湖南省部分重点高中2020-2021学年第一学期期中联考高二数学试卷21-09-95B,含答案)
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下列有关命题的说法正确的是( )A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“”的否定是“”C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题2. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，则△ABF 2的周长是( ) A. 2√3B. 4C. 6D. 8 3. 设x ∈R ，则“x >12”是“(1−2x)(x +1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数f(x)=x ·sinx +cosx 则f’( )的值为A.B. 0C. −1D. 1 5. 已知方程和，其中，，它们所表示的曲线可能是下列图象中的( )A.B. C. 6. 已知函数f(x)={x,x <013x 3−12(a +1)x 2+ax,x ≥0，若函数y =f(x)−ax −1有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)D. (−∞,−1)7.阿波罗尼斯(约公元前262−190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k=1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P与A，B距离之比为√2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是()A. 4√2B. 2√2C. 6√2D. 8√28.设函数y=f(x)在(−∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：，取函数f(x)=2−x−e−x，若对任意的x∈(−∞,+∞)，恒有f k(x)=f(x)，则()A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为1D. k的最小值为19.若B点的坐标为(3,2)，点P为抛物线C：y2=6x上的动点，F是拋物线C的焦点，当△PBF周长取得最小值时△PBF的面积为()A. 32B. 92C. 73D. 310.设a，b∈R，函数f(x)={x,x<0,13x3−12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，则()A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>011.已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)，直线y=−b与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，O 为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则曲线C的焦距为()A. 2B. 4C. √2D. √312.命题“存在实数x，使x2+x−1<0”的否定为()A. 对任意实数x，都有x2+x−1≥0B. 不存在实数x，使x2+x−1≥0C. 对任意实数x，都有x2+x−1<0D. 存在实数x，使x2+x−1≥0二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13.已知曲线C：mx2+ny2=1，下列说法正确的是()A. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nn．B. 若m>0，n=0，则C是两条直线．C. 若n>m>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上．D. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnx．14.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则()A. 直线AD1与BD的夹角为60°B. 二面角E−AD−B的正切值是12C. 经过三点A，E，F截正方体的截面是等腰梯形D. 点C1到平面AB1D1的距离为√3215.已知函数f(x)=e x−e−x2，g(x)=ex+e−x2，则下列结论正确的是()A. f(−x)=−f(x)B. f(−2)>f(3)C. f(2x)=2f(x)g(x)D. [f(x)]2−[g(x)]2=1三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16.曲线y=x3+x−2在点(−1,−4)处的切线的斜率为______．17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值是______ ．18.设集合A={x|x2−4x+3=0}，B={x|x2−ax+3=0}，那么“a=3”是“A∪B=A”的______条件．19.已知向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(cosθ,sinθ)，则|a⃗−2b⃗ |的最大值为______ ．20.已知点P是抛物线y2=16x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的取值范围为______．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1、B2，两个焦点分别为F1，F2，|A1B2|=2√7，四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的两动点，若∠APQ=∠BPQ，求证：直线AB的斜率k AB为定值．22. 设f (k,t)(x)=kx+t x (这里的k ，t ，x ∈R 且x ≠0)(1)f (1,2)(1)，f (2,2)(x)，f (1,3)(3)成等差数列，求x 的值；(2)已知{f (0,1)(1x n )}，n ∈N 是公比为32的等比数列，x 1，x 5∈N ∗是否存在正整数u ，使x 1≥u 4，且x 5≤(u +1)4？若存在，求出u 的值，若不存在，请说明理由；(3)如果存在正常数M ，使得|y n |≤M 对于一切n ∈N ∗的成立，那么称数列{y n }有界，已知a >0，m为正偶数，数列{x}满足x 1=b <0，且x n+1=f (b,a)(1x n m )，n ∈N ∗，证明：数列{x n }有界的充要条件是ab m−1+2≥0．23. 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB//CD ，AB =AD =12CD =2，点M 是线段EC 的中点．(1)求证：BM//平面ADEF ；(2)求证：平面BDE ⊥平面BEC ；(3)求平面BDM 与平面ABF 所成的角(锐角)的余弦值．24. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)上的点(2,t)到焦点F 的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，求直线l 的方程．25. 已知函数f(x)=a x +xlnx(a ∈R)，g(x)=x 3−x 2−3．(1)求函数g(x)的图象在点(1,g(1))处切线的方程；(2)若对任意的s ，t ∈[12,2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a 的取值范围．。
2021年高二数学上学期期中联考试题 文 湘教版
2021年高二数学上学期期中联考试题文湘教版时间：120分钟总分：120分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在答卷的表格中．1、在等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第（）项A．60 B．61 C 62 D．632、在100和500之间能被9整除的所有数之和为（）A．12699 B．13266 C．13833 D．144003、等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B． C．± 3 D．以上皆非4、四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则（）A． B． C． D．5、在中，已知，，，则的面积等于（）A． B． C． D．6、在中，a,b,c分别是所对应的边，，则的取值范围是（）A．（1,2） B． C． D．7、不等式的解集是（）A．B．C．D．8、关于x的方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正的实根,则a的取值范围是A．a≥0 B．－1≤a＜0 C．a＞0或－1＜a＜0 D．a≥－1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共２8分．请将答案填写在横线上．9、若命题p:3是奇数，q:3是最小的素数，则p且q,p或q,非p，非q中真命题的个数为 .10、已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是11、数列的前n项的和Sn=2n2-n+1，则an=12、已知_______,41,4=-+-=>xxxyx当函数时，函数有最_______值最值为 .13、不等式的解集是_______________________________14、在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB=,则角B的值为-------------15、在下列函数中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；其中最小值为2的函数是（填入正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每题10分满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求①角C的度数②△ABC周长的最小值。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
2.椭圆 的焦点坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
结合椭圆方程可知： ，
则椭圆的焦点位于 轴上，且： ，
故椭圆 的焦点坐标是 .
