宁夏大学附中九年级(上)期中数学试卷解析版

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列命题中正确的是（ ）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形2．若线段c满足＝，且线段a＝4cm，b＝9cm，则线段c＝（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（ ）A．B．C．D．4．用配方法解方程3x2﹣6x+1＝0，则方程可变形为（ ）A．（x﹣3）2＝B．3（x﹣1）2＝C．（3x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝5．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）A．1000（1+x）2＝1000+440B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000D．1000（1+2x）＝1000+4407．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率为（ ）A．B．C．D．8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）A．3B．4C．5D．6二、填空题（每小题3分，共24分）9．一元二次方程﹣x2＝x的解是 ．10．如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为 ．11．若关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，如果AD＝2cm，AB ＝6cm，AE＝1.5cm，则EC＝ cm．13．已知x1＝3是关于x的一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根x2是 ．14．在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为 ．15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长是 ．16．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，那么∠AFC 的度数为 ．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）选用适当的方法，解下列方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）3x2﹣x﹣1＝0．18．（6分）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）α＝ ，它们的相似比是 ．（2）求边x、y的长度．19．（6分）小明同学报名参加学校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：立定跳远（用B表示）．（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率为 ；（2）小明从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．20．（6分）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．（1）求证：四边形DECF是平行四边形．（2）当AC、BC满足何条件时，四边形DECF为菱形？21．（6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？22．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）23．（8分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴的正半轴上的点，且S△AOE＝，求经过D、E两点的直线解析式．25．（10分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为多少度？（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．2020-2021学年宁夏大学附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列命题中正确的是（ ）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．2．若线段c满足＝，且线段a＝4cm，b＝9cm，则线段c＝（ ）A．6cm B．7cm C．8cm D．10cm【分析】根据线段c满足＝，a＝4cm，b＝9cm，代入计算即可求出线段c的值．【解答】解：∵线段c满足＝，a＝4cm，b＝9cm，∴＝，∴线段c＝6cm；故选：A．3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】首先利用列举法可得：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；∴出现两个正面朝上的概率是：．故选：D．4．用配方法解方程3x2﹣6x+1＝0，则方程可变形为（ ）A．（x﹣3）2＝B．3（x﹣1）2＝C．（3x﹣1）2＝1D．（x﹣1）2＝【分析】本题考查分配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：原方程为3x2﹣6x+1＝0，二次项系数化为1，得x2﹣2x＝﹣，即x2﹣2x+1＝﹣+1，所以（x﹣1）2＝．故选D．5．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．【解答】解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；当∠ABD＝∠CBD时，由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；故选：C．6．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）A．1000（1+x）2＝1000+440B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000D．1000（1+2x）＝1000+440【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440，故选：A．7．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y＝﹣x+5上的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】列举出所有情况，看落在直线y＝﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．【解答】解：共有36种情况，落在直线y＝﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．1 234 5 61（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【解答】解：∵ABCD是菱形，∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24，∴AC＝6，∵AH⊥BC，AO＝CO＝3，∴OH＝AC＝3．故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）9．一元二次方程﹣x2＝x的解是　x1＝0，x2＝﹣1　．【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：﹣x2＝x，x2+x＝0，x（x+1）＝0，x＝0，x+1＝0，x1＝0，x2＝﹣1，故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．10．如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为　40m　．【分析】根据两边对应成比例且夹角相等，即可得出△ABC∽△DEC，进而依据DE的长，即可求出AB的长．【解答】解：∵CD＝AC，CE＝BC，∴＝＝，又∵∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△DEC，∴＝＝，∵DE＝20m，∴AB＝40m，故答案为：40m．11．若关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m＜﹣　．【分析】由方程有两个不相等的实数根得出△＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解之即可．【解答】解：根据题意，得：△＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣m）＞0，解得m＜﹣，故答案为：m＜﹣．12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，如果AD＝2cm，AB ＝6cm，AE＝1.5cm，则EC＝　3　cm．【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，解得：AC＝4.5cm，∴EC＝AC﹣AE＝4.5﹣1.5＝3（cm），故答案为：3．13．已知x1＝3是关于x的一元二次方程2x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根x2是　﹣1　．【分析】利用根与系数的关系得到3+x2＝2，然后解一次方程即可．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣＝2，即3+x2＝2，所以x2＝﹣1．故答案为﹣1．14．在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为　8　．【分析】先求出摸到红球的频率，再利用红球个数＝总数×摸到红球的频率，进而得出答案．【解答】解：设红色小球有x个，根据题意得：＝0.8，解答：x＝8，经检验x＝8是原方程的根，故答案为：8．15．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长是　16　．【分析】由矩形的性质可得OC＝OD＝OA＝OB＝4，通过证明四边形DOCE是菱形，可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝8，AO＝CO，BO＝DO，∴OC＝OD＝OA＝OB＝4，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，又∵OD＝OC，∴四边形DOCE是菱形，∴四边形CODE的周长＝4×4＝16，故答案为16．16．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，那么∠AFC 的度数为　112.5°　．【分析】根据正方形的性质就有∠ACD＝∠ACB＝45°＝∠CAE+∠AEC，根据CE＝AC 就可以求出∠CAE＝22.5°，在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°．∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC，∴∠CAE+∠AEC＝45°．∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC，∴∠CAE＝22.5°．∵∠CAE+∠ACD+∠AFC＝180°，∴∠AFC＝112.5°．故答案为：112.5°．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）选用适当的方法，解下列方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）3x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．【解答】解：（1）（x﹣6）（x+2）＝0，x﹣6＝0或x+2＝0，所以x1＝6，x2＝﹣2；（2）∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13，∴x＝＝∴x1＝，x2＝．18．（6分）如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．（1）α＝　83°　，它们的相似比是 ．（2）求边x、y的长度．【分析】（1）根据相似多边形的性质求出∠A′、∠B′，以及相似比，根据四边形的内角和定理求出∠C′；（2）根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴∠A′＝∠A＝62°，∠B′＝∠B＝75°，∴∠C′＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，它们的相似比为：＝，故答案为：83°；；（2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴＝＝，解得，x＝12，y＝．19．（6分）小明同学报名参加学校运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：立定跳远（用B表示）．（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率为 ；（2）小明从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率P＝；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为6，所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率P1＝＝．20．（6分）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．（1）求证：四边形DECF是平行四边形．（2）当AC、BC满足何条件时，四边形DECF为菱形？【分析】（1）先由中位线定理得到DF∥BC，DF＝BC＝EC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DECF是平行四边形；（2）当AC＝BC时，四边形DECF为菱形，由中点的性质可得CE＝CF，即可证平行四边形DECF为菱形．【解答】证明：（1）∵D、F分别为边AB、CA的中点．∴DF∥BC，DF＝BC，∵E为边BC的中点∴EC＝BC，∴DF＝EC，且DF∥EC∴四边形DECF是平行四边形，（2）当AC＝BC时，四边形DECF为菱形；理由如下，∵E、F分别为边BC、CA的中点，∴EC＝BC，CF＝AC，且AC＝BC∴EC＝CF，∴平行四边形DECF是菱形．21．（6分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？【分析】日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），把相关数值代入求解即可．【解答】解：由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，化简得：x2﹣35x+300＝0，解得：x1＝15，x2＝20，∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去，∴x＝20．答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．22．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可；（2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：（1）如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC即AB∥DF，∴∠1＝∠2，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE．在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）．（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝FC，∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形，∴AD＝BC，∵AF＝AD，∴AF＝BC，∴四边形ABFC是矩形．四、解答题（本共4道题，其中23、24题每题8分，25、28题每题10分，共38分）23．（8分）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m，另外三边用木栏围着，木栏长40m．（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场平行于墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．【分析】（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据矩形的面积公式结合养鸡场面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x值，将其代入40﹣2x中可求出鸡场平行于墙的一边长；（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据矩形的面积公式结合养鸡场面积为200m2，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣100＜0即可得出假设不等式，即养鸡场面积不能达到250m2．【解答】解：（1）设鸡场垂直于墙的一边长为xm，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2x）m，根据题意得：x（40﹣2x）＝200，解得：x1＝x2＝10，∴40﹣2x＝20．答：鸡场平行于墙的一边长为20m．（2）假设能，设鸡场垂直于墙的一边长为ym，则鸡场平行于墙的一边长为（40﹣2y）m，根据题意得：y（40﹣2y）＝250，整理得：y2﹣20y+125＝0．∵△＝（﹣20）2﹣4×1×125＝﹣100＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即养鸡场面积不能达到250m2．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB 的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴的正半轴上的点，且S△AOE＝，求经过D、E两点的直线解析式．【分析】（1）求出已知方程的解即可得到OA与OB的长；（2）过D作DF垂直于x轴，易得三角形ABO与三角形DCF全等，进而求出DF与OF 的长，确定出D的坐标，根据三角形AOE面积求出OE的长，确定出E的坐标，利用待定系数法求出直线DE解析式即可．【解答】解：（1）方程x2﹣7x+12＝0，因式分解得：（x﹣3）（x﹣4）＝0，解得：x1＝3，x2＝4，∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；（2）过D作DF⊥x轴，交x轴于点F，由平行四边形ABCD，易得△ABO≌△DCF，∴DF＝AO＝4，CF＝OB＝3，∵AD＝5，∴BC＝OB+OC＝OC+CF＝5，即OF＝5，∴D（5，4），∵点E为x轴的正半轴上的点，且S△AOE＝，∴设E（e，0），即OE＝e，∴×4e＝，即e＝，即E（，0），设直线DE解析式为y＝kx+b，把E与D坐标代入得：，解得：，则直线DE解析式为y＝x﹣．25．（10分）如今很多初中生购买饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A：自带白开水；B：瓶装矿泉水；C：碳酸饮料；D：非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图（如图），根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为多少度？（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在自带白开水的5名同学（男生2人，女生3人）中随机抽取2名同学做良好习惯监督员，请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率．【分析】（1）由B类型的人数及其百分比求得总人数，在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数，即可补全条形图；（2）用360°乘以样本中C饮品人数占被调查人数的比例可得；（3）用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）∵抽查的总人数为：20÷40%＝50人，∴C类人数＝50﹣20﹣5﹣15＝10人，补全条形统计图如下：（2）“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角度数为：10÷50×360°＝72°；（3）画树状图得：所有等可能的情况数有20种，其中一男一女的有12种，所以P（恰好抽到一男一女）＝＝．26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当△BPQ和△BAC相似时，求此时x的值．【分析】（1）首先运用勾股定理求出AB边的长度，然后根据路程＝速度×时间，分别表示出BQ、PB的长度．（2）由于∠B＝90°，如果△PBQ为等腰三角形，那么只有一种情况，即BP＝BQ，由（1）的结果，可列出方程，从而求出x的值．分两种情形，构建方程求出相似时，x的值即可．【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AC＝10cm，BC＝6cm，∴AB＝＝＝8（cm）．由运动可知：BQ＝x（cm），PA＝2x（cm），∴PB＝（8﹣2x）cm．（2）由题意，得8﹣2x＝x，∴x＝．∴当x＝时，△PBQ为等腰三角形．当BP：BA＝BQ：BC时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：8＝x：6，解得x＝，当BP：BC＝BQ：AB时，两三角形相似，此时（8﹣2x）：6＝x：8，解得x＝，综上所述，满足条件的x的值为或．。