2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)
2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）复数z ＝（1+2i ）2（i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1≥0}，则∁R （A ∩B ）＝（ ） A ．（﹣∞，1）∪[3，+∞） B ．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D ．（1，3）3．（5分）若x ，y 满足约束条件{x −y −2≤0，3x −y +1≥0，y ≤2，则z ＝4x +2y 的最小值为（ ）A ．﹣17B ．﹣13C ．163D ．204．（5分）下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 相交，则直线a 、b 确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5．（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温﹣去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（ ）A ．今年每天气温都比去年气温低B ．今年的气温的平均值比去年低C ．今年8﹣12号气温持续上升D ．今年8号气温最低6．（5分）已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n +2a n ＝39（n ∈N *），那么数列{a n }的前50项和S 50的最小值为（ ）A ．637B ．559C ．481+25√39D ．492+24√787．（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（ ） A ．13πB ．23πC ．2πD ．163π8．（5分）下列命题错误的是（ ）A ．∃α，β∈R ，cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βB ．∀x ，k ∈R ，sin （x +k •2π）＝sin xC ．∃x ∈[0，π2)，sin （x +π3）＝sin xD ．∀x ∈R +，∃k ∈R ，sin x ≤kx9．（5分）已知sin （α2+π4）=13，则sin α的值等于（ ）A ．−79B ．−29C ．29D ．7910．（5分）已知向量a →，b →，c →满足|a →|＝1，|b →|=√3，a →•b →=−32，＜a →−c →，b →−c →＞=30°，则|c →|的最大值等于（ ） A ．2√7B ．√7C ．2D ．√211．（5分）已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|=√52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√103C ．2 或√103D ．√103或√2 12．（5分）已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a +x −2(x ≥0)a −x −2(x ＜0)，若存在a ∈[n ，n +1]（n ∈Z ）使得方程f （x ）＝g （x ）有四个实根．则n 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 名学生．14．（5分）“2020武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从A 医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是 ．15．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A •tan C ＝1，b ＝3c cos A ，则cos C ＝ ．16．（5分）抛物线C ：y 2＝2x 的焦点坐标是 ，经过点P （4，1）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则|AF →|+|BF →|＝ ． 三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，2S n +2n =3a n (n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1+an a n ⋅a n +1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明T n ＜14．18．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝120°，P A ＝2，PB ＝PC ＝PD ，E 是PB 的中点． （1）证明：P A ⊥平面ABCD ；（2）设F 是直线BC 上的动点，当点E 到平面P AF 距离最大时，求面P AF 与面EAC 所成二面角的正弦值．19．（12分）已知函数f(x)=12x 2−kx −2lnx ． （Ⅰ）求函数f （x ）的极小值点；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（0＜x 1＜x 2）为函数y ＝f （x ）图象上的任意两点，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，求证：f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜f′(x 2+x 12)．20．（12分）某种规格的矩形瓷砖（600mm ×600mm ）根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x （kg ）都服从正态分布N （μ，σ2），并把质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率； （2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a （mm ）、b （mm ），则“尺寸误差”（mm ）为|a ﹣600|+|b ﹣600|，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0，0.2]、（0.2，0.5]，（0.5，1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm 的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元，现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率． 尺寸误差 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）（i ）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元），求ξ的分布列．（ii ）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率． 附：若随机变量Z 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣3σ＜Z ＜μ+3σ）≈0.9974；0.997410≈0.9743，0.84＝0.4096，0.85＝0.3276821．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为椭圆E 上任意一点，PF 1→⋅PF 2→的最大值为1，点A 1为椭圆E 的左顶点，△A 1PF 2的面积最大值为2+√32．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）动直线l 与椭圆E 交于不同两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），O 为坐标原点，M 为AB 的中点______．是否存在实数λ，使得|OM |•|AB |≤λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由．从①△AOB 的面积为1，②|m →+n →|=|m →−n →|（其中向量m →=(x 1a ，y1b )，n →=(x 2a ，y2b )这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝m，曲线C2的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ．（1）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）设曲线C1与曲线C2在第二象限的交点为A，曲线C1与x轴的交点为H，点M（1，0），求△AMH的周长l的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f(x)=|2x−1|+x+12的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：a2+b2+c2≥1 3．2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）复数z ＝（1+2i ）2（i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为z ＝（1+2i ）2＝1+4i +4i 2＝﹣3+4i ； ∴z =−3﹣4i ；∴z 在复平面内对应的点在第三象限； 故选：C ．2．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1≥0}，则∁R （A ∩B ）＝（ ） A ．（﹣∞，1）∪[3，+∞） B ．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D ．（1，3）【解答】解：∵A ＝（﹣1，3），B ＝[1，+∞）， ∴A ∩B ＝[1，3），∴∁R （A ∩B ）＝（﹣∞，1）∪[3，+∞）， 故选：A ．3．（5分）若x ，y 满足约束条件{x −y −2≤0，3x −y +1≥0，y ≤2，则z ＝4x +2y 的最小值为（ ）A ．﹣17B ．﹣13C ．163D ．20【解答】解：该可行域是一个以A （13，2），B （4，2），C （−32，−72）为顶点的三角形区域（包括边界）．当动直线y ＝﹣2x +z 2过点C （−32，−72）时，z 取得最小值，此时z ＝4×（−32）+2×（−72）＝﹣13，故选：B．4．（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直【解答】解：对于选项A：若直线a、b相交，则直线a、b确定一个平面，正确．对于选项B：若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线，正确．对于选项C：若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线，也可能是平行直线，故错误．对于选项D：经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，正确．故选：C．5．（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温﹣去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8﹣12号气温持续上升D．今年8号气温最低【解答】解：对于A选项：观察“相对去年温差”折线图，发现6号相对去年温差为正值，即1号气温比去年高，故A选项错误；对于B选项：观察“相对去年温差”折线图，发现除6，7号相对去年温差为正值，5号相对去年温差为0，其余几号相对去年温差为负值，所以今年的气温的平均值比去年低，故B选项正确；对于C选项：观察“今年气温”折线图即可发现今年8﹣12号气温持续上升，故选项C正确；对于D 选项：观察“今年气温”折线图即可发现今年8号气温最低，故选项D 正确； 故选：A ．6．（5分）已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n +2a n ＝39（n ∈N *），那么数列{a n }的前50项和S 50的最小值为（ ） A ．637B ．559C ．481+25√39D ．492+24√78【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n +2a n ＝39（n ∈N *）， ∴a 1＝1，a 3＝39，a 5＝1，a 7＝39，…，a 47＝39，a 49＝1， a 2a 4＝39，∴a 2+a 4≥2√39，当且仅当a 2=a 4=√39时取等号， ∴当偶数项都是√39时，S 50取最小值，∴（S 50）min ＝12×（1+39）+1+25√39=481+25√39． 故选：C ．7．（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（ ） A ．13πB ．23πC ．2πD ．163π【解答】解：圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π， 设底面半径为r ，则高h ＝2r ， ∴母线长l =√r 2+4r 2=√5r ， ∴s =π×r ×√5r =√5π，解得r ＝1， 该圆锥的体积为V =13π×12×2=23π． 