高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程公式的区别
高中数学极坐标与参数方程公式的区别1. 引言在高中数学课程中，学生常常会遇到极坐标和参数方程，它们是解决几何问题中常用的工具。
尽管它们都能描述曲线的形状，但是极坐标和参数方程在表达方式和使用方法上存在一些区别。
本文将探讨高中数学中极坐标和参数方程公式的区别，以帮助学生更好地理解和应用这两种方法。
2. 极坐标公式极坐标公式是一种将平面直角坐标系中的点转换为极坐标系表示的方法。
每个点由极径 r 和极角θ 表示。
极径 r 表示点到原点的距离，极角θ 表示点与正半轴的夹角。
极坐标公式的一般形式为：(x, y) = (r*cosθ, r*sinθ)其中，x 和 y 分别是点在直角坐标系中的坐标，r 和θ 是点在极坐标系中的坐标。
举个例子，考虑一个点 P 在极坐标系中的表示，其极坐标为(r, θ)。
可以通过极坐标公式将其转换为直角坐标系的表示，即：(x, y) = (r*cosθ, r*sinθ)3. 参数方程公式参数方程公式是一种使用参数变量表示曲线上不同点的方法。
一个曲线可以由两个参数 x(t) 和 y(t) 表示，其中 t 是一个参数变量。
参数方程公式的一般形式为：x = x(t)y = y(t)参数方程公式中的 x(t) 和 y(t) 分别表示曲线上每个点的 x 坐标和 y 坐标。
举个例子，考虑一个曲线 C 在参数方程中的表示，其参数方程为：x = x(t)y = y(t)4. 区别和应用极坐标和参数方程是描述曲线的两种不同方式，它们在表达方式和使用方法上存在一些区别。
4.1 表达方式极坐标使用极径和极角来表示点的位置，将点的坐标转换为极坐标形式。
而参数方程使用参数变量来表示曲线上不同点的位置，通过参数方程的函数表达式来确定曲线上的点。
4.2 描述方式极坐标可以很方便地描述圆、椭圆、螺旋线等具有对称性的曲线。
极坐标描述的曲线方程更简洁，有时可以将复杂的曲线用简单的方程表示出来。
参数方程可以很方便地描述直线、抛物线、双曲线等非对称的曲线。
高中数学-极坐标与参数方程
22坐 标 系 与 参 数 方 程一、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系（1） 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系（2） 平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向③坐标轴水平的数轴叫做 x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做 y 轴或纵坐标轴，x 轴或 y 轴统称为坐标轴④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y)之间可以建立一一对应关系（3） 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2 的中点为P①两点间的距离公式|P 1P 2|＝⎧⎪x ＝x 1＋x 2②中点P 的坐标公式⎨ y ＋y⎪⎩y ＝ 1 2 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换⎧x′＝λx （λ>0）设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：⎨ ⎩y′＝μy （μ>0）的作用下，点P(x ，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系1. 定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2⎩个极坐标系2. 极坐标系的四个要素：①极点②极轴 ③长度单位④角度单位及它的方向3. 图示：4. 极坐标（1） 极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点 M 的极角，记为θ.有序数对 (ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)（2） 极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是 M(ρ，θ)，则点 M 的极坐标也可写成 M(ρ，θ＋2kπ)，(k ∈ Z )；若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系5. 极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y)，(ρ，θ) ⎧x = ρ cos θ （1） 极坐标化直角坐标⎨ y = ρ sin θ⎧⎪ρ2＝x 2＋y 2， （2） 直角坐标化极坐标⎨ y⎪⎩tan θ＝x （x ≠0）.三、简单曲线的极坐标方程1. 曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ， θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫做曲线C 的极坐标方程2.圆的极坐标方程（1）特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0) ρ＝r(0≤θ<2π)圆心在点(r，0) ρ＝2rcosθ(π≤π)－2 θ<2圆心在点(r π)，2ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)圆心在点(r，π)ρ＝－2rcosπ≤3π)θ(2 θ< 2圆心在点(r 3π)，2ρ＝－2rsinθ(－π<θ≤0)（2）一般情形：设圆心C(ρ0，θ0)，半径为r，M(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM|＝r，∠COM＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2－r2＝0 即r2=ρ2 +ρ2 - 2ρρcos(θ-θ)3.直线的极坐标方程（1）特殊情形如下表：0 0 0直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a，0)，且与极轴垂直π ρcos_θ＝a ⎛ －π<θ< ⎫⎪⎝ 2 2⎭过点⎛a，π⎫⎪，且与极轴平行⎝2⎭ρsin_θ＝a (0<θ<π)过点(a，0)倾斜角为αρsin(α－θ)＝asin α(0<θ<π)（2）一般情形，设直线l 过点P(ρ0，θ0)，倾斜角为α，M(ρ，θ)为直线l 上的动点，则在△OPM 中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)四、柱坐标系与球坐标系简介（了解）1.柱坐标系（1）定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．⎧x＝ρcos θ（2）空间点P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为⎨y＝ρsinθ．⎩z＝z2.球坐标系（1）定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P 是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．⎧x＝rsin φcos θ（2）空间点P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为⎨y＝rsin φsinθ．⎩z＝rcos φ五、曲线的参数方程1.参数方程的概念（1）定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y 都是某个变数⎧x＝f（t）t 的函数：⎨①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在⎩y＝g（t）这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程（2）参数的意义：参数是联系变数x，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数2.参数方程与普通方程的区别与联系（1）区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y 之间的关系，它含有⎧x＝f（t）x，y 两个变量；参数方程⎨ (t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y 之间的关⎩y＝g（t）系，它含有三个变量t，x，y，其中x 和y 都是参数t 的函数．