2.5等腰三角形的轴对称性(3)

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2-5 等腰三角形的轴对称性2021-2022学年八年级数学上册讲义(苏科版)(解析版)

第2章轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性课程标准课标解读1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．1.理解等腰三角形是轴对称图形2.掌握等边对等角的性质3.掌握“三线合一”的性质知识点01 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C 是底角．【微点拨】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .1802A︒-∠目标导航知识精讲【即学即练1】1．已知等腰三角形的一边长5cm ，另一边长10cm ，则它的周长是（） A ．20cm B ．25cmC ．20cm 或25cmD ．无法确定【答案】B 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和10cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm ．故选：B ．知识点02 等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【即学即练2】2．如图，ABC 面积为9，BP 平分ABC ∠，AP BP ⊥于点P ，连结CP ，则BPC △的面积为（）A ．5B ．4.5C ．4D ．3.5【答案】B 【分析】延长AP 交BC 于E ，根据已知条件证得△ABP△△EBP ，根据全等三角形的性质得到AP=PE ，得出S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ，推出S△PBC=12S△ABC ．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，△BP 平分△ABC ， △△ABP=△EBP ， △AP△BP ，△△APB=△EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP BP BPAPB EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABP△△EBP （ASA ）， △AP=PE ，△S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ， △S△PBC=12S△ABC=12×9=4.5，故选：B ．知识点03 等腰三角形的判定1. 对应顶点，对应边，对应角定义如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【微点拨】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【即学即练3】3．如图，ABC 中，,BF CF 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点F 作//DE BC 交AB于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：△DFB DBF ∠=∠；△ECF EFC ∠=∠；△ADE 的周长等于BFC △的周长；△1902BFC A ∠=︒+∠．其中正确的有（）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】C 【分析】△根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出DBF DFB ∠=∠；△同理可得△的结论；△用特殊值法，当ABC ∆为等边三角形时，连接AF ，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF AF CF ==，进而得BF CF AC +>，便可得出；ADE ∆的周长不等于BFC ∆的周长；△利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的BFC ∠和BAC ∠之间的关系式．【详解】解：△BF 是ABC ∠的角平分线，ABF CBF ∴∠=∠，又//DE BC ，CBF DFB ∴∠=∠，DBF DFB ∴∠=∠，故△正确；△同理ECF EFC ∠=∠，故△正确；△假设ABC ∆为等边三角形，则AB AB BC ==，如图，连接AF ，D BF D FB ∠=∠，ECF EFC ∠=∠，BD DF ∴=，EF EC =，ADE ∴∆的周长AD DF EF AE AD BD AE EC AB AC =+++=+++=+， F 是ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点∴第三条平分线必过其点，即AF 平分BAC ∠， ABC ∆为等边三角形，60BAC BCA ABC ∴∠=∠=∠=︒， 30FAB FBA FAC FCA ∴∠=∠=∠=∠=︒， FA FB FC ∴==， FA FC AC +>， FB FC AC ∴+>，FB FC BC BC AC ∴++>+， FB FC BC AB AC ∴++>+，即BFC ∆的周长AD E >∆的周长，故△错误；△在ABC ∆中，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（1），在BFC ∆中180CFB FBC FCB ∠+∠+∠=︒，即1118022CFB ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（2），（2）2⨯-（1）得1902BFC BAC ∠=︒+∠，故△正确；故选C ．考法01 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．【典例1】如图所示，OB 平分,CBA OC ∠平分ACB ∠，且//BC MN ，设18,16,12AB BC AC ===，则AMN 的周长为（）A ．30B ．33C ．36D ．39【答案】A 【分析】能力拓展根据BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ，且MN△BC ，可得出MO=MB ，NO=NC ，所以三角形AMN 的周长是AB+AC ．【详解】解：△BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ， △△MBO=△OBC ，△OCN=△OCB ， △MN△BC ，△△MOB=△OBC ，△NOC=△OCB ， △△MBO=△MOB ，△NOC=△NCO ， △MO=MB ，NO=NC ， △AB=18，AC=12，△△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30．故选：A ．考法02 等腰三角形的判定判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）【典例2】如图，C 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），在AB 同侧分别作等边ACD △和等边,BCE AE 与BD 交于点F ，AE 与CD 交于点G ，BD 与CE 交于点H ，连接GH ．以下四个结论：△EAB BDC ∠=∠；△CGH 为等边三角形；△60FGH FHG ∠+∠=︒；△AC DH =．其中正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE△△DCB ，就可以得出△CAE ＝△CDB ，通过证明△ACG△△DCH 就可以得出CG ＝CH ，AG=DH ，可以得出△GCH 是等边三角形，再判断AC 与DH 的大小关系，求出△DFG=△GCA=60°，利用外角定理即可得到60FGH FHG ∠+∠=︒．【详解】△△ACD 和△BCE 是等边三角形，△AD ＝AC ＝CD ，CE ＝CB ＝BE ，△ACD ＝△BCE ＝60°． △△ACB ＝180°， △△DCE ＝60°． △△DCE ＝△BCE ．△△ACD ＋△DCE ＝△BCE ＋△DCE ， △△ACE ＝△DCB ．