专题03 三角函数、三角恒等变换与解三角形-备战高考数学二轮复习之重点专题考前回扣
(2)商的关系：csoins αα＝tan αα≠kπ＋2πk∈Z.
8.三种三角函数的图象和性质 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x
图象
定义域 值域
__R__
R
_{x_|_x_≠__π2_＋__kπ__，__k∈__Z__}
相关公式：(1)l＝ |α|r . (2)S＝12lr＝__12_|α_|r_2_.
6.利用单位圆定义任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y. (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x. (3)yx叫做 α 的正切，记作 tan α，即 tan α＝yx(x≠0). 7.同角三角函数的基本关系
[－1,1] (有界性) [－1,1] (有界性)
_R___
零点
最小正 周期 奇偶性
_{_x_|_x_＝__kπ_，__k_∈__Z__}_ {x|x＝π ＋kπ，k∈Z} _{x_|_x_＝__k_π_，__k∈__Z__} 2
__2_π_
_2_π__
__π_
_奇___函数
_偶___函数
_奇___函数
2tan α
tan 2α＝__1_－__t_a_n_2α___.
1－cos 2α
1＋cos 2α
(3)降幂公式：sin2α＝ 2 ，cos2α＝______2______.
(4)辅助角公式：
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝ba.
12.正弦定理及其变形
a sin
11.三角恒等变换 (1) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β ， cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ， sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β ， sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，
3.1弧度的角
在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示.
4.角度制与弧度制的换算 π
(1)1°＝___1_8_0_ rad.
(2)1 rad＝__1_π8_0__°_.
5.扇形的弧长和面积
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对 l
值是|α|＝__r__.
增区间 －π2＋2kπ ， 2π＋2kπ
单
(k∈Z)
_[－__π_＋__2_k_π_，_____ _－__π2_＋__kπ___，___π2_＋__k_π
_2_k_π_](_k_∈__Z_)_
_(_k_∈__Z_)_____
调
性 减区间 _π2_＋__2_k_π_，____32_π_＋_2_k_π___ (_k_∈__Z_)____
考前回扣
回扣3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
回归教材 1.终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ _{_β_|β_＝__α_＋___k_·3_6_0_°_，__k_∈__Z__}__，即任一与角α终边相同的角，都可以表示 成角α与整数个周角的和. 2.几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__k_·_3_6_0_°，__k_∈__Z__}__. (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__1_8_0_°_＋__k_·_3_6_0_°，__k_∈__Z__}___. (3)终边在x轴上的角的集合：_{α__|α_＝__k_·1_8_0_°_，__k_∈__Z__}__. (4)终边在y轴上的角的集合：{_α_|_α_＝__9_0_°_＋__k·_1_8_0_°_，__k_∈__Z_}___. (5)终边在坐标轴上的角的集合：_{_α_|α_＝__k_·_9_0_°，__k_∈__Z__}__.
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
推论：cos A＝____2_b_c____，cos B＝____2_a_c____，cos C＝_____2_a_b______.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，
a2＋b2－c2＝2abcos C.
14.面积公式
9.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出相应的 x 的值与 y 的值， 描点、连线可得.
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点 作为解题突破口.
(3)图象变换
y＝sin x―向――平左―移―φ―|>φ―0|个―或―单―向位―右―长―φ度―<―0→ y＝sin(x＋φ) 1
b
c
A＝__si_n_B___＝___si_n__C__＝2R(2R
为△ABC
外接圆的直径).
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
13.余弦定理及其推论、变形 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .
tan α＋tan β tan(α＋β)＝_1_－__ta_n__α_ta_n__β_，
tan α－tan β tan(α－β)＝_1_＋__ta_n_α__ta_n_β__.
(2)二倍角公式： sin 2α＝ 2sin αcos α ， cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝2cos2α－1＝ 1－2sin2α ，
[2kπ，π＋ 2kπ](k∈Z)
对 对称轴 __x_＝__π2_＋__k_π_(_k∈__Z__)__ _x_＝__k_π_(_k_∈__Z_)_
称 对称 性 中心
__(_k_π_，__0_) _(k_∈_(_k_∈__Z_) ___k_2π_，__0__(k_∈__Z_)____
时，需把ω的符号化为正值后求解.
