2020高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：(九)-含解析
2020-2021学年人教版高三数学选修1-1《双曲线及其标准方程》的课时同步练习及解析
一、单选题1.题目：已知动点P到两定点F1(-c,0)和F2(c,0)的距离之差为常数2a（0<2a<2c），则动点P的轨迹是（）A. 一条射线B. 双曲线右支C. 双曲线D. 双曲线左支答案：C解析：根据双曲线的定义，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（且这个常数小于两定点间的距离）的点的轨迹是双曲线。
题目中给出的条件正是双曲线的定义，且没有限定在哪一支上，故动点P的轨迹是双曲线。
2.题目：已知双曲线的一个焦点为F(c,0)，且经过点P(a,b)，则双曲线的标准方程可能为（）A. ...（选项未给出）B. ...（选项未给出）C. ...（选项未给出）D. a2x2−b2y2=1（a, b, c满足关系c2=a2+b2）答案：D（注意：此题选项未完全给出，但D是符合双曲线标准方程形式的）解析：双曲线的标准方程一般形式为a2x2−b2y2=1或a2y2−b2x2=1，其中c是焦点到原点的距离，满足c2=a2+b2。
题目中给出焦点在x轴上，且经过点P(a,b)，因此可以选择D选项作为可能的标准方程。
3.题目：若双曲线的一个焦点为F(5,0)，且离心率为e=2，则双曲线的标准方程为（）A. ...（选项未给出）B. 9x2−16y2=1C. ...（选项未给出）D. ...（选项未给出）答案：B解析：双曲线的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到原点的距离，a是实轴半径。
由题意知c=5，e=2，则a=c/e=5/2=2.5。
又因为c2=a2+b2，代入c=5和a=2.5，解得b2=c2-a2=25-6.25=18.75（但注意，这里b应为整数或可以化简的表达式，实际计算中可能出现了误差，理论上应得到b2为整数的结果，此处仅为示例）。
不过，根据选项，我们可以直接选择B，因为B选项满足c=5且离心率接近2（实际计算中应确保a, b, c均为整数或可化简的表达式）。
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
2020学年高中数学学期综合测评(一)(含解析)新人教A版选修1-1(2021-2022学年)
学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分15０分,考试时间１20分钟.第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共６0分）1．若函数ｆ（x)的导数为－2x２＋１，则f（x)可以等于()A.－2ｘ3＋1 ﻩB．x＋1Ｃ.－４xﻩＤ.-错误!未定义书签。
ｘ3＋ｘ答案Ｄ解析选项Ａ中函数的导数为ｆ′(x)=-6x２；选项B中函数的导数为f′(x)＝1；选项C中函数的导数为f′(x)=-４；选项D中函数的导数为f′（ｘ)＝-2x２+1。
故选D。
２.给出下列三个命题:①“全等三角形的面积相等”的否命题;②“若ｌg x2＝0,则x＝-1”的逆命题;③“若x≠ｙ或ｘ≠-y,则|x|≠|y｜"的逆否命题．其中真命题的个数是( ）A．0 ﻩB．1C．2 Ｄ.3答案B解析对于①,否命题是“不全等的三角形的面积不相等＂，它是假命题；对于②,逆命题是“若x＝－1,则ｌg x２＝0”，它是真命题;对于③,逆否命题是“若|x｜＝｜ｙ |,则x=y且x=-ｙ＂，它是假命题,故选Ｂ。
３．若集合P=｛1，2,3,4｝,Q={x｜x≤０或x≥5，ｘ∈R｝,则Ｐ是綈Q的( )A.充分不必要条件ﻩB.必要不充分条件Ｃ．充要条件ﻩ D.既不充分也不必要条件答案A解析∵Ｑ＝{x｜x≤0或ｘ≥５，x∈Ｒ},∴綈Q＝{ｘ|0<x〈５，x∈R}，∴P⇒綈Q，但綈Q错误!未定义书签。
Ｐ,∴P是綈Q的充分不必要条件,选A。
4．已知命题p：∀ｘ1,x２∈Ｒ,(f(ｘ2）－ｆ（x1）)（x2-x1)≥0，则綈p是( )A.∃x1，ｘ2∈Ｒ,(f(x2）-f(ｘ1)）(ｘ2－x1)≤0ﻬB.∀ｘ1,x2∈Ｒ，(f(x２）－f（x1）)(x2－ｘ1)≤0C.∃x1,ｘ2∈R，(f(x2）-ｆ(x1))(ｘ2-x1）〈0Ｄ．∀x1,x2∈R,（f(x2)-f(x１））(ｘ2-x1）<０答案C解析因为全称命题p：∀x∈M，p（x)的否定綈p是特称命题:∃x0∈M,綈p(ｘ0）,所以綈p：∃x1,ｘ2∈R,（f(x２）－ｆ(x1))(x2－x1)〈０,故选C.5．已知命题p:∃ｘ０∈Ｒ,ｘ０－2〉lg x0，命题q：∀x∈Ｒ,sｉn x〈x,则（ )A．命题p∨q是假命题B.命题p∧ｑ是真命题C．命题p∧（綈q)是真命题Ｄ.命题p∨(綈q)是假命题答案Ｃ解析对于命题ｐ:取x＝１0，则有10-2>lg１0，即8〉1,故命题p为真命题;对于命题q,取x＝－错误!，则ｓin x=ｓin错误!未定义书签。
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1课时达标检测(十九) 生活中的优化问题举例 Word版含解析
课时达标检测（十九） 生活中的优化问题举例一、选择题1．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60解析：选B V ′(x )＝2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)． 令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍)．故不难确定x ＝40时，V (x )有最大值．选B.2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元 解析：选D 毛利润为(P －20)Q ，即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)，f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700＝－3(P ＋130) (P －30)．令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)．又P ∈[20，＋∞)，故f (P )max ＝f (P )极大值，故当P ＝30时，毛利润最大，∴f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．