在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE△△DCB （SAS ）， △CAE CDB ∠=∠即EAB BDC ∠=∠，△正确；在△ACG 和△DCH 中，60ACG DCH AC DC CAG CDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ACG△△DCH （ASA ）， △GC=HC,AG=DH 又△GCH=60°，△CGH 为等边三角形，△正确；又AC≠AG ，△DH≠AC ，△错误；△△GAC+△ACG+△AGC=180°，△GDF+△DFG+△DGF=180° 又△AGC=△DGF ，△GAC=△GDF △△DFG=△ACG=60°又△DFG=FGH FHG ∠+∠， △60FGH FHG ∠+∠=︒，△正确；故选A ．题组A 基础过关练1．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为6cm ，则腰长为（）分层提分A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对【答案】B【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】解：△当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；△当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；故腰长为10cm．故答案为：B．2．等腰三角形的两边长分别为4cm，8cm，则该三角形的周长为（）A．16cm B．20cm C．16cm或20cm D．以上都不对【答案】B【分析】根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．【详解】解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），所以该三角形的周长是20 cm，故选：B．3．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（）A．是等腰三角形B．三个角都相等C．三条边都相等D．只有一条对称轴【答案】D【分析】利用等边三角形的性质依次分析即可得出答案．【详解】解：A、等边三角形也是等腰三角形，原说法正确，故此选项不合题意；B、等边三角形三个角都相等，原说法正确，故此选项不合题意；C、等边三角形三条边都相等，原说法正确，故此选项不合题意；D 、等边三角形有3条对称轴，原说法错误，故此选项符合题意；故选：D ．4．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ，则斜边的长为（） A ．8 cm B ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm【答案】A 【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．【详解】解：△直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ， △斜边长为8cm ．故选：A ．5．已知ABC ∆中，3,60,AC AB C ==∠=︒则ABC ∆的周长等于（）A B ．3 C ．6 D ．9【答案】D 【分析】判断ABC 为等边三角形即可求出其周长．【详解】根据题意可知ABC 为等边三角形， △ABC 的三条边相等且等于3， △ABC 的周长为33=9⨯．故选：D ．6．如果等腰三角形的两边长分别为7cm 和3cm ．那么它的第三边的长是（） A ．3cm B ．4cmC ．7cmD ．3cm 或7cm【答案】C 【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：若7cm 为等腰三角形的腰长， △3＋7＞7△3cm 、7cm 、7cm 能构成三角形，故符合题意；若3cm 为等腰三角形的腰长， △3＋3＜7△3cm 、3cm 、7cm 不能构成三角形，故不符合题意；综上：它的第三边的长是7cm 故选C ．7．若等腰三角形的一个角为100︒，则它一腰上的高与底边的夹角是（） A ．50︒ B ．40︒C ．10︒D ．80︒【答案】A 【分析】根据题意先画出图形，由题意可知等腰三角形的顶角为100°，根据等腰三角形的性质得出=40B ACB ∠=∠︒，由CD BD ⊥，可得90B BCD ∠+∠=︒，则BCD ∠可得．【详解】如图：△等腰三角形的一个角为100°，△等腰三角形的顶角为100°，即100BAC ∠=︒， △△ABC 是等腰三角形， △AB=AC ，△=40B ACB ∠=∠︒， △CD BD ⊥, △90D ∠=︒， △90B BCD ∠+∠=︒,△90904050BCD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：A ．题组B 能力提升练1．下列命题的逆命题是真命题的是（） A ．同位角相等，两直线平行 B ．等边三角形是锐角三角形 C ．若两个角是直角，则它们相等 D ．全等三角形的对应角相等【答案】A 【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、逆命题：两直线平行，同位角相等，此逆命题是真命题，此项符合题意；B 、逆命题：锐角三角形是等边三角形，此逆命题是假命题，此项不符题意；C 、逆命题：若两个角相等，则它们是直角，此逆命题是假命题，此项不符题意；D 、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形，此逆命题是假命题，此项不符题意；故选：A ．2．已知等边ABC 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED EC =，若6AE =，则CD 的长为（） A ．6 B ．9C ．3或6D ．3或9【答案】D 【分析】△E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，△当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，根据等边三角形的性质求出BE 长和60ABC ∠=︒，解直角三角形求出BF ，求出CF ，即可求出答案．【详解】解：点E 在直线AB 上，6AE =，点E 位置有两种情况： △E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，633BE ∴=-=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1322BF BE ∴==， 39322CF ∴=+=， ED EC =，CF DF ∴=，9292CD ∴=⨯=；△如图2，当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，639BE ∴=+=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1922BF AE ∴==， 93322CF ∴=-=， ED EC =，CF DF ∴=，3232CD ∴=⨯=；C=或3，即9故选：D．3．下列命题是假命题的是（）A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等【答案】D【分析】根据垂直平分线的性质、三角形外角的定义、等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理依次判断即可．【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以A选项为真命题，不符合题意；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以B选项为真命题，不符合题意；有一个外角是120°的等腰三角形，与它相邻的内角等于60°，是等边三角形，所以C选项为真命题，不符合题意；有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以D选项为假命题，符合题意；故选：D．4．下列命题中，假命题是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两底角相等C．面积相等的两个三角形全等D．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．5．等腰ABC中，过点B的直线BD分ABC为两个等腰三角形，则顶角为_____度．