高中数学 2.1证明中的几种常见错误总结 新人教A版选修2-2 (2)
人教版数学高二A版选修2-2素材 1.3 导数应用题 典型错析
导数应用题 典型错析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。
一、导数的定义理解不清例1. 已知函数f x x a ()log =+1，求lim ()()∆∆∆x f x f x→--0121 错解：因为f x x a ()log =+1 ∴f x xe a '()log =1 ∴lim ()()'()log ∆∆∆x af x f xf e →--==01211 剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数f x y x f x x f x xx x '()lim lim ()()00000==+-→→∆∆∆∆∆∆ 函数在某一点x 0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x 必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是-2∆x ，12∆x 等。
∴lim ()()∆∆∆x f x f x→--0121 ()=----⎡⎣⎢⎤⎦⎥=----=-=-→→lim ()()()lim ()'()log ∆∆∆∆∆∆x x a f x f x f x f xf e001212221212212·二、f x '()0为极值的充要条件理解不清例2. 函数f x x ax bx a ()=+++322在x =1处有极值10，求a 、b 的值。
错解：f x x ax b '()=++322，由题意知f '()10=，且f ()110=即230a b ++=，且a a b 2110+++=解之得a b ==-411，或a b =-=33，剖析：错误的主要原因是把f x '()0为极值的必要条件当作了充要条件，f x '()0为极值的充要条件是f x '()00=且x 0附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：当a b ==-411，时()()f x x x x x '()=+-=+-381131112 在x =1附近两侧的符号相反，∴，a b ==-411当a b =-=33，时，()f x x '()=-312在x =1附近两侧的符号相同，所以a b =-=33，舍去。
人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2 1.2 导数的运算易错点分析
导数的运算易错点分析山东 秦振导数的运算既是导数的重点也是其难点，学生在学习时经常遇到困难，下面就学生在解题中出现的错误分析如下，给大家参考。
一、概念不清例1 若函数()f x 在x=a 处的导数为A ，求0()()limx f a x f a x x ∆→+∆--∆∆。
错解 因为f(x)在x=a 处的导数为 A ，即0()()lim x f a x f a x→+∆-∆0()(),lim x f a x f a A A x ∆→-∆-==∆。
所以0()()lim x f a x f a x x∆→+∆--∆∆ [][]0()()()()lim x f a x f a f a x f a x ∆→+∆---∆-=∆ 0()()lim x f a x f a x ∆→+∆-=∆0()()lim x f a x f a x →-∆--∆=A-A=0 辨析 错解认为“函数()f x 在x a =处的导数为A ”，就可得到0()()limx f a x f a x ∆→-∆-∆=A, 而由导数定义知，它们是不等价的，当然结果是错误的。
正解 由题意得0()()limx f a x f a x ∆→+∆-∆=A ，0()()lim x f a x f a x∆→-∆-∆ =0()()lim[x f a x f a x∆→-∆---∆]=-A 。
所以0()()lim x f a x f a x x ∆→+∆--∆∆=2A 。
二、对定义理解不深刻例2 求函数21(0)()1(0)x x f x x x ⎧+≤=⎨+≥⎩的导数。
错解 由导数定义，得当0x ≤时，()2f x x '=；当0x >时，()1f x '=。
辨析 当0x >和0x <时，结果是正确的。
而0x =函数是否有导数，应该用定义求解。
正解 ()1当x<0时，()2f x x '=；()2当0x >时，()1f x '=；()3当0x =时， 因为0(0)()lim x f x f x x +∆→+∆-∆=()()00101lim x x x +∆→+∆+-+∆=0lim x x x+∆→∆∆=1，()00(0)lim x f x f x -∆→+∆-∆=20[(0)1]1lim x x x-∆→+∆+-∆=0lim x x -∆→∆=0；而0(0)(0)lim x f x f x -∆→+∆-∆≠0(0)(0)lim x f x f x+∆→+∆-∆。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习求解圆锥曲线问题中的陷阱分析