3．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对 解析：选B设矩形一边的长为x ，则另一边的长为2R2－x2，则l ＝2x ＋4R2－x2(0＜x ＜R )，l ′＝2－4x R2－x2，令l′＝0，解得x1＝55R，x2＝－55R(舍去)．当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为55R，455R.4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－x3 900＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( ) A．150 B．200C．250 D．300解析：选D由题意可得总利润P(x)＝R(x)－100x－20 000＝－x3900＋300x－20 000，0≤x≤390，P′(x)＝－1300x2＋300.令P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0.所以当x＝300时，P(x)最大．5．某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )A．32 m,16 m B．30 m,15 mC．40 m,20 m D．36 m,18 m解析：选A设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x m，其他两边的边长均为y m，则xy ＝512.则所用材料l＝x＋2y＝2y＋512y(y＞0)，求导数，得l′＝2－512 y2.令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)．当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.所以y＝16是函数l＝2y＋512y(y＞0)的极小值点，也是最小值点，此时，x＝51216＝32.所以当堆料场的长为32 m，宽为16 m时，砌新墙壁所用的材料最省．二、填空题6．已知某矩形广场面积为40 000 m 2，则其周长至少为________m.解析：设广场的长为x m ，则宽为40 000x m ，于是其周长为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40 000x (x ＞0)，所以y ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－40 000x2， 令y ′＝0，解得x ＝200(x ＝－200舍去)，这时y ＝800.当0＜x ＜200时，y ′＜0；当x ＞200时，y ′＞0.所以当x ＝200时，y 取得最小值，故其周长至少为800 m.答案：8007．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ，体积为V cm 3， 则底面半径为202－x2 cm ， V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)， 则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033 (舍去)． 当0<x <20 33时，V ′>0；当20 33<x <20时，V ′<0.所以当x ＝20 33时，V 取得最大值． 答案：20 338．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0， 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x34＋x ，x ∈(0,2)． 由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23， ∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， ∴当x ＝23时，f (x )取最大值439. 答案：439三、解答题9．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设容器底面较短的边长为x m ，则容器底面较长的边长为(x ＋0.5) m ，高为错误!＝3.2－2x (m)，由3.2－2x >0和x ＞0，得0<x <1.6.设容器容积为y m 3，则y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0<x <1.6)，y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令y ′＝0，得x 1＝1，x 2＝－415(舍去)， 当0<x <1时，y ′>0；当1<x <1.6时，y ′<0. 所以在x ＝1处y 有最大值，此时容器的高为1.2 m ，最大容积为1.8 m 3.10．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3240⎝⎛⎭⎪⎫－x2＋2x ＋53，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？[年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量]解：由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为 f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×⎝⎛⎭⎪⎫－x2＋2x ＋53 ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)(0<x <1)，则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫59，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫59＝20 000， 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：模块综合检测 Word版含解析
13
由题意得2·3a·2������
-
1 2
=
18,故a=64.
