电磁场理论课件 2-3 拉普拉斯方程
合集下载
2020年高中物理竞赛—电磁学B03泊松方程 拉普拉斯方程 (共13张PPT)
2020高中物理竞赛
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
拉普拉斯方程公式
拉普拉斯方程公式
摘要：
1.引言：拉普拉斯方程的概述
2.拉普拉斯方程的公式表示
3.拉普拉斯方程的物理意义
4.拉普拉斯方程的应用领域
5.结论：拉普拉斯方程的重要性
正文：
1.引言：拉普拉斯方程的概述
拉普拉斯方程是物理学和工程学中的一种重要方程，主要用于描述静电场、静磁场以及流体运动等领域的现象。
该方程是由法国数学家和天文学家拉普拉斯提出的，因此得名拉普拉斯方程。
2.拉普拉斯方程的公式表示
拉普拉斯方程的公式表示为：Φ=0，其中Φ表示电势或磁势。
这个方程描述了静电场或静磁场中的势分布，它在空间中任意一点的梯度都等于零，也就是说，拉普拉斯方程描述的是无旋场。
3.拉普拉斯方程的物理意义
拉普拉斯方程的物理意义是：在静电场或静磁场中，任意一点的场强方向上的散度为零，也就是说，场强线是闭合的，不会中断。
这个物理意义在实际应用中非常重要，因为它保证了场的连续性和保守性。
4.拉普拉斯方程的应用领域
拉普拉斯方程在许多领域都有广泛的应用，包括静电场、静磁场、流体力学、空气动力学等。
在这些领域，拉普拉斯方程可以用来求解场的分布，从而帮助我们理解和预测各种物理现象。
5.结论：拉普拉斯方程的重要性
拉普拉斯方程是物理学和工程学中非常重要的方程，它描述了无旋场的特性，并在许多领域都有广泛的应用。
拉普拉斯变换ppt课件
ds ds 0
0
e-st t f (t)dt 0
从而 ℒ [t f (t)] (1) dF(s) ds
类推 ℒ [t n f (t)] (1)n dnF (s)
ds n
17
6.2 基本函数的拉普拉斯变换
18
一 单位阶跃函数
二 δ(t)函数
L[ (t t0 )]
关于 p的代数方程
原微分方程的解
Laplace 变换的反演
39
一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式
和 Laplace 变换的性质求原函数。
一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分
式展开 4）利用拉氏变换表求解
注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。
20
6.3 Laplace 变换的基本性质
21
Laplace 变换F(s) 的特性：
（1） F(s) 在 Re(s)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | s | ,
s 平面
|Arg s| /2 - ε (ε > 0) 时：
o
F(s) 存在，
且满足 lim F(s) 0 s
L[teat ]
1
t d e(sa)t
0
sa 0
1 sa
t e(sa)t
|
0
e (sa)t
0
dt
s
1 a
0
s
1
a
e (sa)t
0
d[(s
第2章 电磁场基本方程PPT课件
静电场：
积分形式
微分形式
特点
(1) E dl 0 l
E 0
——静电场的环路定律
无旋场（保守场， 位场）
(2)
Dds Q
S
即
——高斯定理
D v
or E v
有散场，通量 源是电荷
4
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields
EM
U
a
ln
b a
c) EM最大值发生于
dEM da
(a
U ln
b a
)2
(ln
b a
1)
0
得 ln b 1 b e
a
a
故 a b 1.8 0.662cm e 2.718
11
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
高斯定理解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
dF
F
l
B
Idl 4
Idl
l 4
I
l 4
I dl R2
I dl
R2
dl Rˆ
R2
安培定律
Rˆ
Rˆ
Idl Jdsdl
Jdv
B
Jr dv
JRr4
1 R
v
R
Jr
1 Jr
R
B
4
v
Jr Rˆ
R2
dv
5
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
E B （a）
t
H J D （b）
《电磁场理论》课件2
E1t E 2t J 1n J 2 n
1 E1 cos 1 2 E 2 cos 2
及
J2
α2
E1 sin 1 E 2 sin 2
tg1 tg 2
α1
J1
1 2
图2-1
式中α1、α2分别为E1、E2与法线方向的夹角（如图2-1）
⑵良导体与不良导体分界面上的衔接条件
可见
E E d l E d l E E E d l
l e l l l e
e
dl 0
2.3.3 恒定电场的基本方程
上面给出了导电媒质中恒定电场（电源外）的基本方程：
J dS 0 E dl 0
S l
两场量间的关系
2 0
因此，对于恒定电场中的某些问题，可先解拉氏方程，解出电位函 数，然后通过电位梯度求得场强E。
在两种不同导电媒质的分界面上，由电位函数表示的衔接条
