初一数学平方差公式专题提高训练资料讲解
第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习(附答案及解析)
第八章第三节完全平方公式与平方差公式专题练习p1-7一、选择题(本大题共24小题，共72.0分)1. 如果x 2-（m-1）x+1是一个完全平方式，则m的值为（）A. -1B. 1C. -1或3D. 1或32. 计算（x+3）•（x-3）正确的是（）A. x 2+9B. 2xC. x 2-9D. x 2-63. 如果4x 2-kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A. 10B. ±10C. 20D. ±204. 下列各式中可以运用平方差公式的有（）①（-1+2x）（-1-2x）②（ab-2b）（-ab-2b）③（-1-2x）（1+2x）④（x 2-y）（y 2+x）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 已知a+b=3，则a 2-b 2+6b的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 156. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下的部分剪开后拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（）A. B.C. D.7. 已知x+ =7，则x 2+ 的值为（）A. 51B. 49C. 47D. 458. 若等式（x-4）2=x 2-8x+m 2成立，则m的值是（）A. 16B. 4C. -4D. 4或-49. 下列各式，能用平方差公式计算的是（）A. （a-1）（a+1）B. （a-3）（-a+3）C. （a+2b）（2a-b）D. （-a-3）210. 若x 2＋2(m－3)x＋16是完全平方式，则m的值是( )A. －1B. 7C. 7或－1D. 5或111. 下列各式中，能用平方差公式计算的有（）①（a﹣2b）（﹣a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；③（a﹣2b）（a+2b）；④（a﹣2b）（2a+b）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 下列各式中，能用平方差公式计算的有（）①（a﹣2b）（﹣a+2b）；②（a﹣2b）（﹣a﹣2b）；③（a﹣2b）（a+2b）；④（a﹣2b）（2a+b）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 下列计算正确的是（）A. （﹣x﹣y）2=﹣x 2﹣2xy﹣y2B. （4x+1）2=16x 2+8x+1C. （2x﹣3）2=4x 2+12x﹣9D. （a+2b）2=a 2+2ab+4b214. 下列计算正确的是（）A. （﹣x﹣y）2=﹣x 2﹣2xy﹣y 2B. （4x+1）2=16x 2+8x+1C. （2x﹣3）2=4x 2+12x﹣9D. （a+2b）2=a 2+2ab+4b 215. 下列各式是完全平方式的是（）A. B. C. D.16. 在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）A. xB. 3xC. 6xD. 9x17. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A. （2x-y）（2x+y）B. （-x+y）（x-y）C. （b-a）（b+a）D. （x-y）（-y-x）18. 计算（x 4+1）（x 2+1）（x+1）（x-1）的结果是（）A. x 8+1B. x 8-1C. （x+1）8D. （x-1）819. 下列各题中，能用平方差公式的是（）A. （a-2b）（-a+2b）B. （-a-2b）（-a-2b）C. （a-2b）（a+2b）D. （-a-2b）（a+2b）20. 如果多项式x 2+mx+16是一个完全平方式，则m的值是（）A. ±4B. 4C. ±8D. 821. 若x+y=5，x-y=3，则x 2-y 2的值是（）A. 8B. 15C. 2D. 422. 计算（a+2b）2的结果是（）A. a 2+4b 2B. a 2+2ab+2b 2C. a 2+4ab+2b 2D. a 2+4ab+4b 223. 若4a 2-2ka+9是一个完全平方的展开形式，则k的值为（）A. 6B. ±6C. 12D. ±1224. 已知x+y=7，xy=-8，则x 2+y 2=（）A. 49B. 65C. 33D. 57二、填空题(本大题共32小题，共96.0分)25. 若a+b=3，ab=2，则（a-b）2= ______ ．26. 已知2a 2+2b 2=10，a+b=3，则ab= ______ ．27. 若a 2-（b-c）2有一个因式是a+b-c，则另一个因式是a-b+ ______ ．28. 是一个完全平方式，则正整数的值是.29. 若是一个完全平方式，则等于.30. 计算：( x＋2)( x－2)= .如图，E，H，G在正方形的边上，DE交GH于点O，∠GOD=45°，AB=6，GH= ，则DE的长为.31. 如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形．这一过程所揭示的乘法公式是______ ．32. 已知a+b=3，ab=2，则a 2+b 2的值为______ ．33. 用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图），则由图形能得出（a-b）2= ______ （化为a、b两数和与积的形式）34. （3a+3b+1）（3a+3b-1）=899，则a+b= ______ ．35. 若x-y=2，xy=4，则x 2+y 2的值为______ ．36. 若x 2-mxy+9y 2是完全平方式，则m=37. 计算：已知：a+b=3，ab=1，则a 2+b 2= ．38. 计算：已知：a+b=3，ab=1，则a 2+b 2= ．39. 若4a 2﹣（k﹣1）a+9是一个关于a的完全平方式，则k= ．40. 如果a 2+ma+9是一个完全平方式,那么m=_________.41. 若9 是完全平方式，那么m=_______.42. 计算：（－1）（+1）= 。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
