湖南师大附中2018-2019学年度高二第一学期期中文科数学试卷(含答案)
湖南师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)(含答案)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试 满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x 2－5x ＋6<0的解集是 A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |2<x <3} D ．{x |－3<x <－2}2．在等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则{a n }的前11项的和为 A ．22 B ．－33 C ．－11 D ．113．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为 A.π4B ．πC ．2πD ．4π 4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．35．若a ，b ，c ，d ∈R ，则下列说法正确的是A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若a <b <0，则1a <1bD ．若a >b ，则a －c >b －c6．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知数列{a n }满足：a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，且a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为A.113 B ．－113 C.111 D ．－111 答题卡二、填空题：本大题共38．在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，则sin B ＝________． 9．将等差数列1，4，7，…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是________．10．若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．三、解答题：(本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 11．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝(2a－b)cos C.(1)求角C的大小；(2)若AB＝4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤1－a；(2)若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 3＋b 3＝11，a 5＋b 5＝37. (1)求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，数列{}c n 的前n 项和为T n ，求证：T n ≤n 2·2n －1＋2.第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)17．已知向量a ≠e ，|e |＝1t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 答题卡题号 15 16 17答案二、填空题(本大题共2小题，18．已知直线l 1：2x －y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 在抛物线C 上运动，当点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小时，直线PF 被抛物线所截得的线段长是________．19．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值．(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，求m 的最小值．21.(本题满分13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试 满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 【解析】不等式x 2－5x ＋6<0的解集是(2，3)，故选C.2．D 【解析】等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则a 5＋a 7＝2，∴a 6＝12(a 5＋a 7)＝1，∴{a n }的前11项的和为S 11＝11×（a 1＋a 11）2＝11a 6＝11×1＝11.故选D.3．B 【解析】在△ABC 中，A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2R ＝c sin C，解得R ＝1，故△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝π，故选B.4．D 【解析】x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0的可行域如图(阴影部分)：z ＝x ＋y 即y ＝－x ＋z ，当直线过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，z 的值最大．由⎩⎨⎧y ＝0，x ＋3y ＝3，解得A (3，0)，所以z ＝x ＋y 的最大值为3.故选D. 5．D6．A 【解析】在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°， 由AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC cos C ，可得：13＝9＋AC 2＋3AC ，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.7．B 【解析】a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，即为2a 1＋12d ＝－2， 解得d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －15.1a n a n ＋1＝1（2n －15）（2n －13）＝12⎝⎛⎭⎫12n －15－12n －13，即有数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为12⎝⎛⎭⎫1－13－1－11＋1－11－1－9＋…＋111－113＝12×⎝⎛⎭⎫－113－113＝－113.故选B.二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 8.5716【解析】∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，∴a ∶b ∶c ＝6∶5∶4， 不妨取a ＝6，b ＝5，c ＝4，则cos B ＝62＋42－522×6×4＝916，B ∈(0，π)．则sin B ＝1－cos 2B ＝5716.9．577 【解析】由题意可得等差数列的通项公式为a n ＝3n －2，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为第1＋2＋3＋4＋…＋19＋3＝193个数，a 193＝3×193－2＝577.10．16 【解析】根据题意，若9x ＋y ＝xy ，则有1x ＋9y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9xy＝16， 当且仅当y x ＝9xy时，等号成立，即x ＋y 的最小值是16，故答案为16.三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．【解析】(1)∵c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴由正弦定理可知，sin C cos B ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cos C ，sin(C ＋B )＝2sin A cos C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin A cos C ．4分 ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.6分(2)由题知，c ＝4，C ＝π3，∴S △ABC ＝34ab .7分∵由余弦定理可知：a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，8分a 2＋b 2＝16＋ab ≥2ab ，10分∴ab ≤16.