山东省青岛市黄岛区2020届高三3月模拟考试数学试题含答案
21.
已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的离心率
e
满足 2e2
3
2e 2 0 ，右顶点
为 A，上顶点为 B，点 C(0，－2)，过点 C 作一条与 y 轴不重合的直线 l，直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，直线 BP，BQ 分别交 x 轴于点 M，N；当直线 l 经过点
A 时，l 的斜率为 2 ．
因为 EF 平面 ACE ， SD 平面 ACE ，所以直线 SD // 平面 ACE .
……………………………………4 分
（2）平面 SCD 平面 ABCD ，平面 SCD 平面 ABCD CD ， BC 平面 ABCD ，
BC CD ，所以 BC 平面 SCD .
…………………………………5 分
…………………9 分
设平面 EAC 的一个法向量为 n (x, y, z) ，则
nnCCEA
0 0
，即
x
yz y 2z
0
0
,
不妨令 z 1，得 x 1 ， y 1，于是 m (1, 1,1) . …………………11 分
设二面角 S AC E 的平面角的大小为 ，则 cos mn 1 . mn 3
以 C 为坐标原点，CD,CB 所在的方向分别为 y 轴、 z 轴的正方向，与 CD,CB 均垂直
的方向作为 x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz . ……6 分
则 C(0, 0, 0) ， S (1,1, 0) ， A(0, 2, 2) ， E( 2 , 2 , 4) ，
8．已知点 A 为曲线 y x 4 x 0 上的动点，B 为圆 x 22 y2 1上的动点，则 AB
x
的最小值是（ ）
A．3
B．4
C． 3 2
D． 4 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
，求
ABC
的面积。
20.(12 分）春节期间爆发的新型冠状病毒(2019-nCoV)，是一种可以借助飞沫和 接触传播的变异病毒。某定点医院为筛查某人是否感染该病毒，需要检验血液是 否为阳性，现有 i 份血液样本，有以下两种检验方式: (1) 逐份检验，则需要检验 n 次;
(2)混合检验，将其中 i ∈ 且
D.直线 C1P 与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若二项式 (3x 1 )n 展开式中各项系数和为 64 ，则 n
x
，常数项为 .
14.已知圆 x 22 y 12 2 关于直线 ax by 1a 0,b 0 对称，则 2 1 的最小
2n 1 n 1
所以数列cn 的前
n
项和
Sn
2n
1 n 1.
....10 分
18.分析：
解：（1）连接 BD 交 AC 于点 F ,连接 EF .
因为 AD // BC ，所以 AFD 与 BCF 相似.
所以 BF BC 2 . FD AD
………………………………………………1 分
又 BE BF =2 ，所以 EF // SD . ……………………………………2 分 ES FD
所以二面角 S AC E 的余弦值为 1 . ……………………………………12 分 3
19.【分析】
（1）结合正弦定理，条件选择① 3a sin C 4c cos A ，则 3sinAsinC 4sinCcosA ，再利
用公式 sin2 A cos2 A 1 求 sin A ；
若选择条件②，由正弦定理和诱导公式可得 2sinBcos A 5sinAsinB ，再根据二倍角公 2
12.ABD
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 6 , 135
14. 9 15. 3
16. 114 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。
17.【分析】
解:(1)设数列an 的公差为 d ，
由题意知:
a1
a2
a3
a4
错的得 0 分。
9.已知向
量
a
(1,2),
b
(2,1),
c
(1,
m)
，若cΒιβλιοθήκη //(2ab)，则下列结论正确的是
（）
A． m 3 4
B．
a
b
C．
a
b
10
D．cos a, c 2 5 5
10.已知函数 f (x) 2 cos2 x cos(2x ) 1，则（ ） 2
A. f (x) 的图像可由 y
2 sin 2x 的图像向左平移 4 个单位长度得到
B. x 是 f (x) 的对称轴 8
C. f (x) 在 0， 内有两个零点
D.
f
(x)
在
-
2
，0
上的最大值为
2
11.加斯帕尔﹒蒙日创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，他给出了蒙日
圆的定义：椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的两条互相垂直的切线的交点
p
的轨迹是圆
x2
y2
a2
b2
，这个圆被称为蒙日圆。已知椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的长轴长为 4 ，
长轴是短轴的两倍，左右焦点分别为 F1, F2 ,则下述正确的是（ ）
A.椭圆的方程为 x2 y2 1 16 4
B.
椭圆离心率 e
3 2
C.蒙日圆的方程为 x2 y2 5
(1)求椭圆 E的方程；
(2) 证明： SBOM SBCN 为定值．
22.已知函数
쳌
ᖸ쳌
,其中 O<a<e.
（1）求函数 f(x)的单调区冋；
（2）讨论函数 f(x)零点的个数；
（3）若 f(x)存在两个不同的零点 x1,x2,求证：x1x2<e2.
高三数学模拟试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
1
，集合
B
x
|
log
x 1
2 ，，
2
则 (ðU A) B =( )
A． 0,1 3, 4 B． ,1 3, 4 C． 0,13, 4 D． ,1 3, 4
3.设
a
(
1 2
)
3
4，b
(
3 4
)
1 2
,
c
log
3
,
则
a,
b,
c
的大小关系为（
A． a b c
B． c a b
C． b c a
B. 480
C. 504
D. 624
7．设 F1 和 F2 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的两个焦点，若点 P 0, 2b ， F1, F2 是等
腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． y 3x
B． y 21 x 7
C． y 3 x 3
D． y 21 x 3
份血液样本分别取样混合在一起检验.