平方差公式经典25题型
平方差公式经典25题型一、平方差公式基础题型。
1. 计算(a + 3)(a - 3)- 解析：根据平方差公式(x + y)(x - y)=x^2-y^2，这里x = a，y = 3。
- 所以(a + 3)(a - 3)=a^2-3^2=a^2-9。
2. 计算(2x+5)(2x - 5)- 解析：对于(2x+5)(2x - 5)，其中x = 2x，y = 5。
- 根据平方差公式可得(2x)^2-5^2=4x^2-25。
3. 计算(-m + n)(-m - n)- 解析：这里x=-m，y = n。
- 则(-m + n)(-m - n)=(-m)^2-n^2=m^2-n^2。
4. 计算(3a - 2b)(3a+2b)- 解析：令x = 3a，y = 2b。
- 由平方差公式得(3a)^2-(2b)^2=9a^2-4b^2。
5. 计算(x+1)(x - 1)(x^2+1)- 解析：- 先计算(x + 1)(x - 1)，根据平方差公式(x + 1)(x - 1)=x^2-1。
- 再计算(x^2-1)(x^2+1)，这里把x^2看作一个整体，根据平方差公式可得(x^2)^2-1^2=x^4-1。
6. 计算(a + b)(a - b)+(b + c)(b - c)+(c + a)(c - a)- 解析：- 根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，(b + c)(b - c)=b^2-c^2，(c + a)(c - a)=c^2-a^2。
- 则原式=a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2=0。
7. 若x + y = 5，x - y=3，求x^2-y^2的值。
- 解析：- 因为x^2-y^2=(x + y)(x - y)。
- 已知x + y = 5，x - y = 3，所以x^2-y^2=5×3 = 15。
8. 计算(2m - 3n)(3n+2m)- 解析：- 可变形为(2m - 3n)(2m+3n)，这里x = 2m，y = 3n。
初中数学专题1.1 巧用平方差公式
1.1 巧用平方差公式我们把公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2称为乘法公式中的平方差公式；反过来a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )称之为因式分解中的平方差公式．在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式恒等变形，平方差公式是代数式恒等变形中的重要公式之一，它在数值运算、代数式的化简与求值、不定方程（组）的解法、代数不等式的证明、一元二次方程的解法等方面都有广泛的运用．例1 已知712—1可被40至50之间的一个素数整除，这个素数是( )．A ．41B ．43C ．47D ．49【解】用平方差公式作因式分解：712－1＝(76＋1)(76－1)＝(72＋1) (74－72＋1) (73＋1) (73－1)＝50(74－72＋1)(7＋1)(72－7＋1)(7－1)(72 ＋7＋1)＝43·48·50·57(74－72＋1)，而74－72＋1＝48·49＋1不能被41，49，47整除，故答案选B ．【注】 也可以用立方差公式分解76－1，如果先用立方差公式，那么76－1＝ (72－1)( 74 ＋72＋1)＝48(74＋72＋1)，而74＋72＋1的分解可以通过拆项完成，具体分解知下：74＋72 ＋1＝74＋2·72＋1－72＝(72＋1)2－72＝(72＋7＋1) (72—7＋1).例2已知对任意大于2的正整数n ，n 5－5n 3 ＋4n 都是正整数m 的倍数，求m 的最大值．【解】 n 5 －5n 3＋ 4n ＝n (n 4－5n 2＋4)＝n (n 2－4)(n 2 －1)＝n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)．因为n (n －2)(n ＋2)(n －1)(n ＋1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5 !的倍数，又当n ＝3时，原式＝120，故m 的最大值是120.【注】这里用到了一个数论中的结论：连续的5个正整数的乘积是5!的倍数，事实上，连续的5个正整数中必有1个5的倍数，2个2的倍数（其中一个为4的倍数），1个3的倍数，顺便提一句，也可以利用组合数公式来证明连续n 个正整数的乘积是n ！的倍数，这是因为由!)1()2)(1(n n m m m m C n m +-⋅⋅⋅--=可知连续的n 正整数乘积n m C n n m m m m !)1()2)(1(=+-⋅⋅⋅--，从而结论成立，例3计算:)419)(417)(415)(413)(211()4110)(418)(416)(414)(212(4444444444++++++++++ 【分析】由于括号内的每一个式子代数结构都相同，因此考虑用414+x 来代替，再进行因式分解后找出规律．