求解圆锥曲线问题中的陷阱分析 唐正敏 圆锥曲线是高中数学的重点内容之一.由于它涉及到代数、几何、三角等相关知识，覆盖面广，综合性较强，因此解题时常常出现这样或那样的错误，如对圆锥曲线曲线定义理解的不够透彻，或对圆锥曲线的性质把握不准，或忽视直线与曲线的特殊位置关系等而产生错误，且有的错误往往不易察觉.现列举九种常见陷阱进行剖析. 陷阱一、忽视中心位置的判断，导用标准方程致误 例1已知双曲线的一条准线为x ＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线方程.错解：由已知得x ＝a 2c ＝4，又c ＝10，∴a 2＝40，b 2＝c 2－a 2＝60，∴双曲线方程为x 240﹣y 260＝1. 剖析：上述错解不但随意减少题设条件“离心率为2”，而且随意增加题设条件“双曲线的中心在坐标原点”，导致错误.正解：由双曲线的第二定义得(x －10)2＋y 2|x －4|＝2，化简整理得双曲线方程为(x －2)216﹣y 248＝1.陷阱二、忽视焦点位置的判断，盲目导用结论致误例2已知双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，焦距为10，求此双曲线方程. 错解：因渐近线关于坐标轴对称，故双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，设焦点在x 轴上，双曲线为x 2a 2–y 2b 2＝1，由a 2＋b 2＝(102)2，b a ＝12，解得a 2＝20，b 2＝5，故双曲线方程为x 220–y 25＝1，设焦点在y 轴上，双曲线方程为y 2a 2–x 2b 2＝1，同理，可求得此时双曲线方程为y 220–x 25＝1，所以要求的双曲线方程为x 220–y 25＝1或y 220–x 25＝1. 剖析：焦点在y 轴上时，实半轴a 在y 轴上，虚半轴b 在x 轴上，渐近线方程已不是y ＝±b a x ，故方程b a ＝12是错误的，这正是忽视焦点位置的变化，盲目套用渐近线方程y ＝±b a x 而造成的错误.正解：略.所求双曲线方程应为x 220–y 25＝1或y 25–x 220＝1. 陷阱三：忽视双曲线上点的位置，未作正确判断致误例3双曲线x 29﹣y 216＝1上有一点P 到左准线的距离为165，则P 到右焦点的距离为____________.错解：设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x 29﹣y 216＝1，的以a ＝3，c ＝5，从而离心率e ＝53，再由第二定义，易得|PF 1|＝ed 1＝53·165＝163，于是又由第一定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，得|PF 2|＝6±163. 剖析：以上出现两解的原因是考虑到P 可能在不同的两支上，没有正确作出点P 到底在双曲线的哪一支上.正解：若P 在右支上，则其到F 1的最短距离应为右顶点A 2到F 1的距离|A 2F 1|＝a ＋c ＝8，而163＜8，故点P 只能在左支，于是|PF 2|＝6＋163＝343. 陷阱四：忽视变量取值范围，遗漏分类讨论致误例4设双曲线的中心在坐标原点，准线平行于x 轴，离心率为52，若P(0,5)到双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.错解：由e ＝52得a ＝2b ，则双曲线可设为y 24b 2–x 2b2＝1，若点P(0,5)与双曲线上的点Q(x,y)的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －5)2＝14(y 2－4b 2)＋(y －5)2＝54(y －4)2＋5－b 2，所以当y ＝4时，(d 2)min ＝5－b 2＝4，b 2＝1，a 2＝4，所求双曲线方程为y 24–x 2＝1. 剖析：由双曲线的范围可知|y|≥2b ，b 应视为参数，在求d 2的最小值时必须分情况进行讨论.正解：d 2＝54(y －4)2＋5－b 2，若4≥2b ，即0＜b ≤2，上述解法成立；若4＜2b ，即b ＞2，则当y ＝2b 时，(d 2)min ＝4b 2－20b ＋25＝4，解得b ＝72或b ＝32(舍)，这时a 2＝49，所求双曲线方程为y 249–4x 249＝1. 陷阱五：忽视隐含条件的挖掘，问题得不到全面解决致误例5斜率为3的直线与等轴双曲线x 2－y 2＝6相交于两点P 1、P 2，求P 1P 2中点轨迹方程. 错解：设P 1、P 2中点P(x,y)，P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，则x 12－y 12＝6…①，x 22－y 22＝6…②，①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，∵x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2，即x y＝3， ∴y ＝3x 为点P 的轨迹方程.剖析：上述所求的结果必须以直线与双曲线相交的前提，而在整个解题中没有体现出直线与双曲线一定相交，因此对最后所求的结果必须进行检验，确定相交所必须满足的限制条件.正解：利用“代点法”求出P 点轨迹方程：y ＝3x ，再对y ＝3x 中的x 的取值范围进行讨论，设P 1P 2︰y ＝3x ＋b ，代入x 2－y 2＝6，得8x 2＋6bx ＋b 2＋6＝0，由△＞0得，b ＜－26或b ＞26，∵x ＝x 1＋x 22＝–38b ，∴x ＜–346或x ＞346，∴点P 的轨迹方程为y ＝3x(x ＜–346或x ＞346). 陷阱六：忽视定义中的关键条件，受思维定势的影响致误例6已知椭圆的准线是x ＝4，对应的焦点F(2,0)，离心率为12，求椭圆的方程. 错解1：∵c ＝2，∴a 2c ＝4，∴a ＝22，∴b 2＝a 2－c 2＝4，故椭圆方程为x 28＋y 24＝1. 错解2：∵a 2c ＝4，c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 剖析：错解1中所得的方程表示的椭圆的离心率不是12，错解2中所得的方程的焦点不是(2，0)，这两种错误都源于受定势思维的影响，默认所求椭圆方程为标准形式，忽略了标准方程的中心在原点的关键条件.正解：由定义得(x －2)2＋y 2|x －4|＝12，化简整理后便得到椭圆方程3x 2＋4y 2－8x ＝0，显然不是标准形式.