5 相关系数
第五章 相关系数
=9.48
将以上数值代入公式（4.1）
r N x Y
xy =
285 .1 =0.56 10 5.34 9.48
所以，语文测验成绩与英语测验成绩之间的相关系数 r=0.56。
2、用原始观测值求r 利用基本公式求r，麻烦且结果不够精确。 可用原始观测值直接求r，公式为： X Y XY N (5.3) r X Y X N Y N 或者
2 2 2 2
r
N X 2 ( X ) 2 N Y 2 ( Y ) 2
N XY X Y
(5.4)
式中 ， 、Y分别为两变量的观测值， X
N为观测值的对数
实际上，这两个公式是由公式（5.1）推导出来的。 X ， Y Y ， x X X ， 把 X N N (Y Y ) 2 (X X ) 和 ，以及 代入公 y Y Y
不完全相关：由两列变量成对的观测值的坐标
点不在一条直线上，呈椭圆形。 零相关：指两变量间没有相关关系，即当一 变量变化时，另一变量不显示出变化倾向， 或即使有变化，也无一定规律。
不完全正相关
不完全负相关
零相关
从散布图的形状，我们可以大 约地看出变量间相关程度的强弱、 方向或性质，但并不能得知其相关 的确切程度。 为精确了解变量间的相关程度， 还需进行进一步的统计分析，求出 描述变量间相关程度的量数，即相 关系数。
r N X 2 ( X 2 ) N Y 2 ( Y ) 2 （5.5） N X Y X Y
式中， X 是 X 变量各数值与其估计平均数
之差； Y 是
Y 变量各数值与其估计平均数之差。
练习:以上述资料为例，假定X变量的估计平均数 为70，Y变量的估计平均数为72,计算相关系数.
协方差cov与相关系数公式
协方差cov与相关系数公式协方差（covariance）和相关系数（correlation coefficient）是统计中常用于描述两个随机变量之间关系的概念。
协方差度量了两个变量的变动趋势是否一致，而相关系数则更进一步地衡量了两个变量的线性相关程度。
1.协方差:协方差是用来衡量两个随机变量的变动程度是否相似。
假设有两个随机变量X和Y，其协方差定义为：cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]，其中E[]表示期望值。
协方差的正负号表示了X和Y之间的线性关系的方向，具体解释如下：-当协方差为正时，表示X和Y的变动趋势是一致的，即X增加时Y也增加，或者X减少时Y也减少。
-当协方差为负时，表示X和Y的变动趋势是相反的，即X增加时Y减少，或者X减少时Y增加。
-当协方差接近于0时，表示X和Y之间没有线性关系，即X和Y之间的变动趋势是独立的。
2.相关系数:相关系数是衡量两个随机变量之间线性关系强弱的度量。
相关系数的取值范围是[-1,1]，其定义为：ρ(X,Y) = cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))，其中σ(表示标准差。
相关系数衡量了两个变量之间的线性关系程度，具体解释如下：-当相关系数接近于1时，表示X和Y之间存在强正向线性关系，即X增加时Y也增加，或者X减少时Y也减少。
-当相关系数接近于-1时，表示X和Y之间存在强负向线性关系，即X增加时Y减少，或者X减少时Y增加。
-当相关系数接近于0时，表示X和Y之间没有线性关系，即X和Y 之间的变动趋势是独立的。
相关系数的计算可以通过协方差和标准差来获得。
相关系数是对协方差进行标准化的产物，因此可以消除量纲对结果的影响。
3.协方差和相关系数的关系:相关系数是协方差的一种标准化形式，通过除以两个变量的标准差来消除量纲。
相关系数一定在[-1,1]的范围内取值，而协方差的范围很大，因此相关系数更容易从其值直观地判断两个变量之间的关系。
协方差和相关系数之间的关系可以使用下面的公式表示：ρ(X,Y) = cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y)) = cov(X,Y) /(sqrt(var(X))sqrt(var(Y)))，其中var(表示方差。
各种相关系数
皮尔逊相关系数 (r) * 用于测量连续变量之间的线性关系 * 取值范围：-1 到 1 * 1：完全正相关 * 0：无相关性 * -1：完全负相关
斯皮尔曼等级相关系数(ρ) * 用于测量序数变量之间的单调关系 * 取值范围：-1 到1 * 1：完全正相关 * 0：无相关性 * -1：完全负相关
肯德尔等级相关系数(τ) * 另一种用于测量序数变量之间单调关系的非参数相关系数 * 取值范围：-1 到 1 * 1：完全正相关 * 0：无相关性 * -1：完全负相关
点双串列相关系数 (rpb) * 用于测量非连续变量之间的相关性 * 取值范围：-1 到 1 * 1：完全正相关 * 0：无相关性 * -1：完全负相关
卡方相关系数(χ²) * 用于测量分类变量之间的关联程度 * 取值范围：0 到∞ * 0：