当且仅当“a ＝b ”时等号成立，11分∴S △ABC 最大值是43，此时三角形为等边三角形.12分 12．【解析】设分别向甲、乙两组项目投资x 万元，y 万元，利润为z 万元，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，3分目标函数z ＝x ＋0.5y ， 作出可行域6分作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离 最大，这里M 是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6，10分此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)，∴x ＝4，y ＝6时，z 最大．答：投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大.12分 13．【解析】(1)由f (x )≤1－a 可得x 2－ax ＋a －1≤0， 即(x －1)[x －(a －1)]≤0，3分当a >2时，不等式解集为[1，a －1]；4分 当a ＝2时，不等式解集为{1}；5分 当a <2时，不等式解集为[a －1，1].6分(2)f (x )≥－x 2－2即a ≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，8分 令h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，等价于a ≤h (x )min 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，10分 又h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4x ·1x ＝4，当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立， ∴a ≤4，∴a 的取值范围为(－∞，4].13分14．【解析】(1)设数列{}a n 的公差为d ，数列{}b n 的公比为q ，依题意有⎩⎨⎧2d ＋2q 2＝10，4d ＋2q 4＝36，2分解得⎩⎨⎧d ＝1，q 2＝4，又b n >0，∴q ＝2，4分于是a n ＝a 1＋()n －1d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .6分(2)易知c n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋()n －1·2n ＋n ·2n ＋1，8分两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝()1－n ·2n ＋1－2，∴T n ＝()n －1·2n ＋1＋2，11分∵T n －()n 2·2n －1＋2＝－2n －1·()n －22≤0，∴T n ≤n 2·2n －1＋2.13分第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．A 【解析】设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a .①由a <－1得tan θ>1，可知倾斜角为θ大于π4；②由倾斜角为θ大于π4得－a >1或－a <0，即a <－1或a >0.由①②可知“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的充分而不必要条件，选A. 16．C 【解析】∵g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即y ＝f (x )与y ＝－x －a 有两个交点，f (x )的图象如下图所示：要使得y ＝－x －a 与f (x )有两个交点，则有－a ≤1即a ≥－1，∴选C.17．C 【解析】由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得t 2－2a ·e t ＋2a ·e －1≥0，由t ∈R ，得Δ＝(－2a ·e )2＋4－8a ·e ≤0，即(a ·e －1)2≤0，所以a ·e ＝1，从而e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )，选C.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)18．20 【解析】直线l 2为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离．点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小即转化为点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小，当点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小时，直线PF ⊥l 1，从而直线PF 方程为y ＝－12(x －1)，代入C 方程得x 2－18x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝18，从而所求线段长为x 1＋x 2＋p ＝18＋2＝20. 19.32【解析】由题设条件可知，m ∥BD ，n ∥A 1B ，因此直线m 、n 所成的角即直线BD 与A 1B 所成的角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△A 1BD 是正三角形，BD 与A 1B 所成的角是60°，其正弦值为32. 三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．【解析】(1)由题设知f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.1分 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π， 即2x 0＝k π－π6(k ∈Z ).3分 所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6.4分 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34，5分 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.6分 (2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.9分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，m ，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2m ＋π3. 要使得h (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为1. 所以2m ＋π3≥π2，11分 即m ≥π12.所以m 的最小值为π12.12分 21．【解析】(1)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 点在椭圆上，∴y 20＝34(4－x 20)． ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2.由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.7分 从而BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.8分 ∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝2x 0＋2(x 20－4＋3y 20)． ②10分 将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0).11分 ∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内.13分方法2：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差||BQ 2－14||MN 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[]（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ③6分直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④8分 又点M 在椭圆上，则x 214＋y 213＝1，即y 21＝34(4－x 21) ⑤9分 于是将④、⑤代入③，化简后可得||BQ 2－14||MN 2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.12分 从而点B 在以MN 为直径的圆内.13分。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学答案