本题选择C选项.
3.已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
14.正方体 中，E、F、G、H分别为 、BC、CD、 的中点，则下列结论正确的是（）
A. B.平面 平面
C. 面AEFD.二面角 的大小为
【答案】BC
【解析】
【分析】
通过线面垂直的判定和性质，可判断 选项，通过线线和线面平行的判断可确定 和选项 ，利用空间向量法求二面角，可判断选项 .
【详解】解：由题可知， 在底面上的射Байду номын сангаас为 ，而 不垂直 ，
17.在正方体 中，点 分别是 的中点，则 和 所成角的余弦值为__________．
18.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为_________．
19.已知：如图，在 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直 ，已知 ，则 __________．
20.已知 为抛物线 ： 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于 ､ 两点，直线 与 交于 ､ 两点，则 的最小值为________.
所以 ，所以 平面 ，则 选项正确；
由图可知， 平面 ，所以 是平面 的法向量，
则 .
得知二面角 的大小不是 ，所以 不正确.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维.
湖南省部分重点高中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题
高二数学试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择題）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版必修1~5，选修2-1第一、二章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“24,log 2x x ∀>>”的否定是（ ）A ．0204,log 2x x ∃>B ．24,log 2x x ∀>C ．0204,log 2x x ∃D ．24,log 2x x ∀ 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y = C ．4y =- D ．8y =-3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.94．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452 C ．55 D ．5526．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．127．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过原点O 的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B 1 C D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在抛物线C 上，若||4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =C ．||OM =D ．F 的坐标为(0,1)10．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a b αβ⊂⊂，若,a b 为异面直线，则下列说法可能成立的是（ ）A ．a 与c 相交，且b 与c 也相交B ．//a β，且//b αC ．//a c ，且b 与c 相交D ．a c ⊥，且b c ⊥ 11．已知点(1,1)P -是角α终边上的一点，则（ ） A ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为3()82k x k ππ=+∈Z B ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为()82k x k ππ=+∈Z C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是偶函数 12．已知ln ln ,1,1,01x y x y m >≠≠<<，则（ ） A ．mmx y > B ．11(1)log (1)log y x x m y m +++<+C ．x y mmxy > D ．log log 1x m m y ⋅>第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______．14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___． 15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C的离心率12e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①212AB BD ==，②sin ,BAD ABD D ∠=∠为BC的中点，③,6DAB AB π∠==个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =． （1）求角C ；（2）若ABC，求ABC 的周长． 19．（12分）记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．20．（12分）2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N，（单位：元）．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800．（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？ 21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是AB 的中点，过点E 作平行于平面PAD 的截面，与直线,,CD PC PB 分别交于点,,F G H ． （1）证明：//GH EF ．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为83，求四边形 EFGH 的面积．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，且离心率为2，点M 为椭圆C 上的动点，12F MF 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 在点Q 的上方，若11:3:2F MPF NQSS=，求直线l 的方程．高二数学试卷参考答案1．A 全称命题的否定是特称命题．2．C 化为标准方程为216x y =，易知该抛物线的准线方程为4y =-． 3．D 由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线ˆˆ0.6yx a =+，得ˆ6.70.63a=⨯+，解得ˆ 4.9a =． 4．B 由sin 22sin cos 0b A a A B -=，得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=，即cos cos 0b A a B -=．由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=，即sin()0B A -=，所以A B =．5．B 数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则128910a a a a +++=，所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==．6．B 由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)22422n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1,12m n ==时，取得等号．7．B 若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220,(2)(1)2m n λλλλ⋅=+++>++≠，解得43λ>-且0λ≠．所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件． 8．D 由题可知123FOA π∠=，易得112FOA F AF ～，所以11112FO F A F A F F =，可得1F A =．在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，解得22AF c =． =．9．AC 由题可知(1,0)F ，由0||1MF x =+，所以03x =，212y =，||OM ===．故选AC ．10．ACD 若//a β且//b α，可知////a b c ，与,a b 为异面直线矛盾，B 错误，其他三种情况都可能成立．故选ACD ．11．AD 根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则2()4k k παπ=-+∈Z ，所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()42x k k πππ-=+∈Z ，解得3()82k x k ππ=+∈Z ，所以函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为35()()cos 3cos(3)cos3824k x k g x x x x πππαπ⎛⎫=+∈⋅=++=+=- ⎪⎝⎭Z 为偶函数．故选AD ． 12．AB 因为ln ln x y >，所以0x y >>．选项A ，令()mf t t =，又01m <<，所以()f t 在(0,)+∞上单调递增，所以mmx y >，所以A 正确． 选项B ，111111lg(1)lg(1)(1)log (1)log lg lg lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)x y y x x y x y x m y m m m y x x y ++++⎡⎤⎡⎤+++-++-+=⋅-=⋅⎢⎥⎢⎥+++⋅+⎣⎦⎣⎦，因为0,01x y m >><<，所以B 正确．选项C ，yx mmxy >等价于()()11y x mmxy>，当4,3x y ==时，3434464,381,43==<，所以C 错误．选项D ，log log m m y x >，但是log ,log m m y x 的正负性无法确定，所以D 错误．故选AB ． 13．5 因为147,,a a a 成等差数列，所以1742a a a +=，即74125a a a =-=． 14．16 由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==．15．(,1)-∞ 令()0f x a +=，得()a f x =-，结合函数()y f x =-的图象（图略）可知，1a <．16．9⎛⎝⎭ 因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--．因为123e ⎛∈ ⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而293a ⎛∈ ⎝⎭． 17．解：选择条件①，在 ABD 中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅， 4分则sin 9B ==． 7分 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，可得12sin sin AB B AC C ⨯⋅===． 10分选择条件②，在ABD中，sin BAD ABD ∠=∠，可得BD == 3分又D 为BC的中点，所以CD = 5分 在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， 7分 得210020020AC AC =+-，即10AC =． 