2021新高考数学二轮总复习专题六统计与概率6.4.2随机变量及其分布学案含解析.docx
高中数学备课教案概率与统计中的随机变量与分布
高中数学备课教案概率与统计中的随机变量与分布高中数学备课教案：概率与统计中的随机变量与分布概率与统计是高中数学重要的内容之一，而在这个领域中，随机变量和分布的概念更是关键。
随机变量是代表随机试验中的某个特定数量的变量，而分布则描述了该随机变量所有可能取值的概率。
教师在备课过程中，应该注重学生对随机变量和分布的理解与应用。
本教案将详细介绍随机变量和分布的概念、分类以及例题应用，帮助教师更好地备课教学。
一、随机变量的概念及分类1.1 随机变量的概念随机变量是在随机试验中可能取到的各个结果所对应的数值，可分为离散型和连续型两种。
1.2 离散型随机变量离散型随机变量是只能取一些特定值的随机变量，其取值通常是整数或有限个数。
常见离散型随机变量有二项分布、泊松分布等。
1.3 连续型随机变量连续型随机变量是可以取得一切可能值的随机变量，其取值通常是实数。
常见连续型随机变量有均匀分布、正态分布等。
二、随机变量的分布2.1 离散型随机变量的分布离散型随机变量具有离散型分布，常见的分布有二项分布、泊松分布等。
在教学中，可以通过实际例题帮助学生理解离散型随机变量的分布特点和应用方法。
2.2 连续型随机变量的分布连续型随机变量具有连续型分布，常见的分布有均匀分布、正态分布等。
通过实际例题，教师可以引导学生探究连续型随机变量的分布特点和应用方法，并与离散型随机变量进行对比。
三、随机变量与分布的应用3.1 随机变量的应用随机变量的应用广泛存在于生活和科学研究中。
例如，在概率论、统计学、物理学等领域，通过引入随机变量来描述和研究不确定的或随机的现象。
3.2 随机变量与分布的问题解答在教学中，可以通过练习题和案例分析等方式，培养学生运用随机变量与分布解决实际问题的能力。
引导学生分析问题，运用相应的分布模型，计算概率或期望，从而得出正确的结论。
四、教学策略与方法4.1 清晰明了的讲解教师应以简洁明了的语言对随机变量和分布的概念进行讲解，避免使用过多的专业术语，使学生能够迅速掌握关键概念。
随机变量及其分布教案
随机变量及其分布教案本教案以"随机变量及其分布"为主题，旨在帮助初学者理解随机变量的概念、特征和分布。
本文将介绍随机变量的基本概念、离散与连续随机变量的特征以及常见的概率分布模型。
通过教师引导和学生参与，帮助学生掌握随机变量及其分布的概念和基本性质。
一、引入随机变量是概率论中的重要概念，它可以看作是试验结果的函数。
为了更好地理解随机变量，我们可以先从试验和事件的概念入手。
试验是指具有不确定性的过程或现象，而事件是试验的某一结果或一组结果组成的集合。
随机变量则是将试验结果映射到数轴上的变量。
二、随机变量的定义随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量是取有限个或可列个数值的随机变量，例如掷一个骰子的结果。
连续随机变量则是可以取连续数值的随机变量，例如人们身高的测量值。
三、离散随机变量的特征离散随机变量有其特征，主要包括概率质量函数、期望和方差等。
概率质量函数描述了随机变量在各个取值上的概率分布情况，期望则是对随机变量取值的加权平均值，方差则衡量了随机变量取值的分散程度。
四、连续随机变量的特征连续随机变量的特征与离散随机变量类似，不同之处在于连续随机变量使用概率密度函数来描述其概率分布情况。
期望和方差的计算方法也有所不同。
五、常见的概率分布模型在概率论和统计学中，有许多常见的概率分布模型可以用来描述随机变量的分布情况。
例如，离散型随机变量的概率分布模型有伯努利分布、二项分布和泊松分布等；连续型随机变量的概率分布模型有均匀分布、正态分布和指数分布等。
本教案将对其中部分常用的概率分布进行简要介绍，并通过实例演示如何应用这些分布模型进行概率计算。
六、总结与延伸通过本节课的学习，我们了解到随机变量及其分布的基本概念和特征，以及常见的概率分布模型。
随机变量在概率论和统计学中具有广泛的应用，对于我们理解和解决实际问题有着重要的作用。
在以后的学习中，我们将进一步深入研究随机变量及其分布的性质和应用，为进一步理解概率论和统计学打下坚实基础。
2019-2020年高三数学二轮复习 专题六 第2讲 概率、随机变量及其分布列教案
2019-2020年高三数学二轮复习 专题六 第2讲 概率、随机变量及其分布列教案自主学习导引 真题感悟1．(2012·北京)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析 如图，平面区域D 是面积为4的正方形，D 内到坐标原点的距离大于2的点所组成的区域为图中阴影部分，其面积为4－π，故此点到坐标原点的距离大于2的概率为4－π4，故选D.答案 D2．(2012·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .解析 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ， 根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136. P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112， P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X所以EX ＝0×36＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝4112. 考题分析本部分内容的基础是概率，高考试题中无论是以古典概型为背景的分布列，还是以独立重复试验为背景的分布列，都要求计算概率．解此类问题的一个难点是正确的理解题意，需特别注意． 网络构建高频考点突破考点一：古典概型与几何概型【例1】(1)(2012·衡水模拟)盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是A.18125B.36125C.44125D.81125(2)(2012·海淀二模)在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则△PAB 的面积大于等于14的概率是________．[审题导引] (1)解题的关键是理解题意，应用计数原理与排列组合公式计算基本事件的个数；(2)首先找到使△PAB 的面积等于14的点P ，然后据题意计算．[规范解答] (1)设事件“取球次数恰为3次”为事件A ，则P (A )＝2C 12·C 13·C 1353＝36125. 2)如图所示，设E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则当点P 在线段EF 上时，S △PAB ＝14，要使S △PAB ＞14，需点P 位于矩形EFCD 内，故所求的概率为：P (A )＝S 矩形EFCD S 正方形ABCD ＝121＝12.