组合数学作业答案
组合数学题目及标准答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学参考答案(卢开澄第四版)
组合数学第一章作业答案
2 = 2 Cm2 1 Cn 1 k 1 k 1
若 k 是偶数，则要么
k k 个 1 插入 m-1 个空挡，要么首尾各有 1 个 1，并把 1 个 1 2 2
插入 m-1 个空档，剩下的 1 同上处理共计：
C C
附加题：
k 2 m 1ຫໍສະໝຸດ k 1 2 n 1Ck 1 2 m 1
2n 2n n n 1
(2n)! 2n ! 1 n C2 n n !n ! (n 1)!( n 1)! n 1
1.50 (a)先排好 5 个 0 在 5 个 0 中插入 2 个 1，可以产生 4 个 01/10。 在 5 个 0 中插入 1 个 1，在首尾各插入 1 个 1，可以产生 4 个 01/10。 剩下的 1 插入在原有 1 的前面，对 01/10 无贡献。
同理，也是求符合正方形约束的对角线条数 1 1 2 C10 + C10 = 96 1.25 (1) 1 + C5 3 3 (2) C15 − C5 = 445 1.26 2*200*800+200*200=360000 或者 179900 1.27 (1) 5! * 6! =86400 (2) 5! * 6! =86400 (3) 6*5*8! = 1209600 1.33 先将 r 个球放入 n 个盒子里，每个盒子里放 k 个球，然后将余下的(r-kn)个球放入 n 个
字典序法 递增法 递减法 邻位对换法
r 1 Cn 1 相当于在 n 个球的 n-1 个空中选取 r-1 个作为间隔。
40
30
40 40
60 30
40 30
3 1.18 5! ∗ C6 = 2400, 5 个有球的盒子的全排列，再将 3 个空盒插入 5 个盒子相邻的 6 个 空隙内
组合数学7章作业答案
第7章 递推关系和生成函数7.8 练习题16、求解初始值10=h ，01=h 和02=h 的递推关系3223---=n n n h h h ，（3≥n ）。
解：□18、确定长为n 、不包含两个相连的0或相连的1的三进制串（即由一些0、1和2组成的串）的个数n a 的公式。
解：□23、求解非齐次递推关系nn n h h 2341⨯+=-（1≥n解：由定理3.4.46个没有区别的车放在66⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有6！种。
2个红车4个蓝车，那么放置方法是!4!2)!6(2⨯=6！×15种。
□19、给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
ⅰ) 将8个车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有多少？解：ⅰ) 由定理3.4.48个没有区别的车放在88⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯38!8 种。
□ⅱ) 将8个车放在1212⨯棋盘上，使没有两个车能够互相攻击的放置方法有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38!8812812种。
□21、单词ADDRESSES 的字母有多少排列？这9个字母有多少8-排列？解：因为有1个A ，2个D ，1个R ，2个E ，3个S所以，字母的排列共有!3!2!2!9⨯⨯个。
8-排列的个数是!2!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8!3!2!8!3!2!2!8⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯种。
□。
组合数学习题解答
第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。
解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。
1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。
如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。
而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。
故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一 起的方式共有 10！- 2*9！。
1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？ 解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。
两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。
1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0， 例如235写成0235,则问题就变为求：x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4，5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1 将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。
组合数学课后习题答案
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
《组合数学》姜建国著(第二版)-课后习题答案完全版
组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P 个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P 个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P 个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P 个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P +++=个。
2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：① 一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；② 两位数。
十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。
百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。
又可分三种情况：⏹ 千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；⏹ 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A =① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。
十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
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解令S为 的全部 个循环排列的集合， 为出现模式 的循环排列的集合（ ）， 为出现模式 的循环排列的集合。若 且 是集合 中的不同整数，则 。 。因此，
她们可以有1625种方法改变座位。
第七章作业答案
(b)数字2和7不出现。
解因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。
①考虑8位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
②考虑7位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
③考虑6位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
④考虑5位整数。最高位不能为0，因此8位整数有 个。
1.设 表示斐波那契序列。通过用小的n值为下列每一个表达式赋值，猜测一般公式，然后用数学归纳法和斐波那契递归证明之。
（c）
（d）
解(c)对于小的n值，列出 和 的值如下。
n012345678
01123581321
0 0 1 4 12
猜测：
当 时， ，结论成立。
当 时， ，结论成立。
设 且 ，则
(d)对于小的n值，列出 和 的值如下。