10分 选择条件③，在ABD 中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，即10BD =， 3分则210,,33AD BD ADB ADC ππ==∠=∠=． 6分 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD AC C ADC =∠，可得sin sin AD ADCAC C⋅∠==． 10分18．解：（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin C =， 2分 又C 为锐角，所以60C ︒=． 4分 （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==， 6分所以4c ==． 7分因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 9分 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 11分所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9． 12分19．解：（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以2316?24n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 1分当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2分化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列． 3分因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去）， 4分所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-． 5分 （2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=， 6分又12q =，所以112b =， 7分 所以12n n b =． 8分由（1）得322n n nn a b -=， 所以234147103222222n n n T -=+++++，2345111471035322222222nn n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-． 12分20．解：（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ； 2分当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N ． 4分所以2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，． 5分（2）由（1）可得，当0500x <<时，221138010000(380)6220022y x x x =-+-=--+， 7分当380x =时，max 62200y =． 8分 当500800x 时，36000010900002090000120009000078000y x x x ⎛⎫=-++-⋅=-+= ⎪⎝⎭， 10分 当且仅当600x =时，max 78000y =． 11分 综上，当每天游玩该项目的人数x 为600时，该游乐公司获利最大，为78000元． 12分 21．（1）证明：//,BC AD BC ⊄平面PAD ，//BC ∴平面PAD ， 1分又平面//PAD 平面 EFGH ，//BC ∴平面 EFGH ． 2分BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFGH GH =，//BC GH ∴． 3分同理，//BC EF ， 4分//GH EF ∴． 5分（2）解：由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =． 6分 平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB平面EFGH EH =，平面PCD平面EFGH GF =，//,//PA HE PD GF ∴． 8分又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点，2,1,1EF GH GF ∴===，且GF CD ⊥， 10分∴四边形 EFGH 的面积为(12)1322+⨯=． 12分22．解：（1）12F MF 面积最大值max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==． 2分又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩，， 4分即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． 5分 （2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =． 7分 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ⎛⎫⋅∠=⋅∠ ⎪⎝⎭，得112QF PF =． 8分当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-．联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 10分得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,7m m ==． 11分 又1212202my y y m +==-<+，则7m =不符合题意，所以7m =-． 故直线l的方程为770x +=． 12分。
湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题
【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．已知E 、F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则FAB 的周长为( ) A ．10B ．12C ．16D ．206．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，则a n =( ) A ．2nB ．n +1C ．1n +1D ．2n7．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( )A ．f(x)=sin|2x|B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位10．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于点(),0A a -，(),0B a 的一点，EAP 与BP 的斜率之积为( ) A ．34-B ．34C ．14-D ．1412．在△ABC 中，若(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则角A 的最大值为( ) A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S6S 3=4，则a 92a7a 8=______．14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．15．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，AC x AB y AD =+，则xy=______．16．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P，若AP =ABP 的面积为______．三、解答题17．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．已知数列{b n } 的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n } 满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）证明：a 1b 2+a 2b 3+⋯+a n b n+1<3. 21．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(−3,0)，且经过点(2,53). (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交C 于另一点D ，交y 轴点E ，P 为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ． 【详解】 解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解． 【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=． 故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．D 【分析】利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】椭圆221259x y +=，可得5a =，三角形2AF B 的周长22AF BF AB =++，11AB AF BF =+， 所以：周长1212AF AF BF BF =+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查． 6．D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，可得：1an+1−1a n=12，所以数列{1a n}是等差数列，可得：1a n=12+12(n −1)=n2， 可得a n =2n ， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力． 7．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题． 【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．D 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ； ∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan x=cos 2x−sin 2x cos x+sin x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象， 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．C 【分析】利用点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a ，b 的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可． 【详解】设(),P x y ，点(),0A a -，(),0B a ，椭圆E ：22221x y a b +=，22222a x yb a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2c a ∴=，2234c a =，则22234a b a -=，所以2214b a =， ∴点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：2222214y y y b x a x a x a a ⋅==-=-+--， 故选C ． 【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】根据(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，进而得出cosA ≥√32，从而可求出A 的最大值． 【详解】∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ≥2√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ； ∴cosA ≥√32，且0<A <π；∴A 的最大值为π6． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及a 2+b 2≥2ab 的应用． 13．3 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出． 【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q =1+q 3=4，解得q 3=3，∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3． 【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 14．415【解析】 【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值． 【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ， 得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+．故答案为415-． 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题． 15．13- 【解析】 【分析】由题意，可得出22BD AD DC ==，由向量三角形法则可得出3122AC AD AB =-，再结合AC x AB y AD =+，根据平面向量基本定理，得出x ，y 的值，即可得出答案． 【详解】在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D 如图30ABC ∴∠=，2BD AD ∴=，且60ADB ∠=， 所以DC AD =22BD AD DC ∴==，()11312222AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB ∴=+=+=+-=-， 又AC x AB y AD =+，12x ∴=-，32y =13x y ∴=-． 故答案为13- 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．【分析】设CP x =，ACP BCP α∠=∠=，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x 和cos α的值，再计算sin ACB ∠以及ABCS 、ACPS和BCP S的值，从而求得ABP 的面积．【详解】 如图所示，设CP x =，ACP BCP α∠=∠=， 则cos 6x α=， 由余弦定理得，2222cos AP AC x x AC α=+-⋅⋅，解得x =cos α=；sin sin22ACB α∴∠===16102ABCS∴=⨯⨯=11023ACPS=⨯⨯=1623BCPS=⨯⨯=20ABPABCACPBCPSSSS∴=--==即ABP 的面积为 【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 17．（1）π3（2）20 【解析】 【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长． 【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB >0， ∴解得：cosC =12， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3，(2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40，∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）=41n a n -（2）129nn +【解析】试题分析：（1）由n a 与n S 之间的关系求出通项公式；（2）求出111()44143n b n n =--+，再用裂项相消法求出前n 项和．试题解析：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=()()14143n n =-+ 11144143n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以11111[437710n T ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]4143n n ⎛⎫+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤. 【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可；()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力． 20．（Ⅰ）a n =n +1,b n =(12)n−1；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）根据b n =S n −S n−1，整理可得b n =12b n−1，从而可知{b n }为等比数列，将n =1代入S n +b n =2可求得b 1，根据等比数列通项公式求出b n ；将b 1a 2=3，b 1+a 5=7化为a 1和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得a n ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n，由n+32n >0可证得结论.【详解】（Ⅰ）∵S n +b n =2 ∴当n =1时，b 1=S 1=2−b 1 ∴b 1=1 当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2−b n −2+b n−1，整理得：b n =12b n−1 ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列 ∴b n =(12)n−1设等差数列{a n }的公差为d∵b 1a 2=3，b 1+a 5=7 ∴{a 1+d =3a 1+4d =6 ，解得：{a 1=2d =1∴a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1（Ⅱ）证明：设T n =a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=2×12+3×(12)2+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n∴12T n =2×(12)2+3×(12)3+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n+1两式相减可得：12T n =1+(12)2+(12)3+⋅⋅⋅+(12)n −(n +1)⋅(12)n+1=1−(n +1)⋅(1)n+1+14(1−12n−1)1−12=3−n +3n+1T n =3−n +32n即a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n∵n+32n>0 ∴a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1<3【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.21．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sinx cosx sinx cosx 2=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈．()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 22．(1)x 29+y 25=1(2)见解析【解析】 【分析】(1)由由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5，由此能求出椭圆方程；(2)直线的方程为y =k(x +3)，与椭圆联立，得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q 的坐标．【详解】 (1)由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5， 则椭圆C 的方程为x 29+y 25=1，(2)直线的方程为y =k(x +3)，得E(0,3k)，联立椭圆方程，消元化简得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0， ∴x A =−3， ∴x D =−27k 2+155+9k 2，∴y D =k(x D +3)=30k5+9k 2， ∴D(−27k 2+155+9k 2,30k5+9k 2)，又∵点P 为AD 的中点，∴P(−27k 25+9k2,15k 5+9k 2)，则k OP =−59k (k ≠0)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)使得OP ⊥EQ ，则k OP ⋅k EQ =−1， 即−59k ⋅n−3k m=−1恒成立，∴k(9m +15)−5n =0恒成立， ∴{5n =09m+15=0，即m =−53，n =0，因此定点Q 的坐标为(−53,0) 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题．。
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．命题“4x ∀>，2log 2x >”的否定是（ ） A ．04x ∃>，20log 2x ≤ B ．4x ∀>，2log 2x ≤ C ．04x ∃≤，20log 2x ≤ D ．4x ∀≤，2log 2x ≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“4x ∀>，2log 2x >”为全称命题，该命题的否定为“04x ∃>，20log 2x ≤”.故选：A. 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y =C ．4y =-D ．8y =-【答案】C【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可. 【详解】化为标准方程为216x y =， 易知该抛物线的准线方程为4y =-. 故选：C.3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.9【答案】D【分析】求出,x y ，利用样本点的中心必过线性回归方程，代入求解即可. 【详解】由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线0.6ˆˆyx a =+， 得ˆ6.70.63a =⨯+， 解得ˆ 4.9a=. 故选：D.4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】利用二倍角公式以及0A π<<，可得cos cos 0b A a B -=，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断. 【详解】由sin 22sin cos 0b A a A B -=， 得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=， 即()2sin cos cos 0A b A a B ⨯-=. 又0A π<<， 则sin 0A ≠，cos cos 0b A a B -=，由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=， 即()sin 0B A -=，因为角,,A B C 在ABC 中， 所以A B =. 故选：B.5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452C ．55D ．552【答案】B【分析】利用等差数列的性质得到195a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=， 则128910a a a a +++=， 所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==.