【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件1.1.1 平面直角坐标系与曲线方程
探究四
探究二利用坐标系解决实际问题
利用坐标系求解实际问题的关键是如何正确建立直角坐标系,将几何位置量化,通
过有关距离的知识解决.
典型例题2
已知B村位于A村的正西方向1千米处,原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋
设一条地下管线m,但A村的西北方向400米处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘 察的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问,埋设地下管线m
的计划需要修改吗?
思路分析:解决这一问题的关键,在于确定遗址W与地下管线m的相对位置.以A 为原点,正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向,建立平面直角坐标系,只要 求出点W与直线m的距离,则问题即可解决.
探究一
探究二
探究三
探究四
解: 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(-1 000,0),由 W 位于 A 的西北方向及|AW|=400,得 W(-200 2,200 2). 由直线 m 过点 B 且倾斜角为 90°-60°=30°,得直线 m 的方程是 x- 3y+1 000=0. 于是,点 W 到直线 m 的距离为
������ 2 2 +y + 2
3 2
������
2
+ ������ +
2 2 ������ 2 5 ������ 3 ������− 2 +y2=3x2+3y2- 3ay+ 4 =3x2+3 ������− 6 ������ +a2≥a2, 3 当且仅当 x=0,y= 6 a 时,等号成立, 3 ∴所求最小值为 a2,此时点 P 坐标为 P 0, 6 ������ ,它是等边三角形 ABC
|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.
以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标 系,如图,则 A 0,
3 ������ 2
,B
������ -2
,0 ,C
������ 2
,0 .
探究一
探究二
探究三
探究四
设 P(x,y),则|PA| 2+|PB| 2+|PC|2=x2+ ������−
第一章 坐标系
§1 平面直角坐标系
1.1 平面直角坐标系与曲线方程
学习目标 1.了解曲线和方程的对应关 系,掌握两曲线交点的求法. 2.能利用已知条件求出曲线的方 程.
思维脉络
1
2
1.平面直角坐标系 (1)在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系,如图所示.
在平面直角坐标系中,对于任意一点,都有唯一的有序实数对(x,y)与之对应;反之, 对于任意的一个有序实数对(x,y),都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中, 点和有序实数对是一一对应的.如上图,有序实数对(x,y)与点P相对应,这时(x,y)称 作点P的坐标,并记为P(x,y),其中,x称为点P的横坐标,y称为点P的纵坐标. (2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借助坐标系,研究 曲线与方程间的关系.
答案:C
1
2
2.曲线与方程
在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建
立如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线.
1
2
做一做1-1
已知点P(-1+2m,-3-m)在第三象限,则m的取值范围是 .
解析:∵第三象限的点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于 0,
− 1 + 2������ < 0, ������ < 2 , ∴ 即 − 3−������ < 0, ������ > −3. 1 ∴-3<m<2.
答案:-3<m<
故点C的坐标为(0,0)或(2,0). 若点C在y轴上,可设点C为(0,y),由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2,
∴有(-1-3)2+(3-1)2=(0+1)2+(3-y)2+(0-3)2+(y-1)2,解之,得y1=0,y2=4.
故点C的坐标为(0,0)或(0,4).
∴这样的点C有(0,0),(2,0),(0,4),共3个点.
������ 2 + 16 =1(y≠0).
2
������2 A 的轨迹方程是25
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一利用坐标系解决平面几何的证明题
平面几何问题以平面几何图形为载体.若将几何图形适当地放置在坐标系中,则可
以将几何问题代数化,从而拓宽了解题思路.
典型例题1
已知M为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,求证:|AB|2=|AM|2+|BM|· |MC|.
1
2
1
2
解析:∵△ABC 的周长为 16,|BC|=6, ∴|AB|+|AC|=10. 由题意知,B(-3,0),C(3,0), 设 A(x,y)(y≠0), 则 (������ + 3) + ������2 + 化简得顶点 答案:B
2
(������−3) + ������2 =10(y≠0),
∴|AB|2=|AM|2+|BM|· |MC|.