4.三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)
的图象时，平移量为
φ
ω
，而不是φ.
5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是
否满足“大边对大角”，避免增解.
谢谢！
S△ABC＝12bcsin A＝_12_a_c_s_in__B__＝__12_a_b_si_n_C___.
易错提醒
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判
断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.
3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0
――横―坐――标―变―纵―为―坐原―― 标来―不―的―变ω――ω―>―0―倍―→y＝sin(ωx＋φ)
―纵――坐――标―变―横―为坐―原―标―来―不的―变―A―A―>―0――倍→y＝Asin(ωx＋φ). 10.准确记忆六组诱导公式 对于“k2π±α，k∈Z”的三角函数值与 α 角的三角函数值的关系口诀： 奇变偶不变，符号看象限.
第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件
22
∴ba＝ssiinn BA＝
3 3
＝2 3
6.
3
目录
解三角形中的证明问题
【例3】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
解 证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin Csin Acos
目录
2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)(正、余弦定理，三角形面积公式)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； 解：由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a. 结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝16＋2450－36＝18，所以 sin
C＝ 1－cos2C＝387， 所以 S△ABC＝12absin C＝12×4×5×387＝154 7.
目录
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由．
解：设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角．
所以cos
C＝
Байду номын сангаас
a2＋b2－c2 2ab
＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2⇒(a＋1)(a
目录
三角形中基本量的求解
【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1
高考数学二轮复习 专题三 第六讲 三角恒等变换与解三角形习题 文-人教版高三全册数学试题
第六讲 三角恒等变换与解三角形1.(2018某某某某模拟)已知tanα=34,α∈(0,π),则cos (α+π6)的值为( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4-3√310D.3√3-4102.(2018某某某某模拟)√3cos15°-4sin 215°cos15°=( ) A.12 B.√22C.1D.√23.(2018课标全国Ⅲ(理),9,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为α2+α2-α24,则C=( ) A.π2B.π3C.π4D.π64.(2018某某六校联考)在△ABC 中,cos 2α2=α+α2α(a,b,c 分别为角A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形5.(2018某某某某第一次统考)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若a,b,c 成等比数列,且a 2=c 2+ac-bc,则ααsin α=( )A.2√33B.√32 C.12 D.√36.(2018某某某某调研)在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,且2bcosC=2a+c,则B=( ) A.π6B.π4C.π3D.2π37.(2018某某某某监测)在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若12bcosA=sinB,且a=2√3,b+c=6,则△ABC 的面积为.8.(2018某某某某调研)在钝角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=4,b=3,则c 的取值X 围是.9.(2018某某某某模拟)如图,在直角梯形ABDE 中,已知∠ABD=∠EDB=90°,C 是BD 上一点,AB=3-√3,∠ACB=15°,∠ECD=60°,∠EAC=45°,则线段DE 的长度为.10.(2018某某某某模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=2ctanB,且a=5,△ABC 的面积为2√3,则b+c的值为.11.(2018某某某某模拟)在△ABC中,D是BC边的中点,AB=3,AC=√13,AD=√7.(1)求BC边的长;(2)求△ABC的面积.). 12.(2018某某,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(α-π6(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.13.