清华大学结构力学第7章位移法107.

分别分析杆AB和AC. 相对于杆AB和AC, A点分 别视为固定支座. 杆AB和AC分别受载荷和 支座位移作用.
基本未知量取为A点水平线位移和转角.
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结点位移是处于关键地位的未知量。
基本思路：
首先把刚架拆成杆件，进行杆件分析——杆件在已知 端点位移和已知荷载作用下的计算；
其次把杆件组合成刚架，利用平衡条件，建立位移法 基本方程，借以求出基本未知量。
上述方法既可用于超静定结构（n>3），又可用于静 定结构（n=2）。
位移法要点如下：
1.基本未知量是结构的结点位移 2.基本方程是平衡方程 3.建立基本方程的过程分为两步：a.离散结构，进行 杆件分析，得出杆件的刚度方程；b.组装结构，得到 基本方程。 4.杆件分析是结构分析的基础。（刚度法）
4
二．位移法计算刚架基本思路
6i 2i A 4i B l
1 ( M AB M BA ) l
此外，可得杆端剪力为
FQAB FQBA
即为:
FQAB FQBA
6i 6i 12i A B 2 l l l
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为紧凑起见，可写成矩阵形式
4i M AB M BA 2i F QAB 6i l 2i 4i 6i l 6i l A 6i B l 12i l2
M BA
6i 2i A l
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2)

MAB EI A i l
MAB
A
M AB
MAB i EI
B
A
A
EI i l
B
3i 3i A l
MAB
3)
MBA
A
l
A
B
A
EI i l
MBA
A
B
M AB i A M BA i A
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三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。 1. 两端固定梁 q
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3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
EI
MBA
A
A
B
EI i l
M AB i A
M BA i A
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4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
EI MBA A i l
MAB MAB
1)
A
B

A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
第七章 位移法
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 位移法的基本概念 等截面直杆的刚度方程 无侧移刚架和有侧移刚架的计算 位移法的基本体系 对称结构的计算
§7-1 位移法的基本概念
一、关于位移法的简例
只要求出结点B位移，各杆伸长变形即可求出。然 后进一步可以求出杆件内力
EAi 第一步，分析单杆 FNi ui li
EI i l B
M AB 4i A M BA 2i A
A

A
i
A
B
l B
MAB
M AB 2i B M BA 4i B
MBA
A
i
MAB
B
i
MBA
B
A
A
EI
B
l
B

A
B

9
M AB M BA
6i l
由上图可得：
M AB
M BA
6i 4i A 2i B l
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§7-2 等截面直杆的刚度方程
两个问题：已知端点位移下求杆端弯矩；已知荷
载作用下求固端弯矩。
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定顺时针方向为正， 逆时针方向为负。 杆端弯矩的双重身份：
B
C
MBC
MBA
MCB
A
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。 2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内 力，弯矩图仍画在受拉边。
（刚度方程）
2
第二步，组装结构
i Δ sin i 变形协调条件： u n 节点平衡条件： FNi sin i FP
i 1
(n 5)
即 于是得
EAi 2 sin i FP i 1 li
FP 5 EAi 2 sin i i 1 l i
3
5
基本未知量求出后，每根杆件的位移和轴力可求出。
ql 12 A
ql 2 24 l
M
F AB
2
ql 12 B
2
FPl 8 A
l/2
Fp F l 8 P B
FPl 8
M
l/2
Fp l 8
16
M
F BA
ql 2 12
M
F AB
F BA
2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
q
ql 8
2
A
ql 2 16
3FPl 16
Fp
5FPl 32
B
A
B
l
M
F AB
l/2
M
l/2
ql 2 8
F AB
3FP l 16
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3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql 2 3 A
l
M
M
F AB
FPl 2
Fp B
B A ql 2 6
l
F M AB
FPl 2
FP l 2
ql 2 3
ql 2 6
F BA
M
F BA
FP l 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。
以上就是弯曲杆件的刚度方程。 以上矩阵为刚度矩阵, 系数称为刚度系数, 该系 数只与截面尺寸和材料性质有关的常数, 称为形常 数.
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2. 一端固定、一端辊轴支座的梁
M AB
A
EI
B
M AB 3i A
A

A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
B

M AB
3i 3i A l
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2．结点转角 顺时针为正，逆时针为负。 Fp A B C 3．杆件两端相对侧移
D
B( )

C( )
杆件两端相对侧移△，其与弦转角β 的正负 号一致。而β以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。 l B A A B l
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二、等截面直杆的刚度方程
1. 两端固定梁
A
EI
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在既有荷载作用，又有端点位移情况下，
F M 4 i 2 i 6 i M A B AB AB l 杆端弯矩为： F M BA 2i A 4i B 6i M BA l
6i 6i 12i F F F A B QAB 2 杆端剪力为： QAB l l l 6i 6i 12i F FQBA A B 2 FQBA l l l