若检验结果为阴性，这 k 份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次 就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对 这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次.假设在接受检验 的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是 阳性结果的概率为 p(0<p<1). (1)假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求 恰好经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
CA (0, 2, 2) ， CS
(1,1, 0) ， CE
333 (2, 2, 4) .
………7 分
333
设平面 SAC 的一个法向量为 m = (x, y, z) ，则
mmCCAS
0 0
，即
y x
z y
0 0
,
不妨令 z 1，得 x 1 ， y 1，于是 m (1, 1,1) .
） D． c b a
4.已知随机变量 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P( 4) 0.9 ，则 P(2 1)
（）
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.6
5.函数 f(x)＝lnx＋a(a∈R)在区间[e－2，＋∞)上有两个零点，则 a 的取值范围是 x
()
2 ，1 A. e2 e
2 ，1 B. e2 e
2 ，1 C. e2 e
1 ，2 D. e2 e
6.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”
“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数 为（ ）
A. 216
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B 2.A 3.D 4.C
5. A 6.C 7. C 8.A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
错的得 0 分。
9.ABD
2020年3月山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2020届高三毕业班模拟考试数学试题
值为__________．
15．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，满足 f 1 x f 1 x ，若 f 1 3 ，则
f 1 f 2 f 3 f 2021
.
16.已知三棱台 ABC A1B1C1 的上下底面均为正三角形，其中 AB 4 ， A1B1 2 ，
AA1 BB1 CC1 2 ，该三棱台外接球的表面积为
2 ，1 B. e2 e
2 ，1 C. e2 e
1 ，2 D. e2 e
6.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”
“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数 为（ ）
A. 216
1
，集合
B
x
|
log
x 1
2 ，，
2
则 (ðU A) B =( )
A． 0,1 3, 4 B． ,1 3, 4 C． 0,13, 4 D． ,1 3, 4
3.设
a
(
1 2
)
3
4，b
(
3 4
)
1 2
,
c
log
3
,则Biblioteka a,b,c
的大小关系为（
A． a b c
B． c a b
C． b c a
B. 480
C. 504
D. 624
7．设 F1 和 F2 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的两个焦点，若点 P 0, 2b ， F1, F2 是等
腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
山东省2020年高三3月全省第3次联合考试 数学试题(附答案+全解全析)
山东省2020年高三3月全省第3次联合考试数 学（满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm4．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a bA B ． C ．D 5．函数52sin ()([,0)(0,])33xxx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-7．长方体ABCD A'B'C'D'-中，,AB a AD b ==，AA'a b =+，则三个角,,AA'B BA'D DA'A ∠∠∠的和为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2CD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件10．若函数21()ln ||+1f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数C ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．不等式(1)(2)f x f x ->的解集为1(1,0)(0,)3-U11．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．则下列说法正确的是A ．函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称B ．函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点C．函数()g x 在区间ππ[,]24--D ．函数()g x 在区间π(0,)12上单调递增12．在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 4个三角形均为正三角形．若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则AB ．此四棱锥的外接球的表面积为3πC ．此四棱锥的外接球的体积为43πD ．此四棱锥的高为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为___________.14．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________. 15．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．16．某中学某天有6节课，其中上午4节，下午2节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理这6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_________，数学排第一节课的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，+1n n n nb a a S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若cos ABD ∠BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 22．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案与全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b 故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++，222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC 1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分） 根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分） 所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。
数学-2020年3月高三第三次在线大联考(山东卷)(全解全析)
合定义域解得 −1 x 0,或0 x 1 ，故 D 正确．故选 AD． 3
11．BCD 【解析】 f (x) = 6 sin x cos x + 2 cos2 x − 2 = 6 sin 2x + 2 1 + cos 2x − 2 = 2 sin(2x + π) ，将
22
2
2
6
函数 f (x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 ，纵坐标不变，得函数 g(x) = 2 sin(4x + π) 的图象．对
=
(t 2
+ 1)
+
1 t2 +1
−
3
2
(t 2
+ 1)
t2
1 +
1
−
3
=
−1
，当且仅当
t2
+1
=
t2
1 +1
，即
t
=
0
时取等号，y 取得最小值为 −1 .此时，a = (−1,0),b = (2, −1) ，则 cos a,b = a b = −2 = − 2 5 .故选 B． | a | | b | 1 5 5
7．D【解析】如图，连接 BD ，因为 AB = a, AD = b ，AA' = a + b ，所以 A'B2 = a2 + (a + b)2 ，A'D2 = b2 + (a + b)2 ，
BD2 = a2 + b2 ，结合余弦定理得 cos BA'D = A'B2 + A'D2 − BD2 = a2 + (a + b)2 + b2 + (a + b)2 − (a2 + b2 ) =
山东省青岛市高三数学3月统一质量检测 理(青岛市一模)新人教A版