[答案] (1)B (2)12【规律总结】解答几何概型、古典概型问题时的注意事项(1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．(4)利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 【变式训练】1．(1)(2012·石景山一模)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是________．解析 阴影部分的面积为S 阴＝2⎠⎛0πsin x d x＝－2cos x |π0＝4，故P ＝S 阴S ⊙O ＝4π3答案 4π32．(2012·广州模拟)从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3435，则n ＝________.解析 据题意知，所选3人中都是男生的概率为C 33C 3n ＋3，∴至少有1名女生的概率为1－C 33C 3n ＋3＝3435，∴n ＝4. 答案 4考点二：相互独立事件的概率与条件概率【例2】(1)甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为A.12 B ．1 C.1112 D.56(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝A.18B.14C.25D.12 [审题导引] (1)把事件“目标被击中”分解为三个互斥事件求解；(2)据古典概型的概率分别求出P (A )与P (AB )，然后利用公式求P (B |A )．[规范解答] (1)解法一 设甲、乙射击命中目标分别记作事件A 、B ，则P (A )＝34，P (B )＝23，则该目标被击中的概率为 P (A B －)＋P (A －B )＋P (AB )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋34×23＝1112. 解法二 若采用间接法，则目标未被击中的概率为 P (A － B －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112，则目标被击中的概率为1－P (A － B －)＝1－112＝1112.(2)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P ABP A ＝110410＝14.【规律总结】(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解． (2)一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往用这种方法求解．(3)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．(4)牢记公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，并深刻理解其含义． 2．解答条件概率问题时应注意的问题(1)正确理解事件之间的关系是解答此类题目的关键．(2)在求P (AB )时，要判断事件A 与事件B 之间的关系，以便采用不同的方法求P (AB )．其中，若B ⊆A ，则P (AB )＝P (B )，从而P (B |A )＝P BP A. 【变式训练】3．(2012·宜宾模拟)设某气象站天气预报准确率为0.9，则在4次预报中恰有3次预报准确的概率是A ．0.287 6B ．0.072 9C ．0.312 4D ．0.291 6解析 据题意知在4次预报中恰有3次预报准确的概率为C 34·0.93·0.1＝0.291 6.答案 D4．(2012·枣庄模拟)如图，CDEF 是以圆O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在扇形OCFH 内”(点H 将劣弧EF 二等分)，B 表示事件“豆子落在正方形CDEF 内”，则P (B |A )＝A.3πB.2πC.38D.3π16解析 ∵圆的半径为1，则正方形的边长为2，∴P (A )＝S 扇形OCFH S ⊙O ＝12·34ππ＝38，P (AB )＝3822π＝34π，则P (B |A )＝P AB P A ＝34π38＝2π.答案 B考点三：离散型随机变量的分布列、期望、方差【例3】(2012·合肥模拟)某公司设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14、12；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过三小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ. [审题导引] (1)把事件“甲、乙两人所付租车费用相同”分解为三个互斥事件：租车费用为2元、租车费用为4元、租车费用为6元，分别求其概率，然后求和；(2)甲、乙两人所付的租车费用之和可能为4元、6元、8元、10元、12元，分别求出ξ取上述各值的概率即可得到其概率分布列．[规范解答] (1)甲、乙两人所付费用相同即为2,4,6元．都付2元的概率为P 1＝14×12＝18； 都付4元的概率为P 2＝12×14＝18；都付6元的概率为P 3＝14×14＝116；故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3 ＝18＋18＋116＝516. (2)依题意，ξ的可能取值为4,6,8,10,12.P (ξ＝4)＝18；P (ξ＝6)＝14×14＋12×12＝516；P (ξ＝8)＝14×14＋12×14＋12×14＝516；P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316；P (ξ＝12)＝14×14＝116.故ξ的分布列为所求数学期望E ξ＝4×18＋6×516＋8×516＋10×316＋12×116＝152【规律总结】解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值． (3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题． 【变式训练】5．(2012·西城二模)甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才能入选．(1)求乙得分的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．