故选：B.6．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．12【答案】B【分析】由指数函数的性质得出22m n +=，然后由“1”的代换配出积为定值，应用基本不等式求得最小值．【详解】由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)224222n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当,112m n ==时，取得等号. 故选：B ．7．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据,m n 的夹角为锐角，可得0m n ⋅>，且,m n 不共线，由此列出不等式组即可求出λ的范围，再根据集合法判断充分条件和必要条件即可. 【详解】若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220m n ⋅=+++>λλ，且2(2)(1)0-++≠λλ，解得43λ>-且0λ≠.所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：本题考查了已知向量夹角求参数的范围，可按如下规则转化： (1)若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为锐角，则12120a b x x y y ⋅=+>且12210x y x y -≠；(2) 若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为钝角，则12120a b x x y y ⋅=+<且12210x y x y -≠；8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，过原点O 作斜率为3的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．31+C ．23102+D ．3210+【答案】D【分析】推导出112FOA F AF ，可计算出12F A c =，利用余弦定理求得21022AF c-=，进而可得出该双曲线的离心率为1212F F e AF AF =-，即可得解. 【详解】题可知123FOA π∠=，121AFO F AF ∠=∠，112FOA F AF ∠=∠，112FOA F AF ∴△△， 所以11112FO F A F AF F =，可得12F A c =.在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅， 即2222220AF c AF c ⋅-=，解得21022AF =.双曲线的离心率为1212F FeAF AF===-.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题9．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，点()00,M x y)在抛物线C上，若||4MF=，则（）A．03x=B．y=C．||OM=D．F的坐标为()0,1【答案】AC【分析】先求出焦点F的坐标，再利用抛物线的焦半径公式以及点在抛物线上即可求出00,x y，即可判断.【详解】由题可知：(1,0)F，由014MF x=+=，2004y x=，所以003,x y==±OM===故选：A C.10．已知,,a b c是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a bαβ⊂⊂，若,a b为异面直线，则下列说法可能成立的是（）A．a与c相交，且b与c也相交B．//aβ，且//bαC．//a c，且b与c相交D．a c⊥，且b c⊥【答案】ACD【分析】根据异面直线的定义与判定判断各选项．【详解】在画异面直线时，用平面衬托直线，一般有如下作法：,a b 是异面直线，且各画在一个平面内，前面一个图形说明A ，D 均可能成立，后面一个图形说明C 可能成立， 既然有⋂=c αβ，则B 就是不可能成立的， 故选：ACD.11．已知点()1,1P -是角α终边上的一点，则（ ）A ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈B ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()82k x k Z ππ=+∈C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数 【答案】AD【分析】α为第四象限角得tan 1α=-，所以 ()24k k Z παπ=-+∈，可求得()f x 的对称轴方程，可对()g x 的奇偶性进行判断.【详解】根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则()24k k Z παπ=-+∈，所以()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()242x k k Z πππ-=+∈，解得()382k x k Z ππ=+∈，所以函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈，()()5cos 3cos 3cos34g x x x x παπ⎛⎫=++=+=- ⎪⎝⎭为偶函数. 故选：AD.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，解题的关键点是由P 点坐标求出角α，可得()f x 和()g x 的解析式，要熟悉三角函数的性质才能对选项作出正确的判断.12．已知ln ln x y >，1x ≠，1y ≠，01m <<，则（ ） A ．m mx y > B ．()()111log 1log y x x m y m +++<+ C ．xym m x y > D ．log log 1x m m y ⋅>【答案】AB【分析】由对数函数单调性知0x y >>；令()mf t t =，根据幂函数单调性知A 正确；令()ln f t t t =，利用导数确定()f t 单调性，确定()()()()1ln 11ln 10x x y y ++>++>，结合ln 0m <和换底公式可确定B 正确；由反例可知CD 错误.【详解】由ln ln x y >得：0x y >>.对于A ，令()mf t t =，又01m <<，()f t ∴在()0,∞+上单调递增，m mx y ∴>，A正确；对于B ，令()ln f t t t =，则()ln 1f t t '=+，∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '<；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f t '>；∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递减；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递增；0x y >>，111x y ∴+>+>，()()()()1ln 11ln 10x x y y ∴++>++>， ()()()()1101ln 11ln 1x x y y ∴<<++++，01m <<，ln 0m ∴<，()()()()ln ln 1ln 11ln 1m mx x y y ∴>++++，()()()()1ln 1ln ln 1ln 1y m x m x y ++∴>++，即()()111log 1log y x x m y m +++<+，B 正确； 对于C ，x ymmxy >等价于()()11yx mmxy>，当4x =，3y =时，3464y x ==，4381xy ==，此时0yxx y <<，令()1mf t t =，由01m <<知：()f t 在()0,∞+上单调递增，()()6481f f ∴<， 即()()yxf xf y <，y x mmxy ∴<，C 错误；对于D ，若2x =，12y =，12m =，则21log log 12x m ==-，121log log 12m y ==， 此时log log 10x m m y ⋅=-<，D 错误. 故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性确定不等关系的问题，解题关键是能够根据每个选项不同的特点构造出不同的函数，根据初等函数单调性或利用导数确定函数单调性，进而确定选项所给的不等关系的正误.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______. 【答案】5【分析】直接利用等差中项求解即可. 【详解】因为147,,a a a 成等差数列， 所以1742a a a +=， 即74125a a a =-=. 故答案为：5.14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___.【答案】16【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故答案为：16．15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______. 【答案】(,1)-∞【分析】依题意画出函数图象，函数()()g x f x a =+的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，函数图象如下所示，令()0f x a +=，得()f x a =-，即函数()y f x =与y a =-的交点，结合函数图象可知，1a ->-，解得1a <，即(),1a ∈-∞-故答案为：(),1-∞-【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________.【答案】9⎛ ⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31xy x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b+=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：9⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．四、解答题17．在①212AB BD ==，②sin BAD ABD ∠=∠，D 为BC 的中点，③6DAB π∠=，AB =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】选择条件①：由余弦定理可得5cos 9B =，进而可得sin 9B =，再由正弦定理即可得解；选择条件②：由正弦定理可得BD D =，进而可得102CD ，再由余弦定理即可得解；选择条件③：由余弦定理得10BD =，进而可得3ADC π∠=，再由正弦定理即可得解.【详解】选择条件①：212AB BD ==，10AD =，在ABD △中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅，又()0,B π∈，∴sin 9B ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，∴12sin sin 2AB BAC C⨯===选择条件②：在ABD △中，由sin BAD ABD ∠=∠可得BD ==，又D 为BC 的中点，∴102CD ，在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， ∴210020020AC AC =+-，∴10AC =； 选择条件③：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=， 即10BD =，则10AD BD ==，23ADB π∠=，3ADC π∠=， 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD ACC ADC=∠，可得sin sin AD ADC AC C ∠==18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =的面积为4. （1）求角C ；（2）若ABC外接圆的半径为3，求ABC 的周长. 