初二上学期数学难题

一、已知：如图AD为△ABC的角平分线，DE‖AC，交AB于E.过E作AD 的垂线交BC延长线于F，求证：
（1）FA=FD
（2）2分之一（∠BAC+∠AFC）=90°—∠B
(1)因为DE‖AC所以∠8=∠2，因为AD为△ABC的角平分线，所以∠1=∠2所以∠8=∠1；又因为EF是AD的垂线，所以∠EGD=∠EGA=90°；EG为公共边，所以△EGD≌△EGA；
所以∠3=∠4，EA=ED，EF为公共边，所以△EFD≌△EFA；
所以FA=FD
(2)因为∠B=180°-∠BEF-∠BFE；∠BEF=∠3+∠7=∠3+∠1+∠2=90°-∠8+∠1+∠2；
又因为DE‖AC所以∠8=∠2，所以∠BEF=∠90°-∠1=90°+1/2∠BAC;
由第(1)问已证出△EFD≌△EFA，所以∠BFE=1/2∠AFC；
所以∠B=180°-∠BEF-∠BFE=180°-（90°+1/2∠BAC）-1/2∠AFC=90°-1/2∠BAC-1/2∠AFC
所以1/2（∠BAC+∠AFC）=90°—∠B.
二如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△AB D和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起。

（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△E CF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合），求证：BH·GD=BF2；（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D 点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG，
探究：FD+DG=______，请予证明。

解：（1）∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D，
∵将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，∴BF=DF，∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴，
即BH·GD=BF·DF，∴BH·GD=BF2；
（2）BD，证明如下：
∵AG∥CE，∴∠FAG=∠C，
∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG，
∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，
又∵AB=AD，∴△ABF≌△ADG（SAS），∴FB=DG，∴FD+DG=BD。

设BD长为x，则CD长为（14-x），AD^2=13^2-x^2=169-x^2
∵AD⊥BC
∴△ABD、△ACD均为直角三角形
∴AD^2+BD^2=AB^2 ①（勾股定理）
AD^2+CD^2=AC^2 ②（勾股定理）
由①、②得：
AD^2=AB^2-BD^2 ③
AD^2=AC^2-CD^2 ④
把④代入③得：
AB^2-BD^2=AC^2-CD^2
∴13^2-x^2=15^2-(14-x)^2
169-x^2=225-196+28x-x^2
169-225+196=28x
28x=140
X=5
∴AD^2=169-5^2
=169-25
=144
∴AD=12
四如图所示，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长
∵矩形沿直线AE折叠，定点D恰好落在BC边上的点F处
∴⊿AED≌⊿AFE,AF=AD
直角⊿ABF,BF²=AF²-AB²=100-64=36 ∴BF=6
∴CF=BC-CF=10-6=4
设CE=a 则DE=EF=8-a
在RT△CEF中，EF² =FC² +EC ²
即： (8-a) ² =16+a ²即：4-a=1所以a=3 即CE=3
4，5），类似地，还可得到下列勾股的数组（8，6，10）（15，8，17）（24，10，26）等。

问：（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。

（2）试用数学等式描述上述勾股数组规律。

（3）请你证明你所发现的规律。

答：(1)(35,12,37)
(2)通过观察我们发现勾股数组的每一组的第一个数，组成的数列，3，8，15，24,.....后一项与前一项的差所组成的新数列是首项为8-3=5公差为2的等差数列，所以勾股数组的第
一个数可以写为n²+2n(n=1，2，3，.....)
同样对于勾股数组的每一组的第二个数所组成的数列是首项为4公差为2的等差数列，这样勾股数列的第二个数就可以表示为2n+2.
勾股数组的每一组的第三个数所组成的数列，5，10，17，26......后项与前一项之差所构成的新数列是首项为5公差为2的等差数列，所以有勾股数组的第三个数可以写为n^2+2n+2
所以勾股数组可以写为(n²+2n,2n+2,n²+2n+2)
(3)证明；(n²+2n) ²+(2n+2) ²
=n^4+4n^3+4n^2+4n^2+8n+4=n^4+4n^3+8n^2+8n+4
而(n^2+2n+2)^2
=n^4+4n^3+8n^2+8n+4
我们发现上下两式相等，所以以它们为边的三角形是直角三角形，自然它们就构成了勾股数组。

六如图△ABC是等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P。

BQ垂直
于AD于Q,PQ=3，PE=1.求AD的长？
解：
∵△ABC 是等边三角形
∴∠BAE=∠C=60°∵AB=AC，AE=CD
∴ABE≌△CAD
∴∠CAD=∠ABE，BE=AD
∴∠BPD=∠PAB+∠ABE
=∠PAB+∠CAD=60°
∵BQ⊥AQ∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ=6∴BE=BP+PE=6+1=7∴AD=7
如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N,证明：（1）BD=CE（2）BD⊥CE。

证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD
即∠CAE=∠BAD
在△ABD和△ACE中
AB=AC∠CAE=∠BADAD=AE
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴BD=CE
（2）∵△ABD≌△ACE
∴∠ABN=∠ACE
∵∠ANB=∠CND
∴∠ABN+∠ANB=∠CND+∠NCE=90°
∴∠CMN=90°
即BD⊥CE．
如图5所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=_____ 解：
根据题意可证明
∠EAC＝∠DAB
而AB＝AC，AD＝AE
所以根据SAS得到：
三角形ABD全等于三角形ACE
所以∠ABD＝∠2＝30°，
所以∠3°＝∠1＋∠ABD
＝25°＋30°
＝55°。