解(a)用E表示向东步行1个街区，用N表示向北步行1个街区。因为该秘书需要向东步行9个街区，向北步行7个街区，总共步行16个街区，因此他的上班路线是多重集 的排列。这样的排列的个数为 11440。
(b)若他从水下的街区走过，则他先要走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方，再向东走一个街区，最后走到工作的大楼。他从家走到离家以东4个街区、以北3个街区的地方的路线的数目是多重集 的排列数，即 35。他从离家以东5个街区、以北3个街区的地方走到工作的大楼的路线的数目是多重集 的排列数，即 70。所以，如果他从水下的街区走过，则他可能有的路线数是 。因此，如果他不从水下的街区走过，则他可能有的路线数是 。
解法二该序列的生成函数 。
因此， 。
30.确定苹果、桔子、香蕉和梨的袋装水果的袋数 的生成函数，其中各袋要有偶数个苹果，最多两个桔子，3的倍数个香蕉，最多一个梨。然后从该生成函数求出 的公式。
解生成函数
因此， 。
32.令 是由 定义的序列（ ）。确定该序列的生成函数。
解
两边求导数得到
两边再求导数得到
9.确定方程
满足
， ， ，
的整数解的个数。
解引入新变量
则方程
满足
， ， ，
的整数解的个数等于方程
满足
， ， ，
的整数解的个数。设S是方程 的所有非负整数解的集合，则 。设 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合， 为方程 的所有满足 的非负整数解的集合，则 ， ， 。若 ，则 。因此，方程
⑤考虑4位整数。若千位数字大于5，有 个。若千位数字等于5，则百位数字必须大于等于4，有 个。
根据加法原理，符合条件的整数的个数为
8. 15人围坐一个圆桌。如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A的右侧，又有多少种围坐方式？
解15人围坐一个圆桌，有 种围坐方式。若B固定坐在A的左侧，则可将 看作一个整体，有 种围坐方式。若B固定坐在A的右侧，则可将 看作一个整体，有 种围坐方式。因此，B不挨着A坐的围坐方式有 种，B不坐在A的右侧的围坐方式有 种。
令 为 ， 为 ， 为 ，n为9，得到
因此， 的系数是
42.用牛顿二项式定理近似计算 。
解
第六章作业答案
3.求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。
解设S是从1到10000的整数的集合， 是从1到10000的完全平方数的集合， 是从1到10000的完全立方数的集合。因为 ，所以 。因为 ，所以 。因为一个整数既是完全平方数也是完全立方数的充分必要条件是它是完全六次方数， ，所以 。从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数
第二章作业答案
7.证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。
证明用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。这样，将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a和b。若a和b被100除余数相同，则 能被100整除。若a和b被100除余数之和是100，则 能被100整除。
满足
， ， ，
的整数解的个数
24.把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是多少？
(c)
×
×
×
×
×
×
×
×
解禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的 部分，包含5个位置，右下角的 部分，包含3个位置。用 表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，则有1种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放三个非攻击型车，在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有1种方法， 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
6.面包店出售巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈，并在一特定时刻有6个巧克力、6个肉桂和3个素炸面包圈。如果一个盒子装12个面包圈，那么可能有多少种不同的盒装面包圈组合？
解用a，b，c分别表示巧克力的、肉桂的和素的炸面包圈。本题要求的是多重集 的12-组合的个数。设S为 的所有12-组合的集合，则 。设 为 的所有至少有7个a的12-组合的集合， 为 的所有至少有7个b的12-组合的集合， 为 的所有至少有4个c的12-组合的集合。每个 的5-组合再加上7个a就得到一个至少有7个a的12-组合，所以 的至少有7个a的12-组合的个数等于 的5-组合的个数， 。同样可得到 ， 。 的至少有7个a和7个b的12-组合的个数 ， 的至少有7个a和4个c的12-组合的个数 ， 的至少有7个b和4个c的12-组合的个数 ， 的至少有7个a、7个b和4个c的12-组合的个数 。因此，T的12-组合的个数
14.一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？
解由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出 个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。因此，需要45分钟。
17.证明：在一群 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。
11.从15个球员的集合中选人组成11个球员的足球队，其中5人只能踢后卫，8人只能踢边卫，2人既能踢后卫又能踢边卫。假设足球队有7个人踢边卫4个人踢后卫，确定足球队可能的组队方法数。
解设甲和乙既能踢后卫又能踢边卫。
若甲和乙均不入选，组队方法数为 。
若甲和乙均入选，组队方法数为 + + 。
若甲入选且乙不入选，组队方法数为 + 。
证明因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到 的整数。若有两个人的熟人的数目分别是0和 ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这n个人的熟人的数目是 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。
第三章作业答案
6.有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？
(a)各位数字互异。
26.计算 的排列 的个数，其中
； ； ； 以及 。
解所要求的排列个数等于把六个非攻击型车放到具有如下所述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数。
×
×
×
×
×
×
×
×
×
禁放位置可分成两个“独立”部分，左上角的 部分，包含5个位置，右下角的 部分，包含4个位置。用 表示把k个非攻击型车都放在禁止位置的方法数。 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有4种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，则有2种方法；若在 部分和 部分的禁止位置各放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法；若在 部分的禁止位置放两个非攻击型车，在 部分的禁止位置放一个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。若在 部分和 部分的禁止位置各放两个非攻击型车，则有 种方法。因此， 。 。把六个非攻击型车放到具有上述禁止位置的6行6列棋盘上的方法数是
解对应齐次递推关系的特征方程为 ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为 ，则 ，因而 ，因此 。
该非齐次递推关系的一般解为 。
令 ，得 ，解得 。因此， 。
26.求解非齐次递推关系
（ ）
解法一对应齐次递推关系的特征方程为 ，它的特征根为4。设该非齐次递推关系的特解为 ，则 ，解得 。该非齐次递推关系的一般解为 。令 ，得 。因此， 。
S的有3个a3个b4个c的10-排列的个数为 。
S的10-排列的个数为 。
31.方程 有多少满足 ， ， ， 的整数解？
解进行变量代换：
， ， ，
则方程变为
原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为