件为
1 2 1 2 2 1 n n
例2-1 位为 U 0 sin
x
a
长直接地金属槽，底面、侧面电位均为零，顶盖电 。求槽内导电媒质中的电位分布。
0； 0；
U 0 sin ax ； 0。
由边界条件⑴和⑷，在解的表达式中，需选择在x=0和x=a
处都为0的函数，故应取x的周期函数，y的双曲函数。因此，
υ(x,y)的通解为
( x, y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
( An cos k n x Bn sin k n x)(C n cosh k n y Dn sinh k n y)
电磁场基本方程ppt课件
2
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F
r
K
qq r
两点电荷间的作用力
其中，K是比例常数，r是两
点 电 荷 间 的 距 离 ， r 为 从 q1 指向q2的单位矢量。若q1和 q2同号，该力是斥力，异号 时为吸力。
3
第二章 电磁场基本方程
比例常数K与力，电荷及距离所用单位有关。在SI制中，
35
第二章 电磁场基本方程
2.4.2 两种特殊情况 理想介质是指 0 即无欧姆损耗的简单媒质。在两种 理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即
s 0，Js
两种理想介质间的边界条件
36
第二章 电磁场基本方程
理想介质和理想导体间的边界条件
37
第二章 电磁场基本方程
2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.5.1 坡印廷定理的推导和意义
E D E E
t
t
Ex
Ex t
Ey
E y t
Ez
Ez t
1 2
E
2 x
t
1 2
E
2 y
t
1 2
E
2 z
t
t
1 2
E 2
Ñs (E
H ) dS
t
V
1 2
E2
1 2
H
2
dV
V
E
JdV
其中，
we
1 E2 2
为电场能量密度
wm
1 2
H 2
为磁场能量密度
39
第二章 电磁场基本方程
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
第二章 电磁场基本方程
2.1 静态电磁场基本定律和基本场矢量
2.1.1 库仑定律和电场强度
F
r
K
qq r
两点电荷间的作用力
其中，K是比例常数，r是两
点 电 荷 间 的 距 离 ， r 为 从 q1 指向q2的单位矢量。若q1和 q2同号，该力是斥力，异号 时为吸力。
3
第二章 电磁场基本方程
比例常数K与力，电荷及距离所用单位有关。在SI制中，
35
第二章 电磁场基本方程
2.4.2 两种特殊情况 理想介质是指 0 即无欧姆损耗的简单媒质。在两种 理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即
s 0，Js
两种理想介质间的边界条件
36
第二章 电磁场基本方程
理想介质和理想导体间的边界条件
37
第二章 电磁场基本方程
2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.5.1 坡印廷定理的推导和意义
E D E E
t
t
Ex
Ex t
Ey
E y t
Ez
Ez t
1 2
E
2 x
t
1 2
E
2 y
t
1 2
E
2 z
t
t
1 2
E 2
Ñs (E
H ) dS
t
V
1 2
E2
1 2
H
2
dV
V
E
JdV
其中，
we
1 E2 2
为电场能量密度
wm
1 2
H 2
为磁场能量密度
39
第二章 电磁场基本方程
T
磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为
经典电磁场理论
达朗泊方程
1 2 2 2 c t 0 1 2 A 2 A 2 2 0 J c t 1 A c2 0 t
2
w S E J 洛仑兹力 t g f E J B 能量守恒 f T t 电磁场 麦克斯韦方程组 的基本 规律 A 2 E E t E 0 B 静电 E t D E W 1 dV 场 D 0E e D 2 D
洛仑兹力
w S E J t 动量守恒： g f T 能量守恒: t
第一章
D D H J t B 0
第二章
第二章 静电场（Electrostatic Field)
静电场的 性质和求 解静电场 问题的各 种方法。
泊松方程
静电场的理论基础
边值关系
唯一性定理
[例1]
有一半径为a的导体球，它的中心恰位 于两种均匀无限大介质的分界面上， 介质的介电常数分别是 1 与
2
。
若导体球总电荷为Q，求导体球表面 处自由电荷分布。
[例2]两同心导体球壳之间充 以两种介质，左半球介电常数 为 1 ，右半球介电常数为 2 。
1在均匀区域满足唯一性定理uniquenesstheorem给定区域v内每个导体上的电势或电荷总量以及导体外介质中的自由电荷分布对于一个满足唯一性条件的静电场问题它保证了不论用什么方法得到的问题的解都是真正的解泊松方程边值关系唯一性定理有一半径为a的导体球它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上介质的介电常数分别是若导体球总电荷为q求导体球表面处自由电荷分布
洛仑兹力
《电磁场理论》课件
《电磁场理论》PPT课件
探索电磁场的奇妙世界。从电磁场的基本概念出发，深入了解麦克斯韦方程 组的原理，并探究电场和磁场的相互作用。
电磁场的基本概念
1 电磁场的定义
介绍电磁场的基本概念和特性，包括电场和磁场的形成和作用。
2 电磁场的方程
了解麦克斯韦方程组，掌握其含义并探索其丰富的物理意义。
3 场强和场线
电场和磁场的相互作用
洛伦兹力
探讨洛伦兹力的作用机制和应用，以及电磁场与带电粒子之间的相互作用。
电磁感应
解释电磁感应的原理和应用，研究磁场变化对电流和电动势的影响。
电磁波的产生和传播
电磁波的产生
深入了解电磁波的产生机制，探究电场和磁场的交 替在空间中的传播特性，包括传播速度、 衰减和反射等现象。
深入了解电磁感应在电动机、变压器等
电磁波的应用
2
设备中的应用原理和工作机制。
探索电磁波在通信、遥感和医学等领域
的广泛应用和前沿技术。
3
磁共振成像
介绍磁共振成像技术的原理和应用，探 究其在医学和科研领域的重要性。
总结和展望
总结电磁场理论的核心概念和主要内容，并展望未来电磁场理论的发展方向和前景。
解释电磁场强度的概念和场线的作用，以及如何分析和表示电磁场的分布情况。
麦克斯韦方程组的介绍
1
高斯定律
详细阐述高斯定律的原理和应用，探讨电场和磁场的产生和分布规律。
2
法拉第定律
深入理解法拉第定律，包括电磁感应的原理、电动势的产生和磁场变化的影响。
3
安培定律
解释安培定律的含义和应用，了解电流和磁场的相互作用及其影响。
电磁场的能量和动量
1 能量守恒定律
探究电磁场能量的来源和 转化，以及能量守恒定律 在电磁场中的应用。
探索电磁场的奇妙世界。从电磁场的基本概念出发，深入了解麦克斯韦方程 组的原理，并探究电场和磁场的相互作用。
电磁场的基本概念
1 电磁场的定义
介绍电磁场的基本概念和特性，包括电场和磁场的形成和作用。
2 电磁场的方程
了解麦克斯韦方程组，掌握其含义并探索其丰富的物理意义。
3 场强和场线
电场和磁场的相互作用
洛伦兹力
探讨洛伦兹力的作用机制和应用，以及电磁场与带电粒子之间的相互作用。
电磁感应
解释电磁感应的原理和应用，研究磁场变化对电流和电动势的影响。
电磁波的产生和传播
电磁波的产生
深入了解电磁波的产生机制，探究电场和磁场的交 替在空间中的传播特性，包括传播速度、 衰减和反射等现象。
深入了解电磁感应在电动机、变压器等
电磁波的应用
2
设备中的应用原理和工作机制。
探索电磁波在通信、遥感和医学等领域
的广泛应用和前沿技术。
3
磁共振成像
介绍磁共振成像技术的原理和应用，探 究其在医学和科研领域的重要性。
总结和展望
总结电磁场理论的核心概念和主要内容，并展望未来电磁场理论的发展方向和前景。
解释电磁场强度的概念和场线的作用，以及如何分析和表示电磁场的分布情况。
麦克斯韦方程组的介绍
1
高斯定律
详细阐述高斯定律的原理和应用，探讨电场和磁场的产生和分布规律。
2
法拉第定律
深入理解法拉第定律，包括电磁感应的原理、电动势的产生和磁场变化的影响。
3
安培定律
解释安培定律的含义和应用，了解电流和磁场的相互作用及其影响。
电磁场的能量和动量
1 能量守恒定律
探究电磁场能量的来源和 转化，以及能量守恒定律 在电磁场中的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i
n
j
j
n
(在Sij面上)
导体的总电荷
S
n
ds
Q
边界条件： 或
S n S
§拉普拉斯方程 分离变量法
一.分离变量法适用条件
1. 空间 0自由电荷只分布
在介质(或导体)表面，
Y
或为点电荷。
视为边界条件
泊松方程
inside 0
Z
2
2 0 拉普拉斯方程
2. 0 '
自由 极化
cos(kz)
无限-取特定点为零，如原点
2.分析对称性、分区，求拉普拉斯方程通解
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 确定常数（边界） 1）外边界：
[1]电荷分布有限
0
C
接地C=0
导体
s
n
s
总电荷Q，
密度
[2]电荷分布无限
2）内边界
[1]介质分界面
1 s 2 s
1
1 n
s
2
2 n
s
介质界面无 自由电荷
[2]导体边界
C
接地C=0
s
)Pnm
(cos
)
sin
m
1）若不依赖 ,轴对称
缔合勒让德函数
(R, )
n
(an Rn
bn Rn1
)Pn (cos )
P283
2）若不依赖 , 球对称。
2
1 r2
r
(r2
) r
0
r2
r
C
(R) a b
r
勒让德函数
三. 解题步骤
1. 选择坐标系和电势参考点
分界面
电荷有限-电势无穷远处为0
(r
df (r) dr
)
r
2 2
f (r) 0
g f
(
(r
) )
a1 sin a2 cos
有两个线性无关解 r
,
r
d2 f
dx2
1 x
df dx
(1
m2 x2
)
f
0
(x r
)
d2g
d
2
m2 g
0
g(0) g(2 )
d 2Z
dz 2
Z
0
单值性要求： g(0) g(2， )所以
d2X dx 2 d 2Y dy 2
k2X 0 k 2Y 0
X ( x) Aekx Y (x) C sin
Bekx ky D cos
ky
(x, y) ( Aekx Bekx )(C sin ky D cos ky)
(3)若与y、z都无关
(x)
d 2
dx2
0
(x) Ax B
e
z Fe
z
3）与θ、z无关
(r)
1 (r ) 0 r r r
(r, , z) fm ( r)gm ( )Z (z) m
r C r
A B ln r
3. 球坐标
(R, ,)
n,m
(anm Rn
bnm Rn1
)Pnm (cos
) cos
m
n,m
(cnm Rn
dnm Rn1
2.柱坐标：p278 (r,, z)
2）若与z无关 (r, ) f (r)g( )
2
1 r
r
(r
) r
1 r2
2 2
2
z 2
0
1）(r, , z) f (r)g( )Z (z)
1 1 2 2
r
(r r
r ) r 2
2
z 2
0
分离变量
d
2 g ( d 2
)
2
g(
)
0
1 r
d dr
选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密 度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程
拉普拉斯方程
2 0
利用边界条件定解说明两点：
第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布）， 必须有i个相应的Laplace's equation .
第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值
关系：
i
j
i
X
二.拉普拉斯方程在几种坐标系 中解的形式
1.直角坐标系
(1) 令：
2
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
(x, y, z) X (x)Y ( y)Z(z)
带入上式：
YZ
d2X dx2
XZ
d 2Y dy 2
XY
dZ 2 dz 2
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d 2Y dy 2
1 Z
d 2Z dz 2
0
通解
n 取正整数。
(r, ) [rn (An sin n Bn cos ) rn (Cn sin n Dn cos n )] n1 ( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
f g
(x) ( )
Am Cm
Jm(x) cos(m
Bm )
Nm (x) D sin(m
)
Z
(z)
E
Z
解: (1) 边界为平面，选直角坐标系
下板
，设 为0 参考点。 s1
a） 数学表示为: b） 数学表示为:
2
或 S n S
,i 1, 2,3 Si
2
(在V ′ 内)
或
S n S
(已知)
Q ,i 1, 2,3 Si
(已知)
常数, Si
（待定）
(在V ′ 内) (已知) (已知)
唯一性定理： 1.满足麦克斯韦方程（或泊松方程）
D f
E 0
(k12 ) (k22 ) (k 2 ) 0
d2X
dx2
k12 X
0
X (x) Aek1x Bk1x
d 2Y
dy
2
k22Y
0
d 2Z
dz 2
k2Z
0
Y ( y)
Cek2 y
Dek2 y
Z (z) E sin kz F cos kz
(2)若与z无关
(x, y) X (x)Y ( y)
基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件
具体的工作：解泊松方程
在许多实际问题中，静电场是由带电 导体决定的．
例如 电容器内部的电场是由作为电极的两 个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场 是由分布于电极上的自由电荷决定的
这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的 表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．
复习
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
i j
(在两种绝缘介质的分界面上)
i
i
n
j
j
n
分界面法向单位矢量 n由 j指向i )
f 0
或
S n S
(在整个区域V 的边界面S上给定,按
约定,边界面法线 n指向V 外)
惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中 静电场分布的惟一解.
n
s
总电荷Q，
密度
例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V ，一板接地，求两极板间 的电势和电场
Z
L Y
X 例2. 一对接地半无限大平板，相距为b，在左端有一板电势为V（常数）， 求板间的电势？
Y
X Z
例1.两无限大平行导体板，相距L，两板电势差为V，一板接地，求两极板间 的电势和电场
2.满足边界条件：外边界和内边界（边值关系）
内边界： 1）介质
n (E2 E1) 0
n (D2 D1)
E2t E1t 0
D2n D1n f
2）金属
或Q
Si
Si
外边界：
或
S
n
ds
Q
§2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 Laplace's equation,
method of separate variation