结构力学第07章位移法-1补(形常数载常数)
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结构力学-位移法
则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
结构力学 位移法
1
第七章 位移法
7-1 位移法的基本概念
2
求解超静定结构的两种最基本的方法：
力法 位移法
力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选 用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法
力法与位移法最基本的区别： 3
基本未知量不同
（位移法基本方程）
在(1)(2)条件成立条件下，基本结构 的内力和位移与原结构相同。
解位移法基本方程
结点位移 未知量
内力
适用范围：
6
力法: 超静定结构
位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
7
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
位移法的准备工作
力法：以多余未知力基本未知量
位移法：以某些结点位移基本未知量
力法和位移法的解题思路：
力法：
先求多余未知力
结构 内力
结构 位移
力法的解题过程
4
力法的全部计算均在基本结构上
原结构
超静定结构
确定基本未知量： 多余未知力Xi
基本结构
施加条件:
原结构的变形协调条件
（力法基本方程）
在变形条件成立条件下，基本体 系的内力和位移与原结构相同。
8
三种单跨超静定梁作为基本构件
常用的形常数：杆轴弦转角
9
三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.
1
A
B
+
−
i
i = EI 线刚度
l
M AB = i MBA = −i
第七章 位移法
7-1 位移法的基本概念
2
求解超静定结构的两种最基本的方法：
力法 位移法
力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选 用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法
力法与位移法最基本的区别： 3
基本未知量不同
（位移法基本方程）
在(1)(2)条件成立条件下，基本结构 的内力和位移与原结构相同。
解位移法基本方程
结点位移 未知量
内力
适用范围：
6
力法: 超静定结构
位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
7
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
位移法的准备工作
力法：以多余未知力基本未知量
位移法：以某些结点位移基本未知量
力法和位移法的解题思路：
力法：
先求多余未知力
结构 内力
结构 位移
力法的解题过程
4
力法的全部计算均在基本结构上
原结构
超静定结构
确定基本未知量： 多余未知力Xi
基本结构
施加条件:
原结构的变形协调条件
（力法基本方程）
在变形条件成立条件下，基本体 系的内力和位移与原结构相同。
8
三种单跨超静定梁作为基本构件
常用的形常数：杆轴弦转角
9
三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.
1
A
B
+
−
i
i = EI 线刚度
l
M AB = i MBA = −i
结构力学第七章-位移法(一)
由 M B = 0 同理可得，
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：
一端固端一端铰支的等截面直杆：
B端角位移不独立。
C
B A
AB：一端固定一端定向滑动 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：两端固定 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形，AB 不能转动，无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
结构力学课件--7位移法1资料教程
梁 MBC4B2C41.741.1524.8941.746.9kNm
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
..............................................
柱 MBE443B3B31.153.45kNm
MCF412C2C2(4.89)9.8kNm
43.5 46.9
24.5 14.7
A
3.45 B
Q
F BA
B
D
i1
q
i
i
A
C
其中
x 0 Q B A Q D C 0
QBAl32i
3ql 8
3i QDC l 2
6i l2
3ql 8
0
ql 3 16 i
QBA q
QDC
绘制弯矩图的方法：
（1）直接由外荷载及剪力计算；
（2）由转角位移方程计算。
课件
例：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
MBA4iB15 MBC3iB9
4、位移法基本方程（平衡条件） 5、各杆端弯矩及弯矩图
MB 0
MBAMBC 0
4iB 153iB 90
B
6 7i
16.72
11.57
M AB 2i7 6i1 51.7 6k2N m
M BA 4i7 6i1 51.5 1k7N m M BC 3i7 6i91.5 1k7N m
A31iMAB61iMBA
7
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
位移法--形常数、载常数
M AC
4iq A
PL 8
3 56
PL
＝
M CA
2iq A
PL 8
9 56
PL
＋
M AB
3iq A
3 56
PL
M BA 0
qA
PL 56i
第 八 章 位移法
§8-1 位移法的概念
位移法要点: 一、基本未知量： 位移
结点线位移和结点角位移