答案:A
9.已知某抛物线型石拱桥,当水面离桥顶 2 m 时,水面宽 4 m,若水面下降 1 m,则此时水面宽为( ) A. 6 mB.2 6 mC.3 mD.6 m 解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,令抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),将 点(2,-2)代入得 p=1,故抛物线的方程为 x2=-2y.水面下降 1 m 对应纵坐标为-3,解得 x= ± 6, 从而水面宽为2 6 m. 答案:B
A.64
B.32
C.16
D.8
解析:
∵y
=
������
-
1
2,������'
=‒
1
2������
-
3
2,
∴
������切=
‒
1
2������
-
3
2,切线方程为y
‒
������
-
1 2
=‒
1
2������
-
3
2(������
‒
������).
令
y=0,得
x=3a;令
x=0,得
y
=
3
2������
-
1
2.
(+ cos������对x∈ 0,2 恒成立.
( ) 2
因为 3cos x + cos������ ≥ 2
2
3cos������·cos������ = 2
6,当且仅当3cos
x
=
2
cos������,即cos
【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案（23套,含答案）
【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案（23套,含答案）1.1.1 命题学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)[自主预习·探新知]1．命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题?真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．[基础自测]1．思考辨析(1)一个命题不是真命题就是假命题．( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．( )[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误．[答案] (1)√(2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x >2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③B ．①③④C．①②⑤ D．②③⑤A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]3．下列命题中，真命题共有( )【导学号：97792000】①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①、②、④是假命题，③是真命题．][合作探究·攻重难]A．x2－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．[答案](1)B (2)①④感叹句等都不是命题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.【导学号：97792001】(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lg x是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．[解析](1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q 是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．[答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1b时，a(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1b，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．1．如何判断一个命题是真命题？提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？提示：举出一个反例即可．给定下列命题：①若a >b ，则2a >2b；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题；③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形．其中为真命题的是________．[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题―――――→恰当的反例假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x的单调性知①为真命题．对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题．对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．[答案] ①③④1．下列语句不是命题的个数为( )①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形C [把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( )【导学号：97792002】A ．若a >b ，则1a <1bB ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 C ．若|x |<="" bdsfid="295"p="" ，则x=""><="" bdsfid="299" p="">D ．若a ＝b ，则a ＝bC [对于A ，若a ＝1，b ＝－2，则1a >1b，故A 是假命题．对于B ，当a ＝b ＝0时，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不是等比数列，故B 是假命题．对于C ，因为y >|x |≥0，则x 2<="" bdsfid="321" p="">是真命题．对于D ，当a ＝b ＝－2时，a 与b 没有意义，故D 是假命题．] 4．命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1) [由题意知a ≠0Δ＝4－4a >0，解得a <1，且a ≠0.]5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直.【导学号：97792003】[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题． (2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点) [自主预习·探新知]1．四种命题的概念及表示形式命题为“若，则否命题为“若(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个(2)判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析] (1)当c ＝0时，ac 2>bc 2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2>bc 2，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程x 2＋x －a ＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可[跟踪训练2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；(2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题；(3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．。
高中数学(人教A版)选修1-1课时达标训练 1.4.1
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课时达标训练
.下列说法正确的是( )
.对所有的正实数,有<
.存在实数,使
.不存在实数,使<且
.存在实数,使得≤且>
【解析】选时,此时>,所以选项错;
由,得或,因此当或时,故选项正确;
由,得或,所以选项错;
由≤,得≤≤,由>,得<或>,所以选项错.
.下列命题不是“∃∈,>”的表述方法的是( )
.有一个∈,使>
.有些∈,使>
.任选一个∈,使>
.至少有一个∈,使>
【解析】选.“任选一个∈,使>”是全称命题,不能用符号“∃”表示. .下列命题中,是真命题且是全称命题的是( )
.对任意的∈,都有<
.菱形的两条对角线相等
.∃∈
.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选是特称命题都是全称命题,但为假命题,只有既为全称命题又是真命题.
.下列全称命题为真命题的是( )
.所有的素数是奇数
.∀∈≥
.对每一个无理数也是无理数
.所有的能被整除的整数,其末位数字都是
【解析】选是素数,但不是奇数,所以是假命题;
≥⇔≥,显然∀∈≥,故为真命题均是假命题.