无关联性* ∞：完全关联
多重相关系数 (R) * 用于测量一个因变量与多个自变量之间的相关性 * 取值范围：0 到 1 * 1：完全相关
偏相关系数 (rxy.z) * 用于测量两个变量之间的相关性，同时控制其他变量的影响 * 取值范围：-1 到 1
半偏相关系数 (rxy(z)) * 用于测量两个变量之间的相关性，但仅将一个变量的部分方差控制在另一个变量中
其他相关系数：
•菲距离相关系数 (dcorr)：用于测量两个变量之间的非线性关系
•互信息系数 (I)：用于测量两个变量之间的信息共享或依赖程度
•杰卡德相似性系数 (J)：用于测量两个集合之间的相似性
•汉明距离系数 (H)：用于测量两个二进制值之间的不相等性
•欧几里得距离系数 (d)：用于测量两个点之间的距离。
相关系数计算公式
相关系数计算公式
一、概念
相关系数（correlation coefficient），又称作相关系数，是衡量
两个变量之间相互关系紧密程度的一种统计量，其取值范围位于-1与1
之间。
它是由两个变量的协方差（covariance）除以它们各自的标准差（standard deviation）得到的。
二、定义
相关系数（correlation coefficient）的定义为：
设X和Y是有关联的两个随机变量，其均值分别为μX和μY，标准
差分别为σX和σY，协方差为rXY，其相关系数定义为：
rXY=r(X,Y)=frac{r_{XY}}{sigma_X sigma_Y}=frac{E[left(X-mu_X ight)(Y-mu_Y)]}{sigma_X sigma_Y}
三、性质
1.当相关系数rXY取值为1时，说明X、Y呈完全正相关，此时，当
X增大时，Y也增大；
2.当相关系数rXY取值为0时，说明X、Y之间没有显著的相关关系；
3.当相关系数rXY取值为-1时，说明X、Y呈完全负相关，此时，当
X增大时，Y减小；
4.相关系数rXY取值越大，表明X、Y之间相关关系越紧密；
5.相关系数rXY有有效范围，即[-1，1]；
6.相关系数rXY是一致的，不受X、Y变量变化的时间顺序而改变；
7.相关系数rXY取值只反映X、Y变量的线性关系，而对于非线性关系，其取值不符合实际情况；
8.相关系数rXY只衡量两变量之间的线性相关性，但不能揭示它们之间的因果关系。
四、公式
相关系数rXY的计算公式是：。
相关系数简介
Pearson相关系数的计算
r X X Y Y
l XY
X X 2 Y Y 2
l XX lYY
X 的离均差平方和:
2
lXX X X
Y 的离均差平方和:
2
lYY Y Y
X与Y 间的离均差积和: lXY X X Y Y
离均差平方和、离均差积和的展开
lXX
小判断相关程度 4. 相关关系并不一定是因果关系，有可能是伴随关
系
*如何判断两个变量的相关性 （1）找出两个变量的正确相应数据。 （2）画出它们的散布图（散点图）。 （3）通过散布图判断它们的相关性。 （4）给出相关（r）的解答。 （5）对结果进行评价和检验。
两变量关联性分析
pearson相关系数介绍
世间万物是普遍联系的
医学上，许多现象之间也都有相互联系，例 如：身高与体重、体温与脉搏、年龄与血压、 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。 在这些有关系的现象中，它们之间联系的程 度和性质也各不相同。
相关的含义
客观现象之间的数量联系存在着函数关系和 相关关系。
主要内容
一、散点图 二、相关系数 三、相关系数的假设检验
一、散点图
为了确定相关变量之间的关系，首 先应该收集一些数据，这些数据应该是 成对的。
例如，每人的身高和体重。然后在 直角坐标系上描述这些点，这一组点集 称为散点图。
1. 作法：为了研究父亲与成年儿子身高之间的关 系，卡尔.皮尔逊测量了1078对父子的身高。 把1078对数字表示在坐标上，如图。用水平轴 X上的数代表父亲身高，垂直轴Y上的数代表儿 子的身高，1078个点所形成的图形是一个散点 图。
|r|越接近于1，表明两变量相关程度越高， 它们之间的关系越密切。
相关系数和回归系数
相关系数和回归系数经济学的发展历程中出现了许多概念和理论，其中最重要的两个概念之一就是相关系数和回归系数。
相关系数主要用来描述两个变量之间的线性关系，而回归系数则可以用来描述两个变量之间的非线性关系。
这两个概念极大地推进了经济分析的发展，并在经济学中得到广泛的应用。
相关系数是一个度量两个变量线性关系的量度。
通常，在进行经济分析时，我们会研究不同变量之间的关系，因此相关系数就变得非常重要。
相关系数可以客观地反映出变量之间的线性关系，而相关系数的值可以从-1到1之间变化，值越大，变量之间的线性关系就越强。
通常情况下，如果相关系数的值大于0.7，则可以说变量之间存在显著正相关；如果相关系数的值等于0，则可以说变量之间不存在显著相关；如果相关系数的值小于0.3，则可以说变量之间存在显著负相关。