数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合2{|02},{|1}A xx B x x=≤≤=>，则A B=A．{|01}x x≤≤B．{|0x x>或1}x<-C．{|12}x x<≤D．{|02}x x<≤2. 已知向量(1,2)a=-,(3,)b m=,Rm∈,则“6m=-”是“//()a a b+”的A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为A．11 B．11.5 C．12 D．12.54. 双曲线22145x y-=的渐近线方程为A．y x=B．y x=C．y x=2D．y x = 5. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．5B ．7C ．9D ．116. 函数22cos ()2y x π=+图象的一条对称轴方程可以为A ．4x π=B ．3x π=C ．34x π=D ．x π= 7.过点P 作圆221O x y ：＋＝的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长||AB = AB ．2 CD ．48. 已知实数y x ,满足约束条件04340x x y y >⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则1y w x +=的最小值是A ．2-B ．2C ．1-D ．1 9. 由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成封闭的平面图形的面积为A ．329B ．4ln3-C ．4ln3+D ．2ln3- 10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．关于函数1()()xxf x e e =*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中所有正确说法的个数为 A ．0 B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知2a ib i i+=+（R a b ∈，），其中i 为虚数单位，则a b += ； 12. 已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P a ξ>=，a 为常数,则3(10)P ξ-≤≤= ；13. 二项式621()x x -展开式中的常数项为 ； 14. 如图所示是一个四棱锥的三视图， 则该几何体的体积为 ；15. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=. （Ⅰ）求B 的大小;（Ⅱ）若a c +=，b =求ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）2013年6月“神舟 ”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为34、13、12、23，并且各个环节的直播收看互不影响． （Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率;左视图4（Ⅱ）若用X 表示该班某一位同学收看的环节数,求X 的分布列与期望．18．（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，24AB BC ==，DE AE CF BF ===，2EF =，//EF AB ，CF AF ⊥.（Ⅰ）若G 为FC 的中点，证明：//AF 面BDG ； （Ⅱ）求二面角A BF C --的余弦值.19．（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n W ，且12b =，39q a =.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）证明：1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈.20．（本小题满分13分）已知椭圆1C 的中心为原点O ，离心率e =，其一个焦点在抛物线2:C 22y px =的准线上，若抛物线2C与直线: 0l x y -+=相切．CABDE FG5（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹为3C ．若点T 满足：OT MN OM ON =+2+，其中,M N 是3C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2，试说明：是否存在两个定点,F F 12，使得TF TF 12+为定值？若存在，求,F F 12的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且(0)(1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立，试求实数m 的取值范围； （Ⅲ） 当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．青岛市高三统一质量检测 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A C B C D A D B C6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.1 12.12a - 13.15 14．4 15．34k ≤或54k ≥ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=得：sin sin 2cos cos (1)1cos cos A CA C A C-= ………………………………………………………2分∴2(sin sin cos cos )1A C A C -=∴1cos()2A C +=-，………………………………………………………………………4分∴1cos 2B =，又0B π<<3B π∴=……………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-== 22()2122a c acb ac +--∴=， ………………………………………………………………8分又a c +=，b =27234ac ac --=，54ac = ……………………………10分115sin 224216ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件A ,则22333333327()()(1)()44432P A C C =⨯-+=. …………………………………………………4分（Ⅱ）由条件可知X 可能取值为0,1,2,3,4.731121(0)(1)(1)(1)(1);432336P X ==-⨯-⨯-⨯-=31123112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)432343233112311213(1)(1)(1)(1)(1)(1);4323432372P X ==⨯-⨯-⨯-+-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯⨯-+-⨯-⨯-⨯= 311231123112(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4323432343233112311231127(1)(1)(1)(1)(1)(1);43234323432318P X ==⨯⨯-⨯-+⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯+-⨯⨯⨯-+-⨯⨯-⨯+-⨯-⨯⨯= 31123112(3)(1)(1)432343233112311223 (1)(1);4323432372P X ==-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯-=31121(4);432312P X ==⨯⨯⨯=即的分布列10分X 的期望11372319()0123436721872124E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG 因为点G 为FC 中点，所以OG 为AFC ∆的中位线，所以//OG AF ………………………………………………………………………2分AF ⊄面BDG ，OG ⊂面BDG ，所以//AF 面BDG ………………4分 （Ⅱ）取AD中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则////MQ AB EF ， 所以MQFE 共面作FP MQ ⊥于P ，EN MQ ⊥于N ，则//EN FP 且EN FP =8AE DE ==BF CF =，AD BC = ADE ∴∆和BCF ∆全等，EM FQ ∴= ENM ∴∆和FPQ ∆全等，1MN PQ ∴== BF CF =，Q 为BC 中点，BC FQ ∴⊥又BC MQ ⊥，FQMQ Q =，BC ∴⊥面MQFEPF BC ∴⊥，PF ∴⊥面ABCD …………………………………………………………6分以P 为原点，PF 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则(3,1,0)A ，(1,1,0)B -，(1,1,0)C --，设(0,0,)F h ，则(3,1,)AF h =--，(1,1,)CF h =AF CF ⊥，203102AF CF h h ∴⋅=⇒--+=⇒=设面ABF 的法向量1111(,,)n x y z =(3,1,2)AF =--，(1,1,2)BF =-由111111110320200n AF x y z x y z n BF ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令11110,2z x y =⇒==1(0,2,1)n ∴= ………………………………………………………………………………8分设面CBF 的法向量2222(,,)n x y z =(1,1,2)BF =-，(0,2,0)BC =-由222222020200n BF x y z y n BC ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩，令22210,2z y x =⇒==-2(2,0,1)n ∴=-……………………………………………………………………………10分 1212121cos ,5||||5n n n n n n ⋅∴<>===⋅设二面角A BF C --的平面角为θ，则12121cos cos(,)cos ,5n n n n θπ=-<>=-<>=- …………………………………12分 19．