《结构力学》龙驭球第7章_位移法2
结构力学 7.位移法
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
结构力学第七章-位移法(一)
由 M B = 0 同理可得，
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：
一端固端一端铰支的等截面直杆：
B端角位移不独立。
C
B A
AB：一端固定一端定向滑动 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：两端固定 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形，AB 不能转动，无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
结构力学第七章位移法
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案 (2)
第七章 矩阵位移法一、就是非题1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间得关系。
2、单元刚度矩阵均具有对称性与奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间得坐标变换矩阵T 就是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间得关系。
5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。
6、结 构 刚 度 矩 阵 就是 对 称 矩 阵 ,即 有K i j = K j i ,这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。
7、结构刚度方程矩阵形式为:,它就是整个结构所应满足得变形条件。
8、在直接刚度法得先处理法中,定位向量得物理意义就是变形连续条件与位移边界条件。
9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力得代数与。
10、矩阵位移法中,等效结点荷载得“等效原则”就是指与非结点荷载得结点位移相等。
11、矩阵位移法既能计算超静定结构,也能计算静定结构。
二、选择题1、已知图示刚架各杆EI = 常数,当只考虑弯曲变形,且各杆单元类型相同时,采用先处理法进行结点位移编号,其正确编号就是:(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.21341234123412342、平面杆件结构一般情况下得单元刚度矩阵,就其性质而言,就是:A.非对称、奇异矩阵;B.对称、奇异矩阵;C.对称、非奇异矩阵;D.非对称、非奇异矩阵。
3、单元i j 在图示两种坐标系中得刚度矩阵相比:A.完全相同;B.第2、3、5、6行(列)等值异号;C.第2、5行(列)等值异号;D.第3、6行(列)等值异号。
4、矩阵位移法中,结构得原始刚度方程就是表示下列两组量值之间得相互关系:A.杆端力与结点位移;B.杆端力与结点力;C.结点力与结点位移;D.结点位移与杆端力。
第7章 位移法(龙驭球7.3-7.4)
§7–3 无侧移刚架的计算如果刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移，这种刚架叫做无侧移刚架。
连续梁的计算也属于无侧移问题。
小结：位移法的基本作法是先拆散，后组装。
组装的原则有二：首先，在结点处各个杆件的变形要协调一致；其次，装配好的结点要满足平衡条件。
例7-1 作图示刚架弯矩图。
§7–4 有侧移刚架的计算刚架分为无侧移和有侧移两类。
有侧移刚架除有结点转角外，还有结点线位移。
计算有侧移刚架的基本思路与无侧移相同，具体做法上增加了一些新内容：（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的方程。
1 基本未知量的选取结点角位移：刚结点、刚绞结点的刚结点部分。
结点线位移：位移法中忽略轴力对变形的影响。
如何确定独立线位移？观察法只有一个线位移，只有一个线位移，有两个线位移，全部未知量有两个全部未知量有一个全部未知量有三个铰结体系法原结构的独立结点线位移的数目=铰结体系的自由度数=为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数。
小结：1、用位移法计算有侧移刚架时，基本未知量包括结点转角和独立结点线位移。
2、结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的数目等于铰结体系的自由度的数目。
3、在选取基本未知量时，由于既保证了刚结点处各杆杆端转角彼此相等，又保证了各杆杆端距离保持不变，满足变形连续条件。
小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。
基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。
平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部基本未知量。
例7-2 作图示刚架弯矩图。
忽略横梁的轴向变形。
例7-3 作图示刚架内力图。
