第八讲-重力异常反演Word版
重力异常
由重力测量确定大地水准面形状
根据计算大地 水准面的波动
利用人造地球 卫星轨道测定 大地水准面
重力异常是大地水准面上的重力值Gp和平均椭球体面上相应点的正常重力值Gq之间的差值。
假定地球是一个均质圆球，人造地球卫星质量很小，可以忽略，又假设卫星在真空中运行，其轨道就是一个 椭圆。该轨道称正常轨道。它有8个参数：升交点、升交点赤径、轨道倾角、近地点、近地点角距、真近点角、偏 近点角、平近点角。
造成的主要原因
1、地球的自然表面并不像大地水准面那样光滑，而是起伏不平的； 2、地球内部介质密度分布不均匀。这种密度的不均匀性有一部分是地质构造和矿产引起的。
分类
重力异常可分为纯重力异常和混合重力异常。纯重力异常是同一点上地球重力值和正常重力值之差，又称扰 动重力。混合重力异常是一个面上某一点的重力值和另一个面上对应点的正常重力值之差。例如大地水准面上一 点的重力值g0和该点沿平均地球椭球法线在椭球面上的投影点的正常重力值γ0之差，称为大地水准面上的混合 重力异常；地面上一点的重力值g和似地球面（见地球形状）上相应点上正常重力值γ之差，称为地面混合重力异 常。
重力异常
重力勘探领域术语
目录
01 造成的主要原因
03 的求定
02 分类 04 重力改正
目录
05 表示方法
由重力测量确定大地 水准面形状
06 推估
由于实际地球内部的物质密度分布非常不均匀，因而实际观测重力值与理论上的正常重力值总是存在着偏差， 这种在排除各种干扰因素影响之后，仅仅是由于物质密度分布不匀而引起的重力的变化，就称为重力异常。
重力异常正演资料
单位长度， dm d
• 若水平圆柱体有限长， 则
密度均匀的水平圆柱体
l
g G
d
l [( x)2 ( y)2]3/2
(x
2Gh0l
h0 )(x2 l2
h02 )3/2
密度均匀的水平圆柱体
• 当 l 时，
g 2Gh0
密度均匀的球体Vg VFra bibliotekzG
v
( z)d dd [( x)2 ( y)2 ( z)2 ]3/2
密度均匀的球体
密度均匀的球体
Vg
GM
[x2
h0 y2
h02 ]3/2
密度均匀的球体
Vg
GMh0 ( x2 h02 )3/2
球体重力异常图
球体重力异常图
利用已知异常计算球体参数
重力异常正演
正问题与反问题
正问题也称为正演计算(Forward Calculation) 已知地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理 论计算来求得异常的分布和规律。
正问题与反问题
• 反问题也称为反演(Inversion) • 已知异常的分布特征和变化规律，求场源的赋存
状态（如产状、形状和剩余密度等）
正问题与反问题
正演计算是解反问题的基础，解反 问题（反演）是目的
正问题与反问题
简单规则几何形体的异常
• 为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀， 地面水平，所取剖面为中心剖面。
• 规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状 体……
密度均匀的球体(点质量)
• 自然界中，一些近于等轴状的地质体， 如矿巢、矿囊、岩株、穹窿构造等， 都可以近似当作球体来计算它们的重 力异常，特别当地质体的水平尺寸小 于它的埋藏深度时，效果更好。
重力异常正反演问题
整个水平圆柱体在P点产生的重力异常为无 穷多个柱体在该点产生的重力异常之和，即：
g G h0
2 h0 dy G 2 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h0 ) x h0
2、水平圆柱体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
讨论：
3、垂直台阶
2πG△σ△h
由图可见：无论台阶产 状如何，异常的形态相 似，仅原点处的异常值 不同。 当台阶直立时：
P(x,0)
πG△σ△h
o
△σ
●
x
△g(0)= πG△σ△h
△h
当台阶面向台阶外侧倾 斜时：
△g(0) > πG△σ△h
当台阶面向台阶内侧倾 斜时：
△g(0) < πG△σ△h
二、不规则三度体的正演问题
（4-3）
如果还有其他的物性层界面存在，则可仿照以上公式（4-3）进行迭加，以 求多重界面的Δ g。将Δ g 进行傅立叶变换，便得空间域的Δ g(x,y,0)，即完成 正演计算。