【答案】（1）60；（2）9.【分析】（1）由三角形面积公式可求得C ；（2）由正弦定理可得c ，然后由余弦定理得出,a b 的关系，结合3ab =可直接求得+a b ，从而得三角形周长．【详解】（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin 2C =， 又C 为锐角，所以60C ︒=. （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==，所以4c ==. 因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理与余弦定理解三角形．考查三角形面积公式．已知一边及其对角，可用正弦定理建立边角关系，也可由余弦定理建立另两边的关系，解题时需要根据具体条件具体要求选择． 19．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n a n =-；（2）3442n nn T +=-. 【分析】（1）先由题设231()6()224n n a S ⇒+=+，又21131()6()224n n a S --+=+，2n ，两式相减整理得：13n n a a --=，2n ，再求得1a ，即可得到：数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，进而求得n a ；（2）先由题设求得n b ，进而求得n n a b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可．【详解】（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以231624n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列.因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去），所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-.（2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=，又12q =，所以112b =， 所以12n n b =.由（1）得322n n nn a b -=，所以234147103222222n nn T -=+++++，2345111471035322222222n n n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-. 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元.如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N（单位：元）.同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？【答案】（1）2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ；（2）600.【分析】（1）由票价收入减去投入成本和维护费可得利润函数；（2）分段求出最大值，一个由二次函数性质得最大值，一个由基本不等式得最大值，然后比较可得．【详解】（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ；当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N .所以2138010000,0500, 23600001090000,500800,x x x xyx x xx⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈⎪⎪⎝⎭⎩NN；（2）由（1）可得，当0500x<<时，221138010000(380)6220022y x x x=-+-=--+，当380x=时，max62200y=. 当500800x时，36000036000010900002090000120009000078000 y x xx x⎛⎫=-++-⋅+=-+= ⎪⎝⎭，当且仅当600x=时，max78000y=.综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数模型的应用．利用票价收入减去投入成本和维护费即得利润可得出函数解析式，然后分段求得最大值后比较．解题时注意对不同的表达式选取不同的方法求最值，目的是求解简捷．21．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，点E是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线,,CD PC PB分别交于点,,F G H.（1）证明：//GH EF.（2）若四棱锥P ABCD-的体积为83，求四边形EFGH的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）32.【分析】(1)根据线面平行的判断定理可得//BC平面PAD，再由平面//PAD平面EFGH，可得//BC平面EFGH，再由线面平行的性质定理可得//BC GH和//BC EF，即可证出//GH EF；(2)根据四棱锥P ABCD-的体积为83，可求出2PD=，再根据面面平行的性质定理可得//EH PA ，//FG PD ,从而可得四边形 EFGH 为直角梯形，根据梯形面积公式即可求出四边形 EFGH 的面积.【详解】（1）证明：因为//,BC AD BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ，又平面//PAD 平面 EFGH ，BC ⊄平面 EFGH ，所以//BC 平面 EFGH ， 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC平面EFGH GH =，.所以//BC GH ,同理，//BC EF ， 所以//GH EF . （2）由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =. 因为平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB ⋂平面EFGH EH =，平面PAB ⋂平面PAD PA =，所以//EH PA ，同理//FG PD ,又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点， 所以2EF =，1GH =，1GF =,又PD ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以PD EF ⊥,所以FG EF ⊥， 所以四边形EFGH 为直角梯形，所以四边形EFGH 的面积为(12)1322+⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题求四边形EFGH 的面积的关键是根据面面平行的性质定理，证出//EH PA ，//FG PD ,进而证出四边形EFGH 为直角梯形.22．已知椭圆22:221(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别是12,F F，点M 为椭圆下上动点，12F MF △面积的最大值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l (直线l 的斜率不为1)与椭圆C 交于P Q 、两点，点P 在点Q 的上方．若11:3:2F MPF NQS S=，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）770x +=．【分析】（1）由12F MF △面积的最大值为1可得1bc =，再结合离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）联立直线1MF 与椭圆可得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而得出1113NF MF =，再结合11:3:2F MPF NQSS=可得112QF PF =，再设出直线l 方程，利用韦达定理可求出.【详解】（1）12F MF △面积的最max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩．即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =， 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ∠∠⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 得112QF PF =，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,77m m ==± 又1212202m y y y m +==-<+，则m =m = 故直线l的方程为770x ++=．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。
湖南省湘潭市第一中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题学考
某某省某某市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（学考）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线30x y -+=的倾斜角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．135︒2．以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为() A ．22(2)(1)4x y ++-=B ．22(2)(1)4x y +++= C ．22(2)(1)16x y -++=D ．22(2)(1)16x y ++-= 3．直线231x y +=在两坐标轴上的截距之和是（）A ．5B ．6C ．16D ．564．直线1y ax a=-的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们的距离为( )A ．1710B ．2C ．175D ．8 6．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（）A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝07．已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B 两点，则两圆的公共弦AB =( )A ．．．28．已知点M 是圆22:1C x y +=上的动点，点()2,0N ，则MN 的中点P 的轨迹方程是（）A ．()22114x y -+=B ．()22112x y -+= C ．()22112x y ++=D ．()22114x y ++=9．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知直线l ：y x m =+与曲线x =则实数m 的取值X 围是（）A ．2,⎡-⎣B ．(2⎤--⎦C ．2,⎡⎣D ．(2⎤-⎦11．若圆()22()()90x a y a a +++>=上总存在两点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值X 围是（）A ．()0,1B ．)2C ．D ．()2,412．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．A ．．．3第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二上学期期中数学试题一、单选题1．半径为2的球的表面积是（ ） A ．16π3B ．32π3C ．16πD ．32π【答案】C【分析】由球的表面积公式直接求出表面积即可. 【详解】由球的表面积公式可得2416S R ππ==， 故选：C .【点睛】本题考查球的表面积的计算，记住公式是关键，本题属于容易题. 2．