信号的抽取与插值
补充-离散信号的采样与插值
X
… 0
π
2π
ω
…
… -π 0
π/L
π
2π
ω’
Y频谱：L=3,在2π里出现3个周期，是基带的谐波镜像， 要用数字低通滤波器滤除。称抗镜像滤波器。
抗镜像低通滤波器（又称内插滤波器）的频谱
G ; | '| / L H(e ) other 0
j '
y0(n)经过它运算把插 0值变成合理值y(n)
9
12
n
低的 fs’
n 3 4
注意序号
m
三 个 采 样 率 序 列 的 频 谱
连续信号 的频谱 以fs采样的序 列频谱
|X(j Ω)| 1/T
fmax |X(ej ω)|
Ω
fs
以0.5fs采样的序列频谱， 它等效于M=2倍的抽取
1/2T
M=4倍
2π ω fs1=0.5fs ω j |y1(e )| 2π 4π ω |y2(ej ω)| fs2=0.25fs 2π
1/4T
fs2=fs/M<2fmax
4π
8π
ω
原序列x(n)的 频谱 数字低通滤波 器h(n)频谱
例子
输出序列y(n) 的频谱
1
fmax π |H(ej ω)|
π /M |y (ej ω)|π ω fs2=0.25fs
M=3倍
π ω j 1/3T |y1(e )| 2π 4π
一、离散信号的采样实为序列抽取, 等效于fs的降低M倍。----降采样率
x(n)=｛1，1.2，1.3，1.1，1.05， … ｝
高的 fs
012 3 6 M=3情况： y(m)=｛1，1.1，…｝ fs 1 1 f s T MT M y(m) x(mM ) 0 1 2
信号的子带分解及滤波器组
y(n) x(Mn ) x1(Mn)
Y (z) x1(Mn)z n x1(n)z n / M
n
n
Y (z) X1(z1/M )
正确
关键是 x1(n) 和 x(n) 的关系：
令
p(n) (n Mi)
i
为一脉冲序列，其抽样频率也为 f s
x1(n) x(n) p(n)
1. 信号的抽取(Decimation); 2. 信号的插值（Interpolation); 3. 抽取与插值的实现、多相结构、多抽
样率系统； 4. 两通道滤波器组，分析与综合； 5. M通道滤波器组，分析与综合； 6. 多抽样率信号处理的应用。
一、 信号的抽取
抽取：fs fs / M
x(n) ↓M y(n)
令：
x(n) n 0,M ,2M ,,
x1(n)
0
其它
x1(n) 的抽样率仍为 f s
y(n) 的抽样率是 fs / M
现在的任务是:
1. 找到 x1(n) 和 x(n) 的时域与频域的关系; 2. 找到 x1(n) 和 y(n) 的时域与频域的关系; 3. 找到 y(n) 和 x(n) 的时域与频域的关系;
1 X (e j( 2 )/3 ) 3
1 X (e j( 4 )/3 ) 3
将 X (e j )作3倍
的扩展
将 X (e j )移动 2
后作3倍的扩展
将 X (e j )移动 4
后作3倍的扩展
将信号 x(n作) 的M抽取，得 y(n)
目的：将抽样频率降低 M倍；
原则： y(n应) 保留 x中(n的) 全部信息；
2
2
抽 取 后 频 谱 的 混 迭
解决的办法：在抽取前加反混迭滤波器，去除 X (e j )
数字信号处理第三章7 序列的抽取与插值
0.5
2 f / f s f ' f / fs
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
2019/2/3
数字信号处理
序列域直接抽取：
p ( n)
k
(n kD)
时域序列乘脉冲串
x p (n) x(n) p(n)
1 X p (e ) 2
j
2
2019/2/3
s X a ( j jk ) D k
k
X
a
(j
2 k
DT
)
数字信号处理
fs fs / 2
0
fs ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
fs
2 1
f 2 f
s s / 2 0 0 2 1 0.5 0
2019/2/3
s / 2 s
'