（本小题满分12分）9解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)nn n c S =-所以20123420330T S S S S S =-+-+++=则24620330a a a a ++++=则10910(3)23302d d ⨯++⨯= 解得3d =，所以33(1)3n a n n =+-=……………………………………………………4分所以3927q a ==，3q =所以123n n b -=⋅………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2(13)3113n n n W -==-- 要证1(31)n n n W nW ++≥， 只需证1(31)(31)(31)nn n n ++-≥-即证：321nn ≥+……………………………………………………………………………8分 当1n =时，321nn =+下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，321nn >+（1）当2n =时，左边9=，右边5=，左>右，不等式成立 （2）假设(2)n k k =≥，321kk >+ 则1n k =+时，13333(21)632(k+1)+1k k k k +=⨯>+=+>1n k ∴=+时不等式成立根据（1）（2）可知：当2n ≥时，321nn >+ 综上可知：321nn ≥+对于N n *∈成立10所以1(31)(N )n n n W nW n *++≥∈ ………………………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（I）由22220-0y pxy py x y ⎧=⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，抛物线2:C 22y px =与直线: -0l x y +=相切，240p p ∴∆=-=⇒=……………………………………………………2分 ∴抛物线2C的方程为：2y =，其准线方程为：x =c ∴=离心率e =2，∴2c e a ==∴2222, 2a b a c ==-=， 故椭圆的标准方程为221.42x y +=…………………………………………………………5分 （II ）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,)P x y ''，(,)T x y则2x v u y u v '=-⎧⎨'=+⎩1(2)31()3u y x v x y ⎧''=-⎪⎪⇒⎨⎪''=+⎪⎩当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹3C2222111[(2)]2[()]44233u v y x x y ''''∴+=⇒-++= 2 2212x y ''⇒+= 3C ∴的轨迹方程为：22212x y += ………………………………………………………7分由OT MN OM ON =+2+得212111221212(,)(,)2(,)(,)(2,2),x y x x y y x y x y x x y y =--++=++ 12122,2.x x x y y y =+=+11设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知12121,2OM ON y y k k x x ⋅==-因此121220,x x y y +=…………………………………………9分 因为点,M N 在椭圆22212x y +=上，所以22221122212,212x y x y +=+=，故222222*********(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++2222112212121212(2)4(2)4(2)604(2).x y x y x x y y x x y y =+++++=++所以22260x y +=，从而可知：T 点是椭圆2216030x y +=上的点， ∴存在两个定点,F F 12，且为椭圆2216030x y +=的两个焦点，使得TF TF 12+为定值，其坐标为12(F F ． …………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=+(0)x >． 当0a ≥时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，()f x 没有极值；……………1分当0a <时，1()()a x a f x x+'=， 若1(0,)x a ∈-时，()0f x '>；若1(,)x a∈-+∞时，()0f x '< ()f x ∴存在极大值，且当1x a =-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大 综上可知：当0a ≥时，()f x 没有极值；当0a <时，()f x 存在极大值，且当1x a=-时，11()()ln()1f x f a a=-=--极大 …………………………………………………………4分 (Ⅱ) 函数()g x 的导函数()x g x e '=，()xg x e c ∴=+12 (0)(1)g g e '=，(1)c e e ∴+=0c ⇒=，()x g x e =……………………………………5分 (0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x <成立， ∴(0,)x ∃∈+∞，使得3m x e <-成立，令()3h x x e =-，则问题可转化为：max ()m h x <对于()3h x x e =-，(0,)x ∈+∞，由于()1x h x e '=-，当(0,)x ∈+∞时，1x e >≥=1x e ∴>，()0h x '∴<，从而()h x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)3h x h ∴<=3m ∴<………………………………………………………………………………………9分 (Ⅲ)当0a =时，()ln f x x =，令()()()2x g x f x ϕ=--，则()ln 2xx e x ϕ=--， ∴1()xx e xϕ'=-，且()x ϕ'在(0,)+∞上为增函数 设()0x ϕ'=的根为x t =，则1t e t =，即t t e -= 当(0,)x t ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在(0,)t 上为减函数；当(,)x t ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ在(,)t +∞上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-(1)10e ϕ'=->，1()202ϕ'=<，1(,1)2t ∴∈由于()2t t e t ϕ=+-在1(,1)2t ∈上为增函数，12min 11()()222022t x t e t e ϕϕ∴==+->+->-= ()()2f x g x ∴<- …………………………………………………………………………14分。
2020年3月普通高考数学(山东卷)全真模拟卷(3)(解析版)
2020年3月普通高考（山东卷）全真模拟卷（3）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|414}A x x =-≤+≤，{|211}B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为 A ．(,3)-∞- B ．(,3]-∞-C ．[3,)-+∞D ．(3,)-+∞【答案】C【解析】{}|414{|53}A x x A x x =-≤+≤==-≤≤，当,211,2B m m m φ=+>->-时，满足条件；当,211,2B m m m φ≠+≤-≤-时，215343-213m m m m +≥-⎧∴-≤≤∴-≤≤⎨-≤⎩； 综上-3m ≥，选C.2．复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3．三个数220.8,,log 0.8a b c ===之间的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【解析】因为200.81<<，所以01a <<<<，所以b 1<<22log 0.8log 10<=，所以0c <.故c a b <<.故选D4．若点(),P x y 的坐标满足1ln1x y=-，则点(),P x y 的轨迹图象大致是 A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 由1ln1x y =-，可化简得11x e y -=，即11x y e-=，当1x =时，1y =，所以排除,C D ；令2x =时，则1y e=±，所以排除A ，故选B ． 5．甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每个选择题选择正确得5分，否则得0分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的2倍小于甲解题正确的个数的3倍，则这四人测试总得分数最少为 A ．150 B ．160C ．170D ．180【答案】C【解析】设甲、乙、丙、丁做对题的个数，分别为,,,x y z m ，则x y z m <<<且23m x <， 若总分最少，则,,,x y z m 为相邻整数，当,,,x y z m 分别取0,1,2,3，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取1,2,3,4，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取2,3,4,5，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取3,4,5,6，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取4,5,6,7，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取5,6,7,8，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取6,7,8,9，不满足23m x <； 当,,,x y z m 分别取7,8,9,10，满足23m x <，∴四人测试总得分数最少为 ()789+105=170++⨯，故选C.6．设函数()sin cos f x x x =-，若对于任意的x ∈R ，都有()()2f x f x θ-=，则sin(2)3πθ-=A ．12B ．12-C D ． 【答案】B【解析】()sin cos ,4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由()()2,f x f x θ-=得x =θ是函数f (x )的对称轴，得1,.42k k Z πθππ-=+∈所以,.34k k Z θππ=+∈ 31sin 2sin 2cos .32332k πππθππ⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 A ．甲 B ．乙C ．丁D ．戊【答案】C【解析】设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a 、b 、c 、d 、e ，则a +b ＝120，b +c ＝220，c +d ＝160，d +e ＝140，a +e ＝200，解得a ＝60，b ＝60，c ＝160，d ＝0，e ＝140， 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，故选C ．8．已知()0,F c 为双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的上焦点，若圆F ：()222x y c a +-=上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a，则Γ的离心率为A B C D 【答案】A【解析】双曲线Γ：()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线方程为0ax by -=，圆心(0,)F c 到直线0ax by -=b =，圆F 上恰有三个点到Γ的一条渐近线的距离为23a ，则与渐近线平行且与渐近线距离为23a 的直线l 与圆F 相切，圆心到切线l 的距离为211,,333b b a a b a a +===，3e ∴==.故选:A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2020届高三3月模拟考试化学试题含答案