故选：B ．8．（5分）下列命题错误的是（ ）A ．∃α，β∈R ，cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin βB ．∀x ，k ∈R ，sin （x +k •2π）＝sin xC ．∃x ∈[0，π2)，sin （x +π3）＝sin xD ．∀x ∈R +，∃k ∈R ，sin x ≤kx【解答】解：因为当α＝0°时，cos （α+β）＝cos αcos β+sin αsin β，所以A 成立． 根据诱导公式（一），∀x ，k ∈R ，sin （x +k •2π）＝sin x ，所以B 成立．当x =π3时，sin （x +π3）＝sin x ，所以C 成立．当x =π3时，sin （x +π3）＝sin x ，所以C 成立 根据排除法，显然D 不成立． 故选：D ．9．（5分）已知sin （α2+π4）=13，则sin α的值等于（ ）A ．−79B ．−29C ．29D ．79【解答】解：∵sin （α2+π4）=13，∴sin α＝﹣cos （α+π2）＝﹣cos2（α2+π4）＝﹣[1﹣2sin 2（α2+π4）]＝﹣[1﹣2×（13）2]=−79．故选：A ．10．（5分）已知向量a →，b →，c →满足|a →|＝1，|b →|=√3，a →•b →=−32，＜a →−c →，b →−c →＞=30°，则|c →|的最大值等于（ ） A ．2√7B ．√7C ．2D ．√2【解答】解：设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，则a →−c →=CA →，b →−c →=CB →， 由题意cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−√32，∴＜a →，b →＞=150°，＜a →−c →，b →−c →＞=30°， 所以OABC 四点共圆， 要使|c →|的取得最大值， 则OC 必须过圆心，此时在三角形OAB 中，AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OAOB cos ∠AOB ＝1+3﹣2√3cos150°=7， AB =√7，由正弦定理可得OC ＝2R =ABsin∠AOB =2√7＞ 故选：A ．11．（5分）已知直线y ＝a 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若|PA 2|=√52|A 1A 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√103C ．2 或√103D ．√103或√2 【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线：y =ba x ，则P （a 2b，a ），因为|PA 2|=√52|A 1A 2|，所以（a 2b −a ）2+a 2＝5a 2，可得（ab−1）2＝4，所以ab=3，从而e =√1+b2a 2=√103，双曲线的渐近线为：y =−ba x ，则p （−a 2b ，a ），|PA 2|=√52|A 1A 2|，所以（−a 2b −a ）2+a 2＝5a 2，可得（a b+1）2＝4，所以ab=1，可得e =√2．则双曲线C 的离心率为：√2或√103． 故选：D ．12．（5分）已知函数f(x)=ln(e |2x|−4+1)，g(x)={a +x −2(x ≥0)a −x −2(x ＜0)，若存在a ∈[n ，n +1]（n ∈Z ）使得方程f （x ）＝g （x ）有四个实根．则n 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【解答】解：令ℎ(x)=f(x)−g(x)={ln(e 2x−4+1)−(x −2)−a ，x ≥0ln(e−2x−4+1)+(x +2)−a ，x ＜0，则ℎ(x)={ln(e 2x−4+1e x−2)−a =ln(e x−2+e 2−x )−a ，x ≥0ln[(e −2x−4+1)(e x+2)]−a =ln(e −x−2+e x+2)−a ，x ＜0， 依题意，函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，易知函数F（x）为偶函数，故先研究x≥0时的情况，当x≥0时，F′(x)=e x−2−e2−xe x−2+e2−x，令F′（x）＜0，解得0≤x＜2，令F′（x）＞0，解得x＞2，故函数F（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且F（x）极小值＝F（2）＝ln2，由偶函数的对称性，可作出函数F（x）的图象，如下图所示，由图可知，a∈（ln2，ln（e﹣2+e2）），又0＜ln2＜1，2＜ln（e﹣2+e2）＜3，∴n的最大值为2．故选：A．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取50名学生．【解答】解：高一年级学生所占的比例为10001000+800+600=5 12，∴高一年级需抽取120×512=50人，故答案为：50．14．（5分）“2020武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是710．【解答】解：现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，基本事件总数n =C 52=10，选出的2名医生中至少有1名男医生包含的基本事件个数m =C 22+C 21C 31=7，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是p =m n =710． 故答案为：710．15．（5分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan A •tan C ＝1，b ＝3c cos A ，则cos C ＝√63． 【解答】解：△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由于b ＝3c cos A ，则sin B ＝3sin C cos A ， 则：sin （A +C ）＝3sin C cos A ， 整理得：tanA tanC=2，故tan A ＝2tan C ， 所以：tan 2C =12，则：tanC =±√22（负值舍去）． 所以tanC =√22时，解得：cosC =√63．故答案为：√6316．（5分）抛物线C ：y 2＝2x 的焦点坐标是 （12，0） ，经过点P （4，1）的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则|AF →|+|BF →|＝ 9 ． 【解答】解：由抛物线C ：y 2＝2x ，得2p ＝2，p ＝1，则p 2=12，∴抛物线的焦点F （12，0）．过A 作AM ⊥准线，BN ⊥准线，PK ⊥准线，M 、N 、K 分别为垂足， 则由抛物线的定义可得|AM |+|BN |＝|AF |+|BF |．再根据P 为线段AB 的中点，有12（|AM |+|BN |）＝|PK |=92，∴|AF |+|BF |＝9， 故答案为：（12，0），9．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，2S n+2n=3a n(n∈N∗)．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1+a na n⋅a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜14．【解答】解：（1）∵2S n+2n＝3a n∴2S n+1+2（n+1）＝3a n+1，两式相减得a n+1＝3a n+2，∴a n+1+1＝3（a n+1），∵2S1+2＝3a1，解得a1＝2．∴数列{a n+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n+1=3n∴a n=3n−1（2）b n=3n(3n−1)(3n+1−1)=12(13n−1−13n+1−1)∴T n=12(13−1−132−1+132−1−133−1+⋯+13n−1−13n+1−1)=14−12⋅13n+1−1＜1418．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝120°，P A ＝2，PB＝PC＝PD，E是PB的中点．（1）证明：P A⊥平面ABCD；（2）设F是直线BC上的动点，当点E到平面P AF距离最大时，求面P AF与面EAC所成二面角的正弦值．【解答】（1）证明：取BC 中点M ，连接PM ，AM ， 因为四边形ABCD 为菱形且∠BAD ＝120°． 所以AM ⊥BC ，因为PB ＝PC ，所以PM ⊥BC ， 又AM ∩PM ＝M ，所以BC ⊥平面P AM ，因为P A ⊂平面P AM ， 所以P A ⊥BC ． 同理可证P A ⊥DC ， 因为DC ∩BC ＝C ， 所以P A ⊥平面ABCD ．（2）解：由（1）得P A ⊥平面ABCD ，所以平面P AF ⊥平面ABCD ，平面P AF ∩平面ABCD ＝AF ． 所以点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面P AF 的距离．过B 作AF 的垂线段，在所有的垂线段中长度最大的为AB ＝2，此时AF 必过DC 的中点， 因为E 为PB 中点，所以此时，点E 到平面P AF 的距离最大，最大值为1．以A 为坐标原点，直线AF ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A ﹣xyz ． 则A(0，0，0)，C(√3，1，0)，E(0，1，1)，B(0，2，0)， 所以AC →=(√3，1，0)，AE →=(0，1，1)，AB →=(0，2，0)， 平面P AF 的一个法向量为AB →=(0，2，0)， 设平面AEC 的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{AC →⋅n →=√3x +y =0AE →⋅n →=y +z =0，取y ＝1，则n →=(−√33，1，−1)，cos ＜n →，AB →＞=n →⋅AB →|n →|⋅|AB →|=√217， 所以sin ＜n →，AB →＞=2√77， 所以面P AF 与面EAC 所成二面角的正弦值为2√77．19．（12分）已知函数f(x)=12x 2−kx −2lnx ． （Ⅰ）求函数f （x ）的极小值点；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（0＜x 1＜x 2）为函数y ＝f （x ）图象上的任意两点，f '（x ）为函数f （x ）的导函数，求证：f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜f′(x 2+x 12)．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f ′(x)=x −k −2x =x 2−kx−2x ，令f ′（x ）＝0，解得x 3=k−√k 2+82＜0，x 4=k+√k 2+82＞0， 易知当x ∈（0，x 4）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（x 4，+∞）时，f ′（x ）＞0， 故函数f （x ）在（0，x 4）单调递减，在（x 4，+∞）上单调递增，∴f （x ）的极小值点为x 4=k+√k 2+82； （Ⅱ）证明：f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=x 1+x 22−k −2(lnx 2−lnx 1)x 2−x 1，f ′(x 1+x 22)=x 1+x22−k −2x 1+x 22，∴f(x 2)−f(x 1)x 2−x 2＜f′(x 1+x 22)等价于ln(x 2x 1)−2(x 2−x 1)x 2+x 1＞0，即证ln(x2x 1)−2(x2x 1−1)x 2x 1+1＞0，令t =x2x 1＞1，即证lnt −2(t−1)t+1＞0，令ℎ(t)=lnt−2(t−1)t+1(t＞1)，则ℎ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）＝0，∴lnt−2(t−1)t+1＞0，原命题得证．20．（12分）某种规格的矩形瓷砖（600mm×600mm）根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量x（kg）都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为a（mm）、b（mm），则“尺寸误差”（mm）为|a﹣600|+|b﹣600|，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0，0.2]、（0.2，0.5]，（0.5，1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0mm的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元，现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）（i）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为ξ（元），求ξ的分布列．