第二讲 数据的分布及其总体参数的估计
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用样本频率分布估计总体分布第二课
大家好
1
用样本的频率分布估计 总体分布(二)
2
回顾
画一组数据的频率分布直方图,可以按以下的 步骤进行:
一、求极差，即数据中最大值与最小值的差 二、决定组距与组数 ：组距=极差/组数 三、分组,通常对组内数值所在区间，
取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 四、登记频数,计算频率,列出频率分布表
五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距）
7
新课讲解
频率分布折线图
频率/组距
0.50
0.40 0.30 0.20 0.10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t
连接频率直方图中各小长方形上端中点的折线，叫 频率分布折线图
8
当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那 么频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线
0.00047 0
0.00033 0.0002
频率/组距 0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
26
750 1050 1350
16510
1950 2250 2550
理论迁移
例 某地区为了了解知识分子的年龄结构， 随机抽样50名，其年龄分别如下：
42，38，29，36，41，43，54，43，34，44， 40，59，39，42，44，50，37，44，45，29， 48，45，53，48，37，28，46，50，37，44， 42，39，51，52，62，47，59，46，45，67， 53，49，65，47，54，63，57，43，46，58. (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例 约是多少.
1
用样本的频率分布估计 总体分布(二)
2
回顾
画一组数据的频率分布直方图,可以按以下的 步骤进行:
一、求极差，即数据中最大值与最小值的差 二、决定组距与组数 ：组距=极差/组数 三、分组,通常对组内数值所在区间，
取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间 四、登记频数,计算频率,列出频率分布表
五、画出频率分布直方图（纵轴表示频率／组距）
7
新课讲解
频率分布折线图
频率/组距
0.50
0.40 0.30 0.20 0.10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量/t
连接频率直方图中各小长方形上端中点的折线，叫 频率分布折线图
8
当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那 么频率分布折线图就会无限接近一条光滑曲线
0.00047 0
0.00033 0.0002
频率/组距 0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
26
750 1050 1350
16510
1950 2250 2550
理论迁移
例 某地区为了了解知识分子的年龄结构， 随机抽样50名，其年龄分别如下：
42，38，29，36，41，43，54，43，34，44， 40，59，39，42，44，50，37，44，45，29， 48，45，53，48，37，28，46，50，37，44， 42，39，51，52，62，47，59，46，45，67， 53，49，65，47，54，63，57，43，46，58. (1)列出样本频率分布表； (2)画出频率分布直方图； (3)估计年龄在32～52岁的知识分子所占的比例 约是多少.
高中数学：22《总体分布的估计》课件必修
。
大样本的总体分布近似其他分布
其他分布
除了正态分布，大样本的总体分布还 可以近似其他类型的分布，如t分布、 卡方分布和F分布等。这些分布在统计 学中也非常重要，特别是在小样本或 非正态总体的情况下。
近似方法
近似其他分布的方法通常涉及到对样 本统计量进行适当的变换或使用适当 的估计量。这些方法有助于在非正态 总体或小样本情况下获得更准确的统 计推断结果。
04
小样本的总体分布
小样本的定义和性质
定义
小样本是指从总体中随机抽取的 一部分个体，其数量相对较少。
性质
小样本具有代表性、随机性和独 立性，可以用来估计总体的分布 和特征。
小样本的总体分布的估计方法
03
频数分布表法
直方图法
经验分布函数法
将小样本数据按照一定标准进行分类，统 计各类别的频数和频率，从而估计总体分 布。
以某品牌电视机的使用寿命为例，随机抽取20台电视机作为小样本 ，通过计算平均寿命和标准差等统计量来估计该品牌电视机的总体分 布。