点评
当题设中有中点、中垂线、角平分线等特定点或线时,常将它们选来作直角坐 标系的原点或轴,适当建立坐标系可使点的坐标或曲线的方程简单、易求,或便于 化简、运算和证明.
探究一
探究二
探究三
探究四
������
解:
变式训练1
������
已知等边三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使
思路分析:建立适当的坐标系,借助于坐标证明.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:取BC的中点O为坐标原点,OA所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,
设A,B的坐标分别为(0,b),(-a,0),则点C的坐标为(a,0),从而|AB|2=a2+b2.
令点M的坐标为(x,0), 则|AM|2+|BM|· |MC|=x2+b2+(a+x)(a-x)=x2+b2+a2-x2=a2+b2,
1 2
1
1
2
做一做1-2
已知点A(-1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 解析:若点C在x轴上,可设点C(x,0), 由∠ACB=90°,得|AB|2=|AC|2+|BC|2, )
∴有(-1-3)2+(3-1)2=(x+1)2+32+(x-3)2+1,解得x1=0,x2=2.
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
高中数学(北师大版)选修4-4 课件：第一章 坐标系本章整合 (共23张PPT)
-7-
1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
专题二 极坐标与直角坐标互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴 作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位. 互化公式为x=ρcos θ,y=ρsin θ ρ2=x2+y2
������ tan θ= (x ≠0) ������
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入即 可,而极坐标方程化为直角坐标方程通常先将极坐标方程化为ρcos θ,ρsin θ的整体形式,然后用x,y代替较为方便,常常两端同乘ρ即可达 到角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
知识网络
专题归纳
高考体验
π 例2已知极坐标方程C1为ρ=10,C2为ρsin ������- 3 =6.
(1)化C1,C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状; (2)求C1,C2交点间的距离. 解：(1)由ρ=10,得ρ2=100,即x2+y2=100, 故C1为圆心在(0,0),半径等于10的圆.
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题归纳
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专题三 极坐标方程及其应用 借助点的极坐标或曲线的极坐标方程,将最值问题转化为三角函 数问题求解.
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程 专题一 专题二 专题三
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专题归纳
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例3在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为
12
2
( 3) +(-1)
2
北师大版数学高二-选修4教案 1.1平面直角坐标系
【课堂新坐标】数学选修4-4教师用书：1.1平面直角坐标系一平面直角坐标系课标解读1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x(λ>0)，y′＝μ·y(μ>0)的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P′(x′，y′)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标．1．如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？【提示】①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．如何确定坐标平面内点的坐标？【提示】如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线段PM、PN，垂足分别为M、N，则M的横坐标x与N的纵坐标y对应的有序实数对(x，y)即为点P的坐标．3．如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换.运用坐标法解决平面几何问题【思路探究】从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】 法一 (坐标法)以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)， 设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E (b 2，c2)，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2， |AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)． 法二 (向量法)在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2 ＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →， 以上两式相加，得 |AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →) ＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是 利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足|BD |＝|CD |. 求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．【证明】 法一 以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )， 则D (a ＋b 2，c 2)，所以|AD |2＋|BD |2＝(a ＋b )24＋c 24＋(a －b )24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， |AB |2＋|AC |2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(|AD |2＋|BD |2)． 法二 延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE |2＋|BC |2＝2(|AB |2＋|AC |2)，即(2|AD |)2＋(2|BD |)2＝2(|AB |2＋|AC |2)，所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．用坐标法解决实际问题航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)．∴k PA＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A、B、C的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．已知某荒漠上有两个定点A 、B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C 、D ，由围墙总长为8 km 得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 面积最大，则C 、D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2)．