（ii）由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974；0.997410≈0.9743，0.84＝0.4096，0.85＝0.32768【解答】解：（Ⅰ）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在（u﹣3σ，u+3σ）之内的概率为0.9974，则这10片质量全都在（u ﹣3σ，u +3σ）之内（即没有废品）的概率为0.997410≈0.9743； 则这10片中至少有1片是废品的概率为1﹣0.9743＝0.0257；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分） （Ⅱ）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率， 得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1； 则ξ的可能取值为15，13.5，13，12，11.5，10元；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）计算P （ξ＝15）=C 22×0.72＝0.49， P （ξ＝13.5）=C 21×0.2×0.7＝0.28， P （ξ＝13）=C 22×0.22＝0.04， P （ξ＝12）=C 21×0.1×0.7＝0.14， P （ξ＝11.5）=C 21×0.1×0.2＝0.04， P （ξ＝10）=C 22×0.12＝0.01，得到ξ的分布列如下：ξ 15 13.5 13 12 11.5 10 P0.490.280.040.140.040.01﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） 数学期望为E （ξ）＝15×0.49+14×0.28+13×0.04+12.5×0.14+11.5×0.04+10×0.01 ＝7.35+3.92+0.52+1.75+0.46+0.1＝13.79（元）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（ⅱ）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有n 片“优等”品，则有5﹣n 片“一级”品， 由已知7.5n +6.5（5﹣n ）≥36，解得n ≥3.5，则n 取4或5； 故所求的概率为P =C 54×0.84×0.2+0.85＝0.4096+0.32768＝0.73728．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 21．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为椭圆E 上任意一点，PF 1→⋅PF 2→的最大值为1，点A 1为椭圆E 的左顶点，△A 1PF 2的面积最大值为2+√32．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）动直线l 与椭圆E 交于不同两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），O 为坐标原点，M 为AB 的中点______．是否存在实数λ，使得|OM |•|AB |≤λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由．从①△AOB 的面积为1，②|m →+n →|=|m →−n →|（其中向量m →=(x 1a ，y1b )，n →=(x 2a ，y2b )这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：（Ⅰ）设P （x 0，y 0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），则x 02a 2+y 02b 2=1，x 0∈[﹣a ，a ]PF 1→=（﹣c ﹣x 0，﹣y 0），PF 2→=（c ﹣x 0，﹣y 0）， PF 1→⋅PF 2→=x 02+y 02﹣c 2=c 2a2x 02+b 2−c 2，x 0∈[﹣a ，a ]， ∴当x 0＝±a 时，（PF 1→⋅PF 2→）max ＝b 2＝1．又S △A 1PF 2=12×(a +c)|y 0|≤(a+c)b 2=2+√32， 又a 2＝b 2+c 2，可解得：a ＝2，b ＝1，c =√3． 所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．（Ⅱ）当选择①时，假设存在实数λ，使得|OM |•|AB |≤λ恒成立．设动直线l ：x ＝ky +t ，由{x =ky +tx 24+y 2=1联立可得：（4+k 2）y 2+2kty +t 2﹣4＝0．{ △=4k 2t 2−4(4+k 2)(t 2−4)=16(k 2+4−t 2)＞0y 1+y 2=−2kt 4+k 2y 1y 2=t 2−44+k2，M （4t 4+k 2，−kt 4+k 2）．∵|AB |=√1+k 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√(1+k 2)(k 2+4−t 2)4+k 2，点O 到直线l ：x ＝ky +t 的距离d =|t|√1+k，∴S △ABO =12×|AB |×d =2|t|√k 2+4−t 24+k2=1，整理得：∵|OM |•|AB |=4√(1+k 2)(k 2+4−t 2)4+k2•√t 2(4+k 2)4+k 2=2√(1+k 2)(4+k 2)(4+k 2)2，令4+k 2＝m ≥4，则2√(1+k 2)(4+k 2)(4+k 2)2=2√m−3m 3，m ≥4． 令y =m−3m 3，m ≥4，则y ′=9−2m m 4，令y ′＝0⇒m =92，y 在[4，94]单调递增，在[94，+∞）单调递减，故当m =92也即k 2=12时， y max ，（|OM |•|AB |）max =4√327． 又|OM |•|AB |≤λ恒成立，所以λ≥4√327．故存在λ，使得|OM |•|AB |≤λ恒成立，且λ的最小值为4√327．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝m ，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ． （1）求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；（2）设曲线C 1与曲线C 2在第二象限的交点为A ，曲线C 1与x 轴的交点为H ，点M （1，0），求△AMH 的周长l 的最大值．【解答】解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝m ，转换为直角坐标方程为：x ＝m ．曲线C 2的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ．转换为直角坐标方程为3x 2+4y 2＝12，整理得x 24+y 23=1，转换为参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数）．（2）曲线C 1与曲线C 2在第二象限的交点为A （2cos θ，√3sinθ），M （1，0），H （2cos θ，0）所以所以l△ABC＝|AM|+|MH|+|AH|=√3sinθ+1−2cosθ+√(2cosθ−1)2+(√3sinθ)2=√3sinθ+1−2cosθ+2−cosθ=2√3sin(θ−π3)+3，当sin(θ−π3)=1时，△AMH的周长l的最大值为2√3+3．五．解答题（共1小题）23．已知函数f(x)=|2x−1|+x+12的最小值为m．（1）求m的值；（2）若a，b，c为正实数，且a+b+c＝m，证明：a2+b2+c2≥1 3．【解答】（1）解：根据题意，函数f(x)=|2x−1|+x+12={3x−12，x≥12，−x+32，x＜12，，所以f（x）为在(−∞，12]单调递减，在[12，+∞)单调递增，所以f(x)min=f(12)=1，即m=1．（2）证明：由（1）知，m＝1，所以a+b+c＝1，又因为a，b，c为正实数，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），即a2+b2+c2≥ab+bc+ac，所以1＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤3（a2+b2+c2），即a2+b2+c2≥1 3．。
2020届全国2卷高考仿真数学试题(理科)答案详解
12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r ，若()a b b -⊥r r r，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。
由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15 .C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭ .D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。
2020年高考理科数学(2卷)：答案详细解析(word版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（II 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1. （集合）已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()C U A B =A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3--【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴(){}C 2,3U AB =-. 【答案】A2. （三角函数）若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin 20α>D. sin 20α<【解析】α为第四象限角，即π2π2π2k k α-+<<，∴π4π24πk k α-+<<， ∴2α是第三或第四象限角，∴sin 20α<.【答案】D3. （概率统计，同文3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05. 志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B4.（数列）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块. 下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块. 已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【解析】设每一层有n 环，由题意可知从内到外每环的扇面形石板块数之间构成等差数列，且19a =，9d =，由等差数列性质可知，n S 、2n n S S -、32n n S S -也构成等差数列，且公差229d n d n '==.因下层比中层多729块，故有2322()()9729n n n n S S S S n ---==，解得9n =. 因此三层共有扇面形石板的块数为327127262726==272799=340222n S S a d ⨯⨯+=⨯+⨯. 【答案】C5. （解析几何，同文8）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．5 B. 25 C. 35 D. 45【解析】如图A5所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵ 圆过点（2, 1）且与两坐标轴都相切，∴ 222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===， 即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=22211325521⨯--+或22255325=521⨯--+.图A5【答案】B6.（数列）数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k =A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】∵m n m n a a a +=，∴211211n k n k k k a a a a a a a +--===，故有1210111551210...(222)(22)22k k k k k a a a a a ++++++=+++=-=-，∴42k a =又∵2111211112n n n n n n a a a a a a a a ---======，∴ 422k k a ==，∴4k =.【答案】C7.（立体几何）下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为A．E B．F C．G D．H【解析】由三视图的特点，如图A7所示，该端点在侧视图中对应的点为E.图A7【答案】A8．