解析 (1)设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为－15,0,15,30.P (X ＝－15)＝C 35C 310＝112；P (X ＝0)＝C 25C 15C 310＝512；P (X ＝15)＝C 15C 25C 310＝512；P (X ＝30)＝C 35C 310＝112.EX ＝112×(－15)＋12×0＋12×15＋12×30＝2.(2)由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则P (A )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，P (B )＝512＋112＝12. 故甲乙两人至少有一人入选的概率P ＝1－P (A －·B －)＝1－44125×12＝103125.名师押题高考【押题1】在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内，点(x ，y )落在x ∈[1,2]区域内的概率是________．解析 如图所示，不等式组所表示的平面区域的面积是72，在这个区域中，x ∈[1,2]区域的面积是1，故所求的概率是27.答案 27[押题依据] 几何概型与线性规划问题都是高考的热点，二者结合命题，立意新颖、内涵丰富，能够很好地考查基础知识与基本能力，故押此题．【押题2】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同． (1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的分布列．解析 (1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P (A )＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－312＝18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫125－312＝532， 乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫126－312＝532，所以P (B )＝P 1＋P 2＝516.(3)设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7.P (X ＝4)＝2C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝18，P (X ＝5)＝2C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫124－312＝14， P (X ＝6)＝2C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫125－2·12＝516，P (X ＝7)＝2C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫126－3·12＝516.[押题依据] 赛为模型的概率问题又是高考的经典题型，故押此题．。
高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计
高三数学二轮复习微专题精选6 概率统计概率统计是高中数学中的一个重要内容，它涉及到随机事件的概率计算和统计分析。
在高三数学二轮复中，概率统计是一个需要重点复和掌握的知识点。
1. 概率计算概率计算是概率统计的基础，它涉及到事件发生的可能性大小的计算。
在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 根据样本空间和事件的定义计算概率；- 利用频率定义概率；- 使用排列和组合计算概率；- 利用事件的补集计算概率。
2. 随机变量和概率分布随机变量是概率统计中的重要概念，它表示随机事件的结果。
概率分布则是随机变量取各种可能值的概率分布情况。
在复中，我们应该掌握以下几个重点：- 定义随机变量和概率分布；- 计算离散型随机变量的期望和方差；- 计算连续型随机变量的期望和方差。
3. 统计分析统计分析是概率统计的另一个重要内容，它涉及到数据的收集、整理和分析。
在复中，我们应该重点掌握以下几个内容：- 数据的收集和整理；- 数据的均值和标准差的计算；- 样本估计和参数估计的方法；- 使用统计推断进行判断和决策。
4. 解题技巧和思路在复的过程中，我们还需掌握一些解题技巧和思路：- 注意理解题目中的要求和条件；- 灵活运用概率计算的各种方法；- 注意统计分析中的常见统计指标的计算；- 理解样本和总体的关系，正确进行估计。
总之，对于高三数学二轮复微专题精选6的概率统计内容，我们应该系统性地复和掌握概率计算、随机变量和概率分布以及统计分析的相关知识。
同时，我们还应该注意解题思路和技巧的应用，提高解题效率。
通过充分理解和练，我们可以更好地应对考试中的概率统计题目，取得好成绩。
高中数学高考二轮复习概率与统计教案
高中数学高考二轮复习概率与统计教案本专题涉及面广，常以生活中的热点问题为依托，在高考中的考查方式十分灵活，强化“用数据说法，用事实说话”的考查内容。
为了突破这一专题，可以按照“用样本估计总体”、“古典概型与几何概型”、“随机变量及其分布列”、“独立性检验与回归分析”四个方面分类进行引导。
在古典概型问题的求解中，可以采用直接列举、画树状图、逆向思维、活用对称等技巧。
对于特殊古典概型问题，画树状图可以使列举结果不重不漏；对于较复杂的问题，逆向思维可以先求对立事件的概率，再得到所求事件的概率；对于具有对称性的问题，可以利用对称思维快速解决。
几何概型的求解关键在于准确确定度量方式和度量公式，常见的几何度量包括长度、面积、体积、角度等。
在求解概率时，可以采用将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率，或者利用对立事件的概率公式“正难则反”来求“至少”或“至多”型事件的概率。
举例来说，对于一个问题：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，周六、周日都有同学参加公益活动的概率为多少？其中，4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2的4次方等于16种，其中仅在周六或周日参加的各有1种，所以所求概率为1减去(1+1)/16，即7/8.总之，熟练掌握古典概型与几何概型的求解技巧，以及求解概率的常用方法，可以在高考中更好地应对这一专题。
基本事件为取出的第一颗球和第二颗球的颜色，共有10种基本事件，其中第一颗球为白球的有3种情况，第二颗球为黑球的有2种情况，所以第一次为白球、第二次为黑球的概率为3/10，选B。
2)对于函数f(x)＝ax＋bx＋x－3在R上为增函数，即a＋b＋1＞0，所以a＋b＞－1.因为a，b都是M中的元素，所以a ＋b的取值有16种，其中a＋b＞－1的取值有9种，所以函数f(x)在R上为增函数的概率为9/16，选A。
