河南省实验高中2021届高三上学期12月模拟数学(文科)试题 Word版含答案

河南省实验中学2021届高三模拟试卷

数学（文科）

2020．12

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集I R =，集合{}

2

340A x x x =--≥∣，{}

21B y N y x =∈=+，则()

I C A B =（ ）

A ．{}1,1-

B ．{}0,1

C ．{}3

D ．{}1,3

2．若复数1Z ，2Z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，11Z i =-，则1

2

Z Z =（ ） A ．i

B ．i -

C ．1

D ．1-

3．已知两个命题:p 对任意x ∈R ，总有2

2x

x >；:q “1ab >”是“1a >，1b >”的充分不必要条件．则下列说法正确的是（ ） A ．p q ∨为真命题

B ．q ?为假命题

C ．p q ∧为假命题

D ．()p q ?∨为假命题

4．设平向量(2,3)a =-，(1,2)b =-，则若(2)//(3)a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．

32

B ．

23

C ．23

-

D ．32

-

5．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，26a =，3a 是1a ，9a 的等比中项，则{}n a 的前5项之和5S =（ ）

A ．30

B ．45

C ．63

D ．847

6．函数1()sin ln

1x f x x -?

?

= ?+??

的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．斗拱是中国典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是棱台与长方体形凹槽（长方体掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是2400cm ，2

900cm ，高为9cm ，长方体形槽的高为12cm ，斗的密度是3

0.50/g cm ．那么这个斗的质量是（ ）

图一 图二 图三 A ．3990g

B ．3010g

C ．6900g

D ．6300g

8．若以抛物线()220y px p =>上的点()1,P a 为圆心，2为半径的圆恰好与抛物线的线相切，则a 的值为（ ） A ．2±

B ．2

C ．2-

D ．1±

9．已知样本数据点集合

(){},1,2,

,i

i x y i n =，得的回归直线方程为? 1.50.5y

x =+，3x =，现发现两个数据点()1.2,2.2和()4.8,7.8误差较大，去除后重新求得的归直线l 的斜率为1.2，则（ ） A ．变量x 与y 具有负相关关系 B ．去除后的回归方程为? 1.2 4.4y

x =+ C ．去除后y 的估计值增加速度变快

D ．去除后机应于样本点()2,3.75的残差为0.05

10．已知函数()f x 定义域为R ，且满足下列三个条件①任意12(4,0)x x ≠∈-，都有()()

2121

0f x f x x x ->-；

②()(4)f x f x =-+；③(4)y f x =+为偶函数，则（ ） A ．(2019)(15)(2)f f f >> B ．(2)(2019)(15)f f f >> C ．(2)(15)(2019)f f f >>

D ．(15)(2)(2019)f f f >>

11．设椭圆22

122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心率为34

，双曲线

22

222:1(,0)x y C m n m n

-=>的渐近线交椭圆1C 于点P ，12PF PF ⊥，双曲线2C 的离心率是（ ）

A

B

．

8

C

．

4

D

．

2

12．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，E ，F 分别为BB '，C D ''的中点，

点P 在平面ABB A ''

中，PF =N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ）

①点P 的轨迹长度为2π；

②线段FP 的轨迹与平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP

的最小值为

10

5

； ④过A 、E 、F

作正方体的截面，则该截面的周长为103A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知实数x ，y 满足约束条件20201x y x y x +-≤??

--≤??≥?