双密度界面
（五）变密度多界面快速反演方法
1．反演问题的基本原理
现假设已知重力场为△g（r0,z0） ，其频谱记为 F[△g]，又假设已知密度函数ρ (r)的一个值为 ρ
重力异常的正反演
• 1. 重力异常的正演问题、反演问题； • 2. 均匀密度球体、水平圆柱体、台阶的重 力异常正演方法，异常特征，反演方法； • 3. 密度界面的剩余密度的确定方法； • 4. 单一密度界面异常的特征及反演解释方 法（近似解法、矩阵法）； • 5. 解复杂密度体正演问题的基本思想； • 6. 最优化选择法的基本思想；
用解析公式计算出每个小长方
简述重力场的正反演问题
简述重力场的正反演问题
重力场的正反演问题涉及重力异常的正演和反演。
正演问题是给定地下某种地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理论计算来求得它在地面上产生的异常大小、特征和变化规律，这是正向思维的问题。
反演问题则是依据已获得的异常特征、数值大小、分布情形等并结合物性资料来求解地下地质体的形状和空间位置等，这是逆向思维的问题。
重力正演是指根据地下地质体的形状、大小、密度等物理参数，利用重力场理论计算其在地球表面产生的重力异常。
重力反演则是根据实测的重力异常数据，结合物性资料，推断地下地质体的形状、大小、空间位置等信息。
重力正演是解决正问题的过程，它从地下地质体的物理参数出发，预测其在地球表面产生的重力异常。
重力反演则是解决反问题的过程，它从实测的重力异常数据出发，推断地下地质体的形状、大小、空间位置等信息。
重力场的正反演问题在地球物理学中具有重要的应用价值，例如在矿产资源勘探、地质构造研究、地下水资源调查等领域都有广泛的应用。
通过正反演问题的解决，可以更好地理解地球内部结构和动力学过程，为资源开发和环境保护提供科学依据。
重力正演、反演
2)当σ>o时，极大值一侧对应着上升盘，极小 值一侧对应着下降盘，在极小值十分清晰且大 干极大值的绝对值时，属正断层类型，反之则 属逆断层类型。
二度铅垂柱体 对于沿水平方向延伸较长而横截面近于矩形的 矿脉，可以当成二度铅垂柱体来研究。在正演 它的异常时，坐标系及有关参数的选取见图,用 (x+α)与(x一α)分别代替铅垂台阶各公式中的 x，并将结果相减，即获得这一形体的重力异 常及各阶导数异常的公式:
当柱体的下底 H→+∞ 时，便可获得底部无限延 伸的铅垂脉的相应公式Δg→∞
( x − a) 2 + h 2 V xz = Gσ ln ( x + a) 2 + h 2 h h 2ah V zz = 2Gσ (tg −1 − tg −1 ) = 2Gσtg −1 2 x−a x+a x + h2 − a2 ⎡ ⎤ x+a x−a 2a ( a 2 + h 2 − x 2 ) V zzz = 2Gσ ⎢ = 2Gσ 2 − 2 2 2 2 ⎥ ( x + a) + h ⎦ ( x + a 2 + h 2 ) 2 − 4a 2 x 2 ⎣ ( x + a) + h
GM GMD = 2 2 nD ( x1 / n + D 2 ) 3 / 2
x 1/n = ± D n 2 / 3 − 1
取n=2，得x1/2=0.766D(X正半轴)和x’1/2=－0.766 D (X负半轴)，说明异常半极值点的横坐标为球心 深的0.766倍
4、当D不变，使M加大m倍时，异常也同样加大
[( x + a ) 2 + H 2 ][( x − a ) 2 + h 2 ] V xz = Gσ ln [( x + a ) 2 + h 2 ][( x − a ) 2 + H 2 ] H h H h ) − tg −1 − tg −1 + tg −1 V zz = 2Gσ (tg −1 x+a x+a x−a x−a ⎡ ⎤ x+a x+a x−a x−a − + − V zzz = 2Gσ ⎢ ⎥ 2 2 ( x + a) 2 + H 2 ( x − a) 2 + h 2 ( x − a) 2 + H 2 ⎦ ⎣ ( x + a) + h
重力异常正反演问题
设：
（D.1）
所以：
按式（D.1）的形式累加起来，最后只需要求一次反正切函 数，这样处理后，计算速度提高一倍以上。
1.2.2 直立“线元”法
某工区物探、勘探工作布置示意图
正演问题的定义： 根据巳知的、具有剩余质量的地质体的形状、产状和剩余密度 分布，通过理沦计算，研究它们所引起的异常及其各阶导数异 常的数值大小、空间分布和变化规律。 反演问题的定义： （1）由观测上重力异常的分布，在给定物体边界位置函数的条 件下，求解物体的密度分布函数；（物性反演） （2）由观测面上重力异常分布，在给定物体密度函数的条件下， 求解物体的边界位置的数值；（几何反演） （3）由观测面上重力异常分布。在给定特殊约束（如设物体密 度均匀、形态规则)条件下，求解物体密度参数和几何参数。 给定的函数和特殊约束称为反演问题的定解条件。
什么是正问题与反问题？
反问题：m=G-1d
观测数据d
地质模型 m
正问题：d=Gm
（一）规则形体的正、反演问题
为了简化，假设地质形体孤立存在，密度均匀，地 面水平，所取剖面为中心剖面
规则形体：球体、水平圆柱体、垂直台阶、脉状体……
1、球体
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
近似于等轴状地质体，如盐丘、矿巢、溶洞等
lim g 0; g max
g max h02 m G 2 ; x1/ 2 0.766h0 ; m h0 G
2、水平圆柱体 2、水平圆柱体（线质量）
规 则 形 体 的 正 、 反 演 问 题
小柱体元在P(x,0,0)点产生的重力异常为
g G
h0 dy
(x y h )
用一组垂直于y轴的平面
和一组垂直于X轴的平面分 别切割地质体，则任意两 个平面的交线包合在地质 体之内的部分形成一个线 元。 用解析式计算每一个线 元在计算点产生的重力异 常作用值。 对所有钱元的作用值依 次进行X方向和Y方向的数 值积分，便得到整个地质 体在计算点所产生的重力 异常值。
16重力勘探-重力异常正反演解析
△gz
△g
FHale Waihona Puke rh1R0
测量垂直梯度原理 gz h2 h1
g h2 g h1
g ( z z ) g ( z )) g h1 g h2 z h2 h1
△g △g(x+△x) △g(x-△x)
△gx
A（x,0,0）
△g
F r
h
1
R
0
2 x1
2 3
2 3
2 3
h2
n 2 3
（n 1 ）
x1 h
n
（n 1）
2 3
• （3）反演剩余质量
m g max G 2 h
• （4）反演半径
g max h 2 m G
g max h 2 m G
4 3 m R 3
3 m R( ) 4
• 重力异常的正反演（正反演问题的关系：异常场源（地
形状
质因素产生的剩余质量）和重力异常之间的对应关系（互相关系）包 括数量上关系。 ）
大小
异常场源 位置 产状 深度 物性
根据数学物理方法： 万有引力 重力异常的 推断：定性或者定量 △g
分布规律 形态特征 幅度大小
A F △g
1）正问题是反问题的基础； 2）反问题强烈依赖于正问题。
2 7 2 2
②均匀的水平圆柱体（二维水平柱状体）
• • • • • •
在实际的地质现象中，如长轴背斜、向斜等， 可以近似看成水平圆柱体来讨论。 水平柱状体：向两端无限延伸 半径：R 埋深：h 延伸方向：y 剩余密度
定义：线密度
S R 2 dd
hx g x 4G 2 ( x h2 )2 h2 x2 g z 2G 2 ( x h2 )2 h 2 3x 2 g zz 4Gh 2 ( x h 2 )3
重力异常数据处理
d
g(0, 0, z) V 1 zg( ,) d d
z 2 ( 2 2 z2 )3 2
g(0,0, z) 1
2
g (R, )
zR dRd
2 0 0
(R2 z2 )3 2
• 2.三度体异常的向上延拓 ①等间距近似计算公式
g(0,0,z) 1
2
0
2 0
g
(
R,
)
2
g
(
Ri
)
g(0, 0, z) Ki g(Ri ) i0
g(0, 0, z) Ki g(Ri ) i0
K0
1 2
1
1 2
Ki
1 2
(i
1 1)2
11 2
1 (i 1)2
11 2
i1、2、3
g(0,0,z)
6 i0
Ki g(Ri
)
i7
Ki g(Ri )
g
(R6
)
(R2
zR z
2
)3
2
dRd
1
2
g(R, )d g (R)
2 0
g(0, 0, z) g(R)
zR dR
0
(R2 z2 )3 2
g(0, 0, z) g (Ri ) g (Ri1) Ri1
zR dR
i0
2
Ri (R2 z2 )3 2
i0
g (Ri ) g (Ri1) 2
5
g(2, 1) g(2,1) g(2, 1) g(1, 2) g(1, 2)
g(1, 2) g(1, 2)] ( 27 8)g(2, 2) g(2, 2)
5
g(2, 2) g(2, 2)
25点圆滑公式
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应用重力学第八讲重力异常反演正问题(Forward Calculation)已知地质体的形状、产状和剩余密度等，通过理论计算来求得异常的分布和规律。
m d正演反问题(Inversion)已知异常的分布特征和变化规律，求场源的赋存状态（如产状、形状和剩余密度等）。
?解正问题是解反问题的基础，解反问题是目的。
仅从地质角度，解重力反演问题的目标矿体类问题:寻找、研究或推断金属或非金属矿体；构造类问题:研究地质构造，包括控矿构造，如含石油、天然气、煤的构造以及区域性的深部构造等。
从地球物理角度，解重力反演问题的目标矿体类问题:确定地质体的几何和物性参数；构造类问题:确定物性分界面的深度及起伏；密度分布问题:确定密度的分布。
一、计算地质模型体的几何及物性参数(一)直接法直接利用由反演目标引起的局部异常，通过某种积分运算和函数关系，求得与异常分布有关地质体的某些参量。
三度体剩余质量的求法⎡ m n⎡⎡m∑∑ ij g .u.mg .u . ⎡M 2.386 {xy }{g} 2{R 2} {g(R )}⎡i 1j 1⎡三度体重心水平坐标的求法2.386 m n{}y [x } {g } ]x 0 ≈xm∑∑ i mij g .u .{M }t2.386{y }i 1 j 1 m n[{y}{g}]y 0 ≈xm ∑∑i m ij g .u. {M}t i 1j 1二度体横截面积的求法nx ∑g ii 14Gtg−1xD二度体横截面重心水平坐标的求法x 0n∑( x ⋅g )i i 1n∑g ii 1(二)特征点法根据异常曲线上的一些点或特征点（如极大值点、零值点、拐点）的异常值及相应的坐标求取场源体的几何或物性参数;仅适用于剩余密度为常数的几何形体。
异常曲线形态分类第一类是单峰异常，零值点在无穷远处如球体的Δg 曲线、台阶的Vxz 曲线等； 第二类是具有极大值、极小值和一个零值点 如球体的Vxz 曲线、台阶的Vzz 、Vzzz 曲线； 第三类是具有一个极大值、两个极小值和两个零值点 如球体、水平圆柱体的Vzz 和Vzzz 曲线； 第四类是台阶的Δg 曲线，一边高一边低的形态应用条件对异常作平滑处理，尽量准确确定原点的位置；对异常曲线作分离处理，获得单纯由研究对象引起的异常；对剩余（局部）异常进行分类，判明该异常的场源体接近于何种可能的几何形体，然后选用相应的反演公式。
球体Δg 的反演(第一类曲线)单峰异常，零值点在无穷远处GMDGMDg 122 3 / 2g 22 23 / 2( x1D ) ( x2D)2 1 1/ 2g ( x 2D 2 )3 / 2 n1 2g ( x 2D 2 )3 / 2⎡x 2−x 2 n2 /3 ⎡D ⎡21⎡ n2/ 3−1 ⎡⎡D1 2 x 1/ n −n2/3x 1′/ n−1当n =2时 D1.305 x 1 / 20.6524(x 1 / 2−x1′/2)当n=3时当n=4时D 0.9622x1/3D0.8111x1 /40.4811(x1/30.4056(x1 / 4−x1′/3)−x1′/ 4)ϒ/ maxM14.99D2 g1/ 31/3R 3M0.62{M }t⎡ ⎡⎡⎡ m⎡ ′− ⎡ ⎡ } ⎡ 4 ( 0 )hD −R⎡′⎡ ⎡{ g / cm 3 ⎡M 实⎡⎡⎡⎡g / cm 3{M }tm m mD 1.305x 1/ 2M14.99D2 gtmmax1/ 3g .u .R0.62 ⎡ {M } ⎡⎡t⎡⎡{} ⎡ ⎡gc / m 3⎡DR1g/cm3m mD 1.305x 1/ 21.305153199.67mM14.99D2g200mtmmaxg .u .14.99199.67 199.676.984.1714106 t1/ 3⎡⎡mR 0.62{M }t⎡{} ⎡⎡gc/ m3⎡0.62 (4.1714 106 /1)1/ 3 99.81m100mxz球体Vxz 的反演(第二种类型的曲线)具有极大值、极小值和一个零值点1 1x max− D ,x minD2 2(V ) −(V ) 48GMxz max xz min 25 5D3D 2 x min−2x max x min−x maxM0.01746D 3(V)maxzz 0 zz max球体Vzz 的反演(第三种类型曲线)具有一个极大值、两个极小值和两个零值点(V ) 2GMzz maxD3x 0 2{D }m , x 0 −2{D }mM 0.00749D 3(V )max0.00265x 3(V )球体Vzzz 的反演(第三种类型曲线) (V )6GMzzzmax D 4D 1.225xM 2.499D4 (V )10−3 5.622x4 (V)zz z max 0zzzmax台阶曲线的反演(第四种类型曲线)台阶的Δg曲线，一边高一边低的形态gma xg ( x) g (−x) 2G2G( 2 −1x1/ n )G tg n DDx1/ ntg(2 −n)2n4 G ⎛1[g ( x2Ghx 1/ n1[ ( x ) g(−x )] −(2 −n )tg 2nH x 1/ n1 [g ( x )g4 G ⎛ (−x )](2 −n )tg 2n(三)选择法根据异常分布和变化特征，结合地质和其他地球 物理和物性等资料，给出初始地质体模型; 进行正演计算，将理论异常与实测异常对比;m∑kk k k 1 2 n[gk 1-f(x ,y ,z ,b ,b , b )]2min若两者偏差较大，对模型进行修改，重算其理论 异常计算，再次进行对比……;如此反复进行，直至两种异常的偏差达到事前要 求的误差范围为止，则这最后的理论模型就可作 为所求的解答了。
选择法特点异常可以是整条剖面或整个测区的数据，受个别点误差的影响较小，抗干扰的能力较强。
所求的地质体可以是一个或几个复杂的不规则几何形体,密度分界面,或者密度的分布。
需要重复而复杂的正演计算, 可编制相应程序由计算机来自动完成。
解释复杂重力资料时，能够考虑研究区已知的地质构造资料，在反演过程中利用这些资料，控制或约束计算结果，使得到的地质模型更接近实际的地质体。
(四)人机交互式反演方法(姚长利--重磁异常正反演解释系统)二、计算密度分界面的深度密度分界面与区域构造和储油构造有密切的关系，因此计算密度分界面的起伏或深度的变化在区域构造研究和石油勘探中具有重要的意义。
2 h n(一)线性回归法如果界面起伏平缓，可以认为重力变化与界面的 起伏近似呈线性关系。
hab ⋅gn∑ i i(a , b ) (h −h )2i1min∂ ∂令 0, 0,则 ∂a ∂ba∑g i ∑h i −∑g i ∑g iib∑g i h i −∑h∑g i,n g 2 −(g )2 n g 2 −(g )2i i i i(二)压缩质面法(刘云龙,1977)条件：界面起伏较小，埋藏深度较大。
ϒ1n基本原理将界面从最小深度h 和最大深度H 处向中间挤压，使之在界面平均深度D=(h+H)/2上压缩成一个面密度不均匀分布 的物质面，将该物质面剖分成局部面密度均匀分布的水平物质带(二维)或物质片，面密度 j h j 计算物质带或物质片的正演，或迭代反演物质带或物质片 的面密度，进而求出界面深度。
g (i ) 2G tg −12(j −1) −i 2( j −2)−1⎡∑ ⎡ −tg⎡ jj1⎡ 22⎡(三)迭代法(Cordell,1968)ΔgyOt σQ长方体zx P测点由无限平板重力异常公式给出t 初值Mt1,qg obs ( q )2G计算模型初值的重力异常g calc ,n , p∑ q1g Gf (P , Q ,t n ,q ,, D )计算t 的下一个修改值t n 1,qt n ,q( obs ,q) gM∑ obs,qcalc ,qcalc ,n ,q目标函数( g −g )2minq 1判断计算结果满足要求否，不合要求则转到第2步继续计算；否则停止计算。
t 1,qg obs ( q )2Gg calc ,n ,pM∑ q1Gf (P , Q , t n ,q ,, D )n=n+1t n 1,qt n ,q g obs ,q() g calc ,n ,qM∑ obs ,qcalc ,q( g −g )2min?q1否是反演结果理论界面深度正演的重力异常m d=Gm理论界面深度反演界面深度(迭代50次)m m’=G-1dkkz0(四)频率域反演法(Parker-Oldenburg,1973)假定在x-z直角坐标系中，重力异常用g(x)表示，场源层的上部边界为z=0，下部边界为z=h(x)，这个边界显示界面的起伏。
根据帕克的二维傅里叶变换公式得到重力异常傅立叶变换F g( x)−2G e−k∞z0∑n1n−1F h n ( x)n!从上式的无限和式中提出n=1的项，并重新排列，得到F h(x)− F g ( x)e−∑kn −1Fhn( x )2Gn 2n !。