高一数学必修四-三角函数讲义全

专题四 三角函数一．基本知识点【1】角的基本概念（1）正角 负角 零角（2）角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z（3）与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z（4）弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭【2】三角函数的定义设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos xr α=，()tan 0yx x α=≠．【3】三角函数的基本关系()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【4】函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限()sin sin παα+=- ()cos cos παα+=- ()tan tan παα+= ()sin sin αα-=- ()cos cos αα-= ()tan tan αα-=- ()sin sin παα-= ()cos cos παα-=- ()tan tan παα-=-sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【5】常用三角函数公式（1）两角和与差的三角函数关系sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin ββαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=±（2）倍角公式sin2α=2sin α·cos α ααα2tan 1tan 22tan -= cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α（3）半角公式sin 2α22cos 1α-=cos 2α22cos 1α+=（4）辅助角公式()()sin cos 0a x b x x a θ+=+> (其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定) （5）特殊角的三角函数【6】三角函数的性质 （1）函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．（2）正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R2x k ππ≠+值域 []1,1-[]1,1-R最值周期性 2π2ππ奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴函数 性 质二．例题分析【例1】已知角α的终边经过点()03,4P --，求角α的正弦值，余弦值，正切值.【变式1】已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值 【变式2】已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值【变式3】已知sin 2cos αα=，（1） 求sin 4cos 5sin 2cos αααα-+（2） 求2sin sin 2αα+【变式4】（2012年）sin cos 1sin cos 2αα+=-，求tan2α的值【变式4】（2012年全国卷）已知α为第二象限角，且sin cos 3αα+=，则cos2α=A D 【变式5】（2012年卷）设tan α，tan β是方程x2-3x+2=0的两个根，则tan （α+β）的值为（ ） A ．-3 B-1 C 1 D3【例2】已知1sin cos 8αα⋅=，02πα<<，求sin cos αα+的值. 【变式1】已知3sin cos 8αα⋅=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值.【变式2】（2012年）已知sin cos2αα-=(),o απ∈则tan α的值是 ；sin2α的值 .【例3】（2008年理）已知⎪⎭⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . （1）求sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值 （2）求x sin 的值； （3）求⎪⎭⎫⎝⎛+32sin πx 的值.【变式1】已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （Ⅱ）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值。

【例4】已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()x R ∈ （1）求函数()f x 的周期、递增区间、递减区间 （2）求函数()f x 取得最大值时x 的集合 （3）求函数()f x 取得最小值时x 的集合【变式1】已知函数()2sin(),f x x x R ωϕ=+∈，其中0,,()f x ωπϕπ>-<≤若的最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，（1）求函数()f x 的表达式（2）求函数()f x 的递增区间和点减区间 （3）求函数()f x 取得最大值时x 的集合【变式2】（2011年和平区一模） 已知()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()()g x f x f x =⋅- （1）求2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g x 的最小正周期； （3）求函数()()11sin 224h x g x x =-+的最大值和()h x 取得最大值时x 的集合.【变式3】（2012年南开区一模）设函数()()()261222sin f x x x x R ππ=-+-∈（1）求()f x 的最小正周期；（2）求使得()f x 取得最大值时x 的集合 （3）若()20,πθ∈且()53f θ=，求cos4θ【例5】（2011年理）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

【变式1】（2007年理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．【变式2】（2012年和平区一模）设()()22sin cos f x x x x m m R =++∈（1）当x R ∈时，求()f x 的单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的最大值是6，数m 的值【变式3】（2012河西一模）已知平面点cos ,sin22x x A ⎛⎫⎪⎝⎭，点()1,1B ，OA OB OC +=，()2f x OC = （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当[],x ππ∈-时求函数()f x 的最大值和最小值，并求当()f x 取得最值时x 的取值【变式4】（2012年理）已知函数()2sin 2sin 22cos 133f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()x R ∈ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【例6】（2011年理） 已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．【变式1】求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域，周期和单调区间。