05
总体分布的检验
拟合优度检验
总结词
拟合优度检验用于评估样本数据与理论分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的拟合程度，判断样本数据是否符合预期的分布形态。
详细描述
拟合优度检验通过比较样本数据的频数与理论分布的预期频数，计算两者之间的差异程度，常用的方法有卡方检 验、柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验等。这些方法可以帮助我们判断样本数据是否符合正态分布、泊松分布等理 论分布。
独立性检验
总结词
独立性检验用于判断两个分类变量是否 独立，即一个变量的取值是否不受另一 个变量的影响。
VS
详细描述
独立性检验通过比较观察到的频数与期望 频数，计算两者之间的差异程度，常用的 方法有卡方检验、Fisher's exact test等 。这些方法可以帮助我们判断两个分类变 量是否相互独立，从而为进一步的数据分 析和建模提供依据。
大样本的总体分布近似其他分布
其他分布
除了正态分布，大样本的总体分布还 可以近似其他类型的分布，如t分布、 卡方分布和F分布等。这些分布在统计 学中也非常重要，特别是在小样本或 非正态总体的情况下。
近似方法
近似其他分布的方法通常涉及到对样 本统计量进行适当的变换或使用适当 的估计量。这些方法有助于在非正态 总体或小样本情况下获得更准确的统 计推断结果。
04
小样本的总体分布
小样本的定义和性质
定义
小样本是指从总体中随机抽取的 一部分个体，其数量相对较少。
性质
小样本具有代表性、随机性和独 立性，可以用来估计总体的分布 和特征。
小样本的总体分布的估计方法
03
频数分布表法
直方图法
经验分布函数法
将小样本数据按照一定标准进行分类，统 计各类别的频数和频率，从而估计总体分 布。
以某品牌电视机的使用寿命为例，随机抽取20台电视机作为小样本 ，通过计算平均寿命和标准差等统计量来估计该品牌电视机的总体分 布。
05
总体分布的检验
拟合优度检验
总结词
拟合优度检验用于评估样本数据与理论分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的拟合程度，判断样本数据是否符合预期的分布形态。
详细描述
拟合优度检验通过比较样本数据的频数与理论分布的预期频数，计算两者之间的差异程度，常用的方法有卡方检 验、柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验等。这些方法可以帮助我们判断样本数据是否符合正态分布、泊松分布等理 论分布。
独立性检验
总结词
独立性检验用于判断两个分类变量是否 独立，即一个变量的取值是否不受另一 个变量的影响。
VS
详细描述
独立性检验通过比较观察到的频数与期望 频数，计算两者之间的差异程度，常用的 方法有卡方检验、Fisher's exact test等 。这些方法可以帮助我们判断两个分类变 量是否相互独立，从而为进一步的数据分 析和建模提供依据。
样本数据分布与总体参数估计
样本数据分布与总体参数估计
目录
• 样本数据分布 • 总体参数估计 • 样本数据分布与总体参数估计的关系 • 样本数据分布与总体参数估计的实例分析 • 总结与展望
01 样本数据分布
样本数据的来源与收集
01
02
03
04
抽样调查
通过随机抽样的方式从目标总 体中选取部分个体进行调查，
以获取样本数据。
实验数据
• 在算法和计算方面，需要进一步研究和改进现有的估计方法和算法，以提高计 算效率和准确性。同时，需要开发更加智能、自动化的数据处理和分析工具， 以适应大规模数据的处理需求。
• 在应用领域方面，需要将相关理论和方法应用于更多的实际问题中，如金融、 医疗、环境监测等领域。通过实际应用，可以进一步检验和改进相关理论和方 法，促进其发展和完善。
• 在实际应用中，总体参数的估计需要考虑样本量、数据分布、误差项等因素的 影响。同时，为了提高估计的准确性和可靠性，可以采用一些统计方法和技术 ，如贝叶斯推断、Bootstrap方法等。
展望
• 随着大数据时代的到来，样本数据分布与总体参数估计的研究和应用越来越受 到关注。未来，需要进一步研究如何处理大规模、高维度的数据，如何提高估 计的准确性和效率，以及如何将相关理论和方法应用于实际问题中。
在实验条件下，对实验对象进 行观察和测量，收集实验数据
。
观测数据
通过长期观察和记录收集的数 据，如气象观测、天文观测等
。
公开数据
从政府机构、企业、社会组织 等公开的数据源获取数据。
样本数据的描述性统计
频数分布
统计每个数据值的出现次数， 形成频数分布表。
集中趋势
描述数据集中趋势的统计量， 如平均数、中位数、众数等。
目录
• 样本数据分布 • 总体参数估计 • 样本数据分布与总体参数估计的关系 • 样本数据分布与总体参数估计的实例分析 • 总结与展望
01 样本数据分布
样本数据的来源与收集
01
02
03
04
抽样调查
通过随机抽样的方式从目标总 体中选取部分个体进行调查，
以获取样本数据。
实验数据