(2018某某黄冈模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若23cos 2A+cos2A=0,且△ABC 为锐角三角形,a=7,c=6,求b 的值; (2)若a=√3,A=π3,求b+c 的取值X 围.14.(2018某某湘东五校联考)已知函数f(x)=√32sin2x-cos 2x-12.(1)求f(x)的最小值,并写出取得最小值时的自变量x 的集合;(2)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且c=√3,f(C)=0,若sinB=2sinA,求a,b 的值.答案精解精析1.A 因为tanα=34,α∈(0,π),所以sinα=35,cosα=45,故cos (α+π6)=cosαcos π6-sinαsin π6=45×√32-35×12=4√3-310,故选A.2.D 解法一:√3cos15°-4sin 215°cos15°=√3cos15°-2sin15°·2sin15°cos15°=√3cos15°-2sin15°·sin 30°=√3cos15°-sin15°=2cos(15°+30°)=2cos45°=√2.故选D. 解法二:因为cos15°=√6+√24,sin15°=√6-√24,所以√3cos15°-4sin215°·cos15°=√3×√6+√24-4×(√6-√24)2×√6+√24=√6+√24×(√3-8-4√34)=√2.故选D.3.C 根据余弦定理得a 2+b 2-c 2=2abcosC,因为S △ABC =α2+α2-α24,所以S △ABC =2ααcos α4,又S △ABC =12absinC,所以tanC=1,因为C∈(0,π),所以C=π4.故选C.4.A 已知等式变形得cosB+1=αα+1,即cosB=αα①.由余弦定理得cosB=α2+α2-α22αα,代入①得α2+α2-α22αα=αα,整理得b 2+a 2=c 2,即C 为直角,则△ABC 为直角三角形.5.A ∵a,b,c 成等比数列,∴b 2=ac,∴sin 2B=sinA×sinC,又a 2=c 2+ac-bc=c 2+b2-bc,∴cosA=α2+α2-α22αα=αα2αα=12,∴sinA=√32,∴ααsin α=sin αsin 2B =1sin α=√3=2√33,故选A.6.D 因为2bcosC=2a+c,所以由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA+sinC=2sin(B+C)+sinC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC,即2cosBsinC=-sinC,又sinC≠0,所以cosB=-12,又0<B<π,所以B=2π3,故选D.7.答案 2√3 解析 由题意可知cos α2=sin αα=sin αα,又a=2√3,所以tanA=√3,所以A=π3,由余弦定理得12=b 2+c 2-bc,又b+c=6,所以bc=8,从而△ABC 的面积为12bcsinA=12×8×sin π3=2√3. 8.答案 (1,√7)∪(5,7)解析 三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,据此可得1<c<7,① 若∠C 为钝角,则cosC=α2+α2-α22αα=25-α224<0,解得c>5,②若∠A 为钝角,则cosA=α2+α2-α22αα=α2-76α<0,解得0<c<√7,③结合①②③可得c 的取值X 围是(1,√7)∪(5,7). 9.答案 6解析 在Rt△ABC 中,因为AB=AC·sin∠ACB,所以3-√3=AC·sin15°, 又sin15°=√6-√24,所以可得AC=2√6.又易知∠AEC=30°,所以在△ACE 中,由ααsin45°=2√6sin30°,得EC=4√3.于是在Rt△CDE 中,由∠ECD=60°,可得DE=EC·sin60°=4√3×√32=6.10.答案 7解析 在△ABC 中,由btanB+btanA=2ctanB 及正弦定理,得sin 2B cos α+sin αsin αcos α=2sin αsin αcos α,由于sinB≠0,故sin αcos α=2sin α-sin αcos α,即sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,整理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,由两角和的正弦公式及诱导公式,得sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,由于sinC≠0,故等式两端同除以sinC 可得cosA=12,所以sinA=√32,因为S △ABC =12bcsinA=√34bc=2√3,所以bc=8,由cosA=α2+α2-α22αα=(α+α)2-2bc -α22αα=12,a=5,可得b+c=7.11.解析 (1)设BD=x,则BC=2x, 在△ABD 中,有cos∠ABD=αα2+B α2-A α22αα·αα=9+α2-72×3α,在△ABC 中,有cos∠ABC=αα2+B α2-A α22αα·αα=9+4α2-132×3×2α, 且∠ABD=∠ABC,即9+α2-72×3α=9+4α2-132×3×2α,得x=2,∴BC=4.(2)由(1)可知,cosB=12,又由B∈(0,π),得sinB=√32, ∴S △ABC =12·AB·BC·sinB=12×3×4×√32=3√3.12.解析 (1)在△ABC 中,由αsin α=αsin α可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos (α-π6),得asinB=acos (α-π6),即sinB=cos (α-π6),可得tanB=√3.又因为B∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2accosB=7,故b=√7. 由bsinA=acos (α-π6),可得sinA=√3√7.