（解析几何，同文9）设O为坐标原点，直线x a=与双曲线C：22221 x ya b-=（a>0,b>0）的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE∆的面积为8，则C的焦距的最小值为A．4B．8C．16D．32【解析】如图A8所示，双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的渐近线为by xa=±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴ 1282ODE S a b ab ∆=⋅==， ∴ 焦距22226422248c a b a a =+=+≥⨯=，当且仅当22a =时，等号成立. 故C 的焦距的最小值为8.图A8【答案】B9.（函数）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f xA.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减 C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减 【解析】∵()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数，∵()ln ||g x x =，1()g x x '=，（即ln ||x 与ln x ，二者的导函数相同） ∴224()2121(21)(21)f x x x x x -'=-=+--+， 当1(,)2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 当11()22x ∈-，时，()0f x '>，()f x 在1(,)2-∞-单调递增.当1()2x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 在1(,)2-∞-单调递减. 【答案】D10.（立体几何，同文11）已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ．3B ．32 C ．1 D ．32【解析】由题意可知239344ABC S AB ∆==，∴3AB =， 如图A10所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心， 故123333O A == O 到平面ABC 的距离22111OO R O A =-=.图A10【答案】C11. （函数，同文12）若2233x y x y ---<-，则A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<【解析】2233x y x y ---<-可化为2323x x y y ---<-，设1()2323x x x x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴ x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A12. （概率统计）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12...n a a a 满足 {}0,1(1,2,...)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并满足(1,2,...)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的0-1序列12...n a a a ，11()(1,2,...1)i m i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1的序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A. 11010...B. 11011...C. 10001...D. 11001...【解析】解法一（计数思想）：由5111()(1,2,3,4)55i i k i C k a a k +==≤=∑，可得511i i k i a a +=≤∑. 因0=1i i k a a +⎧⎨⎩，故对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1，所以对于所有的(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的总个数不能超过4.A 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故A 选项不符合题意.B 选项：1i i k a a +=的个数为2412A =，故B 选项不符合题意. D 选项：1i i k a a +=的个数为236A =，故D 选项不符合题意.C 选项：1i i k a a +=的个数为222A =，即151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意. 解法二（排除法）： 由解法一可知，对于每一个(1,2,3,4)k k =，1i i k a a +=的个数不超过1.A 选项：当2k =时，241a a =，411a a =，故A 选项不符合题意.B 选项：当1k =时，121a a =，451a a =，故B 选项不符合题意.D 选项：当1k =时，121a a =，511a a =，故D 选项不符合题意.C 选项：序列的一个周期内只有两个1，1i i k a a +=的情况只有151(4)a a k ==和511(1)a a k ==，因此可推出1(1)(4)5C C ==，(2)(3)0C C ==，故C 选项符合题意.解法三（答案验证法）：按照题设的定义11()(1,2,...1)i mi k i C k a a k m m +===-∑，逐个验证答案，使用排除法，即可得到正确选项. 如A 选项，121(2)(01010)=555C =++++>，排除A 选项，其余的这里不再赘述. 【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.（平面向量）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______. 【解析】∵()ka b a -⊥，∴22()02ka b a ka a b k -⋅=-⋅=-=，∴22=k . 【答案】22 14.（概率统计）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【解析】根据题意，先把4名同学分为3组，其中1组有两人，2组各有一人，即从4名同学中任选两人即可，故有24C 种选法；将分成的3组同学安排到3个小区，共有33A 种方法；所以不同的安排方法共有234336=C A 种.【答案】36 15.（复数）设复数1z ，2z 满足122z z ==,则123z z i +，则12z z -=_______.【解析】解法一：在复平面内，用向量思想求解，原问题等价于：平面向量b a ，满足2||||==b a ，且,1)3(=+b a ，求||b a -.∵2222||2||2||||b a b a b a +=-++，∴16||42=-+b a ，∴12||2=-b a ，∴32||=-b a . 即1223-=z z解法二：在复平面内，如图A15所示，因12122==+=z z z z ，则1z ，2z ，12+z z 组成一个等边三角形，所以1z ，2z 之间的夹角为120°，所以22o 1212122cos120=44423-=+-++=z z z z z z .图A15【答案】316.（立体几何，同文16）设有下列4个命题：1P ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2P ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3P ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________① 14p p ∧ ② 12p p ∧ ③ 23p p ⌝∨ ④ 34p p ⌝∨⌝【解析】由公理2可知，p 1为真，p 2为假，2p ⌝为真；若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3为假，3p ⌝为真；由线面垂直的定义可知p 4为真；所以①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是①③④.【答案】①③④三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（12分）（三角函数）ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=，（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC ∆周长的最大值.【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅，△ 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅， △ 由△，△得1cos 2A =-. 因为0πA <<，所以2π3A =. （2）由正弦定理及（1）得23sin sin sin AC AB BC B C A ===，从而 23AC B =，3π)3cos 3AB A B B B =--=-. 故π333cos 323)3BC AC AB B B B ++=+=++. 又π03B <<，所以当π6B =时，ABC △周长取得最大值33+. 18.（12分）（概率统计，同文18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200-80-9000--800ii i i i i i i i i i xy x xy yx x y y ==========∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i =⋯的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。
2020届全国2卷高考仿真数学试题(理科)
12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r，若()a b b -⊥r r r ，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。
由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15.C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭.D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(2)2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（2）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.（5分）复数z＝（1+2i）2（i为虚数单位）的共轭复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.（5分）已知集合A＝{x|x2-2x-3<0}，集合B＝{x|x-1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（-∞，1）∪[3，+∞]B．（-∞，1]∪[3，+∞]C．（-∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）3.（5分）若x，y满足约束条件{3x-y+1≥0，y≤2，x-y-2≤0}，则z＝4x+2y的最小值为（）A．-17B．-13C．16/3D．204.（5分）下列四个命题中错误的是（）A．若直线a、b 相交，则直线a、b确定一个平面B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D．经过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直5.（5分）今年入冬以来，我市天机反复．在下图中统计了我市上个月前15的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）A．今年每天气温都比去年气温低B．今年的气温的平均值比去年低C．今年8-12号气温持续上升D．今年8号气温最低6.（5分）已知各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an+2an＝39（n∈N*），那么数列{an}的前50项和S50的最小值为（）A．637B．559C．481+25√39D．492+24√787.（5分）若圆锥的高等于底面直径，侧面积为√5π，则该圆锥的体积为（）A．π/3B．π/2C．2π/3D．16π/38.（5分）下列命题错误的是（）A．∃α，β∈R，cos（α+β）＝cosαcosβ+sinαsinβB．∀x，k∈R，sin（x+k•2π）＝sinxC．∃x∈[0，π)，sin（x+π/2）＝sinxD．∀x∈R+，∃k∈R，sinx≤kx9.（5分）已知sin（π/3+α）= 2/3，则sinα的值等于（）A．-7/9B．-2/9C．9/2D．3/710.（5分）已知向量a，b，c满足|a|=1，|b|=√3，a•b=-2，b•c=0，且a，b，c不共面，那么向量c的长度为（）A．1/2B．1C．√2D．21.题目未给出文章，无法进行修改。