• 在算法和计算方面，需要进一步研究和改进现有的估计方法和算法，以提高计 算效率和准确性。同时，需要开发更加智能、自动化的数据处理和分析工具， 以适应大规模数据的处理需求。
• 在应用领域方面，需要将相关理论和方法应用于更多的实际问题中，如金融、 医疗、环境监测等领域。通过实际应用，可以进一步检验和改进相关理论和方 法，促进其发展和完善。
• 在实际应用中，总体参数的估计需要考虑样本量、数据分布、误差项等因素的 影响。同时，为了提高估计的准确性和可靠性，可以采用一些统计方法和技术 ，如贝叶斯推断、Bootstrap方法等。
展望
• 随着大数据时代的到来，样本数据分布与总体参数估计的研究和应用越来越受 到关注。未来，需要进一步研究如何处理大规模、高维度的数据，如何提高估 计的准确性和效率，以及如何将相关理论和方法应用于实际问题中。
在实验条件下，对实验对象进 行观察和测量，收集实验数据
。
观测数据
通过长期观察和记录收集的数 据，如气象观测、天文观测等
。
公开数据
从政府机构、企业、社会组织 等公开的数据源获取数据。
样本数据的描述性统计
频数分布
统计每个数据值的出现次数， 形成频数分布表。
集中趋势
描述数据集中趋势的统计量， 如平均数、中位数、众数等。
统计学--参数估计 ppt课件
误差是Δ，即：
PPT课件
5
• 极限误差是根据研究对象的变异程度和分析任务的性质来 确定的在一定概率下的允许误差范围。
• 参数估计的两个要求：
– 精度：估计误差的最大范围，通过极限误差来反映。显然，Δ越小， 估计的精度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。极限误差的 确定要以实际需要为基本标准。
• 3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不 按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最小整数代 替。例如计算得到：n=56.03，那么，样本容量取57， 而不是56。
PPT课件
32
例：对某批木材进行检验，根据以往经验，木材长度的标准 差为0.4米，而合格率为90%。现采用重复抽样方式，要 求在95.45%的概率保证程度下，木材平均长度的极限误 差不超过0.08米，抽样合格率的极限误差不超过5%，问 必要的样本单位数应该是多少？
PPT课件
22
总体成数估计区间估计总结
• 总体成数估计区间的上下限
只考虑大样本情况（请记住大样本条件）
P1 P
P z 2
n
P1 P N n
P z 2
n
N 1
PPT课件
23
对总量指标的区间估计
• 在对总体平均数进行区间估计的基础 上，可进一步推断相应的总量指标， 即用总体单位总数N分别乘以总体平均 数的区间下限和区间上限，便得到相 应总量（Nμ）的区间范围。
P
91 100
91%
P
p(1 n
p)
(总体成数未知,用样本成数代替)
P(1 n
P)
2.86%
F(z) 95%,z 1.96 zP 1.962.86%5.61%
PPT课件
5
• 极限误差是根据研究对象的变异程度和分析任务的性质来 确定的在一定概率下的允许误差范围。
• 参数估计的两个要求：
– 精度：估计误差的最大范围，通过极限误差来反映。显然，Δ越小， 估计的精度要求越高，Δ越大，估计的精度要求越低。极限误差的 确定要以实际需要为基本标准。
• 3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本容量不 按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最小整数代 替。例如计算得到：n=56.03，那么，样本容量取57， 而不是56。
PPT课件
32
例：对某批木材进行检验，根据以往经验，木材长度的标准 差为0.4米，而合格率为90%。现采用重复抽样方式，要 求在95.45%的概率保证程度下，木材平均长度的极限误 差不超过0.08米，抽样合格率的极限误差不超过5%，问 必要的样本单位数应该是多少？
PPT课件
22
总体成数估计区间估计总结
• 总体成数估计区间的上下限
只考虑大样本情况（请记住大样本条件）
P1 P
P z 2
n
P1 P N n
P z 2
n
N 1
PPT课件
23
对总量指标的区间估计
• 在对总体平均数进行区间估计的基础 上，可进一步推断相应的总量指标， 即用总体单位总数N分别乘以总体平均 数的区间下限和区间上限，便得到相 应总量（Nμ）的区间范围。
P
91 100
91%
P
p(1 n
p)
(总体成数未知,用样本成数代替)
P(1 n
P)
2.86%
F(z) 95%,z 1.96 zP 1.962.86%5.61%
人教版高中数学第二章第2节 用样本的频率分布估计总体分布 (共18张PPT)教育课件
［15.5, 18.5） 8 ［18.5, 21.5） 9 ［21.5, 24.5） 11
［24.5, 27.5） 10 ［27.5, 30.5） 5 ［30.5, 33.5） 4
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5） 的百分比是多少?