（2）联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x，y 的值注：这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．六、圆的参数方程1.圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程，如图圆O 与x 轴正半轴交点M0(r，0)（1）设M(x，y)为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，⎧x＝rcos θ则以θ 为参数的圆O 的参数方程是⎨(θ 为参数)．⎩y＝rsin θ其中参数θ 的几何意义是OM0 绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度（2）设动点M 在圆上从M0 点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0 经过⎧x＝rcos ωt时间t 转过的角θ＝ωt，则以t 为参数的圆O 的参数方程为⎨(t 为参数)⎩y＝rsin ωt⎩ ⎩ ⎩2 2其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间2. 圆心为C(a ，b)，半径为 r 的圆的参数方程圆心为(a ，b)，半径为 r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为 r 的圆通过坐标 ⎧x ＝a ＋rcos θ，平移得到，所以其参数方程为⎨ ⎩y ＝b ＋rsin θ(θ 为参数)3. 参数方程和普通方程的互化（1） 曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化（2） 将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程（3） 普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如 x ＝f(t)，其⎧x ＝f （t ）次将x ＝f(t)代入普通方程解出 y ＝g(t)，则⎨ ⎩y ＝g （t ）(t 为参数)就是曲线的参数方程（4） 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致七、圆锥曲线的参数方程1. 椭圆的参数方程x 2 y 2⎧x ＝acos φ （1） 中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆a 2＋b 2＝1(a>b>0)的参数方程是⎨y ＝bsin φ(φ 是参数)，规定参数φ 的取值范围是[0，2π)y 2 x 2⎧x ＝bcos φ （2） 中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆a 2＋b 2＝1(a>b>0)的参数方程是⎨y ＝asin φ(φ 是参数)，规定参数φ 的取值范围是[0，2π)（x －h ）2（y －k ）2（3） 中心在(h ，k)的椭圆普通方程为 a 2 ＋ ⎧x ＝h ＋acos φ b 2 ＝1，则其参数方程为 ⎨ ⎩y ＝k ＋bsin φ(φ 是参数)2. 双曲线的参数方程和抛物线的参数方程x 2 y 2⎧x ＝asec φ （1） 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a 2－b 2＝1 的参数方程是⎨y ＝btan φ(φ 为参数)，规定参数φ 的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π， φ≠3π⎩ 0 0 0a y 2 x 2⎧x ＝btan φ （2） 中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线a 2－b 2＝1 的参数方程是⎨y ＝asec φ(φ 为参数)3. 抛物线的参数方程⎧x ＝2pt 2（1） 抛物线 y 2＝2px 的参数方程为⎨ ⎩y ＝2pt(t 为参数)（2） 参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数八、直线的参数方程1. 直线的参数方程⎧x ＝x 0＋tcos α经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线 l 的参数方程为⎨ ⎩y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)2. 直线的参数方程中参数t 的几何意义（1） 参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0 的距离（2） 当M →M 与 e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M →M 与 e 反向时，t 取负数，当M 与M 0 重合时，t ＝0 3.直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点 ⎧x ＝x 0＋tcos αM 0(x 0，y 0)，倾斜角为 α 的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程⎨ ⎩y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义b⎧x ＝x 0＋at 一般地，过点M (x ，y )，斜率k ＝ (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎨ ⎩y ＝y 0＋bt (t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义九、渐开线与摆线（了解）1. 渐开线的概念及参数方程 （1） 渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．（2） 圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径⎧x＝r（cos φ＋φsin φ），为r，绳子外端M 的坐标为(x，y)，则有⎨⎩y＝r（sin φ－φcosφ）(φ 是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程2.摆线的概念及参数方程（1）摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线⎧x＝r（φ－sin φ），（2）半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为⎨⎩y＝r（1－cos φ）(φ 是参数)。
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结
高考数学：极坐标与参数方程知识点总结极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M 的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：第二讲一曲线的参数方程1．参数方程的概念2．圆的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程一参数方程的基本概念定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由于方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数。
高中数学讲义-极坐标与参数方程
极坐标与参数方程一、教学目标本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。
深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。
二、考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。
在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。
由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。
三、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A和t B，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
(完整版)高中数学极坐标与参数方程知识点