中大于30的有12种，即(3,4),(3,5),(4,5),(2,4),(2,5),(1,4),(1,5),(2,3),(1,3),(1,2)和(4,3),(5,3)．故所求概率为12/20=3/5，选项C正确．变式训练2](2017·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a,b,c均为实数，且满足f(1)=2,f(2)=3,f(3)=6，则f(x)在[1,3]上的最小值为()A。
高考数学二轮复习专题3概率与统计第6讲随机变量及其分布教学案理
第6讲 随机变量及其分布题型1 相互独立事件的概率与条件概率(对应学生用书第18页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．条件概率在A 发生的条件下B 发生的概率为P (B |A )＝P AB P A ＝n ABn A.2．相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )．3．独立重复试验的概率如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k·(1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查条件概率)如图61，△ABC 和△DEF 是同一个圆的内接正三角形，且BC ∥EF .将一颗豆子随机地扔到该圆内，用M 表示事件“豆子落在△ABC 内”，N 表示事件“豆子落在△DEF 内”，则P (N |M )＝( )图61A.334π B.32π C.13 D.23[解析] 如图，作三条辅助线，根据已知条件得这些小三角形都全等，△ABC 包含9个小三角形，满足事件N M 的有3个小三角形，所以P (N |M )＝nN M n M＝39＝13，故选C. [答案] C【典题2】 (考查相互独立事件的概率)(2017·福州五校联考)为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望.【导学号：07804040】[解] (1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＝112243. (2)由题意知，X 的所有可能取值为4,5,6,7，且P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781，P (X ＝5)＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＋C 14×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝72243＝827， P (X ＝6)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝200729， P (X ＝7)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝160729. 所以X 的分布列为E (X )＝4×81＋5×27＋6×729＋7×729＝729. [类题通法]1.解决条件概率的关键是明确“既定条件”.2.求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解.间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解.对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．某同学用计算器产生了两个[0,1]之间的均匀随机数，分别记作x ，y .当y <x 2时，x >12的概率是( ) A.724 B ．12 C.712D ．78D [记“y <x 2”为事件A ，“x >12”为事件B ，所以(x ，y )构成的区域如图所示，所以S 1＝＝124，S 2＝⎠⎛01x 2d x－S 1＝，则所求概率为＝S 2S 1＋S 2＝724124＋724＝78，故选D.]2．如图62，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为()图62A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576B [法一：(直接法)由题意知K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8，因为K ，A 1，A 2相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.所以系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.法二：(间接法)A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P(A1A2)＝1－(1－0.8)(1－0.8)＝0.96，故系统正常工作的概率为P(K)[1－P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T1、T3、T4、T6、T12)题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差的应用(答题模板)(对应学生用书第19页)离散型随机变量的分布列问题是高考的热点，常以实际生活为背景，涉及事件的相互独立性、互斥事件的概率等，综合性强，难度中等．(2017·全国Ⅱ卷T13、2017·全国Ⅲ卷T18、2016·全国Ⅰ卷T19、2016·全国Ⅱ卷T18、2013·全国Ⅰ卷T19、2013·全国Ⅱ卷T19)■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】(本小题满分12分)(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在三年使用期内更换的易损零件数，得下面如图63所示的柱状图：②图63以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，③n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P X≤n，④确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【导学号：07804041】[审题指导][零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 1分由题意可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22.