例7已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.错解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4，设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3，∴M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，且a ＝32，c ＝5，∴双曲线方程为49x 2–491y 2＝1.剖析：上本题的轨迹应该是双曲线的一支，而非整条双曲线，上述解法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值”.正解：∵|MF 2|－|MF 1|＝3，∴|MF 2|＞|MF 1|，即眯M 到F 2(5,0)的距离大于点M 到F 1(－5,0)的距离， ∴点M 的轨迹应该是双曲线的左支，∴双曲线方程为49x 2–491y 2＝1(x ＜0). 陷阱七：忽略特殊位置关系，误用充要条件致误例8已知双曲线x 2－y 2=1和点P(2,2)，设直线l 过点P 且与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程.错解：设直线l 的方程为y ＝k(x －2)＋2，代入双曲线x 2－y 2＝1，整理，得(1－k 2)x 2－4k(1－k)x －4(1－k)2－1＝0…①，方程①的判别式为△＝12k 2－32k ＋20，由△＝0，解得k ＝53或k ＝1，所求直线l 的方程为x －y ＝0或y ＝53(x －2)＋2， 即x －y ＝0或5x －3y －4＝0.错因分析：错解误以为判别式△＝0是直线与双曲线只有一个公共点的充要条件.事实上，命题成立的充要条件是方程①有且仅有一个根.故应分类讨论.正解：设直线l 的方程为y ＝k(x －2)＋2，代入双曲线x 2－y 2＝1，整理，得(1－k 2)x 2－4k(1－k)x －4(1－k)2－1＝0…①，(1)当1－k 2＝0时，即k ＝1或k ＝－1，而当k ＝1时方程①不成立；当k ＝－1时，直线的方程为x ＋y －4＝0.(2)当1－k 2≠0时，由前面错解知直线l 的方程为5x －3y －4＝0，即所求直线l 的方程为x ＋y －4＝0或5x －3y －4＝0.例9若直线y ＝kx －1与抛物线y 2＝(k －1)x 只有一个公共点，求k 值.错解：由⎩⎨⎧ y=kx －1y 2=(k －1)x，得k 2x 2＋(－3k ＋1)x ＋1＝0…(1)，△＝(－3k ＋1)2－4k 2＝0，解得k ＝15或1. 剖析：对于解决含有参数的直线与抛物线的公共点问题，首先要考虑式子本身的限制，其次要考虑含有参数的一元二次方程务必要注意平方项系数等不等于零的问题.上述解法有两处错误：k ＝1时y 2＝(k －1)x 根本不表示抛物线；k ＝0时方程只有一解，此时直线与抛物线只有一个公共点.正解：由⎩⎨⎧ y=kx －1y 2=(k －1)x ，得k 2x 2＋(－3k ＋1)x ＋1＝0…(1)， 当k ＝0时，方程只有一解,直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，当k ≠0时，△=(－3k ＋1)2－4k 2=0，解得k ＝15或1.而k ＝1时y 2＝(k －1)x 根本不表示抛物线，舍去.所以答案是k ＝0和k ＝15. 陷阱八：忽视椭圆参数的几何意义，导用圆的参数致错例10 P 是椭圆⎩⎨⎧ x=4cos θy=23sin θ(θ为参数)上一点，∠xOP ＝π3，求点P 的坐标. 错解：将θ用π3代替，代入参数方程之中，得x ＝2，y ＝3，故点P 的坐标是(2,3). 评析：从椭圆参数方程的形成过程可知，它的角参数θ与圆的参数方程中的角参数θ有本质区别，切忌将两者混为一谈，这里的π3不是角参数中θ的值，正确解法应是：椭圆的普通方程为x 216＋y 212＝1，如图，设|OP|＝r ，则点P 的坐标为(rcos π3,rsin π3)，代入椭圆方程得r 264＋r 216＝1，∴r ＝855，∴rcos π3＝455，rsin π3＝4515，故眯P 的坐标为(455,4515). 陷阱九：忽视图形的合理性，用错图进行求解致误例11经过双曲线x 2–y 23＝1的右焦点F 2作倾斜角为30︒的弦AB ，求△F 1AB 的周长. 错解：如图，由题意得F 1(－2,0)、F 2(2,0)，弦AB 的倾斜角α＝30︒，所以AB 所在直线的方程为y ＝33(x －2)，代入双曲线方程，并整理得8x 2＋4x －13＝0，设方程的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝–138，所以|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3，因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝2a ＋|AF 2|，又因为|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，△F 1AB 的周长＝|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AB|＋2a ＋|AF 2|＋2a ＋|BF 2|＝4a ＋2|AB|＝10.剖析：由于双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以渐近线的倾斜角为60︒和120︒，故倾斜角为30︒的直线截双曲线所得的弦只能分别交在双曲线的左、右两支上，不可能在同一支上，错解所画的图形是错误的，由错误的图形解题所得的结果当然也就不正确.