鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题B(附答案)

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题B （附答案）1．如图，把一长方形纸片沿EF 折盈后，点D 、C 分别落在1D 、1C 的位置，若152AED ∠=︒，则EFB ∠等于（）A ．65ºB ．62ºC ．56ºD ．64º2．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点.若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为( )A ．16B ．12C ．20D ．243．如图，正方形ABCD 的面积为36，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为 ( )A ．3B ．6C ．8D ．94．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指（）A ．S 矩形ABMN ＝S 矩形MNDCB ．S 矩形EBMF ＝S 矩形AEFNC ．S 矩形AEFN ＝S 矩形MNDCD ．S 矩形EBMF ＝S 矩形NFGD5．已知：如图，M 是正方形ABCD 内的一点，且MC MD AD ==，则AMB ∠的度数为（）A ．120︒ B ．135︒ C ．145︒ D ．150︒6．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值是( )A ．3B ．4C ．4.8D ．无法确定 7．如图，菱形中，，这个菱形的周长是（）A ．B ．C ．D ．8．下列说法错误的是( )A ．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B ．矩形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D ．对角线相等的菱形是正方形9．如图，在ABCD Y 中，2,AB AD F =是CD 的中点，作BE AD ⊥于点E ，连接EF BF 、，下列结论:①CBF ABF ∠=∠；②FE FB =；③2EFB S S ∆=四边形DEBC ；④3BFE DEF ∠=∠；其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转30°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OF A 的度数是（）11．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，P 点是BD 的中点，若9AC =，则CP 的长为______．12．如图，在平面直角坐标系中有一个长方形ABCO ，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，B 点坐标(8，4)，将长方形沿EF 折叠，使点B 落到原点O 处，点C 落到点D 处，则OF 的长度是_____.13．如果一个矩形较短的边长为5cm ，两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是________．14．如图，以 AB 为底分别作等边三角形 QAB 和正方形 ABCD ．如果在正方形的对角线 AC 上存在一点 P 使 PD+PQ 存在最小值为 2，则该正方形的面积是_________ ．15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝9，点E ，F 分别在BC ，CD 上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在直线EB ′与AD 的交点C ′处，DF ＝_____．16．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC BD 、的交点，点E 为边AB 的中点，BED ∆绕着点B 旋转至11BD E ∆，如果点1D E D 、、在同一直线上，那么1EE 的长为____．17．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG=50°，则∠DEG=_________度．18．如图，正方形ABCD中，AD=12，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是_____．19．如图，分别以AB的两个端点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点P、Q，作直线PQ交AB于点C，在CP上截取CD＝AC，过点D作DE∥AC，使DE＝AC，连接AD、BE，当AD＝1时，四边形DCBE的面积是_____．20．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为CD边的中点，连接OE，如果OE＝3，则菱形ABCD的周长为_____.21．如图，四边形ABCD 是矩形，将△ABD 沿对角线BD 翻折180°得到△A′BD，（1）作出折叠后的图形△A′BD（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）设AD 与BC 交于点F，AD＝8，AB＝4，求△BDF 的面积．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，），点B在轴正半轴上，∠ABO=30°，动点D从点A出发，沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥轴，交轴于点E，同时，动点F从定点C（，）出发沿轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为秒.（1）当点D运动到线段AB的中点时，①求的值；②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由；（2）点D在运动过程中，以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的的值；（3）过定点C做直线⊥轴，与线段DE所在的直线相交于点M，连结EC，MF，若四边形ECFM为平行四边形，请直接写出点E的坐标.23．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为(3，3)．将正方形ABCO 绕点A顺时针旋转角度α(0°＜α＜90°)，得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED 的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．