2．由荷载求固端弯矩2．由荷载求固端弯矩2．由荷载求固端弯矩载常数：荷载作用下的固端弯矩和固端剪力。
三种基本杆件（1）两端固定的梁；（2）一端固定、另一端简支的梁； （3）一端固定、另一端滑动支承的梁。
结构力学-第7章-位移法
第7 章位移法一.教学目的掌握位移法的基本概念；正确的判断位移法基本未知量的个数；熟悉等截面杆件的转角位移方程；熟练掌握用位移法计算荷载作用下的刚架的方法了解位移法基本体系与典型方程的物理概念和解法。
二.主要章节§7-1 位移法的基本概念§7-2 杆件单元的形常数和载常数—位移法的前期工作§7-3 位移法解无侧移刚架§7-4 位移法解有侧移刚架§7-5 位移法的基本体系§7-6 对称结构的计算＊§ 7-7 支座位移和温度改变时的位移法分析（选学内容）§7-8 小结§7-9 思考与讨论三.学习指导位移法解超静定结构的基础是确定结构的基本未知量以及各个杆件的转角位移方程，它不仅可以解超静定结构，同时还可以求解静定结构，另外，要注意杆端弯矩的正负号有新规定。
四.参考资料《结构力学（I）基本教程第3版》P224〜P257第六章我们学习了力法，力法和位移法是计算超静定结构的两个基本方法，力法发展较早，位移法稍晚一些。
力法把结构的多余力作为基本未知量，将超静定结构转变为将定结构，按照位移条件建立力法方程求解的；而我们今天开始学的这一章位移法则是以结构的某些位移作为未知量，先设法求出他们，在据以求出结构的内力和其他位移。
由位移法的基本原理可以衍生出其他几种在工程实际中应用十分普遍的计算方法，例如力矩分配法和迭代法等。
因此学习本章内容，不仅为了掌握位移法的基本原理，还未以后学习其他的计算方法打下良好的基础。
此外，应用微机计算所用的直接刚度法也是由位移法而来的，所以本章的内容也是学习电算应用的一个基础。
本章讨论位移法的原理和应用位移法计算刚架，取刚架的结点位移做为基本未知量，由结点的平衡条件建立位移法方程。
位移法方程有两种表现形式：①直接写平衡返程的形式（便于了解和计算）②基本体系典型方程的形式（利于与力法及后面的计算机计算为基础的矩阵位移法相对比，加深理解）§ 7-1位移法的基本概念1.关于位移法的简例为了具体的了解位移法的基本思路，我们先看一个简单的桁架的例子:课本P225。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(中册)-第七章【圣才出品】
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（b）如图 7-2-3 所示。
图 7-2-2
图 7-2-3 ①当α≠0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，C、E 点有两个 水平位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、ΔG、ΔC、ΔE。 ②当α＝0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，CDE 有水平位 移，D 点有竖向位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、Δ G、ΔC、ΔVD。 （c）如图 7-2-4 所示。 ①当不考虑轴向变形时，结点 A、B、C 有转角，整体有一个水平位移，所以基本未知 量有 4 个，分别是θA、θB、θC、Δ。
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②当考虑轴向变形时，A、B、C 三个结点都有独立的转角、竖向位移、水平位移，所 以基本未知量有 9 个，分别是θA、θB、θC、ΔA、ΔB、ΔC、ΔVA、ΔVB、ΔVC。
图 7-2-4 （d）如图 7-2-5 所示。 ①当α≠0 时，结点 B、C 有转角，D 结点有独立的竖向位移，所以基本未知量有θA、θ B、ΔV。 ②当α＝0 时，结点 B、C 有转角，虽然 D 结点有位移，但不是独立的，所以基本未知 量有θA、θB。
图 7-1-8 反对称荷载作用下奇数跨对称结构的半结构选取方法 图 7-1-9 对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法
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图 7-1-10 反对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法 7.2 课后习题详解
《结构力学习题集》(下)-矩阵位移法习题及答案 (2)
第七章 矩阵位移法一、是非题1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。
2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。
3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。
4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。
5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。
6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。
7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应满足的变形条件。
?8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。
9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。
10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。
11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。
二、选择题1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.21341234123412342、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66⨯，就其性质而言，是：A ．非对称、奇异矩阵；B ．对称、奇异矩阵；C ．对称、非奇异矩阵；D ．非对称、非奇异矩阵。
—3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：A ．完全相同；B ．第2、3、5、6行(列)等值异号；C ．第2、5行(列)等值异号；D ．第3、6行(列)等值异号。
jxi4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力 。
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例7-1、试用位移法分析图示刚架。
q=20 kN/m
A 4I0 B E 5I0 C 4I0 D 4m
⑴ 基本未知量 B 、 C ⑵ 杆端弯矩Mi j ql 2 20 42 F M BA 40kNm 8 8 ql 2 F M BC 41.7kNm 12
F MCB 41.7kNm
座的侧移不作为基本未知量）。
⑵ 杆件刚度（转角位移）方程中要考虑线位移的影响。 ⑶ 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。
1、基本未知量的选取
结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法的结点角位移数。 结构独立线位移： 为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设： ⑴ 忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；
3i F M AB M AB h 3i M CD h
⑶ 位移法方程及求解：
3i F M AB l 3i qh2 h 8
q
h
FQBA
x 0
FQBA
求剪力的通用公式：
FQAB
M AB M BA 0 FQAB l
FQBA FQDC 1.5qh 0 3i 3i 3 2 qh FQDC 2 h 8 h
M BA M BC M BE 0 M CB M CD M CF 0
10 B 2 C 1.7 0 2 B 9 C 41.7 0
⑷ 解方程 3i M F 3 40 M CB 4 C 2 B 41.7 M BA AB B BA B 梁 B 1.15 C 4.89 (相对值)
M BC 4 B 2 C 41.7
M BE 4 M EB 3 B 3 B 4 3 2 B 1.5 B 4
M CD 3 C
M CF 4 1 C 2 C 2 1 2 C C 2
柱
M FC
⑶ 位移法方程
MB 0 MC 0
h1
I2
D
h2
I3
F
⑶ 位移法方程
E C FP A FQCD
x 0
FP FQ1 FQ2 FQ3 0
FQEF
i3 i1 i2 FP 3( 2 2 2 ) 0 h1 h2 h3 FP FP i3 i i1 i2 3( 2 2 2 ) 3 2 h h1 h2 h3
§7-3 无侧移刚架的计算
如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
FP=20kN B A 3m EI 3m B B
q=2kN/m
B 6m C
1、基本未知量B
2、固端弯矩 F l 20 6 F M BA P 15kN m 8 8
F M AB 15kN m
FQAB
EI 6i B 3i 3 4 FQBA 杆端弯矩作用的剪力 6 1.5i B 0.75i l F'
⑷ 解位移法方程：
10i B 1.5i 4 0 (1) 6i B 3.75i 24 0 (2)
⑸ 求杆端弯矩，作弯矩图。 M AB 2i B 1.5i 4 0.737 7.58 -13.896 kN· i m 1.5 4 = 2i i i MBA = - 4.422 kN· m MBC = 4.422 kN· m MDC = -5.685 kN· m 13.896
M BC 4 B 2 C 41.7
M CD 3 C
⑸ 杆端弯矩及弯矩图 3 1 M CF 4 C 2 C M BE 4 B 3 B 4 kN 柱 M BA 3iAB B mBA 3 B 40 3 1.15 40 43.52 m M BC B 3 C 41.7 B 1.15 2 M FC 41.7 46.9kN m 4.89 2 1 C C M EB 4 2 2 B 1.5 4 2 4 3 43.5 46.9 24.5 14.7 M BE 4 4 B 3.45kN m D A B C 9.8 M 4 1 9.8kN m C 3.45 CF 2 1.7
E M 图（kN m）
4.89 F
小
结
1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程； 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础； 3、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。 P q M q C M MCB MCD
侧移刚架的计算
刚架中除有刚结点转角外，还有结点线位移，称为有侧移刚架。 计算的思路与无侧移刚架基本相同，但在具体作法上增加一些新内容： ⑴ 基本未知量中，包括结点线位移（铰结点、铰支座的转角，定向支
3I0
F
3I0
2m 4m
4m
5m
i AB
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
计算线性刚度i，设EI 0=1，则
iBC 1, iCD 1, iBE
3 1 , iCF 4 2
梁
F M BA 3iAB B M BA 3B 40
M CB 4 C 2 B 41.7
6i F M AB l
M AB 2iB 1.5i 4
⑶ 位移法方程： MBC B MBA B FQBA
M BA 4iB 1.5i 4
M DC 0.75i
MB 0
M BA M BC 0 (1a) 10i B 1.5i 4 0 ( 1 )
例7-2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。 解：⑴ 基本未知量： ⑵ 各柱的杆端弯矩和剪力： 各柱的线刚度： FP A EI 3 EI 2 EI1 i2 i3 i1 h2 h3 h1 I1 M BA 3i1 , M DC 3i2 , M FE 3i3 h1 h2 h3 B FQAB 3i1 2 , FQCD 3i2 2 , FQEF 3i3 2 h2 h3 h1 C E
C FQCD
Fx 0
FQBA FQCD 0 (2a)
6i 3.75i 24 0 ( 2 )
MBA
B 如何求杆端剪力? M M BA 0 求剪力的通用公式： FQAB AB FQAB l MBA MAB q MAB MBA FQBA
q=3kN/m
M FE
FQEF
i3 h3 i h2 i FP 32 h3 i h2 FP
⑸ 根据杆端弯矩作M图。 剪力分配法 ⑹ 讨论：
各柱柱顶剪力 FQ 与
架柱的侧移刚度) 成正比。根据这一 性质，可用下述方法求排架的内力：
( 称为排 h2
FP
结点荷载FP 作为各柱总剪力，按各柱 的侧移刚度的比例分配给各柱，得各 柱剪力，即可作出弯矩图。
0.737 B i
B 4.422 4.422
7.58 i
C
A B
5.685 M图（kN· m） 1.42 0.553
D
⑹ 求杆端剪力，作剪力图。 M M BA 0 FQAB AB FQAB l 13.9 4.42 3 4 4.58 6 10.58kN 4 2 FQBA 4.58 6 1.42kN
FQAB
h3
⑷ 杆端弯矩和剪力：
FP i 3 2 h
M BA 3i1
, FQAB 3i1 2 , h1 h1
M BA
FQAB
i1 h1 , i h2 i FP 12 h1 , i h2 FP
M DC
FQCD
i2 h2 , i h2 i FP 22 h2 , i h2 FP
M BC
6 3i 9 11.57kN m 7i
16.72 11.57 30
M 图（kN m）
9
3.21
15.85
位移法的基本作法：先拆散，后组装。 组装的原则：
① 在结点处各杆件的变形协调一致（变形连续条件）
② 组装好的结点要满足平衡条件，列出位移法基本方程。
⑵ 变形后的曲杆长度与其弦等长。 上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
如何确定结构的独立线位移?
① 用观察的方法判定：
C
C
D
D
2
1
A
B
② 用几何构造分析的方法确定： 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系 的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余 联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位
MBA
MDC M图
MFE
B
i1
D
练习2：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的变形。 解：⑴ 基本未知量： ⑵ 单元分析： M AB 4i A 2i B 6i h
i
A
i
C
B FQBA
D FQDC
qh 2 M AB 6i M BA h 12 M CD 6i M DC h
FQCD
C 1.42
10.58 5.685 0 1.42kN 4
A
FQ图（kN）
D
1.42
F=1.5qh B i
A
i1
D
练习1：作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。 解：⑴ 基本未知量：Δ ⑵ 单元分析： M AB 3i A
i
C
F =1.5qh B
D FQDC
移数。
2、基本方程的建立
用位移法分析图示刚架： 2i B C q=3kN/m i i 4m MBC B MBA q=3kN/m C