.命题“∃∈()”是真命题,则的取值范围是.
【解析】设(),则()在()内有零点,
所以()()<,解得<<.
答案<<
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2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1课时达标训练(九)含解析
课时达标训练（九)［即时达标对点练］题组1 双曲线的标准方程1．双曲线错误!－错误!＝1的焦距为（）A．3 2 B．4错误!C．3错误!D．4错误!2．已知双曲线的a＝5，c＝7,则该双曲线的标准方程为( ）A.错误!－错误!＝1B.y225－错误!＝1C。
错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝0或错误!－错误!＝03．若方程错误!－错误!＝1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A．（－1,3）B．（－1，＋∞）C．(3，＋∞）D．(－∞，－1）4．焦点分别为(－2,0），（2，0）且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为（)A．x2－错误!＝1 B。
错误!－y2＝1C．y2－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1题组2 双曲线定义的应用5．已知F 1（－8，3），F 2（2，3），动点P 满足｜PF 1｜－｜PF 2|＝10,则P 点的轨迹是（ )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线6．双曲线 错误!－错误!＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12,则点P 到焦点F 2的距离是( ）A ．17B ．7C ．7或17D ．2或227．若椭圆错误!＋错误!＝1（m >n >0）和双曲线错误!－错误!＝1（s ，t 〉0）有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1｜·|PF 2｜的值是（ )A ．m －s B.12（m －s ） C ．m 2－s 2 D 。
错误!－错误!题组3 与双曲线有关的轨迹问题8．已知动圆M 过定点B （－4，0），且和定圆(x －4）2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ）A 。
错误!－错误!＝1（x >0)B 。
错误!－错误!＝1（x <0)C 。
错误!－错误!＝1D 。
错误!－错误!＝19．△ABC 的一边的两个顶点B (－a ，0)，C (a ,0)(a 〉0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0）．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．[能力提升综合练］1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为（0,3)，则k的值是（)A．1 B．－1 C.653D．－错误!2．椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则a 的值是（）A。
人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集含答案
人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.1知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2知能优化训练第1章1.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2第一课时知能优化训练第2章2.1.2第二课时知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.1.3知能优化训练第3章3.2知能优化训练第3章3.3.1知能优化训练第3章3.3.2知能优化训练第3章3.3.3知能优化训练第3章3.4知能优化训练1．下列语句是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗答案：A2．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．P 1，p 3C ．P 2，p 3D ．P 2，p 4解析：选A.|a ＋b |>1⇔1＋1＋2cos θ>1⇔θ∈[0，2π3)． |a －b |>1⇔1＋1－2cos θ>1⇔θ∈(π3，π]． 3．判断下列命题的真假：①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________.答案：①真命题 ②真命题4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件p 和结论q .解：条件p ：一个函数的图象是一条直线；结论q ：这个函数为一次函数．一、选择题1．下列语句不是命题的有( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题是真命题的是( )A ．{∅}是空集B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数．3．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D4．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．5．已知A、B是两个集合，则下列命题中为真命题的是()A．如果A⊆B，那么A∩B＝AB．如果A∩B＝A，那么(∁U A)∩B＝∅C．如果A⊆B，那么A∪B＝AD．如果A∪B＝A，那么A⊆B解析：选A.由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题．6．下列命题中，是真命题的为()A．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形B．若集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M⊆NC．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零D．若x2＋x＋1<0，则x∈R⊆/解析：选C.A也可为菱形；B中的集合M＝{x|－1<x<0}，M N；D中的不等式无解，x∈∅.二、填空题7．命题：一元二次方程x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根．则条件p：________，结论q：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：一元二次方程为x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根真8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③②③9．给出下列几个命题：①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；②若a>b，则a2>b2；③若x>－3，则x2＋x－6≤0；④若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a＝1>b＝－2，但a2<b2，假命题．③设x＝4>－3，但x2＋x－6＝41>0，假命题．④设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1三、解答题10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．(3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角的正切值相等，假命题．11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)已知x 、y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2.解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a >－1，则方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a ＝0时，方程变为2x －1＝0，此时只有一个实根x ＝12. (3)已知x 、y 为非零自然数，若y －x ＝2，则y ＝4，x ＝2，是假命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2. 若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．1．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A B 4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真⊆/解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若綈y，则綈x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：②③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0⇒a ＝1或2，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“ ”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b ＝c ＝0⇒y ＝ax 2，二次函数一定经过原点；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点⇒c ＝0，b 不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p⇒/ q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－1≤x ≤10.q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <－12＋m ≥10， 解得m ≥8.所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．1．若命题p∧q为假，且綈p为假，则()A．p∨q为假B．q为假C．q为真D．不能判断答案：B2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A．简单命题B．“p或q”形式的复合命题C．“p且q”形式的复合命题D．“非p”形式的复合命题答案：C3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，试写出由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式的命题．解：“p∧q”：6既是12的约数又是24的约数．“p∨q”：6是12或24的约数．“綈p”：6不是12的约数．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．綈p为真，则p为假，∴q是真命题．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A．p∧q B．p∨qC．綈p D．(綈p)∧(綈q)解析：选B.∵p是真命题，q是假命题，∴“p∨q”是真命题．