【解】 因为2222244214141x x x x x x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++=+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=212122x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4121412122x x 所以，原式＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛41221412194129412741254123222222· 122222241219412174127412541234121-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ＝221.例4若a 是非负整数，则a 4 －3a 2＋9是合数还是素数？【解】 由于a 4－3a 2＋9＝(a 2＋3)2－(3a )2＝(a 2－3a ＋3) (a 2＋3a ＋3)，下面对a 讨论：当a ＝0时，原式＝9，是一个合数；当a ＝1时，原式＝7，是一个素数；当a ＝2时，原式＝13，是一个素数；当a ＞2时，因a 2－3a ＋3与a 2 ＋3a ＋3都是大于1的整数，故原式是一个合数．综上所述，当a ＝0或a ＞2时，a 4 －3a 2＋9是合数；当a ＝1或2时，a 4－3a 2 ＋9是素数.【注】在将原式分解成(a 2－3a ＋3)(a 2＋3a ＋3)后，不能轻易下结论说它就是个合数，因为要保证a 2－3a ＋3与a 2＋3a ＋3都大于1才能是合数．通过运用平方差公式进行因式分解的训练，可以使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力得到锻炼与提高，而在条件中能否找出或构造出a 2－b 2的形式，然后用平方差公式进行分解成为解题的关键.例5 求证：若n 是正整数，则存在无穷多个正整数k ，使得n 4＋k 是合数．【证明】 令k ＝4a 4（a 为正整数），则n 4 ＋k ＝n 4＋4a 2n 2＋4a 4－4a 2n 2＝(n 2＋2a 2)2－(2an )2＝ (n 2＋2an ＋2a 2)(n 2－2an ＋2a 2).当a ≥2时，n 2＋ 2an ＋2a 2与n 2－2an ＋2a 2都是大于1的正整数，因为a 有无穷多个，故存在无穷多个k ，使得n 4＋k 是合数，【注】 本题的关键在于构造k ＝4a 4，这用到了本章节例题3的代数形式．例6 对于不超过50的正整数n ，满足：恰有一对非负整数（a ，b ），使得a 2－b 2＝n ，试求满足条件的n 的数目.【解】 由于n ＝(a ＋b )(a －b )，且a ＋b 与a －b 同奇偶，所以n ≠2(mod 4).(1)当n 为奇素数时，仅有一对()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 满足条件； (2)当n 为奇合数时，不妨设n ＝uv （u ≥v ＞1，u ，v 为奇数），那么至少有2组非负整数解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21,21,n n b a 或⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2,2v u v u ，不满足题意，因此奇数中满足题意的共有： 1,3,5,7,11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47共计15个；(3)当4|n 时，如果4n 为合数，至少有2组非负整数解，也不满足题意．因此偶数中满足条件的为4，8，12，20，28，44共6个．综上所述，一共有21个正整数n 满足题意.【注】本题如果一开始直接枚举容易产生错误，约束适当的范围再进行枚举是关键．例7试求关于m ，n 的不定方程m 2－1＝p 2（n 2－1）的所有正整数解，其中p 为素数．【解】 因为(m －1)(m ＋1)＝p 2(n 2－1)，下面按照p 作分类讨论：(1)若p 为奇素数，则p 2| m －1或p 2 | m ＋1．若p 2|m －1，设m ＝kp 2＋1(k 为非负整数），则n 2＝k 2p 2＋2k ＋1，但是k 2p 2＜k 2p 2＋2k ＋1≤(kp ＋1)2从而k ＝0，进而m ＝n ＝1;若p 2|m ＋1，设m ＝kp 2－1(k 为正整数)，则n 2＝k 2p 2－2k ＋1，但是(kp －1)2＜k 2p 2－2k ＋1＜k 2p 2矛盾！(2)若p 为2，则2|m －1，2|m ＋1，设m ＝2k －1(k 为正整数)，那么n 2＝k (k －1)＋1＝k 2－k ＋1但是(k －1)2＜k 2－k ＋1≤k 2，故k ＝1，进而m ＝1，由此可得n ＝1综上所述，m ＝n ＝1【注】 本题的因式分解体现了处理整除时候常见的转成两边均是乘积式的模式，并且利用了两个相邻平方数之间没有平方数这一个性质，通过不等式控制，实现了论证.练习1.11.计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222201111311211 2.已知：2122+=-b a ，2122-=-c b ，求222222444a c c b b a c b a ---++的值3.证明：存在无穷多个完全平方数，它们无论对怎样的素数p 及怎样的正整数n 、k ，都不能表示成p ＋n 2k 的形式4.证明：对每个正整数n ，均存在正整数m ，使得：()121++=+m m n5.试确定实数a 、b 、c 的值，使得对任何正整数n ，∑-=++-+++=10323231n k ck bk ak ck bk ak n恒成立.练习1.11.原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201111201111211211 2011100620112012201120105654454334322321=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 2.因为()()()][21222222222222222444a c c b b a a c c b b a c b a -+-+-=---++，又因为,21,212222-=-+=-c b b a 两式相加得a 2－c 2＝2，从而原式＝()()52212121222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++ 3.若p ＋n 2k ＝m 2，则由平方差公式可得(m －n k )(m ＋n k )＝p ，由于p 为质数，则必有⎩⎨⎧=+=-pn m n m k k 1，从而p ＝2n k ＋1，m ＝n k ＋1。