回归系数是一个度量两个变量之间非线性关系的量度。
在经济分析中，回归系数可以客观地反映出变量之间的非线性关系，一般来说，当变量之间的非线性关系越强，回归系数值就越大。
回归系数值一般取值范围是-1到1之间的实数，正值表示变量之间存在正相关，负值则表示变量之间存在负相关。
回归系数的值越大，则说明两个变量之间的非线性关系越强，值越小，则说明变量之间的关系越弱。
相关系数和回归系数对于经济分析有重要的作用，它们可以帮助我们客观地反映出变量之间的关系，从而帮助我们更好地了解经济中的现象。
它们常常被用于预测未来的经济趋势，也经常被用来检验经济理论的正确性。
相关系数和回归系数的计算也很容易，有许多计算工具可供使用，因此，对于经济学家来说，它们也是必备的分析工具。
总之，相关系数和回归系数是经济学中重要的概念，它们不仅可以帮助我们客观地反映出变量之间的关系，而且还可以用来预测未来的经济趋势，因此，它们非常有价值，经济学家们应该加以重视。
相关系数的计算1：φ系数和C系数
0.753
4×4
2×6
0.765
4×5
2×7
0.774
4×6
2×8
0.779
4×7
3×3
0.816
5×5
3×4
0.786
5×6
C值上限 0.810 0.824 0.833 0.866 0.863 0.877 0.888 0.894 0.904
表规模
5×7 6×6 6×7 7×7 7×8 8×8 8×9 9×9 10×10
《社会调查与统计分析》
第九章 双变量分析
知识点5 相关系数的计算：
φ系数和C系数
学习导航
相关系数的计算
φ系数 C系数
1.φ系数
当交互分类表为2×2表（即两行两列）时，这两
个变量之间的相关系数就称为φ系数（phicoefficient）。φ系数的计算公式为：
ad bc
(a b)(c d )(a c)(b d )
C值上限 0.915 0.913 0.930 0.926 0.947 0.935 0.957 0.943 0.949
C 0 .221 0 .271 0 .816
B1
B2
A1
a
b
A2
c
d
1.φ系数
城市 农村 列的和
抑郁人数 38 12 50
非抑郁人数 82 68 150
行的和 120 80 200
ad bc
(a b )( c d )( a c )( b d )
38 68 82 12
(38 82 )(12 68 )( 38 12 )( 82 68 )
低年级学生 高年级学生教师赞成 446 273 262
相关系数-高中数学知识点讲解
相关系数
1．相关系数
【知识点的知识】
1、概念：
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度．于是，著名统计学家卡尔•皮尔逊设计了统计指标﹣﹣相关系数．相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数．
2、相关系数用r 表示，计算公式为
其中：当r＞0 时，表明两个变量正相关；当r＜0 时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小．
3、残差：
相关指数R2 用来刻画回归的效果，其计算公式是
在含有一个解释变量的线性模型中，R2 恰好等于相关系数r 的平方．显然，R2 取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好．
【解题方法点拨】
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；
^（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程：푦=^
푏x +
^
푎）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
1/ 2
（5）得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适当．当回归方程不是形
^如：푦=^
푏x +
^
푎时，我们称之为非线性回归方程．
2/ 2。
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三、相关分析 1、图示法
2、计算法
四、相关系数 1、定义：相关系数是两列变量间相关方向及其密切程度 的数字表现形式,或者说是表示相关方向及其密切程度的 指标。作为样本间相互关系程度的统计特征数,常用r表 示,作为总体参数,一般用ρ 表示,并且是指线性相关而言。
2、取值范围：相关系数的取值介于-1.00至+1.00之间, 常用小数形式表示。
2、公式及计算
肯德尔U系数的计算公式 N为被评价事物的数目即等级数。.. K为评价者的数目。 Yij为对偶比较记录表中i>j(或i<j〉的格中 的择优分数.