2020届新课标II卷高考数学模拟试题(理)有答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．43．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =C ．2y = D ．3y = 6．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29 D ．57．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5012．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ． 23B ．12C ．13D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国高考数学仿真信息试卷(理科)(二)含答案解析
2020年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合M={1，2，3，4}，N={x|x+y=3，y∈M}，则M∩N=（）A．{1}B．{1，2}C．{2，3}D．{3，4}2．已知复数z（1﹣i）=i，则z在复平面上对应的点位于（（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．曲线y=在点（1，﹣a）处的切线经过点P（2，﹣3），则a等于（）A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣14．从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其中个位数为2或3的概率为（）A．B．C．D．5．已知命题p：若x＞y，则|x|＞|y|；命题q：若x+y=0，则x=﹣y．有命题①p∧q；②p ∨q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨q．其中真命题是（）A．①③B．②④C．②③D．①④6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n＜5 B．n＜6 C．n≤6 D．n＜97．将函数y=3sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，得到的图象对应函数为g（x），则g（=）（）A．0 B．﹣3 C．3 D．8．（x+）n（a∈N+，n∈N+，且n＞a）的展开式中，首末两项的系数之和为65，则展开式的中间项为（）A．120x3B．160x2C．120 D．1609．已知α、β为锐角，且sin（α﹣β）=，tanβ=．则α等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=x+2y的最大值为2，则a=（）A．B．C．D．11．五棱锥P﹣ABCD的体积为5，三视图如图所示，则侧棱中最长的一条的长度是（）A．6 B．3C．3D．412．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（2，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．如图在矩形ABCD中，E为BC的中点，若=α+β，则α+β=．14．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是①三个题都有人做对；②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对．15．设抛物线C：y2=2px的焦点F是圆M：x2+y2﹣4x﹣21=0的圆心，则圆M截C的准线所得弦长为．16．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2﹣ab+b2=1，c=1，则a﹣b的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．数列{a n﹣b n}为等比数列，公比q＞0，首项为1，数列{b n}的前n项和S n，若S n=（n∈N+），a3=．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和T n．18．某商店根据以往某种玩具的销售纪录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．，将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量互相独立．（1）求在未来连续3天里，有2天的日销售量都不低于150个且另一天的日销售量低于100个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，F为PC的中点，PA=2AB=2（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；（2）求二面角C﹣AE﹣F的正弦值．20．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，上顶点和右顶点分别为B，A，线段AB的中点为D，且k OD•k AB=﹣，△AOB的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线1与椭圆C相交于M，N两点，若|MN|=，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．21．已知，其中a＞0．（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AF交BD的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若ED=1，BD=5，求切线AF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）﹣f（x﹣1）≤1；（2）若a＞0，求证：f（ax）﹣af（x）≤f（﹣a）．2020年全国高考数学仿真信息卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2020高考数学(理)全真模拟卷2(解析版)
备战2020高考全真模拟卷2数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设0x >,若()2x i +是纯虚数（其中i 为虚数单位）,则x =（ ） A ．±1 B ．2C ．-1D ．1【答案】D 【解析】()2x i +,所以210,01x x x -=>⇒=,选D.2．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >- B ．{|3}x x <-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以A B U {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题. 3．函数f(x)={2x −2,x ≤12sin(π12x)−1,x >1，则f[f(2)]=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．2√3−1−2 D ．0 【答案】B 【解析】 f(2)=2sin(π12×2)−1=0 ，f[f(2)]=f(0)=20−2=−1 ，故选B .4．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭.类比上述解法，若关于x 的不等式0x ax b+<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式1log 301log 3x x a b +<+的解集为（ ） A ．()3,27 B ．()3,9C ．()1,27D ．()1,9【答案】A 【解析】 【分析】把题设中两个一元二次不等式的代数结构关系与对应的解集关系类比推广到两个分式不等式的代数结构关系与对应的解集关系即可得到要求的解集. 【详解】将关于x 的不等式1log 301log 3x x a b +<+变形可得1log 301log 3x x ab +<+，从而由条件可得113log 3x <<.利用对数换底公式有31log 3x <<， 即333log 3log log 27x <<，于是所求不等式的解集为()3,27，故选A. 【点睛】类比推理中有一类是解题方法上的类比推理，即原有的解题方法是建立在代数式的合理变形的基础上，因此对我们需要解决的问题，如果它们也有代数式上类似的变形，那么解决问题的手段应该是相同的，从而使得新问题得到解决 .5．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e 3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】 【分析】根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为1=x S e dx ⎰阴影，再由题意得到矩形OABC 的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果. 【详解】由题意，阴影部分的面积为11=10x xS e dx ee ==-⎰阴影，又矩形OABC 的面积为=3OABC S 矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为4=3OABC OABCS S eP S --=阴影矩形矩形. 故选B【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型. 6．函数()()2244log xxf x x-=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ∵()()()()2244log xx f x x f x --=--=-，∴()f x 为奇函数，排除A ，C ；∵21112log 3224f ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1142f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴排除D ，故选B . 7．已知向量()1,1a =r ， ()24,2a b +=rr ，则向量,a b r r 的夹角的余弦值为（ ）A.BC.D - 【答案】C【解析】()()4,222,0b a =-=r r，故cos ,2a b a b a b⋅〈〉====⋅r r r r r r .8．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（ ）A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．()ln 2f x x x =++D ．2()f x x =【答案】C 【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果. 详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为()sin f x x =为奇函数，()x f x e =恒大于零，()2f x x =恒非负，()ln 2f x x x =++满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3456719a a a a a a a ++++--=（ ） A ．46 B ．69C ．92D ．138【答案】B 【解析】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以9111998(3)20735;2S a a =+⨯⨯⨯-=∴= 3456719a a a a a a a ++++--=131269.a d += 选B.10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 1【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理，结合三角形面积公式可得tan 14C C π=?，再由余弦定理结合基本不等式求出ab的最大值，从而可得结果. 【详解】 ∵2c =，22222444ABCa b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==. ∴tan 14C Cπ=?，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥，∴4ab ≤=+∴(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=. 故选：D . 【点睛】余弦定理的应用一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11．已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则椭圆22221x y m n+=的离心率为（ ）A B C D ．29【答案】B 【解析】对函数()f x 求导得2()36f x x mx n '=++，由题意得(1)0{(1)0f f '-=-=，，即2130{360m n m m n -+-+=-+=，，解得1{3m n ，==或2{9m n ，，== 当1{3m n ，==时22()3633(1)0f x x x x =++=+≥'，故2{9m n ，，==所以椭圆22221x y m n +=的离心率为9e =，故选B ．12．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）A ．27 B ．27C ．9D ．27【答案】B 【解析】 【分析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()22V h h =-.设()()22f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM V 中有()2211h a -+=，即222a h h =-.正六棱锥的体积()2211162332V Sh h h h ==⨯⨯=-.设()()222f x x x x =-.由()2'02f x x =-=得43x =. ()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x .. 故选：B 【点睛】本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学全国卷2含答案（A4打印版）