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湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．116．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．187．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥89．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤412．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在复平面上，复数3﹣2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接写出复数3﹣2i对应的点的坐标得答案．【解答】解：在复平面上，复数3﹣2i对应的点的坐标为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．若¬（p∧q）为假命题，则（）A．p为真命题，q为假命题B．p为假命题，q为假命题C．p为真命题，q为真命题D．p为假命题，q为真命题【分析】根据否命题和复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若¬（p∧q）为假命题，则p∧q为真命题，则p为真命题，q为真命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题真假判断，根据复合命题真假关系是解决本题的关键．3．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】根据线面、面面平行、垂直的判定与性质，进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于基础题．5．已知变量x，y满足约束条，则z＝3x+y的最大值为（）A．2B．6C．8D．11【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数中z的几何意义，求出直线z＝3x+y的最大值即可．【解答】解：作出变量x，y满足约束条的可行域如图，由z＝3x+y知，y＝﹣3x+z，所以动直线y＝﹣3x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（3，2），结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，目标函数取得最大值z＝3×3+2＝11．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i＝8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝20，i＝1i＝2，S＝18不满足条件i＞5，i＝4，S＝14不满足条件i＞5，i＝8，S＝6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．7．已知向量＝（，），＝（，），则∠ABC＝（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC＝30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．8．若a＞0，b＞0，且a+b＝4，则下列不等式恒成立的是（）A．≤B．+≤1C．≥2D．a2+b2≥8【分析】利用基本不等式，得出ab≤4，然后对各选项的代数式进行变形，利用ab≤4进行验证，【解答】解：（当且仅当a＝b时，等号成立），即，ab≤4，∴，选项A、C不成立；，选项B不成立；a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，选项D成立．故选：D．【点评】本题考查基本不等式的应用，这种类型问题的解题关键在于对代数式进行合理配凑，属于中等题．9．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x【分析】由题意可得b，c，由双曲线的a，b，c的关系可得a，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：由题意可得，双曲线的b＝1，c＝，则a＝＝，则双曲线的渐近线方程为y＝x，即为y＝x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．若sin B•sin C＝sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【分析】b2+c2＝a2+bc，利用余弦定理可得cos A＝，可得．由sin B•sin C＝sin2A，利正弦定理可得：bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，可得b＝c．【解答】解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），∴．∵sin B•sin C＝sin2A，∴bc＝a2，代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形状是等边三角形．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．数列a n＝2n+1，其前n项和为T n，若不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4【分析】不等式n log2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），可得λ≤对一切n∈N*恒成立，利用不等式，即可得出结论．【解答】解∵a n＝2n+1，∴T n＝＝2n+2﹣4．不等式n log2（T n+4）﹣λ（n+1）+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1），∵n∈N*，∴λ≤对一切n∈N*恒成立．而＝＝（n+1）+﹣3≥2﹣3＝3，当且仅当n+1＝即n＝2时等号成立，∴λ≤3，故选：A．【点评】本题考查数列的通项于求和，突出考查基本不等式的运用，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题．12．已知定义在R上的偶函数f（x），其导函数为f′（x）；当x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，若g（x）＝x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣2x）的解集为（）A．（，1）B．（﹣∞，）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，）【分析】根据函数f（x）为偶函数，则g（x）也为偶函数，利用导数可以判断g（x）在[0，+∞）为减函数，则不等式g（x）＜g（1﹣2x）转化为|x|＞|1﹣2x|，解得即可【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x），∴f（﹣x）＝f（x）∵x≥0时，恒有f′（x）+f（﹣x）≤0，∴x2f′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）＝x2f（x），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）≤0，∴g（x）在[0，+∞）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∵g（x）＜g（1﹣2x）∴|x|＞|1﹣2x|，即（x﹣1）（3x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和导数和函数的单调性的关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为﹣3．【分析】先将利用消参法将直线的参数方程化成直线的普通方程，再将直线写出斜截式，求出斜率即可．【解答】解：∵直线l的参数方程为（t为参数）∴消去参数t得y＝2﹣3（x﹣1）化简得y＝﹣3x+5，则直线l的斜率为﹣3，故答案为﹣3【点评】本题主要考查了直线的参数方程，以及直线的斜率等基础知识，属于基础题．14．已知大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是π是无理数．