正解：如图，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，其中x 1＞0，x 2＜0，由题意得a ＝1，e ＝2，所以|AF 1|＝ex 1＋a ＝2x 1＋1，|BF 1|＝－2x 2－1，所以|AF 1|＋|BF 1|＝2(x 1－x 2)，因为弦AB 的方程为y ＝33(x －2)，代入双曲线方程，整理得8x 2＋4x －13＝0，所以x 1＋x 2＝–12，x 1x 2＝–138，所以|AB|＝3，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝332，所以△F 1AB 的周长|AF 1|＋|BF 1|＋|AB|＝3＋2·332＝3＋3 3.。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2 类比推理说课稿 新人教A版选修2-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明2.1.2 类比推理说课稿新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.1.2 类比推理说课稿新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1.2类比推理一、教材分析（1）课题内容课题内容是《类比推理》，出自普通高中新课程标准实验教科书人教A版高中数学选修2—2.（2）地位和作用本节课是《推理与证明》的起始内容。
《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式.贯穿于高中数学的整个知识体系，同时也对后续知识的学习起到引领作用。
合情推理有助于发现新的规律和事实,是重要的数学思想方法之一。
（3）重点,难点重点：了解类比推理的含义，作用,掌握类比推理的步骤,体会类比推理的思想。
难点：类比推理步骤中的如何发现几个事实的共性，如何由个别事实总结，类比出其他事实的命题。
一、学情分析(1）在进行本节课的教学时,学生已经有大量的运用类比推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解类比推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件,引导学生多进行类比与概括。
（2）数学史上有一些著名的猜想是运用类比推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会类比推理的过程，感受类比推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用,还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值,激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。
高中数学 2.3数学归纳法应用中的四个常见错误总结 新人教A版选修2-2
数学归纳法应用中的四个常见错误总结数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法.证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可.使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值0n 确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清.现举例如下：（1） 初始值0n 估计的错误.归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处.0n 通常是1，但不总是1.有些同学思维定势，认为0n 是1，而不能具体问题具体分析.例1 用数学归纳法证明“2n ＞2n +1对于n ＞0n 的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.5【答案】 选D 例2 若f (n )= *1111,()2321n N n +++⋅⋅⋅+∈+,则n =1时f (n )是 A. 1 B. 13 C. 11123++ D.以上答案均不正确 【答案】选C点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项即其前面的项组成.（2） 对项数估算的错误用数学归纳法证明恒等式时，由n=k 递推到n=k +1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化.举例如下：例 3 用数学归纳法证明不等式11112321n +++⋅⋅⋅+-＜n （n ∈*N ）过程中，由n=k 递推到n=k +1时，不等式左端增加的项数是（ ）A. 1B. 2k -1C. 2kD. 2k+1 解析：当n=k 时，左端=11112321k +++⋅⋅⋅+- 当n=k +1，左端=111111111()23212212221k k k k k ++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+-++- 括号内的部分是增加的式子，计算可知共2k项.点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k 和n=k +1左端进行对比，就不会发生错误了.【答案】 选C例 4 用数学归纳法证明(n +1)(n +2)…(n+n )= 2n﹒1﹒3…(2n -1)(n ∈N )时，从“n=k→n=k +1”两边同乘以一个代数式，它是 （ ）解析：当n=k 时，(1)(2)()k k k k ++⋅⋅⋅+= 213(21)k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-当n=k +1时，(11)(12)(11)k k k k ++++⋅⋅⋅+++=1213[2(1)1]k k +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-通过对比可知，增加了两项（2k +1）（2k +2）减少了一项k +1.