• • 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆那 样寻 常， 让得失 利弊 犹如花 开花 谢那 样自然 ，不 计较， 也不 刻意执 着；让 生命 中各 种的喜 怒哀 乐，就 像风 儿一 样，来 了， 不管是 清风 拂面 ，还是 寒风 凛冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦然 的接 受命 运的馈 赠， 把是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
［24.5, 27.5） 10 ［27.5, 30.5） 5 ［30.5, 33.5） 4
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)根据频率分布直方图估计,数据落在[15.5, 24.5） 的百分比是多少?
• • 在当今社会，大家都生活得匆匆忙忙， 比房子 、比车 子、比 票子、 比小孩 的教育 、比工 作，往 往被压 得喘不 过气来 。而另 外总有 一些人 会运用 自己的 心智去 分辨哪 些快乐 或者幸 福是必 须建立 在比较 的基础 上的， 而哪些 快乐和 幸福是 无需比 较同样 可以获 得的， 然后把 时间花 在寻找 甚至制 造那些 无需比 较就可 以获得 的幸福 和快乐 ，然后 无怨无 悔地生 活，尽 情欢乐 。一位 清洁阿 姨感觉 到快乐 和幸福 ，因为 她刚刚 通过自 己的双 手还给 路人一 条清洁 的街道 ；一位 幼儿园 老师感 觉到快 乐和幸 福，因 为他刚 给一群 孩子讲 清楚了 吃饭前 要洗手 的道理 ；一位 外科医 生感觉 到幸福 和快乐 ，因为 他刚刚 从死神 手里抢 回了一 条人命 ；一位 母亲感 觉到幸 福和快 乐，因 为他正 坐在孩 子的床 边，孩 子睡梦 中的脸 庞是那 么的安 静美丽 ，那么 令人爱 怜。。 。。。 。
凡 事都 是多棱 镜， 不同 的角 度会
凡 事都是 多棱 镜， 不同 的角度 会看 到不 同的 结果 。若 能把一 些事 看淡 了， 就会 有个好 心境 ，若 把很 多事 看开 了 ，就会 有个 好心 情。 让聚散 离合 犹如 月缺 月圆那 样寻 常， 让得失 利弊 犹如花 开花 谢那 样自然 ，不 计较， 也不 刻意执 着；让 生命 中各 种的喜 怒哀 乐，就 像风 儿一 样，来 了， 不管是 清风 拂面 ，还是 寒风 凛冽， 都报 以自 然 的微笑 ，坦然 的接 受命 运的馈 赠， 把是非 曲折 ，都 当作是 人生 的
2样本数据分布与总体参数估计
已知在某一选拔性考试中，有20%的人被选中，如果考 试的分数符合正态分布，问Z分数大于多少的人会被选中？如 果分数分布的平均数是50，标准差是10，则分数线是多少？
已知Z分数可查概率 分数可查概率： ② 已知 分数可查概率： Z→P
在某一年的律师资格考试中，律师资格审查委员会认为， 只要Z分数大于2.5（已知考试分数的分布符合正态分布，平 均分为80分，标准差为6分）就授予律师资格，问在这一次考 试中有多大比例的人获得律师资格？
（2）正态分布的特点
A、呈例挂的钟形，两头小，中间大，面积p=1； B、有其分布函数（σ→形状，µ→位置） ； C、横坐标以标准差为单位，用Z分数表示； D、正态分布下数据与标准差有一定数量关系；
x ± 1 SD x ± 1 . 96 SD x ± 2 . 58 SD