⑤从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 4分所以X的分布列为(2)由(1)知P X＝0.44，P X＝0.68，⑥故n的最小值为19. 7分(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，⑦E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；9分当n＝20时，⑧E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.11分可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.12分[阅卷者说]解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：明确随机变量可能取哪些值.结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.根据分布列和期望、方差公式求解.提醒：明确离散型随机变量的取值及事件间的相互关系是求解此类问题的关键.■对点即时训练………………………………………………………………………·(2016·湖南益阳4月调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；(2)生产一件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率． [解] (1)甲种产品为合格品的概率约为4560＝34 ，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.(2)①随机变量X 的所有可能取值为190,85,70，－35， 且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14， P (X ＝70)＝14×23＝16， P (X ＝－35)＝14×13＝112.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝2＋4＋6－12＝125.②设生产的5件乙种产品中合格品有n 件，则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，又因为0≤n ≤5，且n 为整数，所以n ＝4或n ＝5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243. ■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 7、T 8、T 11、T 13)题型3 正态分布问题 (对应学生用书第21页)■核心知识储备………………………………………………………………………·正态分布的性质(1)正态曲线与x 轴之间面积为1.(2)正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同． (3)P (X ≤a )＝1－P (X ≥a )，P (X ≤μ－a )＝P (X ≥μ＋a )． (4)求概率时充分利用3σ原则．■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题】 (2017·全国Ⅰ卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： x i －＝116∑16i ＝1x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).【导学号：07804042】附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z ＜μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[思路分析] (1)先由对立事件的概率公式求出P (X ≥1)的值，再利用数学期望的公式求解．(2)利用独立性检验的思想判断监控生产过程方法的合理性；确定μ^－3σ^，μ^＋3σ^的取值，以剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，再用剩下的数据估计μ和σ. [解] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)． 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为0.008≈0.09. [类题通法]由于正态分布与频率分布直方图有极大的相似性，故最近五年比较受命题人青睐. 解决正态分布问题有三个关键点：对称轴x ＝μ；标准差σ；分布区间.利用对称性求指定范围内的概率值；由μ，σ分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．设X ～N (1，σ2) ，其正态分布密度曲线如图64所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )图64(附：随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.44%) A ．6 038 B ．6 587 C ．7 028D ．7 539B [由题意得，P (X ≤－1)＝P (X ≥3)＝0.022 8，∴P (－1<X <3)＝1－0.022 8×2＝0.954 4，∴1－2σ＝－1，σ＝1，∴P (0≤X ≤1)＝12P (0≤X ≤2)＝0.341 3，故估计的个数为10 000×(1－0.341 3)＝6 587，故选B.] 2．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如65的频率分布直方图．图65(1)求这100份数学试卷的样本平均分x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2. ①利用该正态分布，求P (81＜Z ＜119)；②记X 表示2400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数，利用①的结果，求E(X)(用样本的分布区估计总体的分布).【导学号：07804043】附：366≈19，326≈18，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.[解](1)x＝60×0.02＋70×0.08＋80×0.14＋90×0.15＋100×0.24＋110×0.15＋120×0.1＋130×0.08＋140×0.04＝100.s2＝(60－100)2×0.02＋(70－100)2×0.08＋(80－100)2×0.14＋(90－100)2×0.15＋(110－100)2×0.15＋(120－100)2×0.1＋(130－100)2×0.08＋(140－100)2×0.04＝366.