第四节 质与量相关
质与量的相关是指一列变量为等比或等距的测量
数据,另一列变量是按性质划分的类别,欲求这样 两列变量的直线相关,称之为质量相关,包括:点 二列相关,二列相关及多系列相关。
二、相关关系的种类
（一）方向上——正相关、负相关
正相关指一列变量由大而小或由小而大变化时， 另一列变量亦由大而小或由小而大的变化，即两 列变量是同方向变化的，属“同增共减”的关系。 负相关指一列变量由大而小或由小而大的变化， 另一列变量却反由小而大或由大而小的变化，即 两列变量的变化方向是相反的，属“此增彼减” 的关系。
二、肯德尔等级相关 一）肯德尔W系数 1、.适用资料 肯德尔W系数又称和谐系数(the Kendall coefficient of concordance)是表示多列等级变量相关程度的一种方法。 这种资料的获得一般采用等级评定的方法,即让K个被试 (或称评价者)对N件事物或N种作品进行等级评定,每个评 价者都能对N件事物(或作品)好坏、优劣、喜好、大小、 高低等排出一个等级顺序。因此,最小的等级序数为1,最 大的为N,这样,K个评价者便可得到K列从1至N的等级变量 资料,这是一种情况。另一种情况是一个评价者先后K次评 价N件事物或N件作品,也是采用等级评定的方法,这样也可 得到K列从1至N的等级变量资料。 这类K列等级变量资料综合起来求相关,可用肯德尔W系数.
一、点二列相关
(一)适用资料
如果两列变量中有一列为等距或等比的测 量数据而且其总体分布为正态,另一列变量 只是二分称名变量。
(二)点二列相关的计算公式 在来自总体的两个变量中，一个变量是连续变量， 另一个变量是两分变量（男、女；对、错；及格、 不及格），点二列相关研究这样两个变量之间的 相关关系。 相关系数 p、q两类变量的平均值 连续变量的标准差 另一类别频数的比例
二、二列相关
（一）适用的资料
二列相关是两列均属于态分布。但其中一列变量 为等距或等比的测量数据,另一列变量虽然也呈 正态分布,但它被人为地划分为两类.
(二)公式及计算 计算二列相关有两个公式..