故答案选D.点评：通过对比n=k 和n=k +1时的变化确定增减项.因为每一项中都有n ，项数会有增有减.（3）没有利用归纳递推数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来.就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣.例5 用数学归纳法证明21*122221()n n n N -+++⋅⋅⋅=-∈的过程如下： ①当n =1时，左边=1，右边=121-=1，等式成立.②假设当n=k 时，等式成立，即21122221k k -+++⋅⋅⋅=- 则当n=k +1时，12111212222212k k k k +-+-+++⋅⋅⋅+==- 所以，当n=k +1时等式成立.由此可知，对任何*n N ∈，等式都成立.上述证明的错误．．是 【答案】没有用上归纳递推.正确的解法是②2111222221221k k k k k -++++⋅⋅⋅+=-+=-，即用上了第二步中的假设.点评：步骤不完整是常犯的错误，除忘记用归纳递推外，有时还忘记第一步——起始值的确定，或忘记归纳结论，所以一定牢记“两个步骤一个结论”.（4）关键步骤含糊不清.用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”.但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清.这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节.例题略.。
人教A版高中数学高二选修2-2素材 3.1复数概念问题常见思维误区诊断
复数概念问题常见思维误区诊断复数的概念中的有关问题在解答时极易出错，下面结合常见题型的解析与思维诊断加以讲解，以期同学们在学习时注意。
例1 m 取何实数时，复数z ＝()1523622--++--m m m m m i 。
（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？思路分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数。
由于所给复数z 已写成标准形式，即z ＝a ＋bi （a 、b ∈R ）,所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。
解答：（1）当⎩⎨⎧≠+=--0301522m m m 时，即⎩⎨⎧-≠-==335m m m 或时，即m=5。
∴m=5时，z 是实数。
（2）当⎩⎨⎧≠+≠--0301522m m m 时，即⎩⎨⎧-≠-≠≠335m m m 且。
∴当35-≠≠m m 且时，z 是虚数。
（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠+=--0152030622m m m m m 时，即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠-≠-==35323m m m m m 且或。
∴当23-==m m 或时，z 是纯虚数。
思维诊断：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点。
如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉03≠+m ，导致解答出错。
例2 已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，求x 与y 。
思路分析：因为y 是纯虚数，所以可设y=bi （b ∈R ，b ≠0）代入等式，把等式的左、右两边都整理成a+bi 形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x 与b 的方程组，求解后得x 与b 值。
解答：设y=bi （b ∈R 且b ≠0）代入条件并整理得（2x －1）＋i ＝－b ＋（b －3）i 。
由复数相等的条件得⎩⎨⎧-=-=-3112b b x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==234x b 。
∴23-=x ，y ＝4i 。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2
在某些方面的类似特征.
【知识拓展】类比推理的基本逻辑形式及适用前提
(1)类比推理的基本逻辑形式
A类事物具有性质a,b,c,d
B类事物具有性质a′,b′,c′
所以B类事物可能具有性质d′.(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相
似或相同)
(2)类比推理的适用前提 ①两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相 似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推 断另一类对象也可能具有的特性. ②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.
知识点2
类比推理
类比推理的三个特点
(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研
究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.