【分析】根据三段论推理的标准形式，可得出结论【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；根据演绎推理三段论形式推出的结论是：π是无理数，故答案为：π是无理数【点评】本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．15．i是虚数单位，设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝．【分析】由复数相等的条件列式求得x，y的值，再由复数模的公式计算．【解答】解：由（1+i）x＝1+yi，得x+xi＝1+yi，∴x＝y＝1，则|x+yi|＝|1+i|＝．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．16．函数f（x）＝ln x﹣（a＞0），若∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．【分析】∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈R．且f（a）不在区间[1，2]内．f′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．研究单调性即可得出极值与最值．【解答】解：∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），⇔f（x）max＜f（t）max，其中x∈[1，2]，t∈Rf′（x）＝﹣＝（a＞0，x＞0）．可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减．x＝a时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（a）＝lna﹣1．∃x0∈R，使得∀x1∈[1，2]都有f（x1）＜f（x0），可得f（a）不在区间[1，2]内．∴a∈（0，1）∪（2，+∞）．故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力由于计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，直线l的极坐标方程为ρsin（）＝．（1）求圆C和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆C公共点的极坐标．【分析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρsinθ﹣ρcosθ＝1，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）由，得，由此求出直线l与圆C公共点的极坐标．【解答】解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝cosθ+sinθ，∴ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2+y2＝x+y，∴x2+y2﹣x﹣y＝0，∵直线l的极坐标方程为ρsin（）＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线l的直角坐标方程为：y﹣x＝1，即x﹣y+1＝0．（2）由，得，∴直线l与圆C公共点的极坐标为（1，）．【点评】本题考查圆和直线的直角坐标方程的求法，考查直线和圆的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）高三某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数；（2）求该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数；（3）设m，n表示该班两个学生的百米跑测试成绩，已知m，n∈[13，14）∪[17，18），求事件|m﹣n|＞2的概率．【分析】（1）由频率分布直方图能求出样本数据的众数．（2）数据落在第一、二组的频率为0.22，由此能求出该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数．（3）成绩在[13，14）的人数有2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有3人，设为A，B，C，由此利用列举法能求出事件|m﹣n|＞2的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：众数落在第三组[15，16）中，∴样本数据的众数为：＝15.5．（2）∵数据落在第一、二组的频率为：1×0.04+1×0.18＝0.22，∴该班在这次百米跑测试中，成绩在15秒以内的学生人数为0.22×50＝11．（3）成绩在[13，14）的人数有：50×0.04＝2人，设为a，b，成绩在[17，18]的人数有：50×0.06＝3人，设为A，B，C，m，n∈[13，14）时有ab一种情况，m，n∈[17，18]时，有AB，AC，BC三种情况，m，n分别在[13，14）和[17，18]时有aA，aB，aC，bA，bB，bC六种情况，基本事件总数n＝10，设事件|m﹣n|＞2为事件A，它由aA，aB，aC，bA，bB，bC这六个基本事件组成，∴P（A）＝．【点评】本题考查众数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设公差d不为零的等差数列{a n}，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）b n＝＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和即可得到所求和．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}中，a3＝7，又a2，a4，a9成等比数列，可得a1+2d＝7，a42＝a2a9，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），解得a1＝1，d＝3，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）b n＝＝＝（﹣），可得前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PCD．（2）求三棱锥P﹣EFC的体积．【分析】（1）推导出AF⊥PD，PA⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面PCD．（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则四边形AEGF为平行四边形，从而EG∥AF，进而GF⊥平面PCD，EG 为三棱锥E﹣PFC的高，由此能求出三棱锥P﹣EFC的体积．【解答】证明：（1）∵PA＝AD＝2，F为AD中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．解：（2）取PC的中点G，连结EG，GF，则GF∥CD，GF＝，又EA∥CD，EA＝CD，∴AE∥GF，AE＝GF，∴四边形AEGF为平行四边形，∴EG∥AF，由（1）知AF⊥平面PDC，∴GF⊥平面PCD，EG为三棱锥E﹣PFC的高，又GF＝AF＝EG＝，PF＝，，∴三棱锥P﹣EFC的体积V＝＝．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率．【分析】（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB，则可分别表示k PA和k PB，根据倾斜角互补可知k PA＝﹣k PB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px∵点P（1，2）在抛物线上∴22＝2p×1，得p＝2故所求抛物线的方程是y2＝4x准线方程是x＝﹣1（II）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB则，∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补∴k PA＝﹣k PB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12＝4x1（1）y22＝4x2（2）∴∴y1+2＝﹣（y2+2）∴y1+y2＝﹣4由（1）﹣（2）得直线AB的斜率【点评】本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．22．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0）．