镇海中学2017学年高二第一学期期中考试(定稿)试卷
镇海中学2017学年第一学期期中考试
高二年级数学试卷
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 参考公式：
柱体的体积公式：V =Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.
锥体的体积公式：V =31
Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.
球的表面积公式：S =4πR 2 ，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V =34
πR 3 ，其中R 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线22y x =的焦点坐标为（ ▲ ）
A ． 1,02（）
B ． 01（，）
C ． 108
（，） D ． 1
02
（，）
2．已知a R ?，则“2a >”是“2
2a a >”的 （ ▲ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2米时，水面宽4米，若水面下降1米，则水面宽为（ ▲ ）米
A B ． C ．4.5 D ．9 4．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而之，所得开立方除之，即立圆径．” “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似值公式
d =
根据以上公式，得到p 的一个近似值为（ ▲ ） A ．3 B ． 3.142 C ． 3.375 D ． 1.68
5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是上底面1111A B C D 内一动点， 若P 到平面11BCC B 的距离与到直线1AA 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( ▲ ) A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线 6．下列命题正确的是（ ▲ ）
A ．若一个平面内有无穷多个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；
B ．一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别垂直，则这两个平面垂直；
C ．若一个平面内有3条两两不平行的直线与另一个平面所成角均相等，则这两个平面平行；
D ．若两个平面相交，则一个平面内不存在不共线三点到另一个平面距离相等． 7．命题：“奇函数的图象关于原点对称．”的否命题为（ ▲ ） A ．不是奇函数的函数的图象不关于原点对称； B ．奇函数的图象不关于原点对称；
C ．图象不关于原点对称的函数不是奇函数；
D ．没有一个奇函数的图象关于原点对称．
8．若直线,l m 与平面,,a b g 满足,,,//l l m m b g a a b =^ìI ，则（ ▲ ）
A ．a g ^，且m g ^
B ．a g ^，且m l ^
C ．a b ^，且//m l
D ． a b ^，且//m g 9．边长分别
为2两个不透明的正方形纸片ABCD EFGH ，分 别在平面,a b 内，满足//,EF AC //GF BD ．现有一大束平行 光线照射纸片EFGH 在平面a 上留下阴影，则落在正方形纸片
ABCD 内的阴影面积最大值为（ ▲ ）
A ．
B ． 2
C ． 4
D ．1 10．若V 的边BC 上存在一点M （异于B C 、），将ABM V 沿
AM 翻折后使得AB CM ^，则内角,,A B C 必满足（ ▲ ） A ．90B 3° B ．90B <° C ．90C <° D ．90A <°
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、 填空题: 本大题共7小题，每小题5分，共35分．
11．已知点0A(,1)x 在抛物线2
y x =上，则点A 与点1(0,)4
之间的距离为____▲____．
12．一个空间几何体由半径为1的球挖去某一部分得到，其三视图如下图所示，则这个几何体的体积为 ▲ . 13 直线,a b 和平面a 所成的角都为0
60，直线,a b 所成角的最大值为___▲____
14．在正方体1111D C B A ABCD -中，Q P ,分别是棱11,D A AB 的中
点，则PQ 与1BD 所成角的余弦值是 ▲ ．
15．抛物线)(022>=p px y 的焦点为F ,已知,A B 为抛物线上
的两个动点，且满足o
120=DAFB ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ,垂足为N ,则
|
||
|AB MN 的最大值为___▲___ ．
16．若平面点集M 满足：任意点M y x ?),(，存在),0(+￥?t ，都
有M ty tx ?),(，则称该点集M 是“t 阶集 ”
．现有四个命题： ①若}2|),({x y y x M ==，则对任意正数t ，M 是“t 阶集 ”； ②若2
(,)|2}{M x y y x ==，则M 是“2阶集 ”；
③若}042|),({22=+++=y x y x y x M ，则M 是“2阶集 ”；
④若2(,)|2}{M x y x y =￡是“t 阶集 ”，则t 的取值范围是]1,0(． 其中正确命题的序号为_____▲_____．
17．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，(1,3)A -，过AF 中点作斜率为k 的直线l 交抛物线于,M N 两点，若P 在线段MN 上运动时，PAF D 的面积的最小值为关于k 的函数()g k ，若()g k a ￡对所有满足题意的k 恒成立，则a 的最小值为____▲____ ．
（第12题图）
A
E
（第9题图）
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分15分）
已知0a >且1a 1．命题P ：函数()log a f x x = 在(0,)+￥ 上为减函数；命题Q ：关于x 的
不等式2(23)10x a x +-+￡有实数解．
（Ⅰ）如果“P 或Q ”为真且“P 且Q ”为假，求实数a 的取值范围.
（Ⅱ）命题R ：函数2lg[(23)1]y x a x =+-+ 的值域包含区间[1,3]-．若命题R 为真命
题，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分15分）
在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为梯形，//AB CD ，,2,BC A B B A =^
,
1BC CD ==，1PC =．
（Ⅰ）点E 在线段PB 上，满足//CE 平面PAD ，
BE k BP =uuu r uuu r
，求k 的值．
（Ⅱ）已知AC 与BD 的交点为M ，
若3
PM =，且
平面C AC B D P A ^平面，求二面角
P BC M -- 平面角的正切值．
20．（本小题满分15分）
已知抛物线C 的方程为)0(22>=p px y ，抛物线的焦点到直线22:+=x y l 的距离为
5
5
4． （Ⅰ）求抛物线C 的方程． （Ⅱ）设过点)11(，Q 的直线l 交抛物线C 于B A ,两点，若Q 为线段AB 中点，求直线l 的方
程，并求此时线段AB 的长．
A
C
（第19题图）
21．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为平行四边形，直线PB PC BD ，，两两垂直，且
1PB PC BD ===
，BC =．
（Ⅰ）求证：平面B AC P P D ^平面 ．
（Ⅱ）若AC 与BD 交于点O ，求直线OP 与平面ABCD 所成
角的余弦值．
22．（本小题满分15分）
已知抛物线2:2C y x =，直线:2l y x =-与抛物线C 交于M N 、，()00,P x y 为抛物线
C 上一点．
（Ⅰ）若PM PN ^，求0x ．
（Ⅱ）已知点()1,1A -，()1,0B -，过点P 作直线PA PB 、分别交曲线C 于12M M 、．证明：
在点P 运动过程中，直线12M M 始终过定点，并求出该定点．
（第21题图）
D