因为a<c,故cosA=√7.因此sin2A=2sinAcosA=4√37,cos2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=4√37×12-17×√32=3√314.13.解析 (1)∵23cos 2A+cos2A=23cos 2A+2cos 2A-1=0, ∴cos 2A=125,又A 为锐角,∴cosA=15,由a 2=b 2+c 2-2bccosA,代入已知数据得b 2-125b-13=0, 解得b=5(负值舍去),∴b=5. (2)解法一:由正弦定理可得 b+c=2(sinB+sinC) =2[sin α+sin (2π3-B )]=2√3sin (α+π6),∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴12<sin (α+π6)≤1, ∴b+c∈(√3,2√3].解法二:由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA 可得b 2+c 2-3=bc, 即(b+c)2-3=3bc≤34(b+c)2,当且仅当b=c 时取等号,∴b+c≤2√3,又由两边之和大于第三边可得b+c>√3, ∴b+c∈(√3,2√3]. 14.解析 (1)f(x)=√32sin2x-1+cos2α2-12=√32sin2x-cos2α2-1 =sin (2α-π6)-1.当2x-π6=2kπ-π2(k∈Z),即x=kπ-π6(k∈Z)时,f(x)取最小值-2, 此时自变量x 的集合为 {α|x =kπ-α6,k∈Z }.(也可写成{α|x =kπ+5α6,k∈Z }).(2)因为f(C)=0,所以sin (2α-π6)-1=0,又0<C<π, 所以2C-π6=π2,即C=π3.在△ABC 中,sinB=2sinA,由正弦定理知b=2a,又c=√3,所以由余弦定理知(√3)2=a 2+b 2-2abcos π3,即a 2+b 2-ab=3,联立,得{α2+α2-ab =3,α=2α,所以{α=1,α=2.。
新高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形
【 真题体验 】
1.(2023·新高考Ⅱ卷)已知 α 为锐角，cos α＝1＋4 5，则 sin α2＝
3－ 5 A. 8
－1＋ 5 B. 8
3－ 54
5＝1－2sin2α2，得 sin2α2＝3－8
5＝6－126
5＝
54－12，
又 α 为锐角，所以 sinα2>0，
2 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C， 得 52＝AC2＋(3 5)2－2AC·3 5cosπ4， 整理得 AC2－3 10AC＋20＝0，
解得 AC＝ 10或 AC＝2 10.
由(1)得，tan A＝3> 又 A＋B＝34π，所以
3B，>所π4，以即π3<CA<<Bπ2，，
＝ 55×31010－255×－ 1100＝ 22. 所以 β＝π4.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知 sin(α－β)＝13，cos αsin β＝16，则 cos(2α＋2β)＝
7 A.9
√1
B.9
C.－19
D.－79
依题意，得sin cos
αcos αsin
β－cos β＝16，
αsin
β＝13，
所以 sinα2＝－1＋4 5，故选 D.
2.(2023·全国乙卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 acos B
－bcos A＝c，且 C＝π5，则 B＝
π A.10
π B.5
√3π
C.10
2π D. 5
因为acos B－bcos A＝c，
所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(B＋A)，
教辅-高考数学大二轮专题复习三角函数与解三角形之三角恒等变换与解三角形
专题作业
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝
□01 2sinαcosα
；
cos 2α＝ □02 cos2α－sin2α ＝ □03 2cos2α－1 ＝ □04 1－2sin2α ；
tan2α＝ □05 1－2tatnanα2α ；
cos2α＝
1＋cos2α
□06 2
，sin2α＝
□07 1－c2os2α ．
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
2．(2020·北京市昌平区模拟)已知△ABC 中，bc＜cos A. (1)求证：B 是钝角；
解 (1)证明：因为bc＜cos A，由正弦定理可得ssiinn CB＜cos A，在三角形中， sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，且 sin B＞0，
，b2＝ □02 a2＋c2－2accosB ，c2
＝ □03 a2＋b2－2abcosC
．
推论：cos A＝
b2＋c2－a2 □04 2bc ，cos
a2＋c2－b2
□05 B＝
2ac
a2＋b2－c2
□06 ，cos C＝
2ab
．
6．面积公式 S△ABC＝
□01 12bcsinA
＝ □02 12acsinB
(3)(2020·山东省泰安市高三一模)已知 α，β∈34π，π，sin(α＋β)＝－35， sin β－π4＝1123，则 cos α＋π4＝________．
答案 －5665
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
解析 已知 α，β∈34π，π，sin (α＋β)＝－35， sin β－4π＝1132，α＋β∈32π，2π，β－π4∈π2，34π， ∴cos (α＋β)＝45，cos β－4π＝－153， ∴cos α＋π4＝cos （α＋β）－β－π4 ＝cos (α＋β)cos β－4π＋sin (α＋β)sin β－4π ＝45×－153＋－35×1123＝－5665.