【答案】36°或1807或90°或108°【分析】根据题意分四种情况画出图形，结合等腰三角形的性质进行求解．【详解】解：△ABC中，AB=AC，若AD=BD，BC=BD，△△A=△ABD，△BDC=△C，则△C=△BDC=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+2△A+2△A=180°，△△A=36°；若AD=BD，BC=CD，△△A=△ABD，△CBD=△CDB，则△CDB=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+△A+2△A+3△A=180°，△△A=1807︒；若AD=BD ，AD=CD ， △△B=△C=△BAD=△CAD ， △△BAC+△ABC+△C=180°， △△BAD=△CAD=45°， △△BAC=90°；若AD=BD ，AC=CD ，△△B=△BAD ，△CAD=△CDA ，则△CDA=2△BAD ，△C=180°-2△CAD=180°-4△BAD ， △△B=△C ，△△BAD=180°-4△BAD ， △△BAD=36°，△△BAC=3△BAD=108°；故答案为：36°或1807︒或90°或108°． 6．已知在ABC 中，16C ∠=︒且为最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则B∠=_______︒【答案】123°或132°或90°或48°【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD，由题意可得：△DBC=△BDC=（180°-△C）÷2=82°，△△ABD=△BAD=12△BDC=41°，△△ABC=△ABD+△DBC=123°，△△ADB=180°-82°=98°，则在BC=CD的前提下只有AD=BD；如图，若CD=BD，AB=BD，由题意可得：△DBC=△C=16°，△△ADB=2△C=32°，△△A=△ADB=32°，△ABD=180°-△A-△ADB=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=132°，符合最小的内角为△C=16°，如图，若BD=CD，AB=AD，则△C=△DBC=16°，△△ADB=△ABD=2△C=32°，△△A=180°-2×32°=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=48°；如图，若BD=CD，AD=BD，△△ADB=2△C=2△DBC=32°，△△A=△ABD=（180°-32°）÷2=74°，△△ABC=△ABD+△DBC=90°；若BD=BC，则△C=△CDB=16°，△△ADB=180°-△CDB=164°，则只能满足AD=BD，△△A=12△CDB=8°，即△A＜△C，不满足；综上：△ABC 的度数为123°或132°或90°或48°．故答案为：123°或132°或90°或48°．7．如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 的中点，3AB =，4BD =，5DE =，若120ACE ∠=︒，则线段AE 的最大值为___________．【答案】10 【分析】作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ．根据两点之间线段最短解决问题即可．【详解】解：作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ，如图所示：△C 是BD 边的中点， △CB=CD=12BD=2， △点B 、点F 关于AC 对称，△CF=CB=2，AF=AB=3，△BCA=△FCA ．同理CD=CG=2，ED=EG=5，△DCE=△GCE ， △CG=CF=2， △△ACE=120°，△△BCA+△DCE=180°-120°=60°． △△FCA+△GCE=60°． △△FCG=60°．△△FGC 是等边三角形． △FG=2，△AE≤AF+FG+EG=3+2+5=10，△当A 、F 、G 、E 共线时，AE 的值最大2，最大值为10，故答案为：10．题组C 培优拔尖练1．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点P 是CA 延长线上一点，点O 在AD 延长线上，OP OB =，下面的结论：△30APO OBD ∠-∠=︒；△BPO △是正三角形；△AB AP AO -=；△2BOC AOBP S S =四边形△，其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由题意易得OB=OC ，则有△OBD=△OCD ，△APO=△OCP ，进而根据角的关系可证△，然后可得△PBO=△PBA+△APO ，由三角形内角和可得△OPB=60°，可判断△，在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ，由此可得AP=PE=AE ，△APE=60°，进而可证△BPE△△OPA ，然后根据全等三角形的性质可判断△，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断△．【详解】解：△AB AC =，AD BC ⊥，120BAC ∠=︒， △BD=DC ，△ACB=△ABC=30°， △OB=OC ， △△OBD=△OCD ， △OB=OP ， △OC=OP ， △△APO=△OCP ，△△OCP -△OCB=△ACB=30°，△30APO OBD ∠-∠=︒，故△正确； △OP=OB ， △△OPB=△PBO ，△△PBO=△PBA+△ABD+△OBC=△PBA+30°+△APO -30°， △△PBO=△PBA+△APO ，△在△ABC 中，△BAC+△ABC+△ACB=180°，即△OPB+△APO+△PBA+△ABC+△ACB=180°， △2△OPB+60°=180°， △△OPB=60°，△△BPO 是正三角形，故△正确；在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，如图所示：△△PAE=60°，△△PAE 是等边三角形， △AP=PE=AE ，△APE=60°，△△BPE=△APB -△APE ，△OPA=△APB -△BPO ， △△BPE=△OPA ， △OP=BP ，△△BPE△△OPA （SAS ）， △BE=AO ， △AB -BE=AE ， △AB -OA=AP ，△AB AP AO -=，故△正确；延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ， △△ABF 是等边三角形， △△ABF=60°，△△ABO+△OBF=60°，△ABO+△PBA=60°， △△PBA=△OBF ，△PB=OB ，AB=BF ， △△APB△△FOB （SAS ）， △AOBP S S =四边形△ABF ，如要证2BOC AOBP S S =四边形△，需证12OD AD =，由题意无法证明12OD AD =，故△错误；所以正确的个数有3个；故选：C ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连接EN ，下列结论：△AFE ∆为等腰三角形；△DF DN =；△AN BF =；△EN NC ⊥．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】△由等腰直角三角形的性质得△BAD=△CAD=△C=45°，再根据三角形外角性质可得到△AEF=△AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对△进行判断；求出BD=AD ，△DBF=△DAN ，△BDF=△ADN ，证△DFB△△DAN ，即可判断△△；连接EN ，只要证明△ABE△△NBE ，即可推出△ENB=△EAB=90°，由此可知判断△．【详解】解：△等腰Rt△ABC 中，△BAC=90°，AD△BC ， △△BAD=△CAD=△C=45°，BD=AD ， △BE 平分△ABC ， △△ABE=△CBE=12△ABC=22.5°， △△AEF=△CBE+△C=22.5°+45°=67.5°， △AFE=△FBA+△BAF=22.5°+45°=67.5°， △△AEF=△AFE ，△AF=AE ，即△AEF 为等腰三角形，所以△正确；△M 为EF 的中点， △AM△BE ，△△AMF=△AME=90°，△△DAN=90°−67.5°=22.5°=△MBN ，在△FBD 和△NAD 中FBD NAD BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△FBD△△NAD （ASA ），△DF=DN ，AN=BF ，所以△△正确； △AM△EF ，△△BMA=△BMN=90°， △BM=BM ，△MBA=△MBN ， △△MBA△△MBN ， △AM=MN ，△BE 垂直平分线段AN ， △AB=BN ，EA=EN ， △BE=BE ， △△ABE△△NBE ， △△ENB=△EAB=90°， △EN△NC ，故△正确，故选：D ．