2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷及解析答案(理科)

9．（5 分）已知非零向量 ， ， 满足| ﹣ |=| |=4，（ ﹣ ）•（ ﹣ ）=0，若 对每一个确定的 ，| |的最大值和最小值分别为 m，n，则 m﹣n 的值为（ ） A．随 增大而增大 B．随 增大而减小 C．是 2 D．是 4 10．（5 分）已知如图所示的三棱锥 D﹣ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，△ ABC 和△DBC 所在平面相互垂直，AB=3，AC= ，BC=CD=BD=2 ，则球 O 的 表面积为（ ）
2018 年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分）设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则 z1z2=（ ） A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i 【解答】解：复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i， 所以 z2=1﹣i，
则
=sin（ + ）=cos = ．
故选：A 4．（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩， 图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别 是（ ）
A．m=38，n=12B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10 【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在 50 名学生的化学考试成 绩中，成绩大于等于 80 的人数，和成绩小于 80 且大于等于 60 的人数，
（3）当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．
21．（12 分）已知函数 f（x）=
+be﹣x，点 M（0，1）在曲线 y=f（x）上，
且曲线在点 M 处的切线与直线 2x﹣y=0 垂直．
（1）求 a，b 的值；
（2）如果当 x≠0 时，都有 f（x）＞
+ke﹣x，求 k 的取值范围．
y∈[﹣1，1]，使得 x+y2ey﹣a=0 成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
A．[1，e] B．
C．（1，e] D．
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）已知 a＞0，
展开式的常数项为 15，则
= ．
14．（5 分）设 a，b∈R，关于 x，y 的不等式|x|+|y|＜1 和 ax+4by≥8 无公共解，
由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩大于等于 80 的人数有 80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共 12 人，故 n=12， 由茎叶图得，在 50 名学生的成绩中，成绩小于 60 的人数有 43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共 12 人， 则在 50 名学生的成绩中，成绩小于 80 且大于等于 60 的人数有 50﹣12﹣12=26， 故 m=26 故选：B．
则 ab 的取值范围是 ．
15．（5 分）正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且
（n∈N*），设
，则数列{cn}的前 2016 项的和为 ．
16．（5 分）已知 F 是椭圆 C： + =1 的右焦点，P 是 C 上一点，A（﹣2，1），
当△APF 周长最小时，其面积为 ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.）
5．（5 分）设不等式组
表示的平面区域为 Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）
2≤2 表示的平面区域为 Ω2，对于 Ω1 中的任意一点 M 和 Ω2 中的任意一点 N，|MN|的最小值为（ ） A． B． C． D．
【解答】解：不等式组
Байду номын сангаас
表示的平面区域为 Ω1，不等式（x+2）
2+（y﹣2）2≤2 表示的平面区域为 Ω2，如图： 对于 Ω1 中的任意一点 M 和 Ω2 中的任意一点 N，|MN|的最小值就是可行域内的 点 O 与圆的圆心连线减去半径，
ξ 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐
款情况如表，根据表格中所给数据，分别求
b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d 的值，并说明是否有 95%以上的把握认为
捐款数额多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？
A．4π B．12π C．16π D．36π 11．（5 分）已知双曲线 C：
（a＞0，b＞0）的右顶点为 A，O 为坐标
原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若∠PAQ=60°，
且
，则双曲线 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（5 分）已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x∈[0，1]，总存在唯一的
3．（5 分）函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的
距离为 ，若角 φ 的终边经过点
，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为 ，可得周期 T=π，那么 ω=2，
角 φ 的终边经过点 即 tanφ= ，
，在第一象限．
∴φ=
故得 f（x）=sin（2x+ ）
17．（12 分）△ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，且
，
AB=3
．
（Ⅰ）求 AD 的长； （Ⅱ）求 cosC．
18．（12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为矩形，△ADE，△BCF 均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD= AB．
（1）过 BD 作截面与线段 FC 交于点 N，使得 AF∥平面 BDN，试确定点 N 的位 置，并予以证明； （2）在（1）的条件下，求直线 BN 与平面 ABF 所成角的正弦值．
所以，|MN|的最小值为：
=．
故选：C．
6．（5 分）若函数 f（x）=
的图象如图所示，则 m 的范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2） 【解答】解：∵当 x＞0 时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故 m＜2．
f′（x）=
．
∵f（x）有两个绝对值大于 1 的极值点，∴m﹣x2=0 有两个绝对值大于 1 的解，
6．（5 分）若函数 f（x）=
的图象如图所示，则 m 的范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2） 7．（5 分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）
A．11 B． C． D．
8．（5 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S2014＞0，S2015＜0，对任意 正整数 n，都有|an|≥|ak|，则 k 的值为（ ） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009
（1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的取值范围． [选修 4-5：不等式选讲] 23．设 f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记 f（x）＞﹣1 的解集为 M． （1）求集合 M； （2）已知 a∈M，比较 a2﹣a+1 与 的大小．
经济损失不超过 经济损失超过 合计
4000 元
4000 元
捐款超过
a=30
b
500 元
捐款不超
c
d=6
过 500 元
合计
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
附：临界值表参考公式：，
B={x|sinπx=0}，则（∁UA）∩B 的子集个数为（ ）
A．7 B．3 C．8 D．9
3．（5 分）函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的
距离为 ，若角 φ 的终边经过点
，则
的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（5 分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩， 图（二）的算法框图中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m，n 分别 是（ ）
∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2． 故选：A． 2．（5 分）设全集 U=R，函数 f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为 A，集合
B={x|sinπx=0}，则（∁UA）∩B 的子集个数为（ ） A．7 B．3 C．8 D．9 【解答】解：由|x+1|﹣1＞0，得|x+1|＞1，即 x＜﹣2 或 x＞0．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选 修 4-4：坐标系与参数方程]
22．（10 分）选修 4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线 C1 的参数方程是
（φ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立坐标系，曲线 C2 的坐标系方程是 ρ=2，正方形 ABCD 的顶点 都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）．
A．m=38，n=12B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10
5．（5 分）设不等式组
表示的平面区域为 Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）
2≤2 表示的平面区域为 Ω2，对于 Ω1 中的任意一点 M 和 Ω2 中的任意一点 N，|MN|的最小值为（ ） A． B． C． D．