高三数学二轮专题复习第2讲 三角恒等变换与解三角形
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5[解析] 因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32.所以AB ＝4 2. [答案] A2.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝________.[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝255，cos α＝55.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.[答案] 310103.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解 (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB ，即5sin 45°＝2sin ∠ADB， 所以sin ∠ADB ＝25. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.4.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值. 解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R ， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等. (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换及应用【例1】(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值.解(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－5 5，所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25 5，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）1＋tan 2αtan（α＋β）＝－211.探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018·广西三市联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A.13 B.－13 C.3 D.－3(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________.[解析] (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，又x ∈(0，π)，则tan x ＝2， 故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)] ＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3.[答案] (1)A (2)π3热点二 正弦定理与余弦定理考法1利用正(余)弦定理进行边角计算【例2－1】(2018·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B. ∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.【迁移探究1】若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC ＝334”，试求a＋c的值.解由S△ABC ＝12ac·sin B＝334，∴12ac·32＝334，则ac＝3.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－ac，所以(a＋c)2＝b2＋ac＝9＋3＝12，故a＋c＝2 3.【迁移探究2】在第(2)问中，保留条件b＝3，删去“条件△ABC的周长为3＋23”，试求△ABC面积的最大值.解由b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac，则9＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤9(当且仅当a＝c＝3时，取等号)，故S△ABC ＝12ac sin B≤12×9sin2π3＝934，所以△ABC 面积的最大值为934.探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2， 故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517及B 为三角形一内角，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.考法2 应用正、余弦定理解决实际问题【例2－2】(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米[解析]由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420(米).在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CHsin∠CAH ＝ACsin∠AHC.可得CH＝AC·sin∠CAHsin∠AHC＝1406(米).[答案] B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析] 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). [答案] 100 6热点三 与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA →·BC →的值. 解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.因为f (x )的最小正周期为π，所以T ＝2π2|ω|＝π. 又ω＞0，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . 因为f (B )＝－2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，由于0<B <π，解得B ＝2π3.因为BC ＝3，即a ＝3，又sin B ＝3sin A ， 所以b ＝3a ，故b ＝3.由正弦定理，有3sin A ＝3sin 2π3，解得sin A ＝12.由于0＜A ＜π3，解得A ＝π6.所以C ＝π6，所以c ＝a ＝ 3.所以BA →·BC →＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】 已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长.解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵在△ABC 中f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C.－79D.－89[解析] cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. [答案] B2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34πB.π3C.π4D.π6[解析] 由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2＝sin A .在△ABC 中，A ＝π4. [答案] C3.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3C.π4D.π6[解析] 因为S △ABC ＝12ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 24＝12ab sin C .由余弦定理a 2＋b 2－c2＝2ab cos C ，得2ab cos C ＝2ab sin C ，即cos C ＝sin C .所以在△ABC 中，C ＝π4. [答案] C4.(2018·合肥质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π[解析] 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2.又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. [答案] C5.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A.a ＝2b B.b ＝2a C.A ＝2BD.B ＝2A[解析] 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ， 因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0. 所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b . [答案] A 二、填空题6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.[解析] ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，① cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， ∴sin(α＋β)＝－12. [答案] －127.(2018·东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，则25sin α－7tan 2α的值为________.