3．如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF 平分△ABC ，过点C 作CF △BF 于F 点，过A 作AD △BF 于D 点．AC 与BF 交于E 点，下列四个结论：△BE ＝2CF ；△AD ＝DF ；△AD ＋DE =12BE ；△AB ＋BC ＝2AE ．其中正确结论的序号是（）A ．只有△△△B ．只有△△C ．只有△△△D ．只有△△【答案】A 【分析】适当做辅助线，构建三角形.延长CF 并交BA 延长线于H△证明△ABE△△ACH ，得到BE=CH ，又可证CH=2CF ，故可得BE ＝2CF△若要得到AD ＝DF ，则需要证明△ADF 为等腰直角三角形，需要证明△DAF 为45°即可 △过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，EM MF =12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+===△过E 作EN BC ⊥于点N ，证明2AE AE EN AE EC AC =+<+=，得到22AB BC AE BC AE +>+>，即可证明△错误. 【详解】△延长BA 、CF ，交于点H ，△,BF CH CBF HBF ⊥∠=∠ △BCH H ∠=∠ △BC BH = △2CH CF =△90ABE AEB ∠+∠=︒ 90FCE FEC ∠+∠=︒ AEB FEC ∠=∠ △ABF ACF ∠=∠△90BAF CAH ∠=∠=︒ AB AC = △BAE CAH ≌ △,2BE CH BE CF ==△由△知，F 为CH 中点，又CAH 为直角三角形故12AF CH CF HF === △H FAH ∠=∠△,45BC BH HBC =∠=︒ △67.5H FAH ∠=∠=︒ △90HAC ∠=︒ △22.5FAC ∠=︒ 又BF 为HBC ∠的平分线 △22.5HBF ∠=︒ △67.5BAD ∠=︒△9067.522.5CAD ∠=︒-︒=︒45FAD FAC DAC ∠=∠+∠=︒在RT ADF 中，45DAF DFA ∠=∠=︒ △AD DF =△过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，由△知，CA 为△DAF 的平分线△,DE EM AD AM == △EMF 为等腰直角三角形 △EM MF =△12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+=== △过E 作EN BC ⊥于点N ，可知AE EN =在RT ENC 中，EN EC <△2AE AE EN AE EC AC =+<+= 即2AE AC <,而AC AB = △2AE AB <故22AB BC AE BC AE +>+>△2AB BC AE +≠,故△错误，本题答案选A.4．如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中△ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且 AE =CF ，当 BF ＋CE 取最小值时，△AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出△AFB 的度数即可．【详解】解：如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，△AC=BC ，△CH=AC，△△HCB=90°，AD△BC，△AD//CH，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC，△FH=CE，△FH+BF=CE+BF最小，此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，BM△AD,垂足为M,且AB=5,BM=2,AC=9,则△ABC与△C 的关系为（）A．△ABC=2△C B．△ABC=52△C C．14△ABC=△C D．△ABC=3△C【答案】D【分析】延长BM到E,证明△ABF△△AEM,利用线段长度推出△BCE是等腰三角形,再根据角度转换求出即可.【详解】证明:延长BM，交AC于E，△AD平分△BAC，BM△AD，△△BAM=△EAM ，△AMB=△AME 又△AM=AM ， △△ABM△△AEM ，△BM=ME ，AE=AB ，△AEB=△ABE, △BE=BM+ME=4，AE=AB=5, △CE=AC -AE=9-5=4, △CE=BE ，△△BCE 是等腰三角形， △△EBC=△C ，又△△ABE=△AEB=△C+△EBC. △△ABE=2△C ，△△ABC=△ABE+△EBC=3△C. 故选D.6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（）个． △EF BE CF =+；△90BGC A ∠=︒+∠；△点G 到ABC 各边的距离相等； △设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；△AEF 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】△根据△ABC 和△ACB 的平分线相交于点G 可得出△EBG=△CBG ，△BCG=△FCG ，再由EF△BC 可知△CBG=△EGB ，△BCG=△CGF ，故可得出BE=EG ，GF=CF ，由此可得出结论；△先根据角平分线的性质得出△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB ），再由三角形内角和定理即可得出结论；△根据三角形角平分线的性质即可得出结论；△连接AG ，由三角形的面积公式即可得出结论；△根据BE=EG ，GF=CF ，进行等量代换可得结论．【详解】解：△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△EBG=△CBG，△BCG=△FCG．△EF△BC，△△CBG=△EGB，△BCG=△CGF，△△EBG=△EGB，△FCG=△CGF，△BE=EG，GF=CF，△EF=EG+GF=BE+CF，故△正确；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A），△△BGC=180°-（△GBC+△GCB）=180°-12（180°-△A）=90°+12△A，故△错误；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△点G也在△BAC的平分线上，△点G到△ABC各边的距离相等，故△正确；△连接AG，作GM△AB于M，如图所示：△点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，△GD=GM=m，△S△AEF=12AE•GM+12AF•GD=12（AE+AF）•GD=12nm，故△错误．△△BE=EG，GF=CF，△AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周长等于AB+AC的和，故△正确，故选：C．7．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB 于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD△BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，△AD△BC，△S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，△EF是线段AC的垂直平分线，△MA＝MC，△MC+DM＝MA+DM≥AD，△AD的长为CM+MD的最小值，△△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．故选：D．。