专题03 平方差公式五种压轴题型全攻略(解析版) 四川成都七年级数学下册-
专题03平方差公式五种压轴题型全攻略【知识点梳理】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个代数式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。
特别需要注意“-”的处理。
类型一、公式的变形与逆运用∵0m >，∴9m =，即229a b +=，故答案为：9．【点睛】此题考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．【变式训练2】．(m+n+p+q)(m-n-p-q)＝()2-()2．【答案】mn+p+q【详解】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]=()22m n p q -++，故答案为(1)m ，(2)n+p+q.点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.【变式训练3】．计算：(2x+y-3)(2x-y+3).【答案】22469x y y -+-【详解】解：原式()()2323x y x y ⎡⎤⎡⎤=+-⋅--⎣⎦⎣⎦()()2223x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-类型二、简便运算例．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长m n>，把剩余的部分拼成一个长方形纸片．为n的小正方形纸片()②计算：2211(1)(1)23-⨯-【答案】(1)C (2)①15；②10122023【分析】（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为______．（用含字母a 的代数式且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到等式______．(3)根据你所得到的等式解决下面的问题：计算：①2267.7532.25-；②()()22a b c a b c +---．()()67.7532.2567.7532.25=+-10035.5=⨯3550=．②()()22a b c a b c +---()()22a c b a c b =-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()222a c b =--22224a ac c b =-+-．【点睛】本题考查的是平方差公式的几何背景，掌握()()22a b a b a b -=+-是解题的关键．【变式训练2】．乘法公式的探究及应用．(1)如图1，可以求出阴影部分的面积是______；(2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个梯形．通过计算图1、图2阴影部分的面积，可以得到一个乘法公式，运用你所得到的公式．．．．．．．．．，计算下列各题：①10.39.7⨯；②m n p m n p +--+（）（）．【答案】(1)22a b -；(2)99.91,2222m n np p -+-【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出；（2）比较图1、图2中阴影部分的面积，可以得到公式：()()22a b a b a b -=+-，利用平方差公式就可方便简单的计算．【详解】（1）；解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积22a b =-；故答案为：22a b -；（2）解：根据图1、图2的面积，可以得出()()22a b a b a b -=+-，①原式()()100.3100.3=+⨯-22100.3-＝1000.09=-99.91=；②原式()()m n p m n p ⎡⎤⎡⎤=+-⨯--⎣⎦⎣⎦()22m n p =--2222m n np p =-+-.【点睛】本题考查了整式的乘法公式，其中涉及到平方差公式的推导，结合题干中的条件，利用图形的面积相等，得出平方差公式，然后再进行计算即可，计算时要细心.(1)上述操作能验证的等式是（A ．()()22a b a b a b -=+-；B (2)请应用（1）中的等式完成下列各题：①己知2291628a b -=，34a b +【详解】解：（1）根据题意得：68212482424⨯-⨯=-=，故答案为：24；（2）是，这个定值是35．理由如下：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为6x -，6x +，十字差为：()()()()22116613635x x x x x x -+--+=--+=．故不同位置十字星的“十字差”是一个定值，这个定值为35；(3)定值为21k -，证明如下：设设十字星中心的数为y ，则十字星左右两数分别为1y -，1y +，上下两数分别为y k -，(3)y k k +≥，十字差为：()()()()22221111y y y k y k y y k k -+--+=--+=-，故这个定值为21k -．【点睛】此题考查了整式运算的实际应用，正确理解题意以及熟练掌握运算法则是解本题的关键．类型五、多次运用平方差公式(1)图1中图形的面积为22a b-，图2中图形的面积为示）。
平方差公式与完全平方公式提高训练
