初二数学下册,全等三角形判定专题

全等三角形判定专题

1．边边边（SSS）

（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．

（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．

2．边角边（SAS）

（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．

【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．

3．角边角（ASA）

（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．

4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）

（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．

（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．

5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）

（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．

【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下：

HL SAS

SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ????

????

??

???????

???

???

???

???

????????

一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边— 题型归纳

一、用边边边（SSS ）证明三角形全等

明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．

【例1】

如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定

A ．ABD △≌ACD △

B ．ABE △≌ACE △

C ．BDE △≌CDE △

D ．以上答案都不对

二、用边角边（SAS ）证明三角形全等

此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．

【例2】如图，AB =AC ，添加下列条件，能用SAS 判断△ABE ≌△ACD 的是

A ．∠

B =∠C

B ．∠AEB =∠ADC

C ．AE =AD

D ．B

E =DC

三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等

1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．

2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．

【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是

A．SSS B．SAS

C．SAA D．ASA

【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．

四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等

1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．

2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．

【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是

A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC

五、全等三角形的判定和性质的综合

寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．

【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为

A．50°B．30°C．80°D．100°

【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．

基础练习题

1．如图，PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB =PC ，则△APB ≌△APC 的理由是

A ．SAS

B ．ASA

C ．HL

D ．AAS

2．如图，若∠ABC =∠DCB ，当添加下列条件时，仍不能判断△ABC ≌△DCB 的是

A ．∠A =∠D

B ．AB =D

C C ．∠ACB =∠DBC

D ．AC =BD

3．如图，点C 在AOB 的OB 边上，用尺规作出了CN OA ∥，作图痕迹中，FG 是

A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧

B ．以点

C 为圆心，DM 为半径的弧 C ．以点E 为圆心，O

D 为半径的弧

D ．以点

E 为圆心，DM 为半径的弧

4．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是 A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等

D ．两条直角边对应相等

5．如图，小明设计了一种测零件内径AB 的卡钳，问：在卡钳的设计中，要使DC =AB ，则AO 、BO 、CO 、DO 应满足下列的条件是

A ．AO =CO

B ．AO =CO 且BO =DO

C ．AC =B

D D ．BO =DO

6．如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画出

A．2个B．4个C．6个D．8个

7．如图，点F、G在正五边形ABCDE的边上，BF、CG交于点H，若CF=DG，则∠BHG=__________°．

8．如图，D为△ABC内一点，且AD=BD，若∠ACD=∠DAB=45°，AC=5，则S△ABC=__________．

9．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上，试说明：△CDA≌△CEB．

10．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图所示四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证：OE=OF．

11．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．

12．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF ≌Rt△DCE．

13．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．

（1）求证：ΔABC≌ΔDEF；

（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．

能力提升

14．如图，D ?E ?F 分别为△ABC 边AC ?AB ?BC 上的点，∠A =∠1=∠C ，DE =DF ．下面的结论一定成立的是

A ．AE =FC

B ．AE =DE

C ．AE +FC =AC

D ．AD +FC =AB

15．如图：已知点E 在△ABC 的外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1=∠2=∠3，AC =AE ，则有

A ．△ABD ≌△AFD

B ．△AFE ≌△AD

C ．△AEF ≌△DFC

D ．△ABC ≌△ADE

16．如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，AD CB =，OA OC =，OB OD =，则图中的全等三角形有

A ．2对

B ．3对

C ．4对

D ．5对

17．如图，在ABC △和BDE △中，点C 在BD 边上，AC 边交BE 边于点F ．若AC BD AB ED ==，，

BC BE =，则ACB ∠等于

A ．ED

B ∠

B ．BED ∠

C ．

1

2

AFB ∠

D ．2ABF ∠

18．如图，在△ABC中，AC=3，中线AD=5，则边AB的取值范围是__________．

19．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD=25，DE=17，则BE=__________．

20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F．（1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）若∠BAC=90°，AF=6，求AD的长．

21．（2018?安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD

A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD

22．（2018?黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是

A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙

23．（2018?南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为

A．a+c B．b+c C．a-b+c D．a+b-c

24．（2018?临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是

A．3

2

B．2 C．22D．10

25．（2018?衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是__________（只需写一个，不添加辅助线）．

26．（2018?泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．

27．（2018?衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．（1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）当AB=5时，求CD的长．

参考答案

1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．108° 8．

252

9．∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°， ∴CE =CD ，BC =AC ，

∴∠ACB -∠ACE =∠DCE -∠ACE ， ∴∠ECB =∠DCA ， 学科@网

在△CDA 与△CEB 中，BC AC

ECB DCA EC DC =??

∠=∠??=?

，

∴△CDA ≌△CEB ．

10．∵在△ABD 和△CBD 中，AB =CB ，AD =CD ，BD =BD ，

∴△ABD ≌△CBD （SSS ）， ∴∠ABD =∠CBD ， ∴BD 平分∠ABC ． 又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CB ， ∴OE =OF ．

11．∵∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ．

∵在△ABD 与△ACE 中，==BAD CAE AB AC ABD ACE ??

=???

∠∠∠∠，

∴△ABD≌△ACE（ASA）∴BD=CE．

∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-（55°+88°）=37°，∴∠F=∠ACB=37°．

14．C

15．D

16．C

17．C

19．8

20．6

21．D

22．B

23．D

24．B

25．AB=ED

26．∵DA=BE，∴DE=AB，

在△ABC 和△DEF 中，AB DE AC DF BC EF =??

=??=?

，

∴△ABC ≌△DEF （SSS ）， ∴∠C =∠F ．

27．（1）在△AEB 和△DEC 中，

=AE DE AEB DEC BE EC =??

??=?

∠∠， ∴△AEB ≌△DEC （SAS ）． （2）∵△AEB ≌△DEC ，∴AB =CD ， ∵AB =5，∴CD =5．