包含总数目的68.26% 包含总数目的 包含总数目的95% 包含总数目的 包含总数目的99%，几乎包含了全体。 ，几乎包含了全体。 包含总数目的
k = 15 + 1.645 × 2.74 ≈ 20
2.2 抽样分布
（1）定义 ） 定义： 样本统计量所有可能取值及相应概率变 定义：描述样本统计量 样本统计量 化规律的函数。即描述样本统计量分布规律 的函数。 类型: 类型
离散分布：二项分布、多项分布、普阿松分布、 离散分布：二项分布、多项分布、普阿松分布、
已知概率或标准分数可查密度值、 ③ 已知概率或标准分数可查密度值、函数值
就是已知Z值和P值求Y值，在心理统计中这个功能一般 不用。
查表练习
ⅰ、求均数与某个 Z 值间的 P 值： Z=0～Z=1 Z=0～Z=-1 ⅱ、求任何两个 Z 值间的 P值 ： 值 -1.2σ~2.4σ 0.6σ~1.5σ 值以上或以下的面积： ⅲ、求某个Z值以上或以下的面积： 求某个 值以上或以下的面积 Z=2.4σ以上 以上P 以上 Z=-1.2σ以下 以下P 以下
已知Z分数可查概率 分数可查概率： ② 已知 分数可查概率： Z→P
在某一年的律师资格考试中，律师资格审查委员会认为， 只要Z分数大于2.5（已知考试分数的分布符合正态分布，平 均分为80分，标准差为6分）就授予律师资格，问在这一次考 试中有多大比例的人获得律师资格？
（2）正态分布的特点
A、呈例挂的钟形，两头小，中间大，面积p=1； B、有其分布函数（σ→形状，µ→位置） ； C、横坐标以标准差为单位，用Z分数表示； D、正态分布下数据与标准差有一定数量关系；
x ± 1 SD x ± 1 . 96 SD x ± 2 . 58 SD
包含总数目的68.26% 包含总数目的 包含总数目的95% 包含总数目的 包含总数目的99%，几乎包含了全体。 ，几乎包含了全体。 包含总数目的
k = 15 + 1.645 × 2.74 ≈ 20
2.2 抽样分布
（1）定义 ） 定义： 样本统计量所有可能取值及相应概率变 定义：描述样本统计量 样本统计量 化规律的函数。即描述样本统计量分布规律 的函数。 类型: 类型
离散分布：二项分布、多项分布、普阿松分布、 离散分布：二项分布、多项分布、普阿松分布、
已知概率或标准分数可查密度值、 ③ 已知概率或标准分数可查密度值、函数值
就是已知Z值和P值求Y值，在心理统计中这个功能一般 不用。
查表练习
ⅰ、求均数与某个 Z 值间的 P 值： Z=0～Z=1 Z=0～Z=-1 ⅱ、求任何两个 Z 值间的 P值 ： 值 -1.2σ~2.4σ 0.6σ~1.5σ 值以上或以下的面积： ⅲ、求某个Z值以上或以下的面积： 求某个 值以上或以下的面积 Z=2.4σ以上 以上P 以上 Z=-1.2σ以下 以下P 以下
生物统计课件：总体参数的估计
准确度和精度关系
ˆ <θ <θ ˆ ) → max P(θ 1 2 ˆ → min ˆ − θ θ 1 2
例. 一个人的年龄
置信区间的求法
• 求什么参数的置信区间?置信水平？ • 寻找未知参数的一个良好估计 • 寻找一个待估参数和估计量的函数， 要求其分布为已知 • P(θ ˆ <θ <θ ˆ ) = 1−α ⇒ θ ≤ θ ≤ θ
常用的标准
•
无偏性 • 有效性 • 一致性
无偏性
估计量是随机变量，对于不同的样本 值会得到不同的估计值. 我们希望估计值在未知参数真值附近 摆动，而它的期望值等于未知参数的 真值.