青岛西海岸新区高中3月模拟试题化学1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠、不破损。
可能用到的相对原子质量：H_1 C_12 O_16 Na_23 P_31 K_39 Mn_55 Fe_56 Ga_70 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．面对突如其来的新型冠状病毒，越来越多人意识到口罩和医用酒精的重要作用，医用口罩由三层无纺布制成，无纺布的主要原料是聚丙烯树脂。
下列说法错误的是．．A．医用口罩能有效预防新型冠状病毒传染B．聚丙烯树脂属于合成有机高分子材料C．医用酒精中乙醇的体积分数为95%D．抗病毒疫苗冷藏存放的目的是避免蛋白质变性2.下列表示物质结构的化学用语或模型图正确的是（）A. H2O2的电子式：B. CO2的比例模型:C. 丙烷分子的比例模型示意图：D. 硅酸盐Ca2Mg5Si8O22(OH)2可用氧化物形式表示为：2CaO•5MgO·8SiO2•H2O3.实验测得Al与氯元素形成化合物的实际组成为Al2Cl6，其球棍模型如图所示。
已知Al2Cl6在加热时易升华，与过量的NaOH溶液反应可生成Na[Al(OH)4]。
下列说法不正确的是A.Al2Cl6属于分子晶体B.Al2Cl6中Al原子为sp3杂化C.Na[Al(OH)4]中存在的化学键有极性共价键、配位键D.Na[Al(OH)4]属于配合物4.下列命名不正确的是A.CH2=CH—CH=CH2 1,3—丁二烯B.苯乙烯C.CH3—CH（OH）—CH2—CH3 丁醇D.CH3—CH=CH—CH(CH3)—CH3 4—甲基—2—戊烯5．短周期主族元素W、X、Y、Z的原子序数依次增加。
2020年青岛黄岛区高三下学期高考模拟数学试卷
A.
B. 平面
平面
C. 二面角
的余弦值为
D. 点 在平面
上的投影是
的外心
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设 是定义在 上的奇函数，且满足
，则
．
14. 已知
的展开式中 的系数为 ，则
．
15. 双曲线 支分别交于 ， 两点，若
的左焦点为 ，过点 . 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数
到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数
下列结论正确的是（ ）．
A. 是 的一个周期
B. 在
上有 个零点
C. 的最大值为
D. 在
上是增函数
，我们听 ，则
11. 在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为 的正方形
， ．若从 ， ， ， ， ， 这 个数字中任意取出 个数字构成一个三位数 ，则
的结果恰好是剩下 个数字构成的一个三位数的概率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
8. 如图所示的三棱柱 积最大时，三棱柱
，其中
，若
外接球的体积为（ ）．
，当四棱锥
体
A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
沿 轴滚动（无滑动滚动），点
恰好经过坐标原点．设顶点
的轨迹方程是
，则对函数
的判断正确的是
y
x
O
3
A. 函数
是奇函数
B. 对任意的
，都有
）
C. 函数
的值域为
D. 函数
在区间 上单调递增
12. 如图，正方形
【精准解析】山东省青岛市2020届高三第三次模拟数学试题
青岛市2020年高三自主检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若复数321iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算得到1z i =-+，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项. 【详解】()()321221111(1)i i i iz i i i i i +====-++--+， 复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，该点在第二象限， 故复数z 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{}20M x R x x =∈-≤，集合{}cos ,N y R y x x R =∈=∈，则()UM N ⋂=（ ）A. [)1,0-B. ()0,1C. (),0-∞D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M ，N ，根据集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】{}20[0,1]M x R x x =∈-≤=,{}cos ,[1,1]N y R y x x R =∈=∈=-,(,0)(1,)U M ∴=-∞+∞,()[)1,0U M N =-∴⋂,故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题.3.如图是一个22⨯列联表，则表中a 、b 处的值分别为（ ）A. 96，94B. 60，52C. 52，54D. 50，52【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可先求出d 、c 的值，再结合总数为106可分别求得a 和b 的值.【详解】由表格中的数据可得33258c =-=，212546d =+=，1064660a ∴=-=，60852b =-=.故选：B.【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.4.若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ）A. p 是q 的必要非充分条件B. q 是p 的充分非必要条件C. p 是q 的充分非必要条件D. q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据1l 与2l 平行，得到0a =或65a =-，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 【详解】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-.经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行.设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查两直线平行的应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.在ABC 中，如果()cos 2cos 0B C C ++>，那么ABC 的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】结合A B C π++=以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为2cos cos 0B A ->，即cos cos 0B A <，又A ，(0,)B π∈，所以cos B 与cos A 一正一负，故而得解.【详解】解：A B C π++=，cos(2)cos B C C ∴++()cos cos[()]B B C B A π=+++-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos()cos()B A B A =---+cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B A =---+ 2cos cos 0B A =->，cos cos 0B A ∴<，即cos B 与cos A 异号，又A ，(0,)B π∈， cos B ∴与cos A 一正一负，ABC ∴为钝角三角形．故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 50种 B. 60种C. 80种D. 90种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有21020⨯=种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有231060⨯⨯=种不同的选法； 则一共有206080+=种选法. 故选：C .【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.7.在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O 的表面上，且球O 的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. 63 B. 33 C. 32D. 3【答案】B 【解析】 【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为1O 、2O ，则12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =，在Rt △2OO A 中，根据勾股定理和基本不等式求出2R 的最小值为3ah ，结合已知可得3ah =，从而可得侧面积. 【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为1O 、2O ，则12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =， 则212OO h =，22333O A AB ==， 则Rt △2OO A 中，222222221143R OA OO O A h a ==+=+1322h ≥⨯3=， 当且仅当33h a =时，等号成立， 所以23443S R ππ=≥⨯球，所以33ah π=4π，所以3ah =，所以该三棱柱的侧面积为3ah =故选：B.【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.8.已知函数()()26,75(2),5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. 11,86⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1111,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 1111,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，设()|||1|h x k x =+，且()h x 恒过定点()1,0-，转化为函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，画出函数()y g x =与函数()|||1|h x k x =+的图象，利用数形结合法，即可求出k 的取值范围.