(2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、
向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的
问题及其研究方法.
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定
2.合情推理
观察 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过_____、 含 _____ 、_____, 然后提出 分析、比较、_____, 联想再进行_____ 归纳 类比 义 _____ 猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推 理是指“合乎情理”的推理 过 程 从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比
2.方法一:图(1)中的圆圈数为12-0,图(2)中的圆圈数为22-1, 图(3)中的圆圈数为32-2,图(4)中的圆圈数为42-3,图(5)中的 圆圈数为52-4,„, 故猜测第n个图形中的圆圈数为n2-(n-1)=n2-n+1. 方法二:第2个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向两个方向, 共有2×(2-1)+1个圆圈; 第3个图形,中间有一个圆圈,另外的圆圈指向三个方向,每个方
高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命 题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么 它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”． 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系． 例题： 把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假． （1）当 ac > bc 时， a > b ； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2； （3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直． 解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题； （3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．
高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习及答案
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 推理与证明 2. 3数学归纳法一、学习任务1. 了解数学归纳法原理．2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．3. 掌握数学归纳法的特点和步骤．二、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）答案：1. 用数学归纳法证明 第一步应验证 A ．B ．C ．D ．C ⩾(n ⩾3,n ∈N )3n n 3()n =1n =2n =3n =4答案：2. 用数学归纳法证明，"当 为正奇数时， 能被 整除"时，第二步归纳假设应写成A ．假设 时正确，再推证 正确B ．假设 时正确，再推证 正确C ．假设 时正确，再推证 正确D ．假设 时正确，再推证 正确Bn +x n y n x +y ()n =2k +1(k ∈)N ∗n =2k +3n =2k −1(k ∈)N ∗n =2k +1n =k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2n ⩽k (k ⩾1,k ∈)N ∗n =k +2答案：解析：3. 用数学归纳法证明等式 的过程中，第二步假设 时等式成立，则当 时应得到 A ．B ．C ．D ．B时，等式左边 ．1+3+5+⋯+(2n −1)=(n ∈)n 2N ∗n =k n =k +1()1+3+5+⋯+(2k +1)=k 21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +1)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +2)21+3+5+⋯+(2k +1)=(k +3)2∵n =k +1=1+3+5+…+(2k −1)+(2k +1)=+(2k +1)=k 2(k +1)24. 设平面内有 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 条直线的交点个数为 ，则 与 的关系是 A ．B ．C ．D ．k k f (k )f (k +1)f (k )()f (k +1)=f (k )+k −1f (k +1)=f (k )+k +1f (k +1)=f (k )+k +2f (k +1)=f (k )+k高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
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证明中的几种常见错误总结
1. 偷换论题
例1 求证四边形的内角和等于0
360.
证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有 0000036090909090=+++=∠+∠+∠+∠D C B A ，
所以，四边形的内角和等于0
360.
剖析：上述推理过程是错误的.犯了偷换论题的错误.在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形.
2. 虚假论据
例2 已知2和3是无理数，试证32+也是无理数. 证明：依题设2和3是无理数，
而无理数与无理数的和是无理数， 所以32+也是无理数.
剖析：上述推理过程是错误的.犯了虚假论据的错误.使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数.因此，原题的真假性仍无法断定.
3. 循环论证
例3 在ABC Rt ∆中，090=∠C ，求证：222c b a =+. 证明：因为A c b A c a cos ,sin ==， ∴A c A c b a 222222cos sin +=+
=2
222)cos (sin c A A c =+.
剖析：上述推理过程是错误的.犯了循环论证的错误.本题的论证就是人们熟知的勾股定理.上述证明中用了“1cos sin 22=+A A ”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误.
4. 不能推出 例4 设81tan 51tan 21tan 2
0===∈γβαπγβα，，），且，（、、. 求证：4π
γβα=++. 证明：因为γβγαβαγβαγβαγβαtan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(
----++=++
=18
151815151211815121815121=⋅-⋅-⋅-⋅⋅-++， 4
πγβα=++∴. 剖析：上述推理过程是错误的.犯了不能推出的错误.因为1)tan(
=++γβα只能推出)(,4Z n n ∈+=++π
πγβα.至于关系式4π
γβα=++是否唯一地成立，却无法断定.因此，只有进一步推出4,,0πγβα<<，即4
30πγβα<++<，原题才能得证.。