[解析] 由题意知tan α＝3a 4a ＝34，sin α＝3a 5|a |＝－35. ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×341－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝247，∴25sin α－7tan 2α＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－7×247＝－39. [答案] －398.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________.[解析] 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C ≠0，所以sin A ＝12.因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝82bc ＝32，所以bc ＝833.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.[答案] 233 三、解答题9.(2018·济南二模)在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，AB ＝23，AM →＝MC →. (1)求BM 的长；(2)设D 是平面ABC 内一动点，且满足∠BDM ＝2π3，求BD ＋12MD 的取值范围. 解 (1)在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ， 代入数据，得cos C ＝－12. ∵AM→＝MC →， ∴CM ＝MA ＝12AC ＝1.在△CBM 中，由余弦定理知： BM 2＝CM 2＋CB 2－2CM ·CB ·cos C ＝7， 所以BM ＝7.(2)设∠MBD ＝θ，则∠DMB ＝π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. 在△BDM 中，由正弦定理知： BD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝MD sin θ＝BM sin 2π3＝273. ∴BD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，MD ＝273sin θ， ∴BD ＋12MD ＝273sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＋73sin θ＝73(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故BD ＋12MD 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，7.10.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值.解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b sin A ＝a sin B ， 又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37. 因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437， cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.11.(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝3sin(2 018π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋x －cos 2x ＋1.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若△ABC 的角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2BD ＝2，求cos C . 解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋1 ＝32sin 2x －12(1＋cos 2x )＋1＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)f (A )＝32⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0<A <π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6.由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝22，B ＝π4或B ＝3π4(舍去)，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin π3sin π4－cos π3cos π4＝6－24.。
高考二轮总复习课件(适用于新高考)数学4三角函数三角恒等变换与解三角形
公式
简记符号
两角和的正弦 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
S(α+β)
两角差的正弦 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
S(α-β)
(3)两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
两角和的正切
α+ β
tan(α+β)=
1- α β
—
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,
符号看象限
8.三种三角函数的性质
函数 y=sin x
y=cos x
y=tan x
图像
在[- +2kπ, +2kπ](k∈Z)
2
2
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)
单调
上单调递增;在
上单调递增;在
性
π
3π
[ +2kπ, +2kπ](k∈Z)上
2
2
[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单
推论:cos A=
2
+2 -2
2
2
2
2
+ -
,cos B=
2
2 2
2
+ -
,cos C=
2
.
变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C.
1
1
1
14.面积公式 S△ABC=2bcsin A=2acsin B=2absin C.
6.同角三角函数的基本关系式
三角恒等变换与解三角形课件-2023届高三数学二轮专题复习
.
解析:由题意得 S△ABC= acsin B= ac=
,则 ac=4,所以 a2+c2=3ac=3×4=12,
所以 b2=a2+c2-2accos B=12-2×4× =8,则 b=2
答案:2
,B=60°,
.
5. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 B=150°.
=
( cos α- sin α)=
cos(α+ )=
sin( -α)=
得 sin( -α)= .
所以 sin(α+
答案:-
)=-sin[2π-(α+
)]=-sin( -α)=- .
,
(1)三角恒等变换的基本思路:统一名称,统一角度.一个流程:一角、二名、
三结构,即一看角的变化(已知角和所求角之间的联系),二看函数名称的变化,
D.473
解析:如图所示,根据题意过 C 作 CE∥C′B′,交 BB′于 E,过 B 作 BD∥A′B′,交 AA′于 D,
则 BE=100,C′B′=CE=
°
.
′′× °
在△A′C′B′中,∠C′A′B′=75°,则 BD=A′B′=
角为 45°,所以 AD=BD=
,
结合 A= 知 bc=12.
又 b+c=4
,
所以由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos =(4
所以 a=2
.故选 A.
)2-3bc=48-3×12=12,
备战2023年高考数学二轮复习专题 第二讲 三角恒等变换与解三角形
二轮·数学
5
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练··全国卷Ⅰ)已知 α∈(0，π)，且 3cos 2α－8cos α＝5，则 sin α＝( A )
A．
5 3
C．13
B．23
D．
5 9
6
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
解析：由 3cos 2α－8cos α＝5，得 3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：2tan θ－tanθ＋π4＝2tan θ－11＋ －ttaann θθ＝7，解得 tan θ＝2.
8
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
二轮·数学
5．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－14，则bc＝( A )
∴tan B＝－1. 又 B∈(0，π)，∴B＝34π.
答案：34π
11
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
二轮·数学
[把脉考情] 1.三角函数的化简求值(给值求值，给角求值)．
考什么 2．利用正、余弦定理解三角形基本问题(求边、角、面积). 1.继续以选择、填空题形式考查三角恒等变换求值，注意与
A．－12
B．－2
C．12
D．13
13
高考集训·考情分析
题型突破· 重点探究
限时规范训练· 巩固提升
解析：∵cos(3π－x)－3cosx＋π2＝0， ∴－cos x＋3sin x＝0， ∴tan x＝13.