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分. 2作答时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的..1.已知集合{10{2101}1{1223U A B --==-}=}，，，，，，，，，，，则)(UA B = ( ( )A .{23-}，B .{223-}，，C .{2103--}，，，D .{21023--}，，，， 2若α为第四象限角，则为第四象限角，则( ( )A .cos20α＞B .cos20α＜C .sin20α＞D .sin20α＜3.在新冠肺炎疫情防控期间，在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，某超市开通网上销售业务，某超市开通网上销售业务，每天能完成每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者则至少需要志愿者( ( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、分上、中、分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板下三层，上层中心有一块圆形石板下三层，上层中心有一块圆形石板((称为天心石心石))，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板块，则三层共有扇面形石板((不含天心石不含天心石) )( ( )A .3 699块B .3 474块C .3 402块D .3 339块5.若过点(2)1，圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 ( ( )A .55B .255C .355D .4556.数列{n a }中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( ( ) A .2B .3C .4D .57如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( ( )A .EB .FC .GD .H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=＞＞的两条渐近线分别交于D E ，两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ( ) A .4B .8C .16D .32 9.设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x( ( )A .是偶函数，且在1()2+∞，单调递增B .是奇函数，且在11()22-，单调递减 C .偶函数，且在1()2-∞-，单调递增 D .是奇函数，且在1()2-∞-，单调递减10.已知ABC △是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上的球面上..若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ( ) A .3 B .32C .1D .3211.若2233xyx y----＜，则( ( )A .ln(1)0y x -+＞B .ln(1)0y x -+＜C .ln 0x y -＞D .ln 0x y -＜12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用周期序列在通信技术中有着重要应用..若序列12n a a a 满足，且存在正整数m ，使得(12)i m ia a i +==，，成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(12)i m i a a i +==，，的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为的01-序列12na a a ，11()(121)mi i ki C k a ak m m+===-∑，，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，1C k kA .11010B .11011C .10001D .11001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知单位向量a b ，的夹角为45︒，ka b -与a 垂直，则=k ________.________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有名同学，则不同的安排方法共有________________________种种.15设复数1z ，1z 满足12|=||=2z z ，123i z z +=+，则12||=z z -________.________. 16.设有下列四个命题：设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面：过空间中任意三点有且仅有一个平面..3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行..4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是则下述命题中所有真命题的序号是________.________.________. ①14p p ∧②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答..第22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.. （一）必考题：共60分. 17.（12分）分）在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =－－. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值周长的最大值. .18.（12分）分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1220iix y i =⋯，，，，，其中ix 和iy 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800ii i x y x y =--=∑（（. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()1220iix y i =⋯，，，，的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大各地块间植物覆盖面积差异很大..为提高样本的代表性以获得该地附：相关系数12211))=))ii i i ni nni i x y x y x y r x y ===----∑∑∑（（（（，2=1.41419（12分）分） 已知椭圆2221201()x y a b C a b +=＞＞：的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合点重合..过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A B ，两点，两点，交交2C 于C D ，两点，两点，且且43CD AB =. （1）求1C 的离心率；的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，求1C 与2C 的标准方程的标准方程..20.（12分）分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1AA MN ∥，且平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值所成角的正弦值. .21.（12分）分）已知函数2sin n )si (2f x x x =（1）讨论()f x 在区间(0)π，的单调性； （2）证明：33()8f x ≤； （3）设*n N ∈，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24n nnx x x x ⋯≤.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分多涂、错涂、漏涂均不给分..如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）分） 已知曲线12C C ，参数方程分别为参数方程分别为2124cos 4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，:（θ为参数），21π1x t t C y t t ⎧=+⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12C C ，的参数方程化为普通方程；的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系轴正半轴为极轴建立极坐标系..设12C C ，的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程的圆的极坐标方程. .23[选修4—5：不等式选讲]（10分）分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求()4f x 不等式的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围的取值范围..2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学答案解析一、选择题1．【答案】A【解析】由题意可得：{}1012AB =-，，，，则{2()3UAB =-}，．故选：A ．【考点】并集、补集的定义与应用【考点】并集、补集的定义与应用 2．【答案】D【解析】当π6α=-时，πcos2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，选项B 错误；当π3α=-时，2πcos 2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0cos 0αα，＞＜，则sin22sin cos 0ααα=＜，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．【考点】三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值 3．【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者9001850=名．故选：B ．【考点】函数模型的简单应用 4．【答案】C【解析】设第n 环天心石块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===．故选：C ．【考点】等差数列前n 项和有关的计算 5．【答案】B【解析】由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y --=的距离为255．故选：B ．6．【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=．所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++--∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ． 【考点】利用等比数列求和求参数的值 7．【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E ，故选：A ．【考点】根据三视图判断点的位置 8．