(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋1)x 24＋y23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋(33)2·(－813)2－4×(－3213)＝4813，故暂不加固的部分长4813km.已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换后得到点B ′(－3，12)，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程； (4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 【思路探究】 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，求得x ′，y ′，即用x ，y 表示x ′，y ′；(2)(3)(4)将求得的x ，y 代入原方程得x ′，y ′间的关系．【自主解答】 (1)设点A ′(x ′，y ′)．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .又已知点A (13，－2)．于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1.∴变换后点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′(－3，12)，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1,1)为所求．(3)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，所以y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． (4)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1， 得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.∴a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25，因此曲线C ′的焦点F 1(5,0)，F 2(－5,0)．1．解答本题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．2．伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系为联系 类型 变换前 变换后 点P (x ，y ) (λx ，μy ) 曲线Cf (x ，y )＝0f (1λx ′，1μy ′)＝0若将例题中第(4)题改为：如果曲线C 经过φ变换后得到的曲线的方程为x 2＝18y ，那么能否求出曲线C 的焦点坐标和准线方程？请说明理由．【解】 设曲线C 上任意一点M (x ，y )，经过φ变换后对应点M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2.(*) 又M ′(x ′，y ′)在曲线x 2＝18y 上， ∴x ′2＝18y ′ ① 将(*)代入①式得 (3x )2＝18×(12y )．即x 2＝y 为曲线C 的方程．可见仍是抛物线，其中p ＝12，抛物线x 2＝y 的焦点为F (0，14)．准线方程为y ＝－14.由条件求伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1. 【思路探究】 区分原方程和变换后的方程――→待定系数法设伸缩变换公式―→代入变换后的曲线方程―→与原曲线方程比较系数．【自主解答】 将变换后的椭圆的方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入上式．得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即(λ3)2x 2＋(μ2)2y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎨⎧(λ3)2＝1，(μ2)2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2. 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .因此，先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.1．求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得．2．解题时，区分变换的前后方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上(或下)标的未知数的方程形式．在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y ＝2sin x4变换为正弦曲线y ＝sin x .【解】 将变换后的曲线的方程y ＝sin x 改写为y ′＝sin x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入y ′＝sin x ′， ∴μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较与原曲线方程的系数，知⎩⎨⎧ λ＝14，1μ＝2，∴⎩⎨⎧λ＝14，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x 4的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14倍，得到曲线y ＝2sin x ；再将其横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得正弦曲线y ＝sin x .(教材第8页习题1.1，第5题)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋9y ′2＝9，求曲线C 的方程，并画出图象．(2013·郑州调研)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝14y 后，曲线C 变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．【命题意图】 本题主要考查曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换． 【解】 设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上， 得4x 216＋4y 216＝1， ∴x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示).1．点P (－1,2)关于点A (1，－2)的对称点坐标为( ) A ．(3,6) B ．(3，－6) C ．(2，－4) D ．(－2,4)【解析】 设对称点的坐标为(x ，y )， 则x －1＝2，且y ＋2＝－4， ∴x ＝3，且y ＝－6. 【答案】 B2．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【解析】 y ＝sin x ――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin 12x ――→纵坐标压缩为原来的12y ＝12sin 12x .故选D. 【答案】 D3．将点P (－2,2)变换为点P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝13x y ′＝2y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y 【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－6y ′＝1与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2代入到公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxy ′＝μy 中，有⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ·(－2)，1＝μ·2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.【答案】 C 4．