(1)求∠PAG的度数；(2)当∠1＝∠2时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=18 cm，BC=21 cm，点P从点A开始沿AD边向D以1 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向B以2 cm/s的速度运动，如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，设运动时间为t 秒．求：（1）当t 为何值时，四边形ABQP 为矩形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？25．如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于点D ，点M 为BC 的中点，10cm AB =，则MD 的长为？26．如图，点A 在直线l 外，点B 在直线l 上．（1）在l 上求作一点C ，在l 外求作一点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）（2）连接AB ，若AB ＝5，且点A 到直线l 的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．27．已知，在∆ABC 中， ∠BAC = 90︒， AB = AC ，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与点 B 、C 重合）. 以 AD 为边作正方形 ADEF ，连接CF .（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证： BD = CF ；（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系；（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A 、F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变，若正方形ADEF 的边长为2 ，对角线AE 、DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度.28．已知结论：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，请利用这个结论进行下列探究活动.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=23，D为AB中点，P为AC上一点，连接PD，把△APD沿PD翻折得到△EPD，连接CE.（1）AB=_____,AC=______.（2）若P为AC上一动点，且P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C 运动，设P点运动时间为t秒.①当t=_____秒时，以A、P、E、D、为顶点可以构成平行四边形.②在P点运动过程中，是否存在以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】根据折叠的性质，可1DEF D EF ∠=∠,由152AED ∠=︒，则可计算得1128DED ︒∠=,进而计算EFB ∠的度数.【详解】根据根据折叠的性质，可1DEF D EF ∠=∠Q 152AED ∠=︒1118018052128DED AED ︒︒︒︒∴∠=-∠=-=∴ 164DEF D EF ︒∠=∠=Q 四边形ABCD 为长方形64DEF EFB ︒∴∠=∠=故选D.【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，关键在于根据折叠的性质确定1DEF D EF ∠=∠.2．D【解析】【分析】由菱形的性质可得出AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD 的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB=BC=CD=DA ，∴△AOD 为直角三角形．∵OE=3，且点E 为线段AD 的中点，∴AD=2OE=6．C 菱形ABCD =4AD=4×6=24．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大．3．B【解析】【分析】根据正方形的面积求出边长，根据正方形的性质，点B、D关于AC对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，然后根据PD+PE=BE计算即可得解．【详解】∵正方形ABCD的面积为36cm2，∴边长AB=6cm，∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6cm，由正方形的对称性，点B、D关于AC对称，∴BE与AC的交点即为所求的使PD+PE的和最小时的点P的位置，∴PD+PE的和的最小值=BE=6cm．故答案为：6cm．【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的对称性，熟记性质以及最短路线的确定方法确定出PD+PE的和的最小值=BE是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，即可求解.．【详解】S矩形NFGD=S△ADC−(S△ANF+S△FGC),S矩形EBMF =S △ABC −(S △ANF +S △FCM ).易知,S △ADC =S △ABC ,S △ANF =S △AEF ,S △FGC =S △FMC ，可得S 矩形NFGD =S 矩形EBMF .故选：D.【点睛】考查矩形的性质，掌握矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分是解题的关键.5．D【解析】【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得30ADM ∠=︒，然后利用等腰三角形的性质求得MAD ∠的度数，从而求得BAM ABM ∠=∠的度数，利用三角形的内角和求得AMB ∠的度数．【详解】解：MC MD AD CD ===Q ，MDC ∴∆是等边三角形，60MDC DMC MCD ∴∠=∠=∠=︒，90ADC BCD ∠=∠=︒Q ，30ADM ∴∠=︒，75MAD AMD ∴∠=∠=︒，15BAM ∴∠=︒，同理可得15ABM ∠=︒，1801515150AMB ∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．6．C【解析】【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】连接AP，∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=8，AB=6，由勾股定理得：BC=10，由三角形面积公式得：12×8×6=12×10×AP，∴AP=4.8，即EF=4.8.故选：C.【点睛】利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短.7．