极坐标与参数方程知识点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数）（或 θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
高中数学参数方程知识点大全
高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00(t 为参数)(2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数)②在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00（t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则(1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cosα,y 0+t 1sinα)(x 0+t 2cosα,y 0+t 2sinα)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t，则t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t｜=｜221t t +｜(4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+b y a x (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O 引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x y tg y x θρ三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（）A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解：ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x 2(x＞0).∴应选B.例5在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（31，32） C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入，得y=21∴应选C.例6下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是()A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t ty tgt x 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sinθ=22y x y +代入ρ=4sinθ，得x 2+y 2=4y，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA 为直径，｜OA｜=4,l 和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有cosθ=ρ2=OPOB ，得ρcosθ=2，∴应选B.例104ρsin 22θ=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x +ρcosθ=x，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是()A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3x 2，y=±x 3,它表示两相交直线.∴应选B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程ρcosθ=34表示()A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sinθ=21；②θ=6π和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为()A.1 B.2 C.3 D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N 两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2π D.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是()A．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.)(12222a xb y a x ≠=+ B.)(12222a x b y a x -≠=+C.)(12222a x by a x ≠=- D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为()A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1,3π),r=1D.(1,-3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±x D.y+1=)2(2-±x 11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4((t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()A.3π B.32π C.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M，N 间的距离为()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是()A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是()A．θθρsin cos 23-=B．θθρcos cos 23-=C．θθρsin 2cos 3-=D．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为.18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数)上一点P，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p＞0，t 为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A，B，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G，H 两点.(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF 2│·│F 2H│成立的直线BD 是否存在?并说明理由.(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B 为椭圆2222by a x +=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l∶812yx +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R，又点Q 在OP 上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x≤21);18.抛物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。
高中数学公式——极坐标与参数方程
极坐标与参数方程一、参数方程1.参数方程的概念重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一 一对应关系。
2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。
3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨=⎩ 圆22(1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程（1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨=⎩（2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。
注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ；②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。
（3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数（4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅=||||MA MB +=1212121212||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因） 要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。
二、极坐标方程1.极坐标系的概念ρ=||OM 叫做点M 的极径, θ= xOM ∠叫做点M 的极角.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ。
一般地,不作特殊说明时, 0ρ≥（后面有过极点的直线另外规定R ρ∈） 2.极坐标和直角坐标的互化(建议结合图像)点 直角坐标 极坐标互化公式3.一类特殊的直线：过极点（坐标原点）的直线（0απ≤<）直线()R θαρ=∈化为直角坐标方程即表示过原点、倾斜角为α的直线. 如2()3R πθρ=∈，化为直角坐标方程：_______ 如_____________,化为直角坐标方程：3y x =如()2R πθρ=∈，化为直角坐标方程：______注：①对于(,)P ρθ点，0,0,P P ρρ><当时点在极轴上方，当时点在极轴下方②(,)'(,)P P ρθρθ-点与点关于极点对称。
高中极坐标与参数方程知识点总结
高中极坐标与参数方程知识点总结1. 极坐标与参数方程的概念极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的数学表示方法。
极坐标的表示方式是使用极径和极角来确定一个点的位置，而参数方程则是使用两个参数来表示一个点的横纵坐标。
在极坐标中，一个点的位置由它到极点的距离（极径）和与极轴的夹角（极角）确定。
极坐标通常表示为(r,θ)，其中r表示极径，即点到极点的距离，而θ表示极角，即点与极轴的夹角。
参数方程则是使用参数来表示点的横纵坐标。
常见的参数方程形式是x=f(t)和y=g(t)，其中x和y表示点的横纵坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到点的坐标。
2. 极坐标的转换极坐标与直角坐标（笛卡尔坐标）之间可以相互转换。
下面是极坐标到直角坐标的转换公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是点在直角坐标系中的坐标，r是极径，θ是极角。
而直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中√表示开平方，arctan表示反正切函数。
3. 参数方程的性质参数方程可以用来描述一条曲线或图形。
通过改变参数的取值范围，可以观察到曲线的形态和特点。
•曲线方程：将参数方程解析为表达式形式，得到的就是曲线的方程。
例如，参数方程为x=f(t)和y=g(t)，将其解析为y=f(x)的形式，即可得到曲线方程。
•曲线的对称性：通过观察参数方程中各个参数的表达式，可以得到曲线的对称性。
例如，如果x=f(t)中含有关于t的奇函数，那么对应的曲线关于y轴对称；如果y=f(t)中含有关于t的偶函数，那么对应的曲线关于x轴对称。
•曲线的特殊点：通过令参数值为特定的数值，可以得到曲线上的特殊点。
例如，在参数方程x=f(t)和y=g(t)中，当t=a时，对应的点就是曲线上的一个特殊点。
4. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。
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高中数学极坐标与参数方程知识点极坐标与参数方程知识点
(一)曲线的参数方程的定义:
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函
数，即
x,f(t), ,y,f(t),
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程
组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称
参数( (二)常见曲线的参数方程如下:
1(过定点(x，y)，倾角为α的直线: 00
,x,x，tcos0 (t为参数) y,y，tsin,0
其中参数t是以定点P(x，y)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM00
的数量，又称为点P与点M间的有向距离(
根据t的几何意义，有以下结论(
ABt,t1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t和t，则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB
t，tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2
2(中心在(x，y)，半径等于r的圆: 00
,x,x，rcos0, (为参数) y,y，rsin,0
3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆:
,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程
,x,x，acos,,0(,为参数) ,y,y，bsin.,0,
4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线:
1
,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec,
5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线:
2x,2pt (t为参数，p,0)
y,2pt
直线的参数方程和参数的几何意义
,x,x，tcos,0过定点P(x，y)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参
数)( ,00,yytsin,,，0,
(三)极坐标系
1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
M
, ,
Ox 图1
2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与
,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应,
,惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一(一个点可以有无数个坐标，这些,
,,,2k,坐标又有规律可循的，P(，)(极点除外)的全部坐标为(,，)或(，，,,,, k,,(2k，1),)，(Z)(极点的极径为0，而极角任意取(若对、的取值范围加以限
制(则,
,2,,,,,除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0?,或<0，,?等( ,,
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐
标系中，点与坐标是一多对应的(即一个点的极坐标是不惟一的(
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:
aa,,,,,,,,? ? ? 0cos,cos,
aaa,,,,,,,? ? ? sin,sin,cos(,,,)
2
( ， )M,,MM ,, ,0,, OxaOaO 图1 图3图2
,,,a0a,,,,,cos,cos,
( ， ),,M
M,
O ,(a,,)aN,aa ,OMOp 图5图4a 图6,,,asin, a,,,,sin,cos(,,,)
4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:
(a,0)? ? ? ,,a,,2acos,,,,2acos,? ? ? ,,2asin,,,,2asin,,,2acos(,,,) M M,M, ,,axaO,, xOxaO
图3
图2 图1,,,2acos,
,,2acos,,,a
, xOMM
,,a a,M(a,,)a ,, xOOx 图5图6图4 ,,,2asin,,,2asin,,,2acos(,,,) 3
5、极坐标与直角坐标互化公式:
y
, ( , )xMN
,
y , HO222,x,,cos,, x，y,,,,,,,,,, ,yy,,sin,,,tan,,(x,0),x
(直极互化图)
4。