1 1 2 k j X (e ) X a ( j jk s ) X a ( j ) T k T k T 1 X d (e j ) ' X a ( j jk s ' ) T k
T
1 DT 1 DT
八 、序列的抽取与插值
信号时间尺度变换（抽样频率的变换）
抽取：减小抽样频率
插值：加大抽样频率
2019/2/3
数字信号处理
1、序列的抽取
将x(n)的抽样频率减小D倍 每D个抽样中取一个，D为整数， 称为抽样因子
2019/2/3
数字信号处理
相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样
T DT
'
2 2 s s ' T DT D
现代信号处理考题
一、每题6分，共10题。
1、试叙述信号分析的不确定原理，并以高斯信号为例解释相关概念。
不确定原理：对给定的信号，其时宽与带宽的乘积为一常数，当信号的时宽减小时，其带宽装将相应增大，当时宽减到无穷小时，带宽半变成无穷大，这就是说，信号的时宽与带宽不可能同时趋于无限小。
（P24）2、相对于傅里叶变换，短时傅里叶变换有何特点？窗口应满足什么条件？相对于傅里叶变换，除了同样可以了解信号包含的频谱信息，还可以对信号的频率进行时间上的定位。
STFT在时域用窗函数g(τ)去截x(τ),结截下来的局部信号作傅里叶变换，即可得到在t时刻的该段信号的傅里叶变换。
不断地移动t，也即不断地移动窗函数g(τ)的中心位置，即可得到不同时刻的傅里叶变换。
由于g(τ)是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于e jΩt在频域是线谱，所以STFT的基函数g(τ-t) e jΩt在时域和频域都应是有限支撑的，这样，他的结果就有了对x(t)实现时频定位的功能。
3、相对于信号的谱图，wvd有何缺点？（P80）4、什么是小波变换的恒Q性质？试由此简要说明小波变换的时频分析特点。
(P241)5、试给出能保持信号能量边缘特性的和不能保持信号能量边缘特性的时频变换的例子。
6、什么是连续信号的Gabor展开？实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样还是过采样？说明理由。
什么是连续信号的Gabor展开：P61理由:实际利用Gabor展开分析信号时，是采用临界采样的。
因为在Gabor变换中，常数a和b的取值有3种情况：（1）ab=1，称为临界抽样，（2）ab>1，称为欠抽样，（3）ab<1，称为过抽样，由证明得，在ab>1的欠抽样的情况下，由于栅格过稀，因此将缺乏足够的信息来恢复原信号x(t)。
由于欠抽样时的这一固有的缺点，人们很少研究它，因此研究最多的是临界抽样和过抽样。
可以想象，在ab<1的过抽样的情况下，表示x(t)的离散系数C mn必然包含冗余的信息，这类似于对一维信号抽样时抽样间隔过小的情况。
数字信号处理第9章 抽取与插值20151103
x1 ( n ) x ( n ) p ( n )
1 p(n ) M
M 1 k 0 kn W M
WM e
j 2 / M
x ( n)
p (n)
x1 ( n)
由于：
1 p(n ) M
M 1 k 0
W
kn M
W M e j 2 / M
周期序列展为傅里叶级数
X ( zW )
k M
所以： X ( z ) 1 1 M 又因为：
M 1 k 0
k X ( zW M)
X 1 ( z ), X ( z )
的关系
Y ( z) X1( z
1 Y ( z) M
M 1 k 0
1 M
)
1 M
最后：
X (z
j
W )
k
ze
1 j Y (e ) M
k
h(k ) x(n k )
(n)
k
h(k ) x(n k )
n
V ( e j ) H ( e j ) X ( e j )
Y ( z)
n
y ( n) z
M 1 k 0
n j 2 k M
v(Mn) z
y (n)
k
x(k )h( Mn Lk )
的又一种表示形式：
Mn Lk 0
M k n L
Mn k m L
Mn Mn y (n) x m h Mn L mL L m L