ˆ 为 θ 的点估计量. 定义:设 θ 为未知参数, θ
如果
ˆ) = θ E (θ
ˆ 为 θ 的无偏估计量. 则称 θ
2
S S P( X − tα (n − 1) < µ < X + t α (n − 1)) = 1 − α n 2 n 2 S S Interval : ( X − tα (n − 1) , X + t α (n − 1)) n 2 n 2
例.药品重量X~N(μ, σ2) n=6: 1.46 1.51 1.49 1.48 1.52 1.51 求μ的置信度为95%的置信区间.
无偏性-没有系统性的偏差
ˆ) = θ E (θ
这种偏差随机地在0的周围波动，对 同一 统计 问题大 量重 复 使用 不会产 生系统偏差 .
例. 如果X1, …, Xn来自总体X, 其均值为μ. 证明：样本的加权均数 无偏估计.
∑c X
i =1 i
n
为μ的
i
其中ci是不全为0的实数, 并且
《统计学》课件参数估计
1500
1450
1480
1510
1520
1480
1490
1530
1510
1460
1460
1470
1470
5 - 30
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131
。根据样本数据计算得： x 1490 ， s 24.77 总体均值X 在1-置信水平下的置信区间为
统计学
STATISTICS
总体比例的区间估计
(例题分析)
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机重复抽 取 了 100 个 下 岗 职 工 ， 其 中 65 人 为女性职工。试 以 95% 的 置 信 水 平估计该城市下 岗职工中女性比 例的置信区间。
5 - 35
解：已知 n=100，p＝65% ， z/2=1.96
Px1 X x21
总体参数的区间估计必须同时具备的三个要素:
点估计值（区间的中心） 抽样误差范围（区间的半径） 置信水平/概率保证程度（1-α ）
抽样误差范围决定估计 的精度而概率保证程度 则决定估计的可靠性
统计学
STATISTICS
5.4 总体均值的区间估计
5 - 22
统计学
2. 缺点：没有考虑抽样误差的大小；没有给出估计 值接近总体参数的程度。
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大 似然法、最小二乘法等。
5 - 10
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
5 - 11
统计学
STATISTICS
无偏性
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Z X 7.15 .21 10
标准正态分布
= 10
=1
.1664
2.9 5 7.1 X
.0832 .0832
-.21 0 .21 Z
17
二项分布
二项分布是指统计变量中只有性质不同 的两项群体的概率分布，用符号b(x,n,p) 表示，表示在n次试验中有x次成功，每 次成功的概率为p，二项分布的概率函数 可以写作：
b(x,n,p)C n xpxqnx
其中： Cnx
n! x!(n x)!
18
二项分布（实例）
【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任 取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件 产品中恰好有2件次品的概率
解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数， 则X~B ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有
12
正态分布函数的性质
1. 概率密度函数在x 的上方，即f (x)>0
2. 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位
数和众数
3. 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过
均值的标准差来区分。 决定曲线的高度，
决定曲线的平缓程度，即宽度
4. 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限
延伸，且理论上永远不会与横轴相交 5. 正态曲线下的总面积等于1 6. 随机变量的概率由曲线下的面积给出
乘法定理：两个独立事件同时出现的概 率等于两事件概率的乘积。 独立事件：一个事件是否出现对另外一 个事件不产生影响。
8
一些简单概率的计算
例：两道四选一的选择题，一考生全凭 猜测，问猜对一个题的概率有多大。
例：随机从52张扑克牌中抽出一张，抽 出来的数字大于10的概率有多大。
例:一个袋子中有A个白球，B个红球，采 用有放回抽取，抽出一个白球和一个红 球的概率是多大，如果采用无放回的抽 取，抽出一个白球和一个红球的概率是 多大。
4
2.5 3.0 3.5 4.0
.3 P ( x ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
N
.2
N
(Xi )2
.1 0
2 i1
1.25
N
总体分布
1 23
4
24
样本均值的抽样分布
（一个例子）
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
9
正态分布
正态分布又称为常态分布，是连续随机 变量概率分布的一种，其密度函数为：
f (x)
1
(x)2
e 22
2
10
正态分布曲线
f (x)
x
11
正态分布
对称分布，算术平均数、中数和众数相等 正态分布下数据与标准差有一定数量关系：
X 1SD
X 1.96SD
X2.58SD
包含所有数据的68.26％ 包含所有数据的95％ 包含所有数据的99％
5
概率的基本性质
任何一个事件出现的概率都是非负的； 必然事件的概率为1； 不可能事件的概率为0； 任何一个随机事件的概率介于0和1之间。
6
概率的基本定理
互不相容事件 独立事件
7
概率的基本定理
加法定理：两个互不相容的事件A、B之 和的概率等于两个事件概率之和，即： P(A+B)=P(A)+P(B) 互不相容事件：如果A 发生，则B一定 不发生， 如果B 发生，则A一定不发生，
平均数服从正态分布，平均值为 方差 2 n
为
X~N(,2/n) Z X ~N(0,1)
/ n
23
样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单 位数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下
均值和方差
N
Xi
.3
i1 2.5
21
样本分布
样本分布是指样本统计量的分布，是统 计推论的重要依据，只有知道样本统计 量的分布规律，才能通过样本对总体进 行推论，并确定推论正确或错误的概率 是多少。
22
几种重要的样本统计量的分布
样本平均数的分布：
（1）总体正态分布，总体平均数为 ，
标准差为 （或方差为 2 ）已知，样本
ZX~N(0,1)
2. 标准正态分布的概率密度函数
(x)21e2 x2 , x
3.