，则2z x y =-的最大值为________．

14．已知数列{}n a 满足()2*12323n a a a na n n +++=∈N ．设()1(1)n n n n b a a +=-+，数列{}n b 的前n

项和为n S ，则100S =________．

15．已知点()4,1A -，()8,2B 和直线:10l x y --=，动点(),P x y 在直线l 上，则PA PB +的最小值为________．

16．已知函数1()x

f x e ex =+

（其中e 为自然对数的底数）若关于x 的方程2()x

m f x e x

?=有4个实根，则实数m 的取值范围为________．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．

17．在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =． （1）若

sin sin 2

sin sin C A b B A c

--=+，求角B ；

（2）若2c b =，当角B 最大时，求ABC ?的面积．

18．华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近40%！小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表．定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”．

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

（1）将列表填充完整，并判断是否有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？

（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出6个人，再随机抽2人，求恰好抽到的两人都是非年轻用户的概率．

19．已知四边形ABCD 是梯形（如图甲）．//AB CD ，AD DC ⊥，4CD =，2AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE ?折起，使点D 到达点P 的位置（如图乙），2PB =．

甲 乙

（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ； （2）求点A 到平面PBE 的距离．

20．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，长轴的长度为4．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设()1,0P ，过点P 做两条直线1l ，2l ，直线1l 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线2l 与椭圆C 交于D 、

E 两点，AB 的中点为M ，DE 的中点为N ；若直线1l 直线2l 的斜率之积为1

3

，判断直线MN 是否过定

点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由． 21．已知函数()2ln 1a

f x x x

=+

+的图象在()()2,2f 处切线与直线3420x y -+=平行． （1）求实数a 的值，并判断()f x 的单调性；

（2）若函数()()21g x f x m =--有两个零点1x ，2x ，且12x x <，证明121x x +>．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，已知曲线C 的普通方程为2

2

210250x y x y +--+=，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，线l 的极坐标方程为()4

π

θρ=∈R ．

（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的参数方程；

（2）过直线l 上的任意一点G 向曲线C 引切线GQ ，Q 为切点，求切线GQ 的最短长度． 23．已知不等式|22||2|2x x +-->的解集为M ．

（1）求集合M ；

（2）已知t 为集合M 中的最小正整数，若1a >，1b >，1c >，且(1)(1)(1)a b c t ---=，求证：8abc ≥．

河南省实验中学2021届高三模拟试卷

文数答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1-5：DACDB

6-10：BCABD

11-12：AC

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．4

14．

100

101

1516．21,04e ??

-

???

三、解答题（本大题满分70分）

17．解：（1）由正弦定理可得

2

c a b b a c

--=+， 即

c a b a

b a c

--=+ 所以()()()b a b a c a c +-=-，化简可得2

2

2

c a b ac +-=，

有余弦定理得2cos ac B ac =，即1

cos 2

B =

，

因为0B π<<，所以3

B π

=

．

（2）在ABC ?中，22

2

2cos b a c ac B =+-，2c b =，

243cos 82b B b +∴=≥，当且仅当3

b =时取等号，

此时6

B π

=

，2

C π

=

，所以S =

18．解：（1）填写列联表为：

由表中数据，计算22

100(12362428)25

1.042

2.7064060366424

K ??-?=

=≈

6236

?

=人，记为A 、B ，非年轻用户有624-=人，记为c 、d 、e 、f ． 设“从这6人中再随机抽2人，恰好抽到的两人都是非年轻用户”为事件A ， 从这6人中再随机抽2人，基本事件为：

AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共15种

恰好抽到的两人都是非年轻用户的基本事件为：

cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共6种，

所以62()155P A =

=． 故所求的概率为

25

19．解：（1）证明：连接BE ，因为//AB CD ，AD DC ⊥，4CD =，E 为CD 的中点，2AB AD ==，所以四边形ABED 是边长为2的正方形，且BE EC =． 取AE 的中点M ，连接PM ，BM ．

因为2AP PE ==，所以PM AE ⊥，BM AE ⊥，且AE =PM AM BM ===

又2PB =，所以2

2

2

PM MB PB +=，所以PM MB ⊥． 又AE

MB M =，所以PM ⊥平面ABCE ．

又PM ?平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面ABCE ．

（2）解：由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，PBE ?为正三角形且边长为2． 设点A 到平面PBE 的距离为d ， 则11

33

P ABE ABE PBE V S PM S d -??=

??=??