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；（3）证明：∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（3）问题等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，切线斜率k＝f′（1）＝1，切点为（1，0），切线方程为y＝x﹣1；（2）f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得：x＝，①当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（a）＝lna；②当＜a＜2a，即＜a＜时，f（x）在[a，]上单调递减，在[，2a]上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣；③当a≤时，f′（x）＜0，f（x）在[a，2a]上单调递减，∴f（x）min＝f（2a）＝2ln（2a）；（3）证明：要证的不等式两边同乘以x，则等价于证明xlnx＞﹣令g（x）＝xlnx，则由（1）知f（x）min＝f（）＝﹣，令φ（x）＝﹣，则φ′（x）＝，当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，φ（x）递增；当x＞1时，φ′（x）＜0，φ（x）递增减；∴φ（x）max＝φ（1）＝﹣，∴f（x）min＝φ（x）max，且最值不同时取到，即xlnx＞﹣，∴∀x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.不等式x2－5x＋6<0的解集是A. {x|－2<x<3}B. {x|－3<x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|－3<x<－2}【答案】C【解析】【分析】根据二次不等式的解法得到答案.【详解】不等式x2－5x＋6<0等价于（x-2）(x-3)<0,根据二次函数的性质得到，解集是(2，3)，故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.在等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则{a n}的前11项的和为A. 22B. －33C. －11D. 11【答案】D【解析】【分析】a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果【详解】等差数列{a n}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{a n}的前11项的和为S11＝＝11a6＝11×1＝11.故选D.【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为A. B. π C. 2π D. 4π【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.【详解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5.若，则下列说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可．【详解】A．取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，B．取c=0，显然不成立，C．取a=-3，b=﹣2，显然不成立，D．根据不等式的基本性质，显然成立，综上可得：只有B正确．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．6.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2ab cos C，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.7.已知数列{a n}满足：a1＝－13，a6＋a8＝－2，且a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，则数列的前13项和为A. B. － C. D. －【答案】B【解析】【分析】根据题干变形可得到数列{a n}为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可. 【详解】a n－1＝2a n－a n＋1(n≥2)，可得a n＋1－a n＝a n－a n－1，可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，由a1＝－13，a6＋a8＝－2，即为2a1＋12d＝－2，解得d＝2，则a n＝a1＋(n－1)d＝2n－15.，即有数列的前13项和为＝×＝－.故选B.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(精品解析)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.2.已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项【答案】B【解析】试题分析：由题意可知数列的通项公式，∴令=，可得．考点：数列的通项公式．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可．【详解】在△ABC中，由余弦定理得．故选B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．4.在△中，角所对的边分别为,若，则△为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.5.已知点在函数的图象上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用基本不等式计算出的最小值为.【详解】故选.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.6.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力. 7.设为等比数列{}的前n 项和,,则＝A. 10B. 9C. -8D. -5 【答案】A 【解析】由,得,故.故选A 8.数列满足，则数列的前20项的和=( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由，得，，的前项的和为，故选A.9.若实数满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z 最大，求出的坐标，代入得答案．详解：由满足约束条件作出可行域如图，由，得．要使z最大，则直线的截距最大，由图可知，当直线过点时截距最大．联立，解得），∴的最大值为．故选：B．点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．10.已知，则取最大值时的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.详解：∵，∴，当且仅当时取等号．∴取最大值时的值为．故选．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若对所有的n(n∈N*)，都有S n≥S10，则A. a n≥0B. a9·a10<0C. S2<S17D. S19≤0【答案】D【解析】【分析】由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由对所有的n(n∈N*)，都有，得等差数列{a n}的前n项和S n的最小值为，所以a10≤0，a11≥0.对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误；对于B，由以上结论可得，所以B错误；对于C，由于，所以，因此C错误；对于D，由以上结论可得，故，所以D正确．故选D.【点睛】本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{a n}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝________ .【答案】2018【解析】【分析】根据等比数列中项的下标和的性质求解即可．【详解】∵数列{a n}为等比数列，∴．故答案为：2018.【点睛】本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．13.在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可．【详解】在△ABC中，由正弦定理得，∴．又，∴B为锐角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题．14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号)【答案】②③④⑤【解析】【分析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．【详解】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；对于④，若，则，则，则，故④为真命题；对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．综上可得②③④⑤为真命题．故答案为：②③④⑤.【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．【答案】（1）见解析（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．【解析】试题分析：（1）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，列出约束条件和目标函数，画出可行域。
湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(解析版)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试文科数学试题一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.详解：,故选C.点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题.2.已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项【答案】B【解析】试题分析：由题意可知数列的通项公式，∴令=，可得．考点：数列的通项公式．3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可．【详解】在△ABC中，由余弦定理得．故选B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．4.在△中，角所对的边分别为,若，则△为A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.5.已知点在函数的图象上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用基本不等式计算出的最小值为.【详解】故选.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属中档题.6.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.7.设为等比数列{}的前n项和,,则＝A. 10B. 9C. -8D. -5【答案】A【解析】由,得,故.故选A8.数列满足，则数列的前20项的和=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，，的前项的和为，故选A.9.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z最大，求出的坐标，代入得答案．详解：由满足约束条件作出可行域如图，由，得．要使z最大，则直线的截距最大，由图可知，当直线过点时截距最大．联立，解得），∴的最大值为．故选：B．点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．10.已知，则取最大值时的值为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果.详解：∵，∴，当且仅当时取等号．∴取最大值时的值为．故选．点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若对所有的n(n∈N*)，都有S n≥S10，则A. a n≥0B. a9·a10<0C. S2<S17D. S19≤0【答案】D【解析】【分析】由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由对所有的n(n∈N*)，都有，得等差数列{a n}的前n项和S n的最小值为，所以a10≤0，a11≥0.对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误；对于B，由以上结论可得，所以B错误；对于C，由于，所以，因此C错误；对于D，由以上结论可得，故，所以D正确．故选D.【点睛】本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{a n}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝________ .【答案】2018【解析】【分析】根据等比数列中项的下标和的性质求解即可．【详解】∵数列{a n}为等比数列，∴．故答案为：2018.【点睛】本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．13.在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可．【详解】在△ABC中，由正弦定理得，∴．又，∴B为锐角，∴．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题．14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号)【答案】②③④⑤【解析】【分析】根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题．【详解】对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题；对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；对于④，若，则，则，则，故④为真命题；对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题．综上可得②③④⑤为真命题．故答案为：②③④⑤.【点睛】本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题．三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.试题解析：（1）由已知可得（2）又，的周长为考点：正余弦定理解三角形.16.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大？并求出最大收入．【答案】（1）见解析（2）安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．【解析】试题分析：（1）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，列出约束条件和目标函数，画出可行域。
2018-2019学年湖南师大附中高二下学期期中考试数学(文)试卷及答案
D．2，4，8，16，32，48
9．取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是
A.B.C.D．不确定
10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是
A.B.C.D.
答题卡
题号
7．在△ABC中，已知cosA＝，cosB＝，则cos(A＋B)的值为
A．－B．－C.或D.
8．要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是
A．5，10，15，20，25，30
B．3，13，23，33，4Fra bibliotek，53所以·2R2·R＝，解得R＝2，则球O的表面积是16π.
三、解答题
16．【解析】(1)略；(3分)
(2)f(x)max＝1，f(x)min＝－35.(6分)
17．【解析】设公比为q，则q≠1，由(5分)
解得：(8分)
18．【解析】(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵AB∥D1C1，AB＝D1C1，
A．[1，2)∪(2，＋∞)B．(1，＋∞)
C．[1，2)D．[1，＋∞)
3．设f＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈内近似解的过程中得f<0，f>0，f<0，则方程的根落在区间
A．(1，1.25)B．(1.25，1.5)C．(1.5，2)D．不能确定
4．如果直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相平行，那么a的值等于
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l被圆截得的弦长．
湖南师大附中2019届高三摸底考试(高二上学期期末考试)数学文科试卷含答案