(2)①由题意可知Z～N(100,366)．又σ＝366≈19，故P(81＜Z＜119)＝P(100－19＜Z＜100＋19)＝0.6826.②由①可知一名学生总分落在(81,119)的概率为0.6826.因为X～B(2400,0.6826)，所以E(X)＝2400×0.6826＝1638.24.■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T5、T9、T10、T14)三年真题| 验收复习效果(对应学生用书第22页)1．(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312A[3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.]2．(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝________.1.96 [由题意得X～B(100,0.02)，∴DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]3．(2016·全国Ⅱ卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． [解] (1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15.又P (AB )＝P (B )，故P (B |A )＝P AB P A ＝P B P A ＝0.150.55＝311. 因此所求概率为311. (3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为＋2a ×0.05＝1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4．(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【导学号：07804044】[解] (1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4. 因此X 的分布列为(2)200≤n ≤500.当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(n －300)－4n ＝1 200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n .因此EY ＝2n ×0.4＋(1 200－2n )×0.4＋(800－2n )×0.2＝640－0.4n .当200≤n <300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(n －200)－4n ＝800－2n ，因此EY ＝2n ×(0.4＋0.4)＋(800－2n )×0.2＝160＋1.2n .所以n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．。
2021新高考数学二轮总复习专题六统计与概率6.4.3统计与概率问题综合应用学案含解析.docx
6.4.3统计与概率问题综合应用必备知识精要梳理离散型随机变量的期望与方差(1)E(X)=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n为X的均值或数学期望.(2)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(x i-E(X))2·p i+…+(x n-E(X))2·p n叫做随机变量X的方差.(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).关键能力学案突破热点一离散型随机变量的期望与方差【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X 和Y的分布列分别为:X5%10%P0.80.2(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η);(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?[注:D(aX+b)=a2D(X)]解题心得期望与方差的一般计算步骤(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所有可能取的值;(2)求X取各个值时的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.若变量X服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解.【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n ∈N)的函数解析式;(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.热点二统计数据及概率在现实决策问题中的应用【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个,对其尺寸x进行统计后整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足:|x-12|≤1为一级品,1<|x-12|≤2为二级品,|x-12|>2为三级品.(1)现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从所抽取的40个部件中,抽取出所有尺寸x∈[12,15]的部件,再从所有尺寸x∈[12,15]的部件中抽取2件,记ξ为这2个部件中尺寸x∈[14,15]的个数,求ξ的分布列和数学期望;(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行一一检验?请说明理由;(3)为加大生产力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级品的概率分别是25,12,110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据,则应选购哪种设备?请说明理由.解题心得利用均值和方差进行决策的方法利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量ξ的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的均值.当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好.需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.【对点训练2】(2020广东惠州一模,20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:。