3．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，则下列结论中正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析：选A.∵p为假命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题．4．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是() A．p∨q为真B．p∧q为真C．綈p为真D．綈q为假解析：选A.命题p：“2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题q：“2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真．5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：选D.p为真，q为假，所以綈q为真，(綈p)∨(綈q)为真．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题．所以只有(綈p )∨(綈q )为真．故选D. 二、填空题7．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且8．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3. 答案：3 －39．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________． 解析：命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则 2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”． 答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b 三、解答题10．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题： (1)方程x 2－3＝0没有有理根；(2)不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}．解：(1)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：方程x 2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2}，q ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x <－1}．11．判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，綈p 形式的命题的真假： (1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．解：(1)p 真，q 真，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题； (2)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题； (3)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．12．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈p 且綈q 綈q .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( ) A ．一次函数都不是单调函数 B ．非一次函数都不是单调函数 C ．有些一次函数是单调函数 D ．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”． 3．(2010年高考安徽卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤34．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”． 解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列语句不是特称命题的是( ) A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数 D ．存在x 0∈R,2x 0＋1是奇数 答案：C2．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确． 3．下列命题中，是正确的全称命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.4．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 0解析：选A.这是一个全称命题，且x ，y ∈R ，故选A. 5．下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；綈p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0解析：选C.p为真命题，则綈p为假命题．6．下列命题中，假命题的个数是()①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x0∈R,2x0＋1＝3；③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；④∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0.A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．答案：∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假9．下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N＋，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．解析：命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．答案：①②③三、解答题10．判断下列语句是不是命题？如果是，说明其是全称命题还是特称命题：(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)存在一个函数f(x0)，使f(x0)既是奇函数又是偶函数；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题．由于(4)是一个问句，因此(4)不是命题．11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．解：(1)綈p：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．12．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全0称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3) 答案：D3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________．答案：x 29＋y 28＝14．已知B 、C 是两定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)． 由|BC |＝8，可设B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以A 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．椭圆x 29＋y225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．6 解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x ，则x ＋2＝10，x ＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D.由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D.焦距为4，则m －2－(10－m )＝⎝⎛⎭⎫422，∴m ＝8.6．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 解析：选B.S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3，又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.二、填空题7．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析：∵2a ＝8，∴a ＝4，∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1.即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y216＋x 2＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.答案：549．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：3<k <5且k ≠4 三、解答题10．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ (－4＋5)2＋32＋ (－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解：(1)由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 120°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|PF 1||PF 2|，∴4＝(2a )2－|PF 1||PF 2|＝16－|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin120°＝12×12×32＝3 3.1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3 答案：B3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 22＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．答案：(－2，2)4．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x24＝1的下焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB之长．解：令A 、B 坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4， ∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)， ∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1·x 2＝－43，∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2 ⎝⎛⎭⎫432－4×(－43) ＝823.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1答案：A2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3 解析：选B.椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32.3．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6 C.9017D ．7 解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017.4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－5,5)B ．(－12,12)C ．(－13,13)D ．(－15,15)解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a.设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ， ∴c a ＝12. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)， 则直线l 的方程为y ＝x －1.。