平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式x_1x_2=c/ax_1+x_2=-b/a其中，a、b、c为方程的系数。
平方差公式可以帮助我们在解二次方程时，通过已知的一根求出另一根。
它的推导基于第二个根是解得方程ax^2+bx+c=0的一个根，记为x_2、那么我们可以将二次方程表示为(x-x_2)(x-x_1)=0，展开：x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0。
比较系数即可得到平方差公式。
举例来说，假设有一个二次方程x^2-5x+6=0，我们可以使用平方差公式来解题。
根据平方差公式，我们可以得到：x_1x_2=6/1=6x_1+x_2=-(-5)/1=5因此，方程的两个根分别为2和3二、完全平方公式完全平方公式是指对于一个一次方程x^2+2ax+a^2=b，可以转变为(x+a)^2=b的形式。
完全平方公式可以帮助我们在解一次方程时，简化计算。
它的推导基于二次方程与一次方程的关系：对于一个二次方程ax^2+bx+c=0，如果它有两个相等的根x_1=x_2=x，那么x也是对应的一次方程bx+c=0的一个解。
举例来说，假设有一个一次方程x^2+6x+9=25，我们可以使用完全平方公式来解题。
根据完全平方公式，我们可以得到：(x+3)^2=25因此，方程的解为x=-3±√25总结：平方差公式和完全平方公式是高中数学中非常基础和重要的概念，它们在解二次方程和一次方程时非常有用。
通过掌握和熟练应用这两个公式，我们可以简化计算，提高解题效率。
因此，在数学学习中，我们要加强对这两个公式的理解和应用。
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品
平方差公式和完全平方公式强化训练变式精品在平方差公式中，对两个数进行平方并相减，可以得到一个差的平方。
这个公式可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：三数之差的平方给定三个数a、b和c，求(a-b)^2-c^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，有(a - b)^2 - c^2 = (a - b +c)(a - b - c)。
然后，可以将这个式子展开得到(a - b)^2 - c^2 =(a^2 + b^2 - 2ab) - c^2 = a^2 + b^2 - 2ab - c^2、因此，只需要将给定的三个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个数之差的平方之和给定n个数a1、a2、..、an，求(a1 - a2)^2 + (a2 - a3)^2 + ... + (an-1 - an)^2的值。
解法：首先，根据平方差公式，可以将每个差的平方展开，并将它们相加。
然后，可以发现每个差的平方之和可以表示为每个数平方之和减去两倍的交叉相乘之和。
因此，只需要将给定的n个数代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
在完全平方公式中，一个多项式的平方可以通过分解进行简化。
这个公式也可以通过一些变化来扩展其应用范围。
变式1：两个三项式的平方和给定两个三项式a^2 + 2ab + b^2和c^2 + 2cd + d^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个三项式平方进行分解，然后将它们相加。
然后，可以将这个和的平方进行分解得到一个完全平方。
因此，只需要将给定的两个三项式代入式子中进行计算，即可得到最终的结果。
变式2：多个多项式的平方之和给定n个多项式a_1^2 + 2a_1b_1 + b_1^2，a_2^2 + 2a_2b_2 +b_2^2，...，a_n^2 + 2a_nb_n + b_n^2，求它们的和的完全平方。
解法：首先，根据完全平方公式，可以将每个多项式平方进行分解，并将它们相加。
七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
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初一数学平方差公式专题提高训练1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=．（x﹣1）（x2+x+1）=．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．15．（2010春•成都校级期末）16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=；（2）（2+1）（22+1）=；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）18．（2000•内蒙古）计算：19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．28．用平方差公式速算：30×29．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【分析】（1）首先把124分成123+1，把122分成123﹣1，然后根据平方差公式计算即可．（2）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）的值是多少即可．2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）=x7﹣1；（2）给等式乘以（2﹣1）从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（a﹣b）（a+b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）先变式，再根据平方差公式计算．