D，点P是直线BD下方的抛物线上一动点（不与点B、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线BD于点E，过点D作DM⊥y轴于点M．（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式及点D的坐标；（2）若四边形PEMN是平行四边形？请求出点P的坐标；（3）过点P作PF⊥BD于点F，设△PEF的周长为C，点P的横坐标为a，求C与a的函数关系式，并求出C的最大值．【解答】解：（1）将B，C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y＝x2+x﹣．∵直线y＝mx+过点B（2，0），∴2m+＝0，解得m＝﹣，直线的解析式为y＝﹣x+．联立直线与抛物线，得∴x2+x﹣＝﹣x+，解得x1＝﹣8，x2＝2（舍），∴D（﹣8，7）；（2）∵DM⊥y轴，∴M（0，7），N（0，）∴MN＝7﹣＝6．设P的坐标为（x，x2+x﹣），E的坐标则是（x，﹣x+）PE＝﹣x+﹣（x2+x﹣）＝﹣x2﹣x+4，∵PE∥y轴，要使四边形PEMN是平行四边形，必有PE＝MN，即﹣x2﹣x+4＝6，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，当x＝﹣2时，y＝﹣3，即P（﹣2，﹣3），当x＝﹣4时，y＝﹣，即P（﹣4，﹣），综上所述：点P的坐标是（﹣2，﹣3）和）（﹣4，﹣）；（3）在Rt△DMN中，DM＝8，MN＝6，由勾股定理，得DN＝＝10，∴△DMN的周长是24．∵PE∥y轴，∴∠PEN＝∠DNM，又∵∠PFE＝∠DMN＝90°，∴△PEF∽△DMN，∴＝，由（2）知PE＝﹣a2﹣a+4，∴＝，∴C＝﹣a2﹣a+，C＝﹣（a+3）2+15，C与a的函数关系式为C＝﹣a2﹣a+，当a＝﹣3时，C的最大值是15．。