【详解】解：由题可知，函数()()|(1)|g x f x k x =-+有13个零点， 令()0g x =，有()|||1|f x k x =+，设()|||1|h x k x =+，可知()h x 恒过定点()1,0-， 画出函数()f x ，()h x 的图象，如图所示：则函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，由图象可得：()()()517171h h h ⎧<⎪>⎨⎪-<⎩，则·(51)1·(71)1·711k k k ⎧+<⎪+>⎨⎪-+<⎩，即11||86k <<， 解得：1(6k ∈-，11)(88-，1)6. 故选：D.【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多页符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（ ） A.23 B. 1C.56D. 2【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象平移求得函数()y g x =的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得w 的取值范围，即可求解.【详解】由题意，将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin()12w y g x wx π==-的图象， 若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则满足1222122w w w πππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得605w <≤，所以实数w 的可能的取值为25,1,36. 故选：ABC【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（ ）A. 1058b b =B. {}n b 是等比数列C. 130105a b =D.357246209193a a a a a a ++=++【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，求出数列{}n a 的公差，可得出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列{}n b 是等比数列，然后利用数列{}n a 的通项公式即可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =， 由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，()116129129n n a a n d +∴=+-=，2na nb =，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误； 3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=， 所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题. 11.已知曲线()32213f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A.196B. 3C.103D.92【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得出()f x 的导数，可令切点的横坐标为m ，求得切线的斜率，由题意可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得a 的范围，即可得答案. 【详解】解：由题可知，322()13f x x x ax =-+-， 则2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >， 可得切线斜率2223k m m a =-+=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根， 且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨>⎩，即48(3)0302a a -->⎧⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<， a ∴的取值可能为196，103.故选：AC.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.12.在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）A. 若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B. 若点P 到点A 2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C. 若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D. 若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据1BD ⊥平面1AB C ，判断点P 的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为1PB PC +=，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点P 的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ，所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥，同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥， 所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线， 即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ， 球心A 到平面11BCC B 的距离为1，则()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的距离就是点P 到点B 的距离， 即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确； D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，则PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PNAD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，则221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=， 则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________．【答案】1(0,)2【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数m 的取值范围.【详解】解：由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题.14.已知定义在(),-∞+∞的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()112f -=-，若()1212f x -≥-，则x 的取值范围________．【答案】01x ≤≤ 【解析】 【分析】由题意结合偶函数的性质可得()()1112f f =-=-，再由函数的单调性即可得1211-≤-≤x ，即可得解.【详解】因为()f x 为偶函数，()112f -=-，所以()()1112f f =-=-， 又()f x 在[)0,+∞单调递减，()1212f x -≥-， 所以1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤. 所以x 的取值范围为01x ≤≤. 故答案为：01x ≤≤.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15.若()()()()()1721617012161721111x a a x a x a x a x -=+++++++++，则（1）01216a a a a ++++=________； （2）123162316a a a a ++++=________．【答案】 (1). 1721+ (2). ()161712⋅-【解析】 【分析】（1）化简二项式为()7171[3)]2(1x x =-+-，利用通项，求得171a =-，再令11x +=，求得0121611772a a a a a +++=++，即可求解；（2）令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，求得()()()161217162117117(2)g a a x a x x x '=-⋅+++-=++，根据()0g '和（1）中171a =-，即可求解.【详解】（1）由题意，可化为()7171[3)]2(1x x =-+-，由1717171717[(1)](1)T C x x =-+=-+，可得171a =-，令11x +=，即0x =时，可得0121611772a a a a a +++=++，所以10121771167221a a a a a =-+=++++.（2）令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，则()()()()1516121617161217(216111)7g a a x x a x a x x '==++++⋅+-+-+，则()12161617216177012a a a g a =++++'=-⋅，由（1）可得171717a =-， 所以161612316123721717()1126a a a a ++++=-⋅+=⋅-.【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.已知1e ，2e 是平面上不共线的两个向量，向量b 与1e ，2e 共面，若11e =，22e =，1e 与2e 的夹角为3π，且11b e ⋅=，22b e ⋅=，则b =________．【解析】 【分析】设12b xe ye =+，由已知11b e ⋅=，22b e ⋅=可得1x y +=，42x y +=，从而可求出21,33x y ==，则212213b e e ⎛⎫=+ ⎪⎝，即可求出模长. 