j
0 | | min( , ) L M 其它
重采样原理
重采样原理重采样是指在信号处理中，对信号进行重新取样的过程。
在实际应用中，重采样是一种非常重要的信号处理技术，可以用来改变信号的采样率，从而适应不同的系统要求。
在本文中，我们将介绍重采样的原理及其在实际应用中的一些常见方法。
重采样的原理可以简单地理解为对原始信号进行重新采样，以获得新的采样点。
在进行重采样时，通常会改变信号的采样率，这意味着新的采样点的时间间隔可能会与原始信号不同。
重采样的目的可以是为了匹配不同系统的采样率，也可以是为了改变信号的频率特性。
在实际应用中，重采样通常涉及到插值和抽取两种基本方法。
插值是指在已知采样点之间估计新的采样点，而抽取则是从已知采样点中选择部分点作为新的采样点。
这两种方法各有优劣，可以根据具体的应用场景选择合适的方法。
在数字信号处理中，重采样常常用于数字滤波器的设计和实现。
由于数字滤波器的性能与采样率密切相关，因此通过重采样可以改变信号的采样率，从而影响数字滤波器的性能。
另外，在数字通信系统中，重采样也可以用于时钟同步和信号恢复等关键环节。
除了插值和抽取，还有一些其他常见的重采样方法，如最近邻插值、线性插值、样条插值等。
这些方法各自具有特点，可以根据具体的需求选择合适的方法。
在选择重采样方法时，需要考虑信号的特性、系统的要求以及计算复杂度等因素。
总之，重采样是一种重要的信号处理技术，可以用于改变信号的采样率，适应不同系统的要求。
在实际应用中，重采样涉及到插值和抽取两种基本方法，以及一些其他常见的重采样方法。
选择合适的重采样方法需要考虑信号的特性、系统的要求以及计算复杂度等因素。
重采样的原理及方法对于数字信号处理、数字滤波器设计以及数字通信系统等领域都具有重要意义。
cic内插的基本原理
cic内插的基本原理
CIC (Cascaded Integrator-Comb) 是一种数字滤波器结构，通常用于对信号进行抽取或插值。
CIC 内插的基本原理涉及到积分器
和组合器，通过这些组件可以实现信号的插值。
CIC 内插的基本原理是利用积分器对输入信号进行累加，然后
通过组合器对累加后的信号进行差分处理，最终得到插值后的信号。
首先，输入信号经过积分器进行累加，这样可以增加信号的精度和
动态范围。
然后，经过组合器进行差分处理，以减小信号的采样率，从而实现插值。
CIC 结构中通常包含多级积分器和组合器，可以通
过级联这些组件来实现更高阶的插值。
另外，CIC 内插的基本原理还涉及到滤波器的设计和优化。
由
于 CIC 结构本身具有滤波的特性，因此可以在一定程度上实现信号
的滤波功能。
在设计 CIC 内插滤波器时，需要考虑滤波器的通带波纹、阻带衰减等参数，以及滤波器的阶数和延迟等因素，以达到所
需的滤波效果。
总的来说，CIC 内插的基本原理包括积分器和组合器的结合，
通过积分和差分操作实现信号的插值，同时结合滤波器的设计和优
化来实现对信号的滤波和插值处理。
这种结构简单且高效，因此在数字信号处理中得到了广泛的应用。
数字信号处理7-2抽取滤波器和内插滤波器
M=2
抽取滤波器的基本概念
X(ej) 1
3 2/3 2/3
3
XD(ej)
1/2
3
序列抽取M倍不混叠的条件:
3
X(ej)=0，||>/M
x[k ]
H(z)
M
y[k ]
H(z) 2
D/A
fsam=32kHz
frec=16kHz
x(t)
x[k]
t
k
连续信号
抽样频率为32kHz的离散信号
问题解决：16 kHz 系统播放抽样频率 32 kHz信号
x[k]
w[k]
y(t)
x(t) A/D
H(z) 2
D/A
fsam=32kHz
frec=16kHz
w[k] k
频率转换后的离散信号
问题解决： 16 kHz 系统播放抽样频率 24 kHz信号
x(t)
x[k ]
A/D
2
fsam 24kHz
w[k ]
y(t)
H(z) 3
D/A
frec 16kHz
x(t)
连续信号号
问题解决： 16 kHz 系统播放抽样频率 24 kHz信号
...
/L /L
可用理想低通滤波器滤除内插后信号频谱XI(ej)中的镜像分量
H
(e
j
)
1, 0,
Ω π/L
π / L | | π
内插滤波器的基本概念
X(ej)
+m m
...
XI(ej)
m m
...
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2π
π π /I 0 π /I
2π
X I (ej )
（ c（ （ （ （
2π
π π /I 0 π /I π
2π
X I (ej ) 中不仅包含 X (ej )的基带部分 还含有大于/I 的高频成分
为了能从中 XI (e得j )到基带信号，需要通过低通滤波消
除内插带来的镜像。
低通滤波器的幅度响应为
信号的抽取与插值
许多数字信号处理应用中，一个系统中会存在不同采样频率的 信号，称这样的系统为多速率信号处理系统
多速率信号处理系统的核心内容是 信号采样率转换与滤波器组
数字音频：广播、数字压缩光盘和数字音频磁带使用的采样率 不同，音频系统中经常需要在几种不同的采样率之间转换
多媒体通信，所传输的信号包括音频、视频和数据等不同类型的 信号，这些信号的带宽相差很大，因此它们的采样率也不同
必然产生频谱混叠，导致不能从 xD (m) 中恢复 x(n)
x(n) n 0, D,2D,......
xint (n)
0
其 它n
xint (n) x(n) (n iD) x(n) D (n) i
其中
D(n) (n iD) i
xD (m) xint (Dm ) x(Dm )
x(n)
H D (ej )
↓D
D1
H z z j E j zD
j0
x(n) z 1 z 1
E (zD) 0
E (zD) 1
z 1 E (zD)
D1
xD (m)
x(n)
v1 (m)
↓D
H (z)
y(m)
D
x(n) z 1
z 1
z 1
y1(m)
x(n)
v2 (n)
H (z D )
↓D
y2 (m)
| | 0.16π
0.16π | | π
(c)
I
H (ej )
| X (e j ) | 1
D y(m)
0.8
0
| X I (e j ) | 1
0.8
0.96
0.16 0 0.16 0.24 0.56 0.64 0.96
| Y (e j ) | 1
0.64
0
0.64
7. 4 多抽样率系统的多相滤波结构
恒等变换6
因为 X I (z) X (z I )
V3 (z) H (z)X (z)
Y3 (z) V3 (z I ) H (z I ) X (z I )
V4 (z) X (z I )
Y4 (z) H (z I )V4 (z) H (z I )X (z I )
Y3(z) Y4(z)
x(n)
j 2r
X D (ej ) 是原序列频谱D倍展宽后 按（2）的整数倍位移并叠加而成
X (ej ) 1
4π
2π π 0 π 2π
X (ej / 2 ) 1
4π
2π π 0 X (e j( 2 )/ 2 )
1
π 2π
4π
2π π 0 π 2π
X D (ej ) 1 2
x(n)
H D (ej )
↓D
xD (m)
x(n)
先滤波后抽取
I
H I (ej )
y(m)
先插值后滤波
对运算速度的要求相当高
7. 4. 1 抽取器与插值器的恒等变换
恒等变换1
x1(n) 1
y1 ( m )
x1 ( n)
↓D
1
↓D
x2(n) 2
2
x2 (n)
↓D
y(m)
两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加
其他
[例] 在图示系统中，已知输入信号x(n)的采样率为4kHz，其频
谱幅度如图所示。试确定该系统中的I、D和
H (ej )
幅度特性，使输出信号y(m)的抽样频率为5kHz
解：
x(n)
由于输出信号比输
入信号的抽样频率 提高了5/4倍，所以 (a)
R=5/4
取I=5，D=4
(b)
|
H
(e
j
)
|
4 0
n
x(n) D (n)z D
n
n
1 D1
D r0
WDnr
1 0
n iD
n iD D(n)
XD(z)
n
1 D1 x(n)
D r0
WDnr
z
n D
1 D1
D r0
n
1
x(n)[WDr z D ]n
1 D
D1 r0
1
X (WDr z D )
X D(ej )
1 D
D1 r0
增加信号采样率的运算叫内插(interpolation) 或上采样(up-sampling)
降低采样率的运算叫抽取(decimation) 或下采样(down-sampling)
主要内容 整数因子抽取 整数因子插值 采样率的分数倍转换 抽取和插值的多相滤波器结构
1 整数因子抽取
把原序列 x(n) 每隔 D 1 个点抽取一个点组成一个新序列 xD (m)
-9 -8 -7-6-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
xD (m)
xint (Dn)zn
xint (n)zn/ D
n
n是D的 整数 倍
由于n不是D的整数倍时xint (n) =0
...
