考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
2015考研数学一真题解析：二阶常系数非齐次微分方程解的结
二阶常系数非齐次微分方程是考研数学重要考点，命题形式包括二阶常系数非齐次 微分方程求通解、解得结构定理及已知通解求微分方程，2015 考研数学考查了本知识 点，题目和解析如下：
1 1 y e 2 x ( x )e x x 2 3 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y ay by ce 的一 设
二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构与通解此知识点方法和公式固定， 大家只需按解得 结构原理和求通解公式按部就班解答就可以了，下面文都考研数学老师帮大家复习一下此知识 点。 1.二阶常系数非齐次微分方程定义—形如 y py qy f ( x) （其中 p, q 为常数）的方程。 2.通解的结构— y py qy f ( x) 的通解为 y py qy 0 的通解与其本身一个特解之和。 3.特解求法： 情形一：
f ( x) e x Pm ( x)
设方程的特解结构为： y e Q ( x) ①当 不是特征根时， ②当 是特征单根时， ③当 是特征重根时， 情形二：
x
Q( x) Qm ( x)
； ； ．
Q( x) xQm ( x)
Q( x) x 2Qm ( x)
f ( x) e x [ PL ( x) cos x Rn ( x) sin x] y x k e x [ Rm ( x) cos x S m ( x) sin x]
1 2x 1 e 为二阶常系数齐次微分方程 y ay by 0 的解，所以 2 2,1 为特征方程 r ar b 0 的根，从而 a (1 2) 3 ， b 1 2 2 ，从而原方程变为
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
7-13 二阶常系数线性差分方程解析
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解及特解． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0,( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0,( y0 2, y1 2)
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
3
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2)x 2 cos x 1
4
§7-13 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性 微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求 解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆 较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)， 令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特 征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系 数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而 得特解y*。
二阶常系数非齐次的通解
二阶常系数非齐次的通解1. 引言非齐次线性微分方程是研究微分方程中的重要内容之一。
二阶常系数非齐次线性微分方程是其中的一类典型问题，其形式为：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中a,b为常数，f(t)为已知函数。
本文将着重讨论这类微分方程的通解。
2. 齐次线性微分方程的通解为了解决非齐次线性微分方程，首先需要求解其对应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$其通解可以表示为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中，$r_1$，$r_2$为齐次方程的特征根，$c_1$，$c_2$为任意常数。
根据特征根的不同情况，可以将齐次方程分为三类：两个实根、两个虚根、一个实根和一个重根。
分别讨论如下。
2.1 两个实根当齐次方程的特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$此时，$r_1$和$r_2$可以通过特征方程求得：$$r_1,\ r_2=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$$如果$a^2<4b$，则$r_1$和$r_2$是两个虚根。
2.2 两个虚根当齐次方程的特征方程有两个虚根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)$$其中，$\alpha$和$\beta$为实数，可以通过特征方程求得：$$\alpha=-\frac{a}{2},\ \beta=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$$ 2.3 一个实根和一个重根当齐次方程的特征方程仅有一个实根$r_1$且其重根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=(c_1+c_2t)e^{r_1t}$$其中$c_1$、$c_2$为任意常数。
二阶常系数非齐次线性方程解法
就是微分方程的解
22
下面分三种情况讨论常系数齐次线性方程的通解.
1). 特征方程有两个不相等的实根
p2 4q 0
特征根为
1 p
p2 4q ,
2
2 p
p2 4q ,
2
两个线性无关的特解
y1 e1x ,
y2 e2x ,
得齐次方程的通解为 y C1e1x C2e2x ;
14
定理 5.
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2,, n )
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
k 1
的特解. (非齐次方程解的叠加原理)
例1
求方程
y x y 1 y 0,(x 1) x 1 x 1
23
2） 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解
若 p2 4q 0，则
设另一特解
( u (x) 待定)
代入方程得:
e1 x [(u 21u 12u ) p(u 1u ) q u 0
u ( 2 1 p ) u ( 12 p 1 q ) u 0
数) 是该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 y1
tan
x
常数, 故方程的通解为
11
定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式
同理计算 可得
Ｂ（ ｚ） 一 ０ ．
于 是 由本 文定 理可 知所 求方 程 的通解 为
Ｙ — ＣＩ Ｏ ． Ｓ Ｃ ￣＋ Ｃ ｉｘ ＋ ２ ｎ ｓ
ｓｘｓ ｘｏ ｄ —ｃ ｚｓ ｘｉ ｄ ｉ ｅ ｃｓ ｘ ｏ ｅ ｓ ｘｘ ｎＩｃ ｘ ｓＩ ｃ ｎ
Ｃｌ Ｏ Ｘ ＋ Ｃ２ ｉ ｘ ＋ ｘｓｎ ＋ Ｓ Ｃ ｓｎ ｉｘ
Ａ）刍∞［ 一 ｓ ．厂∞出 ｉｆ ） ｎ
ｅ ｃ。 ｓ
卜 ）２ｃ 小一 ｓ 。 ｉ ｄ ｎ ［ｓＪ －） ｚ ｃ ｅ厂 ｓ ｄ 。 ． （ｉ 一 ２ ～ ｚｎ 卜 ） 。 ｄ Ｓ ｓ 一 ｊ ２ 啦ｃ
吉 ［ 卜 ） ｚ ｅｓ ｉ 啦 ｃ — Ｏ ｄ 卜 ）ｆ ｓｘ］ ｉ： ． ｎｄ ｉ
７
式 可分 如下情 形 分别 给 出 ： （Ｉ ）当 ， 为 不相 等 的实 根时 ，
Ｙ — Ｃｌ ａ ＋ Ｃｚ 十 １ ｅ ｅ
一
∞
叫［ 叫 如 一 ［ ｓ ｉ 卜 ） ｄ ｍｒ ｓ］ ＆ 啦 卜，） ｒ （ ｓｘ ｚｆ］ ｍｄ ｌ ｓ ｉ厂厂 ｉ如 ｉ ［耻 （啦 ］ 啦ｓ ｎ 小
ｃ。
其 中 Ｃ ， ２ 任 意常数 ． ｃ 为 例 ． 求解微 分 方程 １
Ｙ ＋ Ｙ — ｓ ｃ ｅ ｘ．
解 易 知对应 齐 次方 程 的特征 根为
１ 一 ｉ ， ２一 一 ｉ ．
ｅ ｌ ２ｊ 厂 ）ｆ ｅ （ｓ￣ ～ ｓ 卜 ｃ ｉ ｉ ｄ ｎ ～ ｎ ｌ ｚ
一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法
二阶常系数线性齐次微分方程：＋求非齐次方程通解的方法：先求出与其对应的齐次方程＋的通解特征方程特征根判断①两个不同的实数根通解②两个相同的实数根通解③为一对共轭复根通解：再求原方程的一个特解齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解＋是一个多项式）：写出原方程对应的特征方程并求解原方程对应的齐次线性方程通解确定原方程特解形式：也是一个次多项式）而的值要通过和特征方程的解确定或求出和，并将代入原方程，确定未知参数，求出特解。
二阶常系数线性齐次微分方程：y″＋py′+qy=f(x)求非齐次方程通解的方法：先求出与其对应的齐次方⇒程y″＋py′+qy=0的通解特征方程r2+pr+q=0⇒特征根r1,r2判断△①△=p2−4q>0⇔r1,r2,两个不同的实数根⇒通解y=C1er1x+C2er2x②△=p2−4q=0⇔r1=r2,两个相同的实数根⇒通解y=(C1+C2x)er1x③△=p2−4q=0⇔r1=α+iβ,r2=α−iβ为一对共轭复根⇒通解：y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)再求原方程的一个特解y∗;齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解y″＋py′+qy=pm(x)eλx(pm是一个多项式）steps1：写出原方程对应的特征方程r2+pr+q=0并求解⇒原方程对应的齐次线性方程通解steps2:确定原方程特解形式：y∗=xkQm(x)eλx(Qm(x)也是一个m次多项式）
Qm(x)={c∈Rm=0ax+bm=1akxk+ak−1xk−1+⋯+a1x+a0m=k而k的值要通过λ和特征方程的解确定k={0,λ≠r1,r21,λ=r1 或r22,λ=r1=r2steps3:求出y∗′和y″，并将y∗,y∗′,y′代入原方程，确定未知参数，求出特解。
齐次方程通解＋原方程特解即为原方程的通解。
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2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。