【详解】解：设12b xe ye =+，因为1e 与2e 的夹角为3π， 所以1212cos 13e e e e π⋅== ，则()122111121b e e x e ye e x e ye y x ⋅=⋅=++⋅=+=，()2222112242b e e y xe e x y x y e e e ⋅=⋅=+⋅=++=，解得21,33x y ==，则222121212214144442333999999b e e e e e e ⎛⎫=+=++⋅=++= ⎪⎝⎭， 故答案为:23. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知12,e e 表示b .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在直角梯形12AO O C 中，12//AO CO ，112AO O O ⊥，124O O =，22CO =，14AO =，点B 是线段12O O 的中点，将1ABO △，2BCO △分别沿AB ，BC向上折起，使1O ，2O 重合于点O ，得到三棱锥O ABC -．试在三棱锥O ABC -中，（1）证明：平面AOB ⊥平面BOC ；（2）求直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，得出AO OC ⊥，而AO OB ⊥，根据线面垂直的判定定理证出AO ⊥平面BOC ，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面AOB ⊥平面BOC ； （2）以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出()2,0,0OC →=和平面ABC 的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值． 【详解】解：（1）由题知：在直角梯形12AO O C 中，()222121220AC AO CO O O =-+=，所以在三棱锥O ABC -中，222AC AO OC =+， 所以AO OC ⊥， 又因为AO OB ⊥，COOB O =，所以AO ⊥平面BOC ， 又因为AO ⊂平面AOB ， 所以，平面AOB ⊥平面BOC .（2）由（1）知：AO OC ⊥，AO OB ⊥，又BO OC ⊥，以O 为坐标原点，以,,OC OB OA 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系O xyz -，所以()0,0,4A ，()0,2,0B ，()2,0,0C ，()2,0,0OC →=， 设(),,n x y z =为平面ABC 的法向量，()0,2,4AB →=-，()2,2,0BC →=-，由00n AB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得240220y z x y -=⎧⎨-=⎩，令2x =得：()2,2,1n =，设直线OC 与平面ABC 所成角为θ，所以2sin 3C OC O nnθ→→→→==⋅⋅， 所以直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力.18.已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行第二行 4 6 9第三行 12 8 7请从①12a =，②11a =，③ 13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩．【解析】 【分析】(1)分别代入①12a =，②11a =，③ 13a =，结合已知条件可判断11a =，24a =，37a =，求出数列的公差，即可求出通项公式. (2)由(1)知()()12132n n b n +=--，当n 为偶数时，结合数列的求和的定义求出22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()1233n a a a a =-+++，由等差数列的求和公式即可求解；当n 为奇数时，1n n n T T b -=+即可求解.【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,6,7a a a ===不是等差数列，1232,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,7a a a ===不是等差数列，1232,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,8a a a ===不是等差数列，1232,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a =， 则公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n N ∈， 若选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,6,7a a a ===不是等差数列，1233,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,4,7a a a ===不是等差数列，1233,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有， 1233,4,8a a a ===不是等差数列，1233,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可知：32n a n =-，*n N ∈. （2）由（1）知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343441n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-+-++++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-+++=-⨯=-+，当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ， 2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩ 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论.19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC的面积S = （2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围． 【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）(]6,9． 【解析】 【分析】（1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得3A π=，再判断①②不能同时成立，最后根据③④判断能同时成立的第三个条件；（2）首先利用正弦定理边角互化，表示b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数恒等变形表示周长L 6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最后根据角B 的范围求周长的取值范围. 【详解】解：因为sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ 所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+ 即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=- 所以()()sin sin A B C A -=- 因为A ，B ，()0,C π∈，所以A B C A -=-，即2A B C =+，所以3A π=（1）ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下：若ABC 同时满足条件①②则由正弦定理得sin sin 1b B a A ==>，这不可能 所以ABC 不能同时满足条件①②， 所以ABC 同时满足条件③④所以ABC 的面积11822sin 2A b S bc ==⨯⨯=⨯所以5b =与②矛盾所以ABC 还同时满足条件①③④（2）在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin b c aB C A===因为23C B π=-，所以b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2s sin 3in 3a b B L c B π⎤⎛⎫=++=+-+⎪⎥⎝⎭⎦co 13s 62B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以ABC 周长L 的取值范围为(]6,9.【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：（1）求一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求()P k 取最大值时的值．【答案】（1）(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩；（2）分布列见解析，数学期望为910；（3）6．【解析】 【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；（3）由()10103255k kk P k C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列出不等式组由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得k 的值，即可求解. 【详解】（1）由题意，当(]0,228x ∈时， 3.25y x =； 当(]228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-； 当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===， ()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===，故随机变量ξ分布列为：所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意知()()1010320,1,2,3,1055kkkP k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，*k N ∈， 所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21.已知函数()ln xf x ae x =，（其中 2.71828e =是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在定义域()0,∞+上单调递增；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】 【分析】（1）先求得()()l 1,n 0,x x f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数可得1ln 1x x +≥恒成立，故可得()f x 的单调区间.