将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4xy ′＝3y 后的曲线方程为________．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】 x 216＋y 29＝1(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【解析】 ∵M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上，∴点P 的轨迹是过M 与直线x ＋y －4＝0垂直的直线． 【答案】 A2．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 【解析】 |AB |＝(2－1)2＋(3－2)2＝2，|BC |＝(3－2)2＋(1－3)2＝5， |AC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形． 【答案】 A3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos 12xC ．y ＝2cos 13xD ．y ＝12cos 3x【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ＋3y ＝6的一个伸缩变换为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x y ′＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3yC.⎩⎨⎧x ′＝13xy ′＝12yD.⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y【解析】 设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，由(x ′，y ′)在直线2x ＋3y ＝6上， ∴2x ′＋3y ′＝6，则2λx ＋3μy ＝6. 因此λ3x ＋μ2y ＝1，与x ＋y ＝1比较，∴λ3＝1且μ2＝1，故λ＝3且μ＝2. 所求的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x2 013，y ′＝y2 012.后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.【解析】 ∵P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝x2 013，y ′＝y2 012，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2 0122 013，y ′＝2 0132 012.代入x ′y ′＝k ， 得k ＝x ′y ′＝－1.【答案】 －16．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，则A 点的轨迹是________． 【解析】 取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－2,0)、C (2,0)、D (0,0)．设A (x ，y )，则|AD |＝x 2＋y 2.注意到A 、B 、C 三点不能共线，化简即得轨迹方程：x 2＋y 2＝9(y ≠0)．【答案】 以BC 的中点为圆心，半径为3的圆(除去直线BC 与圆的两个交点) 三、解答题(每小题10分，共30分)7．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后的图形．(1)x 2－y 2＝1； (2)x 29＋y 28＝1. 【解】 由伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝x3，y ′＝y2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.① (1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x3，y ′＝y2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图(1)所示．(2)将①代入x 29＋y28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x3，y ′＝y2后，椭圆x 29＋y 24＝1变成椭圆x 2＋y 22＝1，如图(2)所示．8．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．【解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)， 以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1， 所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 9.图1－1－1学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1－1－1，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647.因为D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17.∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )．根据题意可知⎩⎨⎧x 2100＋y 225＝1 ①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意)．∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． ∴C 点的坐标为(6,4)．|AC |＝25，|BC |＝4.所以当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令． 教师备选10．已知A (－1,0)，B (1,0)，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，在圆C 上是否分别存在一点P ，使|PA |2＋|PB |2取得最小值与最大值？若存在，求出点P 的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由．【解】 假设圆C 上分别存在一点P 使|PA |2＋|PB |2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA |2＋|PB |2＝2(|PO |2＋|AO |2)＝2|PO |2＋2，可见，当|PO |分别取得最小值和最大值时，相应地|PA |2＋|PB |2分别取得最小值与最大值． 设直线OC 分别交圆C 于P 1，P 2， 则|P 1O |最小，|P 2O |最大，如图所示．由已知条件得|OC |＝32＋42＝5，r ＝2，于是|P 1O |＝|OC |－r ＝5－2＝3， |P 2O |＝|OC |＋r ＝5＋2＝7，所以|PA |2＋|PB |2的最小值为2×32＋2＝20， 最大值为2×72＋2＝100. 下面求P 1，P 2的坐标： 直线OC 的方程为y ＝43x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x .(x －3)2＋(y －4)2＝4，消去y 并整理得25x 2－150x ＋9×21＝0， ∴(5x －9)(5x －21)＝0， 解得x 1＝95，x 2＝215，∴⎩⎨⎧x 1＝95，y 1＝125，或⎩⎨⎧x 2＝215，y 2＝285.∴P 1(95，125)，P 2(215，285)为所求．。
北师大版高中数学选修4-4同步配套课件：本章整合1
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2(2016·北京高考,理11)在极坐标系中,直线ρcos θ- 3 ρsin θ-1=0与
圆ρ=2cos θ交于A,B两点,则|AB|=
.
解析:直线 ρcos θ- 3ρsin θ-1=0 化为直角坐标方程为 x- 3y-1=0,圆 ρ=2cos θ 化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心(1,0)在直线
(2)将
θ=
π 4
代入ρ2-2ρcos
θ-4ρsin
θ+4=0,得
ρ2-3
2������ + 4 = 0,
解得ρ1=2 2, ������2 = 2.