炎德·英才大联考湖南师大附中2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试数 学(文科)得分：______________本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－4≤x －1≤4}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．设i 为虚数单位，m ∈R ，“复数z ＝(m 2－1)＋(m －1)i 是纯虚数”是“m ＝±1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线的方程为A ．22y ±x ＝0B ．22x ±y ＝0C ．8x ±y ＝0D ．x ±8y ＝05．下列函数的最小正周期为π的是A ．y ＝cos 2xB ．y ＝|sin x 2|C ．y ＝sin xD ．y ＝tan x26．如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何体的体积为A.33 B.32C.233D. 3 7．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2 (a >0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝A ．2 B.154 C.174D ．a 28．已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝A ．－4B ．－3C ．－2D ．－19．已知某程序框图如图所示，当输入的x 的值为5时，输出的y 的值恰好是13，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是A ．y ＝x 3B ．y ＝13xC ．y ＝3xD ．y ＝3－x10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为A ．4 B.83 C.113 D.25611．过点P ()－1，1作圆C ：()x －t 2＋()y －t ＋22＝1()t ∈R 的切线，切点分别为A 、B ，则P A →·PB →的最小值为A.103B.403C.214D ．22－3 12．已知函数f ()x ＝ln x ＋()x －b 2x (b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＞－x ·f ′(x )，则实数b 的取值范围是A.()－∞，2B.⎝⎛⎭⎫－∞，32C.⎝⎛⎭⎫－∞，94 D.()－∞，3 选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之和为5的概率是________．14．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sin A ＝13，BC ＝2，则AC ＝________．15．已知函数f ()x ＝⎩⎨⎧||x ，x ≤m x 2－2mx ＋4m ，x >m，其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f ()x ＝b 有三个不同的零点，则m 的取值范围是________．16．给出如下定理：“若Rt △ABC 斜边AB 上的高为h ，则有1h 2＝1CA 2＋1CB 2”．在空间四面体P －ABC中，若P A 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，类比上述定理，得到的正确结论是________________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos(2π－x )．(Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数y ＝f (x )＋cos2x 的最大值和最小值．18.(本小题满分12分)若数列{a n }是递增的等差数列，其中的a 3＝5，且a 1、a 2、a 5成等比数列． (Ⅰ)设b n ＝1（a n ＋1）（a n ＋1＋1），求数列{b n }的前n 项的和T n .(Ⅱ)是否存在自然数m ，使得m －24<T n <m5对一切n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ABE 为等腰三角形，AE ＝BE ，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 在CE 上，且BF ⊥平面ACE .(Ⅰ)判断平面ADE 与平面BCE 是否垂直，并说明理由；(Ⅱ)求点D 到平面ACE 的距离．20.(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，N (5，0)，点P 是圆M 上的任意一点，线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q .(Ⅰ)当点P 在圆M 上运动时，试证明|QM |＋|QN |为定值，并求出点Q 的轨迹C 的方程； (Ⅱ)若圆x 2＋y 2＝4的切线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值．21.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )对任意实数x ，都有x ≤f (x )≤14(x ＋1)2恒成立．(Ⅰ)证明：f (1)＝1；(Ⅱ)若f (－1)＝0，求f (x )的表达式；(Ⅲ)在题(Ⅱ)的条件下设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝－34的上方，求实数m 的取值范围。
湖南省师大附中高二数学上学期第一次阶段性检测试题理(含解析)
湖南省师大附中2018-2019学年高二数学上学期第一次阶段性检测试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.2.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】，故故选3.对于程序：试问，若输入，则输出的数为（）A. 9B. -7C. 5或-7D. 5【答案】D【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y的函数值．【详解】由图可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当输入时，输出的是：．故选：．【点睛】本题主要考查了条件结构的程序语句及分段函数的解析式，属于基础题.4.定义运算，若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，，∴，则，∴在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。
【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。
6.某城市有连接8个小区和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共4个．由此能求出他经过市中心的概率．【详解】此人从小区A前往H所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，。
湖南省师大附中2018_2019学年高二数学上学期第一次阶段性检测试题理(含解析)
湖南省师大附中2018-2019学年高二数学上学期第一次阶段性检测试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.2.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】，故故选3.对于程序：试问，若输入，则输出的数为（）A. 9B. -7C. 5或-7D. 5【答案】D【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y的函数值．【详解】由图可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当输入时，输出的是：．故选：．【点睛】本题主要考查了条件结构的程序语句及分段函数的解析式，属于基础题.4.定义运算，若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，，∴，则，∴在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。
【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。
6.某城市有连接8个小区和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共4个．由此能求出他经过市中心的概率．【详解】此人从小区A前往H所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4条．∴，即他经过市中心的概率为，故选：B．【点睛】本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。