高考数学二轮复习专题3三角函数及解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形课件
2．利用同角三角函数的关系式化简与求值的三种常用方法 (1)切弦互换法：利用 tan α＝csoins αα进行转化． (2)和积转化法：利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α 进行变形、转化． (3)常值代换法：其中之一就是把 1 代换为 sin2α＋cos2α.同角三角函数关系 sin2α＋cos2α＝1 和 tan α＝csoins αα联合使用，可根据角 α 的一个三角函数值求出另外 两个三角函数值．根据 tan α＝csoins αα可以把含有 sin α，cos α 的齐次式化为 tan α
式成立的是 导学号 52134401 ( A )
A．a＝2b
B．b＝2a
C．A＝2B
D．B＝2A
• [解析] 等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C) • ＝sin Acos C＋sin(A＋C) • ＝sin Acos C＋sin B， • 等式左边＝sin B＋2sin Bcos C， • ∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B． • 由cos C>0，得sin A＝2sin B． • 根据正弦定理，得a＝2b． • 故选A．
命题热点突破
•命题方向1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、 (1)(2017·日照诱模导拟公)已式知角的α应的用终边上一点 P 的坐标为(sin23π，
cos23π)，则角 α 的最小正值为 导学号 52134406 ( D )
A．56π
B．23π
C．53π
D．116π
[解析] 由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos α＝sin23π＝
2tan α • (3)tan 2α＝___1_－__t_an_2_α_____．
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题三第二讲三角恒等变换与解三角形
高考考点考点解读[解析] 由题意S △ABC ＝12ab sin C ＝a2＋b2－c24，即sin C ＝a2＋b2－c22ab ，由余弦定理可知sin C ＝cos C ，即tan C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π4.3．(20xx·全国Ⅰ卷，11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A ()1，a ，B()2，b ，且cos2α＝23，则||a －b ＝( B ) A ．15B ．55C ．255D ．1[解析] 由cos2α＝2cos 2α－1＝23可得cos 2α＝56＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1，化简可得tan α＝±55；当tan α＝55时，可得a 1＝55，b 2＝55，即a ＝55，b ＝255，此时|a －b |＝55；当tan α＝－55时，仍有此结果，故|a －b |＝55. 4．(20xx·天津卷，6)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减 [解析] 选A ．因为将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到函数y＝sin2x 的图象．用五点法作出草图，如图：从图中可以看出选项A 正确，其他都不正确．⎝ ⎛4－α＝5，则sin22 .＝4＋2c＝R，则△9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为2＋3.[解析] 由题意设BC ＝x (x >1)米， AC ＝t (t >0)米，依题设AB ＝AC －0.5 ＝(t －0.5)米，在△ABC 中，由余弦定理得： AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°， 即(t －0.5)2＝t 2＋x 2－tx ，化简并整理得： t ＝x2－0.25x －1(x >1)，即t ＝x －1＋0.75x －1＋2，因为x >1，故t ＝x －1＋0.75x －1＋2≥2＋3， 当且仅当x ＝1＋32时取等号，此时取最小值2＋3.10．(20xx·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC ．[解析] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sinA ＝AB sin ∠ADB. 由题设知，5sin45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25. 由题意知，∠ADB ＜90°， 所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.∴a ·(－MB →－MC →)＋b MB →＋33c ·MC →＝0.即(b －a )·MB →＋(33c －a )·MC →＝0，∵MB →与MC →不共线， ∴b －a ＝0，32c －a ＝0. 得a b33c ＝111，令a ＝1，b ＝1，c ＝3， 则cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝1＋1－32×1×1＝－12，∴C ＝2π3，故选D ．2．(20xx·××市一模)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( A ) A ．－79B ．79C ．－29D ．29[解析] ∵cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝－(1－29)＝－79.3．(20xx·威海二模)已知等腰△ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上的一点且AD ＝BD ，则sin ∠ADB 的值为( C )A ．36B ．23C ．223D ．63[解析] 如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB ，。