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），这个公式的名称叫平方差公式．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）利用面积公式：大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式．（2）利用平方差公式简便计算．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=80．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明．【分析】（1）将212﹣192写成（21+19）（21﹣19）利用平方差公式计算即可；（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．【分析】（1）将2转化为（3﹣1），与（3+1）配成平方差公式，其结果为（32﹣1），与（32+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果．（2）根据31=3，32=9，33=27，3，4=81，35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．【分析】（1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；（3）根据规律计算即可．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可．11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．【分析】（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取﹣1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1）和999变形为（1000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1），2009变形为（2000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．【分析】根据式子得特点转化成（2007﹣1）（2007+1）﹣20072，用平方差公式展开即可求出答案．15．（2010春•成都校级期末）【分析】利用平方差公式即可求得（x﹣2）（x+2）与（﹣3+x）（﹣x﹣3）的值，再求和即可．16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=3；（2）（2+1）（22+1）=15；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）添加上2﹣1=1，根据平方差公式求出即可；（3）添加上（2﹣1），重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；（4）求出（2+1）（22+1）、（2+1）（22+1）（23+1）、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）、…、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）的结果，根据结果得出规律（结果的个位数字是5），即可求出答案．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2进行计算即可．18．（2000•内蒙古）计算：【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．【分析】根据平方差公式把a2﹣b2=48化为（a+b）（a﹣b）=48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．【分析】本题是平方差公式的应用，﹣5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．【分析】把（x+y）2=4两边开平方得到x+y=±2，然后根据平方差公式把x2﹣y2=5变形为（x+y）（x﹣y）=5，再代入计算整理即可求解．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）【分析】直接利用平方差公式计算即可．23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．【分析】（1）直接利用平方差公式进行计算即可；（2）直接利用平方差公式进行计算即可；（3）直接利用平方差公式进行计算即可；（4）两次运用平方差公式进行计算即可；25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）【分析】（1）先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；（2）利用平方差公式先计算（x+2）（x﹣2），然后再次利用平方差公式计算即可．27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．【分析】所求算式前面乘（2﹣1），然后依据平方差公式计算即可．28．用平方差公式速算：30×29．【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算即可．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．【分析】首先将原式变形为20132﹣（2013﹣1）（2013+1）﹣（1000﹣1）2后，展开合并即可得出结论．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．。