（2）()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立等价于()l n n l x xae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，就1x ae ≥和1x ae <结合()ln H x xx=的单调性分类讨论可得x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，参变分离后再次利用导数可求a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()ln xf x ae x =，所以()()l 1,n 0,x x f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭. 令()ln 1k x x x=+，则()21x k x x -'=，当()0,1x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增． 所以()()110k x k ≥=>，又因为0a >，0x e >， 所以()0f x '>，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增.（2）由()0h x >得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+，所以()ln ln ln xx xaex x ae x a ae +<=，即()l n n l xxae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，设()ln H x x x =，则()21ln xH x x-'= 所以，当()0,1x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增， 且当()1,x ∈+∞时，()0H x >，当()0,1x ∈时，()0H x <， 若1x ae x ≥>，则()()0xH aeH x ≥>，若01x ae <<，因为()()xH aeH x >，且()H x 在()0,1上单调递增，所以xaex >，综上可知，x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，即x xa e>对任意()0,1x ∈恒成立. 设()xxG x e=，()0,1x ∈，则()10x x G x e -'=>，所以()G x 在()0,1单调递增， 所以()()11a G x G e <=≤，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题.22.已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切．（1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点． （ⅰ）求出圆W 标准方程；（ⅱ）已知斜率等于1-的直线2l ，交曲线C 于E ，F 两点，交圆W 于P ，Q 两点，求EF PQ的最小值及此时直线2l 的方程．【答案】（1）24x y =；（2）（ⅰ）()2232x y -+=；（ⅱ）EF PQ时直线2l 的方程为1y x =-+． 【解析】 【分析】（1）设(),M x y ，由题意结合圆的性质可得222MO OA MA +=、2r y MA =+=，代入化简即可得解；（2）（ⅰ）设圆W 与曲线C 的公共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，圆W 的标准方程()()2220x a y a -+=>，由题意可得曲线C 在T 的切线l 与圆W 相切即lWT ⊥，由直线垂直的性质及点T 在圆W 上即可得解；（ⅱ）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+，联立方程组结合弦长公式可得EF ，由垂径定理可得PQ ，确定m 的取值范围后，通过换元、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，直线1l 过坐标原点O ，所以坐标原点O 为AB 的中点，2AO =，所以MO AO ⊥，设(),M x y ，所以222MO OA MA +=，又因为圆M 与直线20y +=相切，所以圆M 的半径2r y MA =+=， 所以()22242x y y ++=+，化简得M 的轨迹C 的方程为24x y =；（2）（ⅰ）由（1）知曲线C24x y =，设()24x f x =，则()2x f x '=， 设圆W 与曲线C 的公共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则曲线C 在T 的切线l 的斜率()2t k f t '==， 由题意，直线l 与圆W 相切于T 点，设圆W 的标准方程为()()2220x a y a -+=>，则圆W 的的圆心为(),0a ，则直线WT 的斜率()2244WTt t kt a t a ==--， 因为l WT ⊥，所以()2124t t t a ⋅=--，即()380t t a +-= ， 又因为()22224t t a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以2232284t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6441280t t +-= 令2t λ=，则3241280λλ+-=，所以()()322481280λλλ-+-=即()()248320λλλ-++=，所以4λ=，所以2t =，3a =，从而圆W 的标准方程为()2232x y -+=； （ⅱ）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+，由24y x mx y=-+⎧⎨=⎩得2440x x m +-=，所以124x x +=-，124x x m =-，所以EF ==又因为圆W 的圆心()3,0到直线PQ，所以PQ ==所以EF PQ ==， 由于2l与曲线C 、圆W 均有两个不同的交点，∴16160m ∆=+>⎧<，解得15m <<，令()12,6m u +=∈，则1m u =-，则EF PQ ==≥=当且仅当12u u=，即u =1m =-时取等号， ∴当1m =时，EF PQ此时直线2l 的方程为1y x =-+.【点睛】本题考查了动点轨迹的求解与圆的方程的确定，考查了与圆、抛物线相关的公切线、弦长问题，考查了运算求解能力，属于难题.。
山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2020届高三数学月模拟考试试题(PDF)答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.B 2.A 3.D 4.C
5. A 6.C 7. C 8.A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
cosA
3 5
，，再根据正弦定理和面积公式
S
ABC
45 sin C cos C 45 sin 2C .
4
4
【详解】解:若选择条件①，则答案为:
(1)在 ABC 中，由正弦定理得 3sinAsinC 4sinCcosA ，
因为 sin C 0 ，所以 3sinA 4cosA,9sin2A 16cos 2A ，
………………………………………………1 分
又 BE BF =2 ，所以 EF // SD . ……………………………………2 分 ES FD
因为 EF 平面 ACE ， SD 平面 ACE ，所以直线 SD // 平面 ACE .
……………………………………4 分
（2）平面 SCD 平面 ABCD ，平面 SCD 平面 ABCD CD ， BC 平面 ABCD ，
错的得 0 分。ຫໍສະໝຸດ 9.ABD10.BC
11.BC
12.ABD
三、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 6 , 135
14. 9 15. 3
16. 114 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤。
17.【分析】
2020年山东高三三模数学试卷
2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（ ）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（ ）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（ ）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（ ）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（ ）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（ ）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（ ）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是 ．14.已知，则 ．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为 ；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是 ．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形， 平面，，分别为，的中点， ， ， ．证明： ．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农 女果农 总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且， 且，因为为中点，所以 且，所以 且，所以四边形为平行四边形，所以 且 ，因为 ，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，所以 ，又因为 ，所以，在 中，因为，（1）证明见解析．（2） ．19.（2）所以 ，即 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ．因为平面， ，所以以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ，， ， ，设平面的一个法向量 ，则 ，即 ，令 得 ，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为 ．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。