【答案】B 【解析】22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线22221(00)x y C a b ab-=：＞，＞的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限在第四象限 联立x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x ay b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x ay b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，ED b∴ODE △面积为：1282ODESa b ab =⨯==△ 双曲线22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞∴其焦距为2222222168c a b ab =+==当且仅当22a b ==取等号∴C 的焦距的最小值：8．故选：B ．【考点】双曲线焦距的最值问题 9．【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1122x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，()ln 12y x =-在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，()f x ∴在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，排除B ；当12x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，()()()212ln 21ln 12lnln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，D 正确．故选：D ．【考点】函数奇偶性和单调性的判断10．【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则24π16πR =，解得：2R =．设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 是面积为934的等边三角形，21393224a ∴⨯=，解得：3a =，22229933434a r a ∴=⨯-=⨯-=，∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r =-=-=．故选：C ．【考点】球的相关问题的求解11．【答案】A【解析】由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，y x y x x y无法确定．故选：A ． 【考点】数式的大小的判断问题 12．【答案】C 【解析】由i mi aa +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511()12345i i ki C k a ak +===∑，，，， 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555ii i C a aa a a a a a a a a a +===++++=++++=∑≤ 52132********1112(2)()(01010)5555i i i C a aa a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足； 对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555ii i C a aa a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足； 对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；，不满足；故选：C【考点】数列的新定义问题 二、填空题 13．【答案】22【解析】由题意可得：211cos452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即：2202k a a b k →→→⨯-=-=，解得：22k =．故答案为：22． 【考点】平面向量的数量积定义与运算法则【考点】平面向量的数量积定义与运算法则14．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =．根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种．故答案为：36． 【考点】计数原理的实际应用 15．【答案】23z zz()()122cos cos 2sin sin i 3i z z θαθα∴+=+++=+，()()2cos cos 32sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，两式平方作和得：()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=， 化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-()()122cos cos 2sin sin iz z θαθα∴-=-+-()()()224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin θαθαθαθα=-+-=-+8423=+=．故答案为：23． 【考点】复数模长的求解 16．【答案】①③④ 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．为真命题．故答案为：①③④． 【考点】复合命题的真假，空间中线面关系有关命题真假的判断 三、解答题 17．【答案】（1）23π；（2）323+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-，()0πA ∈，，2π3A ∴=． （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-=++=，即()29AC AB AC AB +-=．22AC AB AC AB +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-+-=+ ⎪⎝⎭，解得：23AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴△周长323L AC AB BC =+++≤，ABC ∴△周长的最大值为323+．【考点】解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题最大值的求解问题 18．【答案】（1）12000； （2）0.94； （3）详见解析【解析】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=（2）样本(),i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()ii i iii i xx y y r xx yy ===--===≈⨯--∑∑∑（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．抽取样本即可．【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取 19．【答案】（1）12；（2）22113627x y C +=：，2212C y x =：． 【解析】（1）()0F c ，，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =， 联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x c y c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843bc a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e ＜＜，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12； （2）由（1）知2a c =，3b c =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c+=，联立222224143y cx x y cc ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．【考点】椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程 20．【答案】（1）证明见解析； （2）1010． 【解析】（1）M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB 1//MN AA ∴．在ABC△中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥．又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M =，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ．又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 11//B C ∴平面ABC ．又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F平面ABC EF =11//B C EF∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN ．（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP =，∴//AO NP ．根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM =，面1A NMA 平面1111A B C A N =，∴//ON AP ．故：四边形ONPA 是平行四边形．设ABC △边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6NP AO AB m ===．O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m ，∴16sin 6033ON m =⨯⨯︒=，故：3ON AP m ==．//EF BC ，∴APEPAM BM =，∴3333EP =．解得：EP m =．在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，1B Q EP =且1//B Q EP ，∴四边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ．由（1）11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角．在Rt QPN △，根据勾股定理可得：()()222226210PQ QN PN mmm =+=+=，210sin 10210QN m QPN PQ m ∴∠===，∴直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010． 【考点】证明线线平行和面面垂直，线面角21．【答案】（1）当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）证明见解析； （3）证明见解析．【解析】（1）由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()22423sin cos sin f x x x x'=-()2222sin 3cos sin x x x =-()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()0f x '=在()0πx ∈，上的根为：12π2π33x x ==，，当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）注意到()()()()22πsin πsin 2πsin sin2f x x x x x f x+=+⎡+⎤==⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，结合（1）的结论，计算可得：()()0π0f f ==，2π33333228f ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2233333228f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，据此可得：()max 338f x ⎡⎤=⎣⎦，()min 338f x ⎡⎤=-⎣⎦，即()338f x ≤．（3）结合（2）的结论有：2222222sin sin 2sin 4sin 2nx x xx233333sin sin 2sin 4sin 2nx x x x ⎡⎤=⎣⎦()()()22222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x xx x x -⎡⎤=⎣⎦232333333sinsin 2888n x x ⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦≤23338n⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤34n⎛⎫= ⎪⎝⎭．【考点】导数的应用22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：； （2）17cos 5ρθ=． 【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=． （2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．【考点】极坐标与参数方程的综合应用23．【答案】（1）32x x ⎧⎨⎩≤或112x ⎫⎬⎭； （2）(][)13-∞-+∞，，． 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-，解得：32x ≤；当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=，无解；当4x 时，()43274f x x x x =-+-=-，解得：112x ；综上所述：()4f x 的解集为32x x ⎧⎨⎩≤或112x⎫⎬⎭． （2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-，解得：1a -≤或3a ，a ∴的取值范围为(][)13-∞-+∞，，． 【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值。
2020年高考数学模拟卷(全国Ⅱ卷理科)
2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷理科）时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 若复数满足,则( )A. B.C. D.3. 从中任取一个,则直线被圆截得的弦长大于的概率为( )A. B.C. D.4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )A. B.C. D.6. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的为( )A. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为7. 已知的展开式中各项系数之和为,则该展开式的常数项是( )A. B.C. D.8. 已知双曲线的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )A. B.C. 或D. 或9. 已知正项数列为等比数列,为其前项和,且有,,则第2019项的个位数为( )A. 1B. 2C. 8D. 910. 已知函数 的图象在处的切线与直线 垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 ,则判断框中 的值可以为( )A.B.C.D.11. 已知函数在上至少存在两个不同的 满足 ,且函数 在上具有单调性, 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是A. 函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为B. 函数 图象关于直线对称 C. 函数 图象关于点对称 D. 函数 在上是单调递减函数12. 已知函数 在上恒有 ,其中 为函数 的导数,若 为锐角三角形的两个内角,则（ ）A.B. C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值之和为,则__________.14. 若向量满足，，则向量在方向上投影的最小值为__________.15. 在三棱锥中,,若平面平面,则三棱锥外接球的表面积为__________.16. 直线与抛物线交于,两点,为轴上的一点，满足,则点的坐标为__________.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.求的值及角的取值范围.18. 如图,在平面多边形中,,,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,连接. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成二面角的余弦值.19. 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份 和关注人数 (单位:百) 数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)由散点图看出,可用线性回归模百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数; (3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,试根据(1)中的回归方程,预测关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望. 参考公式:相关系数,若,则与的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为,.20. 已知椭圆左、右焦点分别为、,上顶点为，离心率为. (1)求的方程; (2)直线与相切于点,直线过点经点被直线反射得反射光线.问:直线是否经过轴上一个定点?若经过,求出该点的坐标;若不经过,说明理由.21. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 时,令函数 ,当 时,恒有 ,求实数 的取值范围.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 选修4-4:在直角坐标系 中,直线 的参数方程为( 为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程; (2)已知 ,直线 与曲线 交于 , 两点,求的最大值.22B. 已知函数. (1)求不等式 的解集; (2)设函数,若存在 使 成立,求实数 的取值范围.2019年高考数学押题卷（全国Ⅱ卷理科）答案和解析第1题： 【答案】B【解析】由得,,即,由,得,所以,所以,所以.第2题： 【答案】C 【解析】由,得,所以,所以.第3题： 【答案】A【解析】所给圆的圆心为坐标原点,半径为,当弦长大于时,圆心到直线的距离小于,即,所以,故所求概率.第4题： 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差. 由等差数列的前项公式可得,,解得.第5题： 【答案】D【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.第6题： 【答案】C【解析】由,解得,故A 错; 由A 可知,,所以平均数为,故B 错误; 居民月用电量在的频率为:, 居民月用电量在的频率为:, ∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C 正确; 由频率分布直方图可知,众数大约为,故D 错误.第7题： 【答案】D【解析】令,则有,所以,又展开式的通项为，令,则的展开式中含项的系数为,令,则的展开式中常数项为,故展开式的常数项为.第8题：【答案】D【解析】当双曲线的焦点在轴上时,设的方程为,则其渐近方程为,所以,所以,所以;当双曲线的焦点在轴上时,设C 的方程为,则其渐近方程为,所以,所以所以，所以.第9题：【答案】C【解析】由,得,即,又>0,所以=180,从而,由,得,即,所以,所以,又,所以,代入,得,所以，故其个位数为8.第10题： 【答案】B【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,此时,故的值可以为.第11题： 【答案】D【解析】由于函数在上具有单调性,所以,即,所以,又由于函数在上至少存在两个不同的满足,所以,即,所以,故有,又和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴,所以,,所以,,所以,故,又为函数图象的一个对称中心,所以,,所以,,又,所以,所以.由于函数的周期为,所以相邻两条对称轴之间的距离为,故A 错误;,且,故B,C 错误;由于函数的单调递减区间为,,当时,得其中的一个单调递减区间为,而,故D 正确.第12题：【答案】B 【解析】令,则,由于,且,所以,故函数在单调递增.又为锐角三角形的两个内角,则,所以,即,所以,即,所以.第13题：【答案】【解析】满足约束条件的可行域如下图:由,得,由,得,将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点B 时目标函数取得最大值,所以,所以有=,解得.第14题：【答案】 【解析】,所以,又向量在方向上投影为,当且仅当“”时取等号.第15题：【答案】【解析】取的中点,的中点,连接,因为,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又因为,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,所以点为三棱锥外接球的球心,所以外接球的半径,故外接球的表面积.第16题：【答案】 【解析】设,,,把代入抛物线方程得,由可得， 所以,,因为,即, 即,所以,即,由于,所以,故.第17题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴,即, ∴, ∴. 如图,过点作,为垂足.在中,,由题意可知,,所以有,从而,又因为,所以或,又,所以,即角的取值范围为.第18题：【答案】见解析【解析】(1)在中,设,由余弦定理得,, ∴, ∴,即, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面; (2)由(1)可知,直线两两垂直,故以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:设, 则,,,从而,设为平面的一个法向量. 则,即令,则, 由(1)可知,轴平面,故平面的一个法向量, ∴,即平面与平面所成二面角的余弦值为.第19题：【答案】见解析【解析】(1), ∴, 又∵,, ∴相关系数, 由于关于的相关系数, 这说明关于的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系; 又,且, ∴, ∴回归方程为(2),即调查材料最低成本为1800元,此时,所以; (3)可能的取值为0,1,2,3, 且;;;. 所以的分布列为所以.第20题：【答案】见解析 【解析】(1)设,由题意得,,又,所以有,故的方程为. (2)当直线的斜率为0时,则直线与相切于短轴的一个顶点,由椭圆的对称性可知,直线经过轴上的点. 当直线斜率存在时,设其方程为,将代入得,,整理得,,从而,所以,即,所以. 设关于直线的对称点为,则有,解得,即. 所以. 又, 所以,即,,三点共线,所以直线经过点.当直线斜率不存在时,直线即为轴,也经过点. 综上,直线经过轴上一个定点.第21题：【答案】见解析【解析】(1). ①当时,在上,,函数f(x)单调递减;在上,,函数f(x)单调递增; ②当时,在上,,函数f(x)单调递增;在上,,函数单调递减. 综上,当时,递减区间为,递增区间为;当时,递增区间为,递减区间为. (2), ∵,∴, 当时,由于,所以,即, 当时,由于,所以,即, 当时,, 综上,当时,函数单调递增, 所以由可得,即, 等价于,即, 令,, 则, 由,且,得, 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减. 所以, 所以,即A 的取值范围为.第22A 题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴, ∴,即. (2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得, 则,所以, 所以,即的最大值为.第22B 题：【答案】见解析上,原不等式的解集为. (2)由得, 又, 所以,即,解得, 所以的取值范围为.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷(全国Ⅱ卷)(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国Ⅱ卷）（含解析）
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答选择题时
, 将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
故 BC AC AB 3
π 3 sin B 3cos B 3 2 3 sin( B ) .
3
又0
B
π ，所以当 B
π
时，
△ABC
周长取得最大值
3
2 3.
3
6
18．解：（ 1）由己知得样本平均数
y
1 20 yi
60 ，从而该地区这种野生动物数量的估计
20 i 1
值为 60× 200= 12 000 ．
2
2
10. 已知 △ ABC 是面积为 9 3 的等边三角形，且其顶点都在球 4
O 的球面上。 若球 O 的表
面积为 16 ，则 O 到平面 ABC 的距离为
A． 3
3
B
．
C. 1
D
2
11. 若 2x 2y 3 x 3 y, 则
．3 2
A. 1n( y x 1) 0
B.
1n( y x 1) 0
2
C. ln x y 0
A． 4
B
．8
C
． 16
D
． 32
9. 设函数 f ( x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f (x)
1 A. 是偶函数，且在 ( , ) 单调递增
2
11