等腰三角形的轴对称性(解析版)

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1．如图，l∥m ，等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上，则∥α=（）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ，如图，∥BF∥l ，∥∥CBF=40°，∥l∥m ，∥BF∥m ，∥∥ABF=α，∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ，∥α=20°，故选：B ．2．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，25B ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）．A ．55°B ．65°C ．75°D ．45°【答案】B【解析】∥AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，∥AD∥BC ，∥BAD=∥CAD ，∥∥B+∥BAD=90°，∥∥B=25°，∥∥BAD=65°，故选：B ．3．如图，∥ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ，若∥BAC ＝70°，则∥EAN 的度数为（）A ．35°B ．40°C ．50°D ．55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒，18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒， AB 的垂直平分线交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，EA EB NA NC ∴==，，EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠，，BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠，1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，在∥ABC 中，AD∥BC ，垂足为D ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，BD ＝DE ，若∥ABC 的周长为26cm ，AF ＝5cm ，则DC 的长为（）A ．8cmB ．7cmC ．10cmD ．9cm【答案】A 【解析】解：∥AD∥BC ，BD ＝DE ，EF 垂直平分AC ，∥AB ＝AE ＝EC ，∥∥ABC 周长26cm ，AF ＝5cm ，∥AC＝10（cm），∥AB+BC＝16（cm），∥AB+BE+EC＝16（cm），即2DE+2EC＝16（cm），∥DE+EC＝8（cm），∥DC＝DE+EC＝8（cm），故选：A．5．如图，∥ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE∥AC于点E，EF//AB交BC于点F，已知AE=5，则∥EFC的周长为（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】解：∥∥ABC是等边三角形，∥∥A=60°，∥DE∥AC，∥∥ADE=30°，∥AD=2AE=2×5=10，∥D为AB的中点，∥AB=2AD=20，∥AC=AB=20，∥EC=AC﹣AE=15，∥EF∥AB，∥∥EFC=∥B=60°，∥FEC=∥A=60°，∥∥EFC是等边三角形，∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45．故选：B．6．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ABC不能够分成两个等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；如图所示，∥ACD和∥BCD都是等腰三角形；故选B.7．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】如图，∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上． ∥EF∥DG ，∥E=∥D=60°，∥∥ENM=∥D=60°，∥MGD=∥E=60°，∥EM=NM=EN ，DM=GM=DG ，∥∥MEN ，∥MDG 是等边三角形．∥∥A=∥B=30°，∥MA=MB ，∥∥ABM 是等腰三角形．∥图中等腰三角形有3个．故选：B ．8．如图，∥ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论，不一定正确的是（）A ．AD BC ⊥B ．AD 平分BAC ∠ C ．2AB BD = D ．B C ∠=∠【答案】C 【解析】解：∥AB=AC ，∥∥B=∥C ，∥AB=AC ，D 是BC 中点，∥AD 平分∥BAC ，AD∥BC ，所以，结论不一定正确的是AB=2BD ．故选：C ．二、填空题9．如图，在∥ABC 中，AB=AC ，BD∥AC ，CE∥AB ，D 、E 为垂足，BD 与CE 交于点O ，则图中全等三角形共有_________对．【答案】3【解析】解：有3对：理由是∥AB=AC ，∥∥ABC=∥ACB ，∥BD∥AC ，CE∥AB ，∥∥BDC=∥BEC=90°，∥BC=BC ，∥∥BEC∥∥BDC ，∥∥ADB=∥AEC ，∥A=∥A ，AB=AC ，∥∥ADB∥∥AEC ，∥AD=AE ，∥BE=DC ，∥∥EOB=∥DOC ，∥BEC=∥BDC ，∥∥BEO∥∥CDO ，故答案为3．10．如图，线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O ．若35B ︒∠=，则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解：连接BO 并延长，如图：线段AB BC ，的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ，∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：7011．如图，在ABC 中，AB AC =，50A ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点，连接BD ，则DBC ∠的度数是________．【答案】15°【解析】∥AB=AC ，∥A=50∥，∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥， ∥MN 垂直平分线AB ，∥AD=BD ，∥ ∥ABD=∥A=50∥，∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12．如图，∥ABD ，∥ACE 都是等边三角形，BE 和CD 交于O 点，则∥BOC=__________度．【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形，∥AD=AB ，AC=AE ，∥DAB=∥CAE=60°，∥∥DAC=∥BAE ，∥∥ADC∥∥ABE(SAS)，∥∥ADC=∥ABE ，∥∥DAB=∥BOD=60°，∥BOC=180-∥BOD=120°，故答案为：12013．已知：如图所示，点D 在BC 的延长线上，120ACD AB AC ︒∠==，，则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解：∥点D 在BC 的延长线上，120ACD ︒∠=，∥60ACB ︒∠=，∥AB AC =，∥∥ABC 的形状为等边三角形．故答案为：等边三角形．14．如图，在ABC 中，BO ，CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB ､AC 于点D ､E ，且//DE BC ．若68==，AB cm AC cm ，则ADE 的周长为________．【答案】14cm【解析】DE BC ∥，DOB OBC ∴∠=∠，又BO 是ABC ∠的平分线，DBO OBC ∴∠=∠，DBO DOB ∴∠=∠，BD OD ∴=，同理：OE EC =，ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====＋＋＋＋＋＋＋．15．在Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8，那么∥C=______度．【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，AC=16，BC=8， ∥BC=12AC ， ∥Rt∥ABC 中，∥B=90°，∥∥A=30°，∥∥C=90°-∥A=60°．故答案为：6016．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，50BAC ∠=︒，则ADE ∠的度数是______．