C【解析】【分析】通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．【详解】解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，则AO=1，BO=2，所以AB=．周长为4AB=4．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．8．C【解析】【分析】根据有关的定理和定义找到错误的命题即可得到答案；【详解】A、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故正确，不符合题意；B、矩形的对角线相等，正确，不符合题意；C、对角线平分且相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，在判断一个命题正误的时候可以举出反例．9．C【解析】【分析】由平行四边形的性质结合AB=2AD，CD=2CF可得CF=CB，从而可得∠CBF=∠CFB，再根据CD∥AB，得∠CFB=∠ABF，继而可得CBF ABF∠=∠，可以判断①正确；延长EF交BC的延长线与M，证明△DFE与△CFM(AAS)，继而得EF=FM=12EM，证明∠CBE=∠AEB=90°，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可判断②正确；由上可得S△BEF=S△BMF，S△DFE=S△CFM，继而可得S△EBF=S△BMF=S△EDF+S△FBC，继而可得2EFB S S ∆=四边形DEBC ，可判断③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，则可得AD//FN ，则有∠DEF=∠EFN ，根据等腰三角形的性质可得∠BFE=2∠EFN ，继而得∠BFE=2∠DEF ，判断④错误.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AB=CD ，AD//BC ，∵AB=2AD ，CD=2CF ，∴CF=CB ，∴∠CBF=∠CFB ，∵CD ∥AB ，∴∠CFB=∠ABF ，∴CBF ABF ∠=∠，故①正确；延长EF 交BC 的延长线与M ，∵AD//BC ，∴∠DEF=∠M ，又∵∠DFE=∠CFM ，DF=CF ，∴△DFE 与△CFM(AAS)，∴EF=FM=12EM ， ∵BF ⊥AD ，∴∠AEB=90°，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB=90°，∴BF=12EM ， ∴BF=EF ，故②正确；∵EF=FM ，∴S △BEF =S △BMF ，∵△DFE ≌△CFM ，∴S △DFE =S △CFM ，∴S △EBF =S △BMF =S △EDF +S △FBC ，∴2EFB S S ∆=四边形DEBC ，故③正确；过点F 作FN ⊥BE ，垂足为N ，则∠FNE=90°，∴∠AEB=∠FEN ，∴AD//EF ，∴∠DEF=∠EFN ，又∵EF=FB ，∴∠BFE=2∠EFN ，∴∠BFE=2∠DEF ，故④错误，所以正确的有3个，故选C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判断与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 10．C【解析】【分析】由旋转和正方形性质，可得∠AOF=120°，由OA=OF ，即可得到∠OFA.【详解】解：根据旋转的定义可知，∠AOD=30°，∠DOF=90°，∴∠AOF=30°+90°=120°．∵OA=OF ，∴∠OFA=（180°–120°）÷2=30°．故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质和旋转的性质，解题的关键是根据旋转的性质求出∠AOF 的度数.11．3【解析】【分析】由题意推出BD ＝AD ，然后在Rt △BCD 中，CP ＝12BD ，即可推出CP 的长度．【详解】∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠DBA ＝30°，∴BD ＝AD ，CD ＝12BD ＝12AD ， ∵AC ＝9，∴AD ＝BD ＝6，∵P 点是BD 的中点，∴CP ＝12BD ＝3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD ＝AD ，求出BD 的长度．12．5【解析】【分析】连接BF ，设OF x =，根据翻折原理可得BF OF =，然后根据勾股定理222FB FC BC =+即可求解.【详解】连接BF ，如图所示：设OF x =根据翻折原理可得：=BF OF x =∵B 点坐标(8，4)∴8,4OC BC ==∴8FC x =-∵长方形ABCO∴90BCF ∠=︒∴222BF FC BC =+∴222(8)4x x =-+解得：5x =，即5OF =∴OF 的长度是5故填：5.【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、翻折问题，根据勾股定理列出式子是关键.13．2532【解析】【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB 为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．【详解】如图：AB=5cm，∠AOB=60°，∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，∴OA=OB=OD=OC=12BD=12AC，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=5cm，BD=2OB=2×5=10cm，∴22105=53，∴矩形的面积3cm2．故答案为：3【点睛】此题考查矩形的性质，矩形的两对角线所夹的角为60°，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可．14．4【解析】【分析】根据正方形的对称性可得，B点和D点关于AC对称，设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，从而可得PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，再由等边三角形性质可得正方形ABCD边长为2，再由正方形面积公式即可得出答案.【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴点D与点B关于AC对称，设BQ与AC的交点为点P，连结PD，此时PD+PE的和最小，∴PD+PQ=PB+PQ=BQ=2，又∵△ABQ为等边三角形，∴AB=BQ=2，∴正方形ABCD边长为2，∴S正=22=4.故答案为4.【点睛】此题考查了正方形的性质，轴对称的应用-最短距离问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．3.