故 ρ1-ρ2= 2,
即|MN|= 2. 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 12.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
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1(2016·上海高考,理16)下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是 () A.ρ=6+5cos θ B.ρ=6+5sin θ C.ρ=6-5cos θ D.ρ=6-5sin θ
高中数学北师大版选修4-4配套课件：1-1《平面直角坐标系》
已知某荒漠上有两个定点 A、B，它们相距 2 km，现准 备在荒漠上开垦一片以 AB 为一条对角线的平行四边形区域 建成农艺园，按照规划，围墙总长为 8 km. (1)问农艺园的最大面积能达到多少？ (2)该荒漠上有一条水沟 l 恰好经过点 A，且与 AB 成 30° 的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园 的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂 不加固，问：暂不加固的部分有多长？
【思路探究】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲 舰的相对位置，因此不妨用点 A、B、C 表示甲舰、乙舰、丙 舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．
【自主解答】 设 A， B， C， P 分别表示甲舰、 乙舰、 丙舰和商船．如图所示，
以直线 AB 为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直 角坐标系，则 A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3)．
联立①②，解得 P 点坐标为(8,5 3)． 5 3 ∴kPA＝ ＝ 3. 8－3 因此甲舰行进的方位角为北偏东 30° .
1．由于 A、B、C 的相对位置一定，解决问题的关键是： 如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解． 2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列 关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．
实数对(x，y)
与之对应；反之，对于任意的 一个有序实
数对(x，y) ，都有唯一的点与之对应．即在平面直角坐标
系中， 点 和
有序实数对
是一一对应的．
2．平面直角坐标系与曲线方程 曲线可看作是 满足某些条件 的点的集合或轨迹，由
此我们可借助平面直角坐标系，研究曲线与方程间的关系． 在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的 点 与一个二 元方程 f(x，y)＝0 的 实数解 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f(x，y)＝0 的 解 ；
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§1平面直角坐标系1.1 平面直角坐标系与曲线方程1．通过回顾平面直角坐标系，体会借助坐标系研究曲线和方程的关系．2．了解曲线和方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法．3．能利用已知条件求出曲线方程．1．平面直角坐标系(1)在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，如图所示．在平面直角坐标系中，有序实数对与坐标平面内的点具有________关系，如图，有序实数对(x，y)与点P相对应，这时(x，y)称作点P的________，并记为P(x，y)，其中，x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标．(2)曲线可看做是满足某些条件的点的____或____，由此我们可借助坐标系，研究曲线与方程间的关系．(1)建立平面直角坐标系的意义：平面图形都是二维图形，建立直角坐标系就能准确表示一个点所处的位置．(2)水平轴为x轴，垂直轴为y轴，x轴、y轴统称为坐标轴．在x，y轴上，单位长度一般相同．【做一做1－1】已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是__________． 【做一做1－2】已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的点C 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C 上的________都是方程f (x ，y )＝0的解； (2)以方程f (x ，y )＝0的________的点都在曲线C 上．那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． 【做一做2】已知B ，C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长为16，顶点A 的轨迹方程是( )．A ．x 216＋y 225＝1(y ≠0)B ．x 225＋y 216＝1(y ≠0) C ．x 216＋y 225＝1(x ≠0) D ．x 225＋y 216＝1(x ≠0)1．建立直角坐标系的作用 剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究．2．建立适当的坐标系的一些规则剖析：(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上． 答案：1．(1)一一对应 坐标 (2)集合 轨迹【做一做1－1】－3＜m ＜12∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m <0，－3－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <12，m >－3.