已知向量()3,2,a x =，向量()2,0,1b =，若a b ⊥，则实数x =（ ） A ．3 B ．3-C ．6D ．6-【答案】D【分析】由a b ⊥得出0a b ⋅=，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于x 的等式，解出即可. 【详解】()3,2,a x =，()2,0,1b =，a b ⊥，60a b x ∴⋅=+=，解得6x =-.故选：D.【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 3．下列说法正确的是（ ） A ．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B ．棱柱的底面一定是平行四边形C ．圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形D ．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C【分析】根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断. 【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A 不正确；因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B 不正确； 因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D 不正确；因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C 正确. 故选：C【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】首先由11//,AD BC 可得1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角，再由1ACD ∆为正三角形即可求解. 【详解】连接11,AD CD ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//,AD BC ，则1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角．又11AD CD AC ==,可得1ACD ∆为等边三角形，则160oD AC ∠=，所以异面直线AC 与1BC 所成角为60，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.5．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为62则该双曲线的实轴长为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为62，故可得262c =， 结合222a b c +=， 解得3,3,32a b c ===， 故实轴长26a =. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.6．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.7．已知（﹣2，1）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是（ ） A ．x ﹣2y ＝0 B ．x ﹣2y +4＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣3y ﹣1＝0【答案】B【分析】设直线l 与椭圆221369x y +=相交于AB ，设()()1122,,,A x y B x y ，代入作差得到420369k -+=解得直线方程. 【详解】设直线l 与椭圆221369x y +=相交于AB ，设()()1122,,,A x y B x y则22111369x y +=，22221369x y +=两式相减得到()()()()121212120369x x x x y y y y +-+-+=即42103692k k -+=∴=，故直线方程为()1212402y x x y =++∴-+= 故选：B【点睛】本题考查了利用点差法求直线方程，意在考查学生对于点差法的掌握情况和计算能力.8．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（ ） A．BCD ．2【答案】B【分析】求出过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合222+=a b c ，解出e 即得. 【详解】由题意，设点焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：()0ay x c b-=--， 由()0a y x c b b y xa ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a x c =，ab y c =，所以，对称中心的点坐标为2,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,0F c ，设点()00,P x y ，则200202c x a c y ab c ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得20022a x c c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c b c--=，又222+=a b c ，化简可得225c a =，故ce a==故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．方程12yx =-表示一条直线 B ．到x 轴的距离为2的点的轨迹方程为2y = C ．方程()()2222140x y -+-=表示四个点D ．“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件【答案】CD【分析】对A ，根据特殊点进行分析并判断对错；对B ，注意多解的情况并判断对错；对C ，根据平方和为零的特殊性进行分析并判断对错；对D ，根据椭圆的定义判断对错. 【详解】解：对A ，12yx =-， 即20(2)x y x --=≠，表示直线20x y --=去掉一点()2,0，故A 错误； 对B ，根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为2y =±，故B 错误； 对C ，()()2222140x y -+-=，即{2214x y ==，即表示()1,2，()1,2-，()1,2-，()1,2--四个点，故C 正确；对D ，若22175x ym m +=--表示椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即56m <<或67m <<，∴“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件，故D 正确.故选：CD.10．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若//αβ，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则l β// D ．若//m α，则αβ⊥【答案】ABD【分析】根据线面间平行与垂直的关系判断各选项同． 【详解】//,m αββ⊥，则m α⊥，A 正确；//l α，//αβ，则l β//或l β⊂，又m β⊥，则m l ⊥，B 正确；m β⊥，l m ⊥，则l β//或l β⊂，C 错误；//m α，则α内存在直线n ，且//n m ，又m β⊥，则n β⊥，由此得βα⊥，D 正确．故答案为：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面平行与垂直的判断，考查空间想象能力．解题关键是熟练掌握线面间的位置关系．11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n=+D ．()()b m R n R =++【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c R n a c R =--⎧⎨=+-⎩，（）a c m R ∴-=+ ，故A 正确； a c n R +=+，故B 正确；（）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=- 222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切 B ．以线段BF 为直径的圆与y 轴相切C ．当3AF FB =时，92AB =D ．3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点） 【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，AB 的中点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，A 正确；对于选项B ，C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线24y x =可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，则12123x x y O OB y A =⋅+=-，D 正确，若设()24,4A a a ，易见，0a ≠，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设线段BF 中点是N ，则211412N a x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，则2114F a B +===，N 到y 轴的距离是21114212BF a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故以线段BF 为直径的圆与y 轴相切，B 正确； 又 21221424AB x x p a a=++=++，当3AF FB =可得123y y =-， 143a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所234a =，163AB =，C 错误.故选：ABD.【点睛】抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，α是弦AB 的倾斜角，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）12222sin p pAB x x α=++= ； （3）112FA FB p+=； （4）以线段AB 为直径的圆与准线2px =-相切； （5）以线段AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.三、填空题13．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则切点坐标为_________． 【答案】()1,2【分析】求出原函数的导函数，设切点坐标，由切点处的导数值为2求得切点的横坐标，进一步得到切点坐标．【详解】解：由1y lnx x =++，得11y x'=+， 设切点坐标为0(x ，0)y ， 则001|12x x y x ='=+=，解得01x =，00011112y lnx x ln ∴=++=++=．则切点坐标为(1,2)． 故答案为：(1,2)．14．直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1BA =_________（用,,a b c 表示）． 【答案】a b c -+【分析】运用直三棱柱的性质，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】1111BA BA AA BC CA CC CB CA CC b a c a b c =+=++=-++=-++=-+。
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x
N
求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.