【答案】65【解析】∥AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∥∥BAD ＝∥CAD ，∥∥BAC ＝50°，∥∥DAC ＝25°，∥DE∥AC ，∥∥ADE ＝90°−25°＝65°，故答案为65°．17．等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒，AH HG ⊥，BG HG ⊥，12HG =，4AH =，则BG =________．【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，BC CA ∴=，90BCG ACH ∠+∠=︒，,A BG HG H HG ⊥⊥，90G H ∴∠=∠=︒，90BCG CBG ∠∴∠+=︒，CBG ACH ∴∠=∠，在BCG 和CAH 中，G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCG CAH AAS ∴≅，,CG AH BG CH ∴==，12,4H HG A ==，1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=，故答案为：8．18．如图，在等边三角形ABC 中，BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解：在等边∥ABC 中，AB=BC ，∥ABC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE 中，∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥∥BAD=∥CBE ，在∥ABF 中，∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°，即∥AFE=60°．故答案为：60°．三、解答题19．如图，已知ABC 中，AB AC =．M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =．求证：MD ME =．【答案】见详解【解析】∥AB AC =，∥∥B=∥C ，∥M 是BC 的中点，∥BM=CM ，又∥AD AE =，∥AB -AD=AC -AE ，即BD=CE ，∥∆BDM∥∆CEM ，∥MD ME =．20．如图，点D ，E 在ABC 的边AB 上，,,8CA CB CD CE AE ===，求BD 的长．【答案】8BD =【解析】解：如图，过C 作CM AB ⊥，垂足为M ．∥AC BC =，CD CE =，且CM AB ⊥，∥,==AM BM DM EM ，∥+=+AM EM BM DM ，∥AE BD =．∥8AE =，∥8BD =．21．如图，在Rt ABC △和Rt BAD △中，AB 为斜边，AC BD =，BC 、AD 相交于点E ．（1）请说明AE BE =的理由；（2）若45=︒∠AEC ，1AC =，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE=1.【解析】（1）证明：在Rt ACE 和Rt BDE △中，∥AEC ∠与BED ∠是对顶角，∥AEC BED ∠=∠．∥90C D ∠=∠=︒，AC BD =，∥Rt ACE ∥Rt BDE △（AAS ）．∥AE BE =．（2）∥45=︒∠AEC ，90C ∠=︒，∥45CAE ∠=︒，∥AEC CAE ∠=∠ ，∥1CE AC ==．22．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形，∥∥A=∥ABC=∥C=60°．∥DE∥BC ，∥∥AED=∥ABC=60°，∥ADE=∥C=60°．∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形，∥AB=BC=AC ．∥BD 平分∥ABC ， ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形，∥AE=AD ． ∥AE=12AB ． 23．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，E 为BC 边上一点，过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点，DE AE =．（1）求证DE EF =；（2）求证BD CF =；（3）若5BE =，3CE =，请直接写出CEF △的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1.5.【解析】证明：（1）,ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒，90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=（2）如图，过D 作//DM AC 交BC 于M ，DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠，AB AC =,B ACB ∴∠=∠，B DMB ∴∠=∠，DB DM ∴=，在EDM △与EFC 中，EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=（3）过D 作DP BC ⊥于P ，,90AB AC BAC =∠=︒，DB DM =，45B DMB ∴∠=∠=︒，45BDP MDP ∴∠=∠=︒，=BP MP DP ∴=，EDM EFC ≌，3EM EC ∴==，5BE =，2BM ∴=，1DP ，1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=，1.5.CEF S ∴=24．如图，ABC ∆是等边三角形，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，延长BC 到点Q ，使得CP CQ =．（1）请用尺规作图的方法，过点P 作PM BQ ⊥，垂足为M ；（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BM QM =．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）解：如图，（2）证明：∥∥ABC是等边三角形，BP平分∥ABC，∥P是AC的中点（三线合一）∥∥ABC＝2∥PBC，∥CP＝CQ，∥∥Q＝∥CPQ．又∥∥ACB＝∥Q＋∥CPQ，∥∥ACB＝2∥Q，又∥∥ABC＝∥ACB，∥2∥PBC＝2∥Q，∥∥PBC＝∥Q，∥PB＝PQ．∆是等腰三角形，∥PBQ又∥PM∥BQ，∥BM＝QM．25．如图，∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）若∥CAE=15°，AD=4，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】（1）∥ACB和∥DCE均为等腰三角形，∥ACB=∥DCE=90°，∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌，AD BE ∴=；（2）ABC 是等腰直角三角形，45ABC ∴∠=︒，由（1）可知，15CAE CBE ∠=∠=︒，4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，90ABE ACB ∴∠=∠=︒，则在Rt AEB 中，30EAB ∠=︒，28AB BE ∴==．26．如图，已知∥ABC 是等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 边上的点，且BD CE =，AD 、BE 相交于点P .（1）求证：AD BE =；（2）求出APE ∠ 的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°.【解析】（1）∥∥ABC 是等边三角形，∥AB=BC=AC ，∥ABC=∥BAC=∥C=60°，在∥ABD 和∥BCE ，AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∥∥ABD∥∥BCE （SAS ），∥AD=BE．（2）∥∥ABD∥∥CBE，∥∥BAD=∥CBE，∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°，∥∥ABP+∥BAD=60°，∥∥APB=180°-60°=120°．=180°-120°=60°．∥APE27．如图，∥ABC中，AB＝AC，∥A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∥ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【答案】（1）∥ECD=36°；（2）BC长是5．【解析】解：（1）∥DE垂直平分AC，∥CE＝AE，∥∥ECD＝∥A＝36°；（2）∥AB＝AC，∥A＝36°，∥∥B＝∥ACB＝72°，∥∥BEC＝∥A+∥ECD＝72°，∥∥BEC＝∥B，∥BC＝EC＝5．。