标准正态分布的分布函数
(x)x(x)dtx
1
t2 -
e2dt
2
15
一般正态分布
标准正态分布
Z X
标准正态分布
1
x
Z
16
标准化的例子
P(2.9 X 10
第二讲 数据的分布及其总体参 数的估计
1
概率的定义
概率的两种定义： （1）统计定义：对随机事件进行n次观测，其
中某一事件A出现的次数m与n的比值，当n趋 于无穷大时，这一比值趋于以固定的常数P， 将这一常数P称为事件A发生的概率。 （2）古典定义：在下列条件下（a）试验的每一 种可能结果是有限的；（b）每一个基本事件 出现的可能性相等；如果基本事件的总数为n， 事件A包含 m个基本事件，则事件A的概率为 m/n。
13
标准正态分布的重要性
1. 一般的正态分布取决于均值和标准差 2. 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有
自己的正态概率分布表，这种表格是无穷 多的 3. 若能将一般的正态分布转化为标准正态分 布，计算概率时只需要查一张表
14
标准正态分布函数
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
25
样本均值的抽样分布
（一个例子）
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个
第二个观察值
观察值 1
2
3
4
1
1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3
2.0 2.5 3.0 3.5
P X 2 C 3 2 (0 .0)2 5 (0 .9)3 5 2 0 .0071
19
二项分布的性质
p=q时图形是对称的
二项分布的平均值和标准差
如果二项分布满足p<q, np 5 或p>q, nq 5
时，二项分布接近正态分布，
均值：
μ= np
标准差： npq
20
二项分布的应用
投掷硬币的试验，有10个硬币掷一次，5 次正面向上的概率是多大，5次或5次以 上正面向上的概率是多大。
标准正态分布
= 10
=1
.1664
2.9 5 7.1 X
.0832 .0832
-.21 0 .21 Z
17
二项分布
二项分布是指统计变量中只有性质不同 的两项群体的概率分布，用符号b(x,n,p) 表示，表示在n次试验中有x次成功，每 次成功的概率为p，二项分布的概率函数 可以写作：
b(x,n,p)C n xpxqnx
其中： Cnx
n! x!(n x)!