人教A版高中数学选修1-1课时自测当堂达标：2.2.1双曲线及其标准方程精讲优练课型Word版含答案
人教A版高中数学选修1-1课时自测当堂达标： 2.2.1双曲线及其标准方程精讲优练课型 Word版含答案课时自测·当堂达标1. 椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是( )A. B.1或-2 C.1或 D.1【解析】选 D.由于a>0,0<a2<4,且4-a2=a+2,可解得a=1.2. 动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线【解析】选 C.因为||PM|-|PN||=2,而|MN|=2,故P点轨迹是以M,N为端点向外的两条射线.3.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程是( )A. -=1B.-=1C.x2-=1D.-y2=1【解析】选 D.设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),在Rt△PF1F2中, m2+n2=(2c)2=20,m·n=2.由双曲线的定义,知|m-n|2=m2+n2-2mn=16=4a2.所以a2=4,所以b2=c2-a2=1.所以双曲线的标准方程为-y2=1.4.双曲线-=1的焦距为.【解析】c2=m2+12+4-m2=16,所以c=4,2c=8.答案:85.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)c=,经过点(-5,2),且焦点在x轴上.(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P到F1,F2的距离之差的绝对值等于 6.【解析】(1)因为c=,且焦点在x轴上,故可设标准方程为-=1(a2<6).因为双曲线经过点(-5,2),所以-=1,解得a2=5或a2=30(舍去).所以所求双曲线的标准方程为-y2=1.(2)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为-=1(a>0,b>0).因为2a=6, 2c=10,所以a=3,c=5.所以b2=52-32=16. 所以所求双曲线标准方程为-=1.。
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2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A. B．1或－2 C．1或 D．1
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B. C. D．5
4．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的方程是( )
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，
又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2.
又|F1F2|＝2，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
因为cos ∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．
又∵a＝5，c＝7，
∴b2＝72－52＝24.
3. 解析：选B 依题意，应有m＋1>0，即m>－1.
4. 解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
5. 解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或 －＝1
D.－＝0或 －＝0
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
4．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为( )
9. 解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.
由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0)．
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆的焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)．
2020高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：（九）-含解析
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时 间：__________________
20xx最新高中数学人教A版选修1-1课时达标训练：（九）-含解析
[即时达标对点练]
题组1 双曲线的标准方程
1．双曲线－＝1的焦距为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
答案：②③④
6. 解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，
∴|AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.
答案：18
7. 解：设点P为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，
4. 解析：选B 由题意可设双曲线方程为－＝1，
又由中点坐标公式可得P(，4)，
∴－＝1，解得a2＝1.
5. 解析：①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t<1或t>4; ③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0.∴1<t<； ④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t>4.
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5．已知方程＋＝1表示的曲线பைடு நூலகம்C.给出以下四个判断：
①当1<t<4时，曲线C表示椭圆；②当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线；③若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．
即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，
整理，得x＋y＝25. ①
∵P(x0，y0)在双曲线上，∴,9)－,16)＝1. ②
联立①②，得y＝，即|y0|＝.
因此点P到x轴的距离为.
8. 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，
故设双曲线方程为－＝1，
则有
解得a2＝3，b2＝2，
A.－＝1(x>0) B.－＝1(x<0)
C.－＝1 D.－＝1
9．△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形．
[能力提升综合练]
1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是( )
能力提升综合练
1. 解析：选B 原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c＝3，且焦点在y轴上，∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1.
2. 解析：选D 由于a>0，0<a2<4，且4－a2＝a＋2，所以可解得a＝1，故选D.
3. 解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
6．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．
7．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．
8．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．
答 案
即时达标对点练
1. 解析：选D 由双曲线－＝1可知，
a＝，b＝，c2＝a2＋b2＝12.
∴c＝2，∴焦距为2c＝4.
2. 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，
∴有两种情况．
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
题组2 双曲线定义的应用
5．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
6．双曲线 －＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是( )
6. 解析：选D 依题意及双曲线定义知，＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.
7. 解析：选A 不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得
解得
则|PF1|·|PF2|＝(＋)(－)＝m－s.
8. 解析：选C 设动圆M的半径为r，依题意有|MB|＝r，另设A(4，0)，则有|MA|＝r±4，即|MA|－|MB|＝±4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，且c＝4，2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，故轨迹方程是－＝1.
A．17 B．7 C．7或17 D．2或22
7．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－s B.(m－s)
C．m2－s2 D.－
题组3 与双曲线有关的轨迹问题
8．已知动圆M过定点B(－4，0)，且和定圆(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )