甘肃省张掖市高三数学一轮学案 模块3 立几与解几 第9讲 极坐标与参数方程 新人教A版
极坐标与参数方程 艺术生培优专题讲义-2023届高三数学一轮复习
专题八 极坐标方程参数方程与绝对值不等式第一讲 极坐标方程与参数方程1、极坐标与直角坐标的互化2．(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．练一练1．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(1)1y x +-=，直线:4l x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出圆C 和直线l 的极坐标方程；2．在直角坐标系xOy 中，直线l 的直角坐标方程为y x =+曲线C 的参数方程为33cos 3sin x y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和C 的极坐标方程；3．在极坐标系中，圆C 是以点C 11(2,)6π为圆心，2为半径的圆． （1）求圆C 的极坐标方程；4．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；5．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；6．在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出曲线C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；8．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为11x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 是圆心在()1,2，半径为2的圆．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求1C 的直角坐标系方程与2C 的极坐标方程；9．已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为822x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求1C 和2C 的普通方程；10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()2211x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 16πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是122x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为24cos 8sin 100ρρθρθ--+=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；12．极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知圆:cos sin O ρθθ=+和直线:sin 42l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；第二讲 绝对值不等式1、含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集2、|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3、|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ②利用零点分段法求解．13．已知集合{}5A x x =∈<Z ，{}24xB x =≥，则A B =（ ）A ．()2,5B ．[)2,5C ．{}2,3,4D ．{}3,414．已知集合则{}{}240|2A x x x B x x =-<=<，，则AB =（ ）A ．()02，B ．()2,4-C ．()()24-∞⋃+∞，，D ．()()20-∞+∞,-,15．不等式12x -<的解集为________ 16．已知函数()|1||24|f x x x =-++． （1）求不等式()6f x >的解集；17．设()23f x x x =-++. （1）解不等式()7f x >；18．已知函数()121f x x x =++-. （1）求不等式()2f x ≥的解集；19．已知函数()|1||1|f x x x =--+． （1）解不等式|()|1f x >；20．已知函数()16f x x x =-+-． （1）解不等式()12f x >；21．已知函数()413f x x x =-+--． （1）解不等式()1f x ≤；22．已知函数()24f x x x =--+． （1）求不等式()1f x >的解集；。
高三数学一轮复习 63坐标系和参数方程学案 理
63 坐标系和参数方程一、学习内容：选修4—4， 二、课标要求：1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程. 4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 三、基础知识1．极坐标系 (1)基本概念在平面上取一个定点O ，自点O 引一射线OX ，同时确定一个___________和___________的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，______称为极点，___________称为极轴．(2)极径与极角设M 是平面上任一点，ρ表示__________，θ表示以_______为始边，_______为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，其中，_____称为点M 的极径，____称为点M 的极角．cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， tan (0)yx x ρθ⎧=⎪⎨=≠⎪⎩3．圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为___________________ (θ为参数)．4．椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的参数方程为__________________ (θ为参数)．5．直线的参数方程过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为____________________(t 为参数)，其中t表示直线上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段0MM 的________．当t >0时，0MM的方向 ；当t <0时，0MM的方向 ；当t ＝0时，M 与M 0 ．四、典型例题分析1．（2013安徽（理））在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A ．=0()cos=2R θρρ∈和B ．=()cos=22R πθρρ∈和C ．=()cos=12R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和【答案】B2．（2013上海（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____. 3．（2013湖南（理））在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点,则常数a 的值为________.【答案】34．（2013江苏）在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.解:∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21∴消去参数t 后得直线的普通方程为022=--y x ①同理得曲线C 的普通方程为x y 22= ②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,)1,21(-5．（2013新课标1（理）） 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】将45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=;(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π),(2,)2π.五、基础练习1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________． 【答案】 (2，5π3)【解析】由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x .∵x ＝1，y ＝－3，∴ρ＝2，tan θ＝－3，θ＝5π3.故极坐标为(2，5π3)．2．点P 的极坐标为(3，－π4)，则点P 的直角坐标为________．【答案】 (322，－322)【解析】ρ＝3，θ＝－π4，故x ＝ρcos θ＝322，y ＝－322，从而点P 的直角坐标为(322，－322)．3．（2010湖南理3）极坐标方程cos ρθ=和参数方程1()23x tt y t=--⎧⎨=+⎩为参数所表示的图形分别是（ ） A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D 直线、直线 【答案】A 解222cos cos x y x ρθρρθ=⇒=⇒+=；1()31023x tt x y y t=--⎧⇒++=⎨=+⎩为参数．4．（2010北京理5）极坐标方程(1)()0ρθπ--=(0)ρ≥表示的图形是（ ） A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 【答案】C 【解析】(1)()0ρθπ--=⇒1ρ=或θπ=5．（2012湖南理9） 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则a = . 【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 6．（2012江西理15）曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_______________。
甘肃省张掖市高三数学一轮学案 模块1 函数与导数 第9讲 函数的单调性 新人教A版
第九讲 函数的单调性一、知识梳理1.函数的单调性：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x <时都有1212()()(()())f x f x f x f x <>，那么就称函数()y f x =在区间I 上是单调 ( )函数，区间I 称为()y f x =的 ( )区间.2.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法： （2）图象法： （3）导数法： （4）利用复合函数的单调性：3．关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；4．求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等二、同步练习1. 下列函数中，在区间)2,0(上递增的是 （ ）A ． x y 1= B. x y -= C. 1-=x y D. 122++=x x y2. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31(=f ，则不等式)(log 81>x f 的解集为（ ）A ．)21,0( B. ),2(+∞ C.),2()1,21(+∞⋃ D. ),2()21,0(+∞⋃3. 设函数)(x f 是减函数，且0)(>x f ，下列函数中为增函数的是 （ ） A ．)(1x f y -= B.)(2x f y = C.)(log 21x f y = D. 2)]([x f y =4. 函数x m x x f -+=4)(的单调递增区间为(－∞，1)，则实数m 等于（ ）A ．1B ．3C ．5D ．75. 下列函数()f x 中，满足 “对12,(0,)x x ∀∈+∞,当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．1()f x x =B ．()ln(1)f x x =+C ．1()()2x f x =D ．()sin f x x = 6. 函数()f x x =和()()2g x x x =-的递增区间依次是（ ）A ．(](],0,,1-∞-∞B ．(][),0,1,-∞+∞C ．[)(]0,,,1+∞-∞D ．[)[)0,,1,+∞+∞7. 已知函数()22()412f x x a a x =+-++在(],1-∞内单调递减，则a 的取值范围（ ） A ．[]3,1-- B ．(][),31,-∞--+∞ C ．[]1,3 D ．(][),13,-∞+∞8．)(x f 为),(+∞-∞上的减函数，R a ∈，则（ ）A ．)2()(a f a f < B. )()(2a f a f < C. )()1(2a f a f <+ D.)()(2a f a a f <+ 9．函数||2x x y +-=的单调递减区间为( ) A. 11[,0][,)22-+∞和 B. 1[,0]2- C. 11[,0][,1]22-和 D. 1[1,0][,)2-+∞和10．函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为______ _____； 11．函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为____ _____。
甘肃省张掖市高三数学一轮学案 模块3 立几与解几 第3
第三讲 空间几何体的表面积与体积一、知识梳理1、棱柱面积、体积公式：2S c hSc h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高）。
2、圆柱面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）3、棱锥面积、体积公式：S 正棱锥侧=12ch '，S 正棱锥全=12ch S '+底，V 棱锥=13S h⋅底.（其中c 为底面周长，h '侧面斜高，h 棱锥的高）。
4、面积、体积公式：S 圆锥侧=rl π，S 圆锥全=()r r l π+，V 圆锥=213r hπ（其中r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长）。
5、棱台的表面积、体积公式：S S S 全上底下底＝S ＋＋侧，1S `)3V S h +棱台＝（，（其中,`S S 是上，下底面面积，h 为棱台的高）。
6、圆台的表面积、体积公式：22()S r R R r lπππ+++全＝，V圆台2211S `))33S h r rR R hπππ++＝（＝（，（其中r ，R 为上下底面半径，h 为高）。
7、球面积、体积公式：2344,3S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）。
二、同步练习（一）、选择题1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）B C D2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（ ）A. 1:2:3B. 1:3:5C. 1:2:4D. 1:3:93．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形， 则截去8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）A. 23B. 76C. 45D. 564．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则12:V V =（ ）A. 1:3B. 1:1C. 2:1D. 3:15．如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A. 8:27 B. 2:3 C. 4:9 D. 2:96．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为：A. 224cm π，212cm π B. 215cm π，212cm π C. 224cm π，236cm π D. 以上都不正确 7．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为( ) A ．1 B.12 C.13D.16 8．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积( ) A.13B.23C ．1D ．29．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( ) A.23π3B ．23π C.73π6D.73π310．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为π，则球的体积为( ) A.32π3B.8π3 C ．82πD.82π311．设正方体的表面积为24 cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( )65A.6π cm3B ．6 cm3 C.83π cm3 D.43π cm312．若一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积是( ) A ．27π B ．18π C ．9π D ．54π13．将两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则这个大球的半径为( ) A ．2B. 2C.32D.123414．用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．1 （二）、填空题 15.一个半球的全面积为Q ，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 .16．球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.17．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.18．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为___________。
甘肃省张掖市2013届高三数学一轮学案 模块3 立几与解几 第1讲 空间几何体 新人教A版.doc
第一讲空间几何体一、知识梳理1、多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
2、旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
3、（1）棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（2）相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩L底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体（3）棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
（4）长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211 AC ABAD AA=++4、（1）圆柱—以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.（2）圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 5、（1）棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（2）棱锥的性质：①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；侧面母线B③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
极坐标与参数方程题型讲义-2022届高三数学一轮复习
极坐标与参数方程题型汇总题型一．直线参数方程t 的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
1．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．2．在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1）且斜率为1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C的交点为A、B，求|P A|+|PB|的值．3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ＝0．（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），点Q（，0），直线l过点Q且曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.6．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.8．在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.9．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）若点的直角坐标为，求直线及曲线的直角坐标方程；（2）若点在上，直线与交于两点，求的值.10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.11．在平面直角坐标系xOy中，点P(0,−1)，直线l的参数方程为{x=tcosαy=−1+tsinα(t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ= 8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点，当|PM|=409时，求sinα的值．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ. （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2交于A,B 两点，点P 的极坐标为(√2,π4)，求1|PA|+1|PB|的值.题型二．极径的应用：一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离(1)思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可，|=AB |B A 2B A B A 4)(||ρρρρρρ-+=-(2)过原点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为：）（R ∈=ραθ 1．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为板轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ﹣2ρsin θ﹣3＝0．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．2．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosφy=2sinφ（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知直线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R)，A是C3与C1的交点，B是C1与C2的交点，且A，B均异于原点O，|AB|=4√2，求a的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosαy =√3sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =tcosβy =tsinβ（t 为参数，0≤β<π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |−|OB |=2，求β.5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)若射线θ=π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．题型三．距离、最值、取值范围 （一）与圆有关的题型1.圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
高三数学一轮复习讲义+极坐标与参数方程+学生
课题：极坐标与参数方程知识点一、极坐标1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ＞0，y ′＝μ·y ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M 直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ) 互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x x ≠04.常见曲线的极坐标方程曲线图形 极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径ρ＝2r cos_θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2为r 的圆 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线 (1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) (2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0) 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos_θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0＜θ＜π)【典型例题】【例1】若点极坐标为，则点的直角坐标是( )A.B.C.D.【例2】点M 的直角坐标)1,3(-化成极坐标为（ ） A.)65,2(π B.)32,2(π C.)35,2(π D.)611,2(π【例3】在极坐标系中，已知圆C 的方程为)4cos(2πθρ+=，则圆心C 的极坐标为( )A. )41(π-， B. )431(π， C. )42(π-， D. )432(π， 【例4】在极坐标系中，点)65,2(π到直线4)3sin(=-πθρ的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【举一反三】1．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点M （2，6π）的直角坐标是（ ）A ．（2，1）B 31）C ．（13D ．（1,2） 2．曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为（ ） A.4)2(22=++y x B.4)2(22=-+y xC.4)2(22=+-y x D.4)2(22=++yx3．在极坐标系中，点2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭到圆2cos ρθ=-的圆心的距离为（ ） A ．2 B ．249π+C ．299π+D ．7知识点二、参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹 普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)【典型例题】【例1】把参数方程⎩⎨⎧==,sin ,cos 2ϕϕy x （ϕ为参数）化成普通方程是（ ）A. 1222=+y xB. 1222=+y xC. 1422=+y x D. 214x y 2+= 【例2】下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．3)B ．31(,)42-C ．1(,2)2- D ．3) 【例3】已知直线l 的参数方程为：214x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．【举一反三】1．参数方程4125x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）化为普通方程为______________．2．曲线22cos :2sin x aC y a =+⎧⎨=⎩(a 为参数)，若以点O(0，0)为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是____________．3．若直线12(32x t t y t =-+⎧⎨=-⎩，为参数)与曲线4cos (sin x a y a θθθ=+⎧⎨=⎩，为参数，0a >)有且只有一个公共点，则a = ．【典型例题】1．极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x ty t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ）A ．直线、直线B ．圆、直线C ．直线、圆D ．圆、圆 6．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin （θ-4π2A 的极坐标为)47,22(π，则点A 到直线l 的距离为（ ） A ．335 B.325 C ．235 D ．2253．在极坐标系中，设圆C ：4cos ρθ=与直线:(R)4l πθρ=∈交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ） A ．22)4πρθ=+B ．22)4πρθ=-C ．22cos()4πρθ=+D ．22)4πρθ=- 4． 在极坐标系中，直线(3sin )2ρθθ-=与圆θρsin 4=的交点的极坐标为（ ）A.⎪⎭⎫⎝⎛62π， B.⎪⎭⎫⎝⎛32π， C.⎪⎭⎫⎝⎛64π， D.⎪⎭⎫⎝⎛34π，5．下列在曲线sin 2cos sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）上的点是（ ）A ．1(,2)2-B ．(2,3)C ．31(,)42- D ．(1,3)6．曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）．A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 7．坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为_________．8．已知圆C 的极坐标方程为222sin 404πρρθ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则圆C 的半径为___________． 9．若直线l 的极坐标方程是cos()24πρθ-=，圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=．则l 与C 交点的极坐标为___________． 10．已知点的极坐标是(3,)4π，则它的直角坐标是 .11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为 ．12．已知圆的极坐标方程为6sin ρθ=，圆心为M ，点N 的极坐标为(6,)6π，则||MN = .【课后练习】正确率：________1．圆5cos 3ρθθ=-的圆心是（ ） A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 2．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．20x y +=2或1y = B ．1x = C ．20x y +=2或1x = D ．1y = 3．在极坐标系中，点()1,0与点()2,π的距离为 （ ）A.1B.3 21π+ 29π+4．已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ） A.1ρ= B.cos ρθ= C.1cos ρθ=-D.1cos ρθ= 5．曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的离心率是 （ ）A ．45 B 5 C ．35D ．346．过点(0,2)且与直线213x ty t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）互相垂直的直线方程为（ ）A ．32x t y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩ B.32x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ C.32x t y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ D ．23x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程是5222=+y x ，2C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 3（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标是 ．8．已知圆C 的极坐标方程为2cos 23ρθθ=+，则圆心C 的一个极坐标为 ． 9．曲线C:22cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数），若以点()0,0O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是 ．10．在极坐标系中，直线l 的方程为cos 5ρθ=，则点π43⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线l 的距离为 .11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线22224⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩x y 经过曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>的焦点，则实数a 的值为___________.12．已知直线112:2x t l y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数），2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）, 若12l l ⊥，则实数k = ．13．直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是3cos ,(1sin ,x y θθθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是 ．14．在极坐标系中，过圆θθρsin 22cos 6-=的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为_______．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、填空题
1．把极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭
⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程是______________． 2．在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cosθ，y ＝2＋2sinθ(θ为参数)，则圆C 的普通方程为________________；以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为____________．
3．方程ρsin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4＝22表示的曲线的普通方程是______________________________． 4．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ＋2ρcosθ＝1的距离是________．
5．在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离的最小值是________．
6．极坐标中，曲线ρ＝－4sinθ和ρcosθ＝1相交于A ，B ，则|AB|＝__________.
7．设直线l1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l2的方程为y ＝3x ＋4，则l1与l2间的距离为____________．
8．若直线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝__________. 9．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2 2，π4作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是 _____________________________________________．
二、解答题
10．已知点(,)P x y 是圆22
2x y y +=上的动点
(1)求2x y +的取值范围
(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围
11．点P 在椭圆22
1
169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离
12．已知直线l 经过点P(1,1)，倾斜角α＝π6.
(1)写出直线l 的参数方程；
(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．。