18
二项分布（实例）
【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任 取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件 产品中恰好有2件次品的概率
解：设 X 为所抽取的3件产品中的次品数， 则X~B ( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有
12
正态分布函数的性质
1. 概率密度函数在x 的上方，即f (x)>0
2. 正态曲线的最高点在均值，它也是分布的中位
数和众数
3. 正态分布是一个分布族，每一特定正态分布通过
均值的标准差来区分。 决定曲线的高度，
决定曲线的平缓程度，即宽度
4. 曲线f(x)相对于均值对称，尾端向两个方向无限
延伸，且理论上永远不会与横轴相交 5. 正态曲线下的总面积等于1 6. 随机变量的概率由曲线下的面积给出
乘法定理：两个独立事件同时出现的概 率等于两事件概率的乘积。 独立事件：一个事件是否出现对另外一 个事件不产生影响。
8
一些简单概率的计算
例：两道四选一的选择题，一考生全凭 猜测，问猜对一个题的概率有多大。
例：随机从52张扑克牌中抽出一张，抽 出来的数字大于10的概率有多大。
例:一个袋子中有A个白球，B个红球，采 用有放回抽取，抽出一个白球和一个红 球的概率是多大，如果采用无放回的抽 取，抽出一个白球和一个红球的概率是 多大。
4
2.5 3.0 3.5 4.0
.3 P ( x ) .2 .1 0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
N
.2
N
(Xi )2
.1 0
2 i1
1.25
N
总体分布
1 23
4
24
样本均值的抽样分布
（一个例子）
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
9
正态分布
正态分布又称为常态分布，是连续随机 变量概率分布的一种，其密度函数为：
f (x)
1
(x)2
e 22
2
10
正态分布曲线
f (x)
x
11
正态分布
对称分布，算术平均数、中数和众数相等 正态分布下数据与标准差有一定数量关系：
X 1SD
X 1.96SD
X2.58SD
包含所有数据的68.26％ 包含所有数据的95％ 包含所有数据的99％
5
概率的基本性质
任何一个事件出现的概率都是非负的； 必然事件的概率为1； 不可能事件的概率为0； 任何一个随机事件的概率介于0和1之间。
6
概率的基本定理
互不相容事件 独立事件
7
概率的基本定理
加法定理：两个互不相容的事件A、B之 和的概率等于两个事件概率之和，即： P(A+B)=P(A)+P(B) 互不相容事件：如果A 发生，则B一定 不发生， 如果B 发生，则A一定不发生，
平均数服从正态分布，平均值为 方差 2 n
为
X~N(,2/n) Z X ~N(0,1)
/ n
23
样本均值的抽样分布
【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单 位数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下
均值和方差
N
Xi
.3
i1 2.5
21
样本分布
样本分布是指样本统计量的分布，是统 计推论的重要依据，只有知道样本统计 量的分布规律，才能通过样本对总体进 行推论，并确定推论正确或错误的概率 是多少。
22
几种重要的样本统计量的分布
样本平均数的分布：
（1）总体正态分布，总体平均数为 ，
标准差为 （或方差为 2 ）已知，样本
ZX~N(0,1)
2. 标准正态分布的概率密度函数
(x)21e2 x2 , x
3.
标准正态分布的分布函数
(x)x(x)dtx
1
t2 -
e2dt
2
15
一般正态分布
标准正态分布
Z X
标准正态分布
1
x
Z
16
标准化的例子
P(2.9 X 10
第二讲 数据的分布及其总体参 数的估计
1
概率的定义
概率的两种定义： （1）统计定义：对随机事件进行n次观测，其
中某一事件A出现的次数m与n的比值，当n趋 于无穷大时，这一比值趋于以固定的常数P， 将这一常数P称为事件A发生的概率。 （2）古典定义：在下列条件下（a）试验的每一 种可能结果是有限的；（b）每一个基本事件 出现的可能性相等；如果基本事件的总数为n， 事件A包含 m个基本事件，则事件A的概率为 m/n。
13
标准正态分布的重要性
1. 一般的正态分布取决于均值和标准差 2. 计算概率时 ，每一个正态分布都需要有
自己的正态概率分布表，这种表格是无穷 多的 3. 若能将一般的正态分布转化为标准正态分 布，计算概率时只需要查一张表
14
标准正态分布函数
1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
25
样本均值的抽样分布
（一个例子）
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个
第二个观察值
观察值 1
2
3
4
1
1.0 1.5 2.0 2.5
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3
2.0 2.5 3.0 3.5
P X 2 C 3 2 (0 .0)2 5 (0 .9)3 5 2 0 .0071
19
二项分布的性质
p=q时图形是对称的
二项分布的平均值和标准差
如果二项分布满足p<q, np 5 或p>q, nq 5
时，二项分布接近正态分布，
均值：
μ= np
标准差： npq
20
二项分布的应用
投掷硬币的试验，有10个硬币掷一次，5 次正面向上的概率是多大，5次或5次以 上正面向上的概率是多大。