...
-3 -2 -1 0 1 2 3
m
XD(z)
xint (n)zn/ D
v3 (n)
H (z)
↑I
y3 (m)
x(n)
v4 (m)
y4 (m)
↑I
H(zI )
将信号先经过滤波器H(z)后再按I因子内插，等价于将信号按I因子内插 后再经过滤波器H(zI)
7. 4. 2 抽取和插值的多相滤波器结构
H z hnzn n
h Dl zDl h Dl 1 zDl1 h Dl D 1 zDlD1
恒等变换5
x(n)
v1 (m)
↓D
H (z)
y1(m)
x(n)
v2 (n)
H (z D )
↓D
y2 (m)
X D(z)
1 D
D1 r0
1
X (WDr z D )
1 D1
V1(z) D r0
1
X (WDr z D )
1
D1
Y1 ( z )
H ( z )V1
(z)
D
H(z)
r0
1
X (WDr z D )
V2 (z) H (z D )X (z)
1 D1
Y2(z) D r0
1
1
H[(WDr z D )D ]X (WDr z D )
因为
W
rD D
1
Y1(z) Y2(z)
所以
Y2 ( z )
1 D
D1 r0
1
H(z)X (WDr z D )
1 D
D1
H(z)
r0
1
X (WDr z D )
将信号按D因子抽取后再经过滤波器H(z),等价于将信号先经过滤波器 H(zD),再按D因子抽取
xD m xDm
其中，D为正整数
抽取后是否会丢失信息？ x(n)
↓D
xD (m)
为此分析序列xD (m) 与原序列 x(n)
之间的频谱关系
Amplitude
Amplitude
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
0 -0.5
-1 0
Input Sequence
5
10
15
20
25
30
Time index n
恒等变换2
x(n) ↑I
1 y1(m)
2 y2 (m )
1 ↑I x(n)
2 ↑I
y1 ( m ) y2 (m )
信号分别定标以后的插值等于它们各自插值后再分别定标
恒等变换3
x’(n)
x(n) z D ↓D
y(m)
x(n)
y’(m)
↓D
z 1
y2 (m )
证明：设 x '(n) x(n D) 则
Output sequence down-sampled by 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Time index n
x(n)
fs
xD (m)
fs / D
如果要采样不产生混叠，则 x(n) 的频率限制在 fs / 2 以内
以因子D进行抽取后不产生混叠的频率范围为 fs /(2D) 如果x(n)中含有大于 fs /(2D) 的频率分量
可以通过将D抽取与I插值结合来实现 为了保证不丢失信息，分数倍采样率转换应先插值后抽取
(a) x(n) f
I
S
H I (ej )
s(k) fS Ifs
H D (ej )
y(m) D
fS (I / D) fs
(b)
x(n)
I
H (ej )
D y(m)
|
H
(e
j
)
|
D
0
| | min[π / I , π / D]
Y (z) 1 D1
D r0
1
X (WDr z D )
Y2(z)
z1Y (z)
1 D
D1 r0
1
z
1
X