初中数学知识点精讲精析等腰三角形的轴对称性

2.5 等腰三角形的轴对称性学习目标1.知道等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2.经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力，感受分类、转化等数学思想方法；3．会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力。

知识详解1. 等腰三角形的定理等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴，等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）2.三边相等的三角形叫等边三角形或正三角形。

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

3. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4. 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

5. 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

6. 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

等腰三角形的轴对称性(3)

1.5 等腰三角形的轴对称性班级姓名学号教学目标：1、知道等腰梯形的概念，等腰梯形的轴对称性极其相关性质能够画出简单的轴对称图形.2、等边三角形性质的运用教学重点：等腰梯形的轴对称性极其相关性质；教学难点：能利用等腰梯形的性质进行有条理的说理；教学过程：一、复习提问：1．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，它们分别是_______．2．等边三角形ABC中，AD是BC•边上的中线，•那么∠ADB=•_____•°，•∠BAD=_____°．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是AB边上的中线，△BCD•是等边三角形吗？为什么？二、探索新知：1、等边三角形的概念三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.2、那么等边三角形具有什么性质？等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴.60等边三角形都等于03、探索活动思考：（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？为什么？60的三角形是等边三角形吗？为什么？（2）有两个角等于060的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？（3）有一个角等于060直角三角板进行拼图实验；对于问题3要引导（对于问题2要引导学生借助于两块相同的含0分类思考.）CDEBA三、例题示范：例1. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？分析：应分两情况讨论，一是当这个角是底角时；二是当这个角是顶角时.例2如图,在△ABC 中,AB=AC ，∠BAC=120°, AD ⊥AB,AE ⊥AC. ⑴图中,等于30°的角有__ _,等于60°的角有 ; ⑵△ADE 是等边三角形吗?为什么?⑶在Rt △ABD 中, ∠B=_____,AD=_____BD;在Rt △ACE 中,有类似结论吗?五、课堂小结：等边三角形是底和腰相等的等腰三角形，有3条对称轴，每个角都是600. 六、课后作业：七、教学后记：【课后作业】1、底角等于顶角一半的等腰三角形是____________三角形.2、剪四个同样大小的等边三角形，你能将这四个三角形拼成一个三角形吗?是一个什么三角形?3、在等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是，它共有条对称轴，最少的是，有条对称轴．4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰三角形的顶角是________°．ABCMNP Q5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．．的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BF 与CF 是角平分线且交于点F ，DE ∥BC ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（）A ．6B ．7C ．8D ．97、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线， ∠BAC=110°，那么∠PAQ 等于 °．8、如图，在等边三角形ABC 的边BC 、AC 上分别取点D 、E ，使BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ．求∠AFE 的度数．（第7题）ABCD E FEF DC BAABCP ′P9．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 的延长线上，•且BD=CE=AF ．△DEF 也是等边三角形吗？为什么？EF DCB A10、如图，△ABC 是等边三角形，P 为△ABC 内部一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ˊ重合，如果AP=3，求PP ˊ的长．11、在两个三角形中，它们的内角分别为：（1）20°，40°，120°；（2） 20°，60°，100°，怎样把每个三角形分成两个等腰三角形？试画出图形．。

2.5 等腰三角形的轴对称性(3)

东山莫厘中学2015-2016八年级第一学期教学案【教学目标】：（一）知识目标：根据等腰三角形的轴对称性得出并掌握等边三角形的性质：（1）“等边对等角”和“三线合一”的性质；（2）掌握等边三角形本身所具有的特殊的性质；（3）掌握等边三角形识别的方法。

（二）能力目标：能够熟练的运用等边三角形的相关性质和判定解决问题.（三）情感与价值观目标：经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，感受分类、转化等数学思想方法，不断积累数学活动的经验重点：等边三角形相关性质和识别的应用；难点：等边三角形性质和识别的运用.新课讲解一、课前导学1等边三角形_____（填“是”或“不是”）轴对称图形，对称轴有_____条，是_______．4.如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则对△ADE的形状的判断是_________．5.师生互动推导出以下性质：讨论：（师生互动）3二、例题精讲例1、如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．例2 、如图，等边△ABC 的两条中线BD 、CE 相交于点O ， (1)求∠BOE 的度数；(2)说明：△AED 是等边三角形，△BED 是等腰三角形．OABCDE例3、用等边三角形的性质探索结论：直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，试说明：AC ＝12AB ．三、课堂练习1．如图，D、E是△ABC的边BC上的两点，BD＝DE＝EC＝AD＝AE，则∠BAC的度数为_______．2．在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，则AD与DC的大小关系为________．3．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F．(1)试说明△ABE≌△CA D．(2)求∠BFD的度数．4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，以AD为一边向右作等边△ADE．请判断AC、DE的位置关系，并说明理由．四、课堂小结：五、课后作业：1．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．试说明：BD＝DE．2．如图，△ABC是等边三角形，P为△ABC内部一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3．求PP'的长．3．已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点．且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点．(1)请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．六、板书设计：七、教学反思：。

等腰三角形的轴对称性质

化学实验
生物学实验
在生物学实验中，等腰三角形可用于模拟生物体的形态和结构，如细胞结构和生物体的平衡。
在化学实验中，等腰三角形可用于表示化学反应中的物质变化和能量转化。
04
等腰三角形与其他几何图形的关系
与直角三角形的关系
直角三角形可以是等腰的，即两个锐角相等，两腰也相等。
等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形，它的两个锐角都是45度，两腰相等，并且斜边是两腰的平方和的平方根。
THANK YOU
感谢聆听
角度判定
如果一个三角形有两个底角相等，则它是等腰三角形。
综合判定
如果一个三角形同时满足边长相等和角度相等，则它是等腰三角形。
02
等腰三角形的轴对称性
轴对称的定义
轴对称
如果一个平面图形关于某一直线对称，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
轴对称的性质
轴对称图形是全等图形，对称轴两侧的图形可以完全重合。
角度相等
等腰三角形的两个底角相等，顶角与底角也相等。
等腰三角形的性质
80%
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是穿过顶角的高线。
100%
角度恒定
等腰三角形的角度恒定，即两个底角相等，顶角与底角也相等。
80%
面积恒定
等腰三角形的面积恒定，可以通过底和高计算面积。
等腰三角形的判定
边长判定
如果一个三角形有两边长度相等，则它是等腰三角形。
绘画和雕塑
等腰三角形在绘画和雕塑中常被用来表现形式美感和立体感，如人体结构和自然形态。
服装设计
在服装设计中，等腰三角形可以作为设计元素，用于服装的款式和图案设计。

等腰三角形的轴对称性(3)教学案八年级数学苏科版

课题：2.5等腰三角形的轴对称性（3）班级姓名学号【学习目标】1.由等腰三角形的性质推出等边三角形的特殊性质2.等边三角形性质的运用3.等边三角形的判定方法【重点难点】重点：等边三角形性质运用及等边三角形的判定方法难点：等边三角形性质的综合应用【新知导学】读一读：阅读课本P 62-P 64想一想：1．什么样的三角形是等边三角形？2．有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形吗？3．在一个等腰三角形中，如果腰与底相等，这样的三角形具有什么特殊的性质？练一练：1.等边三角形是图形，对称轴是2.如图，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，AD ⊥BC ，则∠BAD= ，BD=第2题图第3题图3．已知：如图，在△ABC 中，∠A=∠B=∠C. 求证：△ABC 是等边三角形。

D CBCBA【新知归纳】1．的三角形是等边三角形或。

.2．等边三角形除具有等腰三角形的一切性质外，还有特殊性质：（1）等边三角形是图形，并且有条对称轴。

（2）等边三角形的每个角都等于度。

3．等边三角形的判定方法：（1）三个角都的三角形是等边三角形。

（2）有一个角是的等腰三角形是等边三角形。

【例题教学】例1.有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？请说明理由。

例2.如图，P、Q是△课题：2.5等腰三角形的轴对称性（3）【当堂训练】1.在等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是，它共有条对称轴。

2．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( ) A ．120° B ．130° C ．150° D ．160°3．下列命题中，①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4.如图，在等边三角形ABC 的边BC 、AC 上分别取点D 、E ，使BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ．求∠AFE 的度数5．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 的延长线上，•且BD=CE=AF ． △DEF 也是等边三角形吗？为什么？【课后巩固】EF D CB AF CB ACDEBA1．等腰三角形的周长为80 cm ，若以它的底边为边的等边三角形周长为30cm ，则该等腰三角形的腰长为( )A ．25 cmB ．35 cmC ．30 cmD ．40 cm2.如图,在△ABC 中,AB=AC ，∠BAC=120°, AD ⊥AB,AE ⊥AC.图中,等于30°的角有__ _个，等于60°的角有个。

八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。

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2.5 等腰三角形的轴对称性（3）
教学目标:
1．探索并掌握直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2．经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象、概括能力，不断积累数学活动的经验；
3．在交流过程中，引导学生体会推理的思考方法，进一步提高说理、分析、猜想和归纳的能力；
4. 引导学生理解合情推理和演绎推理都是获得数学结论的重要途径，进一步体会证明的必要性．
教学重点:
探索并能应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解决相关数学问题．教学难点:
引导学生用“分析法”证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ．教学过程:
情境创设
提问：
1．等腰三角形有哪些性质？
2．怎样判定一个三角形是等腰三角形？
学生回顾：
1．等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合．
2．判定一个三角形是等腰三角形的方法：
（1）根据定义，证明三角形有两边相等；
（2）根据“等角对等边”，只要证明一个三角形有两个角相等．应用反馈
根据你所掌握的方法独立解决下列问题： 1．已知：如图，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，AD ∥BC ．求证：AB ＝AC ．
思考：（1）上图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？试证明你的结论．
B D
（2）上图中，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC吗？
通过这一系列问题的解决，你有什么发现？
学生独立思考分析，代表发言．
学生交流想法，代表发言．
归纳结论：①AB＝AC；②AD平分∠EAC；③AD∥BC三个论断中，其中任意两个成立，第三个一定也成立．
活动一：操作·探索
1．提问：你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？
2．提问：△ACD与△BCD为什么是等腰三角形？请说明理由．
3．提问：观察图形，你还有哪些发现？
学生思考，操作，小组内交流．
1．学生代表发言，说明折纸的方法，指出△ACD与△BCD是等腰三角形；
B B
2．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2）（3）折叠，标出点D，连接CD．
3．观察图形，小组内交流自己的发现，代表发言．
有4个直角三角形全等；
BD＝CD＝AD；
……
活动二：探索·说理
1．提问．
（1）D是斜边AB的中点吗？
（2）斜边AB上的中线CD与斜边AB有何数量关系？
2．刚才我们通过折纸活动发现“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，你能说明理由吗？
（1）你能根据题中的已知条件和要说明的结论画出图形来表示吗？
图（2）图（3）
（2）思考：怎样说明CD ＝12
AB ？分析：
在折纸活动中，你怎样找出斜边上的中线？
假设已知CD ＝12
AB ，那么我们可以得出怎样的结论？这对于你说明结论有启发吗？
3．小结．
（1）定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，并用符号语言表述；
（2）证明中常用的一种思考方法：即分析法从需要证明的结论出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件．
4．尝试练习．
（1）Rt △ABC 中，如果斜边AB 为4cm ，那么斜边上的中线CD ＝_______cm ．
（2）如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，DE ⊥AC ，垂足为E ． ①如果CD ＝2.4cm ，那么AB ＝ cm ．
②写出图中相等的线段和角．
（3）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，如果斜边AB ＝5cm ，那么斜边上的高CD ＝ cm ．
例题讲解
1．如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，如果∠A ＝30°，那么BC 与AB 有怎样的数量关系？
试证明你的结论．
C B A
C C
提问引导：
（1）对于BC 与AB 的数量关系，你有何猜想？你为什么作这样的猜想？
（2）我们猜想BC ＝21AB ，根据我们学过的知识，什么与2
1AB 相等？这对于你证明结论有启发吗？
（3）指导学生完成证明过程（投影）．
2．已知：如图，点C 为线段AB 的中点， ∠AMB ＝∠ANB ＝90°.CM 与CN 是否相等？为什么？
指导学生完成证明过程，对板演点评．指导学生活动完成练习： 1．课本P66练习2． 2．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M 、
N 分别是AC 、BD 的中点，试说明：
（1）MD ＝MB ；（2）MN ⊥BD ．
B
课堂小结
这节课你有哪些收获？
B。