二、基本结构：无结点位移的结构
特殊的单根杆
三、基本方程： 平衡方程
P
P
由位移连续条件： 1 sin1
2 2
2
N1 k11
EA L1EA 2L
N2
由平衡条件：
N1 sin1 N2 sin2＝P
EA 2L
22 2
回代： N1 N2
2P 2
2L P EA
第 八 章 位移法
§8-1 位移法的概念
P
i sini
Ni kii
EA Li
sini ki sini
由平衡条件： Ni sini＝P ki sin2i
ki
P
sin2 i
回代：
Ni
ki sini
kisin2 i
P
第 八 章 位移法
§8-1 位移法的概念
基本思路:
拆 1. 各杆内力由结点位移(未知)表示
合 2. 建立内力与荷载之间平衡方程
3. 解方程,求位移 4. 回代求各杆内力
弯矩：
杆端——顺时针为正 结点——逆时针为正
当结点上有荷载时,仍以顺时针为正
第 八 章 位移法
§8-2 等截面直杆的转角位移方程
2. 杆端力与杆端位移的关系 ——刚度方程 即：由杆端位移求杆端力 以下讨论中，杆长均为Ｌ，EI为常数
第七章 位移法(结构力学)
4m
用位移法计算并作图示结构M图，横梁 为无穷刚梁EI→∞，两柱刚度均为EI
7.5
典型方程法
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
位移法典型方程
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q C
F1
q C
A l
βA EI=常数
A θA
F1=0
A A
B
A A A A
F1 0 F1 0
B l
基本体系 转化为原结构的 条件：基本结构 在给定荷载以及 结点位移∆1作用 下，附加约束反 力应等于零。
M AB
A
EI
B
M AB 3i A
A
A
A
i
B
l EI i l
A
M AB
i
3i l
B
M AB
3i 3i A l
3). 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
EI
MBA
A
A
B
EI i l
M AB i A
M BA i A
4). 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
EI MBA A i l
MAB MAB
1) A
B
A
EI MBA A i l
B
M AB
6i 4i A l
M BA
6i 2i A l
单位杆端位移引起的杆端内力称为形常数. i=EI/l----线刚度
2.由荷载求固端弯矩（载常数教材表8-1）
荷载引起的杆端内力称为载常数.
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； • 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； • 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
结构力学-7 位移法1
第一种梁（两端固定）：
MAFB,
MBFA,
FF QBA
第二种梁（另一端铰支）：
MF AB
MAFB12MBFA
13
第二、三种梁的固端弯矩与第一种梁固端内力的关系
第一种梁（两端固定）：
MAFB,
MBFA,
FF QBA
第三种梁（另一端滑动）：
MF AB
MAFB
2l FQFBA
MF BA
MBFA2l FQFBA
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
由杆端位移求杆端力，变换上 面的式子可得转角位移方程：
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
q
EI l q
EI l
mABq82l
Q BA
mBA
Q BA
mBA
ql 2 8
Q AB
5 8
ql
Q BA
3 ql 8
Q AB
3 8
ql
Q BA
5 ql 8
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
MAB
4iA
14
Q A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 6 (2 )
方法二：用力法求解单跨超静定梁
Δ
11X112X21CA 21X122X22CB
θA
X1
θB
X2
结构力学
因 B 0, QAB QBA 0 EI l MBA
1 A 代入（2）式可得 l 2
M AB i A M BA i A
A
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数(即刚度系数， 是只与截面尺寸和材料性质有关的常数)。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
关于刚架的结点未知量
A P C
q
B A
A
A
B
M AB
A
P C
M AB
A
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
θA
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
ql2/12
2 EI A l
A l
βA EI=常数
C
A
C
F1=0
ql2/48
2
2 EI A l
B
2 EI A l
4i
2 EI A l
B
ql3 A 96EI
4 EI θA A l
§2 等截面杆件的刚度方程
杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角θA、θB ，弦转角β＝Δ/l都以顺时针为正。 ②杆端力的表示方法和正负号的规定 1、弯矩：MAB表示AB杆A端的弯矩。对杆端而言，顺时针为 正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。 P B A MBA0 MAB0 2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同前。 P B A QAB0 QBA0
A A
A A F1 0 A A F1 0