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布一、教学目标1. 了解随机变量的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的分布函数及其性质。
3. 学习离散型随机变量的概率分布及其数学期望。
4. 理解连续型随机变量的概率密度及其数学期望。
5. 能够运用随机变量及其分布解决实际问题。
二、教学内容1. 随机变量的概念及分类。
2. 随机变量的分布函数及其性质。
3. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等。
4. 连续型随机变量的概率密度：正态分布、均匀分布、指数分布等。
5. 随机变量的数学期望及其性质。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍随机变量及其分布的概念、性质和计算方法。
2. 利用案例分析，让学生了解随机变量在实际问题中的应用。
3. 借助数学软件或图形计算器，直观地展示随机变量的分布情况。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
四、教学准备1. 教学PPT课件。
2. 教学案例及实际问题。
3. 数学软件或图形计算器。
4. 教材、辅导资料。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入随机变量的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解随机变量的定义、分类及其重要性。
3. 讲解随机变量的分布函数及其性质，引导学生理解分布函数的概念。
4. 讲解离散型随机变量的概率分布，结合实例介绍二项分布、泊松分布、超几何分布等。
5. 讲解连续型随机变量的概率密度，介绍正态分布、均匀分布、指数分布等。
6. 讲解随机变量的数学期望及其性质，引导学生掌握数学期望的计算方法。
7. 案例分析：运用随机变量及其分布解决实际问题，提高学生的应用能力。
8. 课堂练习：布置适量练习题，巩固所学知识。
10. 作业布置：布置课后作业，巩固课堂所学。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对随机变量及其分布的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生解答练习题的情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：布置相关作业，收集学生作业情况，评估学生对知识的运用能力。
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6.4.2 随机变量及其分布
必备知识精要梳理
1.超几何分布
在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则
P (X=k )=C M k C N -M
n -k C N n ,k=0,1,2,…,m ,其中m=min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.
2.二项分布
一般地,在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数为X ,设每次试验中事件A 发生的概率为
p ,则P (X=k )=C n k p k q n-k ,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n ,称X 服从参数为n ,p 的二项分布,记作
X~B (n ,p ),且E (X )=np ,D (X )=np (1-p ).
3.正态分布
一般地,如果对于任何实数a ,b (a<b ),随机变量X 满足P (a<X ≤b )=∫b a φμ,σ(x )d x ,则称X 的分布为正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N (μ,σ2).如果随机变量X 服从正态分布,则记为X~N (μ,σ2).满足正态分布的三个基本概率的值是:①P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6;②P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4;③P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 4.
4.离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i=1,2,…,n )的概率P (X=x i )=p i ,
关键能力学案突破
热点一 依据频率求概率的
综合问题
【例1】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
解题心得频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率,在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值.频率本身是随机的,而概率是一个确定的数,是客观存在的,因此概率与每次试验无关.
(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件是互斥事件,且必须有一个要发生.
(2)利用集合的观点来判断:设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A,B,全集为I.①事件A与B互斥,即集合A∩B=⌀;②事件A与B对立,即集合A∩B=⌀,且A∪B=I,也即A=∁I B或
B=∁I A.
(3)对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.
(4)如果A1,A2,…,A n中任何两个都是互斥事件,那么我们就说A1,A2,…,A n彼此互斥.
(5)若事件A1,A2,A3,…,A n彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).
应用互斥事件的概率加法公式解题时,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.对于较复杂事件的概率,可以转化为求其对立事件的概率.
(6)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和。