式中与δ τ 与Xτ 是连续变量的标准差与平均数。 Xp为与二分变量中某一二分变量对偶的连续变量的平均 数, XQ为与二分变量中另一二分变量对偶的连续变量的平均 数, p为某一二分变量在所有二分变量中所占的比率。 y为p的正态曲线的高度,查正态表得到。
一、斯皮尔曼等级相关 (一)适用资料 斯皮尔曼等级相关,是等级相关的一种。它 适用于只有两列变量,而且是属于等级变量 性质,具有线性关系的资料。 斯皮尔曼等级相关常用符号rR表示。
(二)基本公式 斯皮尔曼等级相关公式如下 式中D为各对偶等级之差，∑D2是各D平方之 和,N为等级数目. N不一定必须大于30 计算步骤为: 1、给两组数据赋予等级（从大到小或从小到大） 2、计算等级之差
有相同等级出现时W的计算 在进行等级评定时，当遇到两个或两个以 上事物的等级相同时，应该采用下面的修 正公式： 式中S=∑Ri2-(∑Ri)2/N, ∑T=∑(n3-n)/12, n为相同等级的数目。
（二）肯德尔U系数
1、适用资料 肯德尔U系数又称一致性系数,适用于对K个评价者的一 致性进行统计分析。（如果有N件事件,由K个评价者对其 优劣、大小、高低等单一维度的属性进行评价,）若评价 者直接使用等级评定的方法,则应采用前述肯德尔W系数 分析K个评价者是否具有一致性,若评价者采用对偶比较 的方法,即将N件事物两两配对,可配成N〈N十1〉/2对,然 后对每一对中两事物进行比较,择优选择，优者记1,非优 者记0,最后整理所有评价者的评价结果如这样便应计算 肯德尔U系数了。可见肯德尔W系数与U系数所处理的问题 相同,但所处理的资料获得方法不同,计算的结果也不一 样。
第二节 积差相关
一、概念及适用资料 （一）概念 积差相关,又称积矩相关,是英国统计学家皮尔逊 于20世纪初提出的一种计算相关的方法,因而也 称皮尔逊相关,是求直线相关的基本方法。 （二）适用范围 1、两列数据都是测量的数据,而且两列变量各自 总体的分布都是正态的或接近正态,即正态双变量。 2、其次,两列变量之间的关系是直线性的。 3、n>30
在心理与教育领域的研究中 , 有时搜集到的数据 不是等距或等比的测量数据 , 只能是具有等级顺 序的测量数据,另外,即使搜集到的数据是等距或 等比的数据,但其总体分布不是正态 ,不满足求积 差相关的要求,在这两种情况下,欲求两列或两列 以上变量的相关 ,就要用等级相关 ,这种相关方法 对变量的总体分有不作要求 , 故又称这种相关法 为非参数的相关方法。本节所讨论的等级相关 , 也是线性相关,至于非线性关系则不包括在内。
二、计算积差相关的公式 积差相关系数的定义公式：
rXYX X Y Y X X Y Y
2
2
r
X
2
XY ( X )(Y ) / N ( X ) / N Y (Y )
2 2
2
/N
第三节
等级相关
（二）形状——直线相关和曲线相关 直线相关指两列变量中的一列变量在增加时，另 一列变量随之而增加；或一列变量在增加，另一 列变量却相应地减少，形成一种直线关系。两列 变量的变化在坐标轴上绘制散点图时形成的是长 轴或椭圆形图形。 曲线相关指两列相伴随变化的变量，未能形成直 线关系。两列变量的变化莫测在坐标轴上绘制散 点图时形成的是成弯月状或曲线形图形。
第五章 相关系数
第一节
相关分析的概念与意义
一、什么是相关关系 事物之间的联系（从数量上来看）：函数关系与相关关系 函数关系：事物之间确定性的关系。 相关关系：事物之间非确定性关系。 一种是因果关系,即一种现象是另一种现象的因,而另一种现 象则是果。 第二种是共变关系,即表面看来有联系的两种事物都与第三种 现象有关,这时两种事物之间的关系,便是共变关系。 第三种是相关关系,即两类现象在发展变化的方向与大小方面 存在一定的关系,但不能确定这两类现象之间哪个是因,哪个 是果；也有理由认为这两者并不同时受第三因素的影响,即不 存在共变关系。 相关是指具有相关关系的不同现象之间的关系程度
2.公式及计算 肯德尔和谐系数常用符号W表示。 其公式为： 式中 Ri为每一件被评价事物的K个等级 之和, N为被评价事物的件数即等级数, K为评价者的数目或等级变量的列 数,
取值范围 0≤W≤1 (1)K个评价者意见完全一致,则W=1; (2)若K个评价者的意见存在一定的关系,但 又不完全一致,则0<W<1; (3)若K个评价者的意见完全不一致,则W=0.
（三）双变量相互变化的程度——完全相关、强相关、弱 相关和零相关
完全相关指两列变量的关系是一一对应、完全确定的关系。 在坐标轴上描绘两列变量时会形成一条直线。 强相关又称高度相关，即当一列变量变化时，与之相应的 另一列变量增大（或减少）的可能性非常大。在坐标图上 则表现为散点图较为集中在某条直线的周围。 弱相关又称低度相关，即当一列变量变化时，与之相对应 的另一列变量增大（或减少）的可能性较小。在坐标图表 现出散点比较分散地分布在某条直线的周围。 零相关又称无相关，是一列变量由大而小或由小而大变化 时，另一列变量则或大或小的变化，即两列变量的变化看 不出一定的趋势，甚至毫无关系。