所以21112223234

d ?

??=???，

解得3

d =

故点A 到平面PBE

的距离为

3

甲 乙 20．解：（1）由题意知24a =

，c e a ==， 所以2a =

，c = 由2

2

2

a b c =+可得2

1b =，

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=． （2）由题意知的1l ，2l 斜率必存在

设1l 的斜率为1k ，2l 的斜率为2k ，()11,A x y ，()22,B x y

设1l 的方程为1(1)y k x =-，联立122

(1)14

y k x x y =-??

?+=?? 消元可得(

)

2

222

111148440k x k x k +-+-=，

0?>恒成立，由韦达定理211221814k x x k +=

+；21122

144

14k x x k -=+ 所以2

12

1

414M k x k =+，()1121114M M k y k x k -=-=+

同理可得222122212114494

11494149N k k x k k k ?

===+++?，21122

2121

1

3311494149N k k k y k k k -

--===+++? ()()()()()11

22

221111111

22222

1111122

113314919414444144944139414MN

k k k k k k k k k k k k k k k k k -+-+++++===+-++-

++ ()1122211134:9494413k k MN y x k k k ??

-∴-=- ?+++??

即()

1

21(4)413k y x k =

-+

∴直线MN 过定点，且定点坐标为()4,0

21．解：（1）由题知，22()a

f x x x

'=

-，((0,))x ∈+∞， (2)14

a

f '∴=-，

由题意知，3144

a -

=， 可解得1a =．

221

()x f x x

-'∴=

∴当10,2x ??

∈ ???

时，()0f x '<，()f x 单调递减，

当1,2x ??

∈+∞

???

时，()0f x '>，()f x 单调递增． （2）证明：由题意知()()210g x f x m =--=，即1

2ln 2x m x

+

= 令1()2ln F x x x =+

，221()F x x x '=-知()F x 在10,2x ??∈ ???递减，1,2??

+∞ ???

递增． 121

02

x x ∴<<

<

112

212ln 212ln 2x m x x m

x ?

+=??

?

?+=??

， 112

212

2ln

x x x x x x -∴= 设

1

2

(01)x t t x =<<， 则112ln t x t -=，2112ln t x t -

=，121

2ln t t x x t

-

+= 设1

()2ln (01)h t t t t t =--<<，212

()10h t t t

'=+

-≥， ()h t ∴为()0,1上增函数，

(1)0h =，()0h t ∴<，

又01t <<，ln 0t ∴<，121

12ln t t x x t

-

∴+=

>， 综上可知，121x x +>．

22．解：（1）依题意得，直线l 的普通方程为0x y -=， 曲线C 的普通方程为2

2

210250x y x y +--+=， 即2

2

(1)(5)1x y -+-=

∴曲线C 的参数方程为1cos 5sin x y θθ=+??=+?

（θ为参数）

综上，直线l 的普通方程为0x y -=，曲线C 的参数方程为1cos 5sin x y θ

θ

=+??

=+?（θ为参数）；

（2

）因为||GQ ，要使切线长GQ 最短，则需CG 最短，

CG 的最小值为圆心()1,5C 到直线l

=

GQ =∴切线GQ

．

23．解：（1）|22||2|2x x +-->等价于

1

22(2)2x x x ≤-??

---->? 或1222(2)2x x x -<?

或2

22(2)2

x x x ≥??

+-->?

解得6x <-或

2

23

x <<或2x ≥， 则2(,6)

,3M ??=-∞-+∞ ???

． （2）证明：由（1）可得1t =，1a >，1b >，1c >，且(1)(1)(1)1a b c ---=，

则(1)10a a =-+≥>，（当且仅当2a =时等号成立），

(1)10b b =-+≥>，（当且仅当2b =时等号成立），

(1)10c c =-+≥>，（当且仅当2c =时等号成立），

则8abc ≥=，（当且仅当2a b c ===时等号成立），即8abc ≥