∴－3＜m ＜12.【做一做1－2】C 若点C 在x 轴上，可设点C (x,0)，由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2＋1，解得x 1＝0，x 2＝2. 故点C 的坐标为(0,0)或(2,0)．若点C 在y 轴上，可设点C 为(0，y )，由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(3－y )2＋(0－3)2＋(y －1)2， 解之，得y 1＝0，y 2＝4.故点C 的坐标为(0,0)或(0,4)．∴这样的点C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点． 2．(1)点的坐标 (2)解为坐标【做一做2】B ∵△ABC 的周长为16，|BC |＝6，∴|AB |＋|AC |＝10.以BC 所在的直线为x 轴，过BC 的中点做BC 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，设A (x ，y )(y ≠0)， 则x ＋32＋y 2＋x －32＋y 2＝10(y ≠0)，化简得顶点A 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1(y ≠0)．题型一 利用坐标系解决代数问题【例1】已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM :MB ＝1:2，求动点M 的轨迹方程．分析：利用平面直角坐标系，设出A ，B ，M 三点的坐标，再利用定比分点公式表示出点M 的坐标关系，即点M 的轨迹方程．反思：利用点在平面直角坐标系中的关系，找到其关系式，并用代入法解出相关点的轨迹方程是常见题型．题型二 利用坐标系解决几何问题【例2】已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．分析：此题是平面几何最值问题，用平面几何法不易解决，考虑用坐标法来解决． 反思：(1)也可以以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，计算也不复杂． (2)配方法是求最值的重要方法，应掌握好． 题型三 利用坐标系解决实际问题【例3】我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80海里的B 处．沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我军舰沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．分析：先画出坐标系，标出A ，B 的位置及坐标，根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标．反思：利用坐标解决实际问题的关键是分析好题意，根据题意建立适当的平面直角坐标系或利用已有的坐标系建立相关点的关系式，从而解决实际问题．题型四 易错题型【例4】已知两定点A ，B ，且|AB |＝4，动点M 满足：直线MA 与MB 斜率之积为常数－34，求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．错解：建立坐标系如图， 则A (－2,0)，B (2,0)， 设M (x ，y )，则k MA ·k MB ＝－34.代入坐标，得yx ＋2·y x －2＝－34， 化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.错因分析：(1)在解本题时没有考虑到式子的意义，y x ＋2，yx －2中x ＋2≠0，x －2≠0，即x ≠±2，没有去掉相应的两个点．(2)没有说明轨迹是什么曲线．反思：在利用平面直角坐标系求轨迹问题时，往往会遇到去点或去掉图形的某一部分的情况，做这种题时要认真分析题目条件，求出准确的轨迹方程．答案：【例1】解：如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵|AB |＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2，∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为：x 2＋4y 2＝16.②【例2】解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， ∴所求最小值为a 2，此时P 点坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，36a ，它是正△ABC 的中心． 【例3】解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)． 我军舰直行到点C 与敌舰相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．【例4】正解：以AB 所在直线为x 轴，过AB 中点且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (－2,0)，B (2,0)，设M (x ，y )，则k AM ·k MB ＝－34，即y x ＋2·y x －2＝－34(x ≠±2)， 化简得x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．∴点M 的轨迹是除去点(±2,0)的椭圆．1已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D 的坐标是( )．A ．(9，－1)B ．(－3,1)C ．(1,3)D ．(2,2)2在△ABC 中，B(－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程是( )．A ．22=195x y +(y ≠0)B ．22=159x y +(y ≠0) C ．22=195x y +(x ≠0) D ．22=159x y +(x ≠0) 3已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＋c 2＝5a 2，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，则BE 与CF 的位置关系是__________．4选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点． 答案：1．C 设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋5＝3＋x ，2＋1＝0＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故D (1,3)．2．A ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6＞4，∴A 点的轨迹为椭圆除去与x 轴相交的两点，且2a ＝6,2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．3．垂直 如图，以△ABC 的顶点A 为原点O ，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，0. 设C (x ，y )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，∴k BE ＝－y 2c －x ，k CF ＝2y 2x －c ， 由b 2＋c 2＝5a 2，得|AC |2＋|AB |2＝5|BC |2，即x 2＋y 2＋c 2＝5[(x －c )2＋y 2]，整理得2y 2＝(2x －c )(2c －x )，∴k BE ·k CF ＝－2y22x －c 2c －x＝－1.∴BE 与CF 互相垂直．4．解：方法一：建立如图(1)所示的平面直角坐标系，(1)则正六边形的顶点分别为A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，D (－1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.方法二：建立如图(2)所示的平面直角坐标系，(2)则正六边形的顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.。
北师大版高中数学选修4-4课件第1讲 第1节平面直角坐标系精选ppt版本
缩后仍为直线，双曲线伸缩后仍为双曲线，抛物线伸缩后仍为
抛物线，而椭圆伸缩后可能是椭圆或圆．
[变式训练] 2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应 的图形经过伸缩变换yx′′＝＝42yx 后的图形，
(1)2x＋4y＝a； (2)x2＋y2＝r2(r≠0)．
解析：
(1)由伸缩变换yx′′＝＝42yx ，得到yx＝＝1214xy′ ′
D．yx′′＝＝22yx
解析： 设伸缩变换公式为
x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0，
由题意，得1－＝62＝μ，－2λ，
λ＝3， 解得μ＝12，
• 答案： C
x′＝3x， ∴y′＝12y
故选C．
2．将正弦曲线y＝sin x的纵坐标保持不变，横坐标缩短为
即3λ2x2＋μ22y2＝1.与x2＋y2＝1比较系数，
得3μ2λ22＝＝11，，
故λμ＝＝32，，
所以伸缩变换为yx′′＝＝23yx，，
即先使圆x2＋y2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横
坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆
[思路点拨] 逆向运用坐标的伸缩变换公式
区分原方程和 变换后的方程
系―待数 ―定→法
设伸缩 变换公式
―→
代入变换后 的曲线方程
与原曲线方 ―→ 程比较系数
[解题过程] y′4 2＝1，
将变换后的椭圆的方程x92＋y42＝1改写为x′9 2＋
设伸缩变换为yx′′＝＝μλxyλμ>>00，， 代入上式得λ29x2＋μ24y2＝1，
x1＋x2
y1＋y2
____2______，y＝_____2_____.
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
高中数学北师大版选修4-4课件：1.1.1平面直角坐标系与曲线方程3
2.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲
线.
名师点拨求曲线方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面直
角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出合适条件
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反思感悟求轨迹的常用方法
1.直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某
个等量关系,即可用求曲线方程的五个步骤直接求解.
2.定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,那么可根据
定义写出轨迹方程.
3.代入法:若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1),而动点Q(x1,y1)又
探究一
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利用坐标系解决几何问题
【例1】 已知▱ABCD,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).
分析：解答本题可以运用坐标方法即解析法,先在▱ABCD所在的
平面内建立平面直角坐标系,设出点A,B,C,D的坐标,再由距离公式
直线 AB 的方程为
即 hx-ay+ah=0.
ℎ
y=- x+h,
ℎ
y= x+h,
由点到直线的距离公式,得|BD|=
|2ℎ|
2 +ℎ2
,|CE|=
|2ℎ|
2 +ℎ2
高中数学(北师大版)选修4-4 ：1.1.1平面直角坐标系与曲线方程含解析
第一章DIYIZHANG坐标系§1 平面直角坐标系1.1 平面直角坐标系与曲线方程课后篇巩固探究A组1.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为(-1,2),(3,0),(5,1),则点D的坐标是( )A.(9,-1)B.(-3,1)C.(1,3)D.(2,2)D的坐标为(x,y).则解得故点D的坐标为(1,3).2.已知△ABC中,A(4,-3),B(5,-2),重心G(2,-1),则点C的坐标为( )A.(-3,2)B.(3,-2)C.(2,-3)D.(-2,3)C(x,y),线段AB的中点D.依题意得=2,即(x-2,y+1)=2.得解得故C(-3,2)为所求.3.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是( )A.两条直线B.四条直线C.两个点D.四个点解得故选D.4.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是( )A.x+y-1=0B.x+y+3=0C.x-y+1=0D.x-y+3=0(x-1)2+(y-2)2=4,所以圆心是(1,2),将圆心坐标代入各选项验证知选C.5.平面上有三个点A(-2,y),B,C(x,y),若,则动点C的轨迹方程是.-(-2,y)==(x,y)-,∵,∴=0.∴=0,即y2=8x.∴动点C的轨迹方程为y2=8x.2=8x6.在平面直角坐标系中,已知点A为平面内的一个动点,点B的坐标为(2,0).若=||(O为坐标原点),则动点A的轨迹为.A的坐标为(x,y),则=(x,y),=(x-2,y),||==2.代入已知条件得x(x-2)+y2=2,即(x-1)2+y2=3,它表示一个圆.7.已知真命题:若点A为☉O内一定点,点B为☉O上一动点,线段AB的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是以点O,A为焦点,OB长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题:若点A为☉O外一定点,点B为☉O上一动点,线段AB 的垂直平分线交直线OB于点P,则点P的轨迹是.,连接AP,因为P是线段AB的垂直平分线上一点,所以|PA|=|PB|.因此||PA|-|PO||=||PB|-|PO||=|OB|=R=定值,其中R为☉O的半径.由于点A 在圆外,故||PA|-|PO||=|OB|=R<|OA|,故动点P的轨迹是以O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线.O,A为焦点,OB为实轴长的双曲线8.关于x的一元二次方程x2-ax+b=0的两根为sin θ,cos θ,求点P(a,b)的轨迹方程.令①2-2×②得a2=2b+1.∵a=sin θ+cos θ=sin,|θ|≤,∴0≤a≤.由sin θ·cos θ=sin 2θ,知|b|≤.∴点P(a,b)的轨迹方程是a2=2b+1(0≤a≤).9.导学号73144002已知定点F(0,1)和直线l:y=-1,过定点F与直1相切的动圆的圆心为点C.线l1(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P,Q两点,交直线l1于点R,求的最小值.由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,则点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线.故动点C的轨迹方程为x2=4y.(2)由题意知,直线l2的方程可设为y=kx+1(k≠0),与抛物线方程x2=4y联立消去y,得x2-4kx-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.又易得点R的坐标为, 则=+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k+4=4+8.∵k2+≥2,当且仅当k2=1时取等号,∴≥4×2+8=16,即的最小值为16.B组1.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( )。
2018年高中数学北师大版选修4-4课件： 平面直角坐标系与曲线方程
课堂深度拓展
•考点一 求轨迹方程
• 求轨迹方程的步骤 • 求轨迹方程需要结合几何图形的结构特点， 先建立适当的平面直角坐标系，然后设出所 求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式， 化简后即可得到所求的轨迹方程．
• 【例题1】 已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点C 的轨迹方程． • 思维导引：建立适当的直角坐标系，写出A，B两点的坐标， 设出点C的坐标，代入直角三角形满足的条件中化简即得， 注意A，B，C三点不共线． • 解析：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立 如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点 C(x，y)．
• 3．坐标法解决几何问题的“三部曲”： • 第一步：建立适当的 _____________________，用坐 平面直角坐标系 标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题 转化成代数问题； • 第二步：通过 _______运算，解决 _______问题； 几何 代数 • 第三步：把代数运算结果“翻译”成 _______结论． 几何
∵a>0，∴3 x＋52＋y2≤ x－52＋y2， 两边平方得 9(x＋5)2＋9y2≤(x－5)2＋y2，
25 2 2 15 2 即x＋ 4 ＋y ≤ 4 . 25 15 故以点 C － 4 ，0 为圆心，以 4 为半径的圆是这两地购货的分界线．圆 C 内的居民
从 A 地购货便宜；圆 C 外的居民从 B 地购货便宜；圆 C 上的居民从 A，B 两地购货的 总费用相等，可随意从 A，B 两地之一购货．
• 【变式2】 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别 为两腰上的高．求证：BD＝CE.
解析：如图，以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标 系． 设 B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．则直线 AC 的方程为 h y＝－ax＋h， 即 hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝ax＋h，