(1)求该游乐项目每天的利润y(元)关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；
(2)当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？
21. (12分) 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PD平面ABCD. 点E是AB 的中点，
过点E作平行于平面PAD的截面，与直线CD,PC,PB分别交于点F,G,H. (1)证明： GH//EF. (2)若四棱锥P-ABCD的体积为8 ，求四边形EFGH的面积． 3
符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 已知抛物线 C:y2=4x的焦点为 F,点 M(x0，y0)在抛物线C上，若| MF|= 4,则
A.x0= 3 C.|OM|= 21
B.y0=2 3 D.F的坐标为(0,1)
10. 巳知a,b,c是三条不重合的直线，平面 ,相交于直线c,a ,b , 若a,b为异面直线，则
进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要
10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另
投入成本f(x)
1
2
x2
20 x, 0
x
500,
x
N,
(单位：元)．同时为了满足防疫要
410x
3600000 x
100000,
x
≥
500,
下列说法可能成立的是
A.a与c相交，且b与c也相交
B.a//，且b//
C.a//c，且 b与c 相交
D. ac，且 bc
11. 已知点 P(1, −1)是角终边上的一点，则
A.函数f(x)＝sin(2x+) 的对称轴方程为x＝3+k(kZ) 82
B. 函数f(x)＝sin(2x+) 的对称轴方程为x＝+k(kZ) 82
项是符合题目要求的.
1. 命题“∀x>4，log2x>2”的否定是
A. ∃x0>4，log2x0≤2
B. ∀x>4，log2x≤2
C. ∃x0≤4，log2x0≤2
D.∀x≤4，log2x≤2
2. 抛物线 y= 1 x2的准线方程是 16
A.y=4
B.y= 8
C.y= 4
D.y= 8
3. 已知 x,y 的取值如下表所示，若 y 与 x 线性相关，且 y=0.6x+ aˆ ,则 aˆ =
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求AC的长； 若
问题中的三角形不存在，说明理由．
问题:是否存在△ABC，在△ABC中， ACE=,点D在线段BC上，AD=l0,
?
4
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. (12分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a ,b, c,C为锐角，且ab=3, △ABC的面积为3 3 . 4 (1)求角C； (2)若△ABC外接圆的半径为4 3, 求△ABC的周长． 3
8.
已知双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
0,b 0)
的左、右焦点分别为
F1，F2，过原点O作斜率为
3的直线交 C 的右支于点A,若F1AF2=23，则双曲线的离心率为
A. 3
B. 3+1
C. 2 3+ 10 2
D. 3 2+ 10 2
1
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项
x
1
2
3
4
5
y
5.5
6
7
7
8
A.4.2
B.4.6
C.4.7
D.4.9
4. 在△ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,若 bsin2A 2asinAcosB= 0,则△ABC 的形
状为
பைடு நூலகம்A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D. 等边三角形
5. 已知{an}是等差数列，且a1 +a2＝4，a8+a9＝6，则这个数列的前 9 项和等于
A.45
B.45
C.55
2
6. 已知正数 m,n 满足25m1=0.2n, 则 1 +2的最小值为 mn
D.55 2
A.2
B.4
C.8
D. 12
7. 已知平面向量 m= (l,+1)，n=(+2，2),则“>－4”是“m,n 的夹角为锐角”的 3
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
19. (12分)
记Sn是正项数列{an}的前n项和，an +32是6和Sn+214的等比中项，且a12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}的公比为12
，且 1 b1
，1 b2
,
1 b3
2成等差数列，求数列{anbn}的前n项和Tn.
3
20. (12分)
2020年“ 国庆、中秋” 国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极
.
16.
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 经过函数
y
x 3x 1
图象的对称中心，若椭圆C的离
心率e (1 , 3 ) ，则 C 的长轴长的取值范围是
．
23
2
四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (10分 )
在①AB = 2BD= 12 ；②sinBAD= 2 sinABD,D为BC的中点；③DAB=,AB =10 3这 6
C.函数g(x)＝cos(3x+) 是奇函数
D.函数g(x) ＝cos(3x+) 是偶函数
12. 已知ln x>ln y，x≠l,y≠l,0<m<l,则
A.xm >ym
B.(x+1)logy+1m<(y+l)logx+1m
y
x
C. x m y m ;
D.logxm•logmy>1
第II卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上
13. 在等差数列{an}中，已知a1= 3，a4 = 1，则 a7＝
.
14. 已知椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点分别为F1,F2，AB 是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2 16 12
的周长是
.
x 1, x ≤ 0,
15. 已知函数 f(x)= ln x, x 0, 若函数g(x)=f(x)+a恰有一个零点，则a的取值范围是
湖南省部分重点高中高二数学试卷
考生注意：
1. 本试卷分第I卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟． 2. 请将各题答案填写在答题卡上． 3. 本试卷主要考试内容：人教 A 版必修1~5，选修 2 — l第一、二章．
第I卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一