【解析】【分析】首先连接'CC ，可以得到'CC 是'EC D ∠的平分线，所以'CB CD =，又'AB AB =，所以'B 是对角线中点，2AC AB =，所以30ACB ∠=︒，即可得出答案.【详解】连接CC ′，∵将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B ′处，又将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB ′与AD 的交点C ′处．∴EC ＝EC ′，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，在△CC ′B ′与△CC ′D 中，''90'''''D CB C B C C DC C C C C C ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CC ′B ′≌△CC ′D （AAS ），∴CB ′＝CD ，又∵AB ′＝AB ，∴AB ′＝CB ′，所以B ′是对角线AC 中点，即AC ＝2AB ＝18，所以∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝60°，∠ACC ′＝∠DCC ′＝30°，∴∠DC ′C ＝∠1＝60°，∴∠DC ′F ＝∠FC ′C ＝30°，∴C ′F ＝CF ＝2DF ，∵DF +CF ＝CD ＝AB ＝9，∴DF ＝3．故答案为3．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质，得出'CC 是'EC D ∠的平分线是解题关键.16610 【解析】【分析】根据正方形的性质得到4AB AD ==，根据勾股定理得到242BD AB ==，2225DE AD AE =+=B 作1BF DD ⊥于F ，根据相似三角形的性质得到5EF =，求得2555DF ==，根据旋转的性质得到1BD BD =，11D BD E BE ∠=∠，1BE BE =，可得11D BD E BE ∆~∆，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，∴4AB AD ==，∴242BD ==∵点E 为边AB 的中点，∴122AE AB ==， ∵090EAD ∠=，∴DE ==过B 作1BF DD ⊥于F ，连接1EE ，∴090DAE EFB ∠=∠=，∵∠AED=∠FEB ，∴ADE FBE ∆~∆， ∴EF BE AE DE=，∴2EF =，∴EF =，∴DF ==， ∵BED ∆绕着点B 旋转至11BD E ∆，∴1BD BD =，111,D BD E BE BE BE ∠=∠=，∴12DD DF ==，11D BD E BE ∆~∆， ∴11EE BE DD BD=，∴124EE =，∴1EE =.．【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确的作出图形，证出11D BD E BE ∆~∆．17．100【解析】【分析】根据平行线求出∠DEF ，根据折叠性质得出∠FEG=∠DEF ，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFG=50°，∵沿EF 折叠，∴∠DEF=∠FEG=50°，∴∠DEG=50°+50°=100°，故答案为100．【点睛】考查了平行线性质和折叠的性质的应用，关键是求出∠DEF 的度数和得出∠DEF=∠FEG ． 18．4【解析】【分析】如图，连接AE ，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △AFE ≌Rt △ADE ；在直角△ECG 中，设DE=FE=x ，然后根据勾股定理计算即可求出DE 的长．【详解】解：如图，连接AE，∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵,. AE AE AF AD=⎧⎨=⎩∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE.设DE=FE=x，则EC=12-x．∵G为BC中点，BC=12，∴CG=6，在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：(12-x)2+36=(x+6)2，解得，x=4，则DE=4.故答案为4.【点睛】本题考查了翻折变换，掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的熟练应用是解题的关键.19．【解析】【分析】首先证明四边形DCBE是矩形，求出DC，BC即可．【详解】解：由作图可知：DC⊥AB，∵AC＝CD，∠ACD＝90°，AD＝1，∵DE＝AC＝BC，DE∥BC，∴四边形DCBE是平行四边形，∵∠DCB＝90°，∴四边形DCBE是矩形，∴四边形DCBE的面积，故答案为．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．24【解析】【分析】根据菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质解答即可．【详解】∵菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，∠COD=90°，∵E为CD的中点，∴OE=CE=BE=3，∴CD=6，∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故答案为24【点睛】本题考查菱形的性质及直角三角形斜边中线的性质，菱形的四条边相等；对角线互相垂直平分且平分对角；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键. 21．（1）如图所示，△A′BD 即为所求；见解析；（2）S△BDF＝10．【解析】【分析】（1）以B为圆心，AB长为半径画弧，以D为圆心，AD长为半径画弧，交于点A'，连接BA'，DA'，即可得到△A'BD；（2）由矩形的性质以及轴对称的性质，即可得到△BDF为等腰三角形，再根据勾股定理求得BF的长，即可得到△BDF的面积．【详解】（1）如图所示，△A′BD 即为所求；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，∴∠FBD＝∠ADB，∵沿矩形ABCD 的对角线BD 翻折△ABD 得△A′BD，∴△ABD≌△A′BD，∴∠ADB＝∠FDB，AD＝A'D＝8，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，A'F＝8﹣x，又∵∠BA'F＝90°，∴Rt△A'BF 中，A'F2+A'B2＝BF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴BF＝5，∴S△BDF＝12BF×CD＝12×5×4＝10．【点睛】此题主要考查折叠问题和勾股定理，作图之后更容易解答22．（1）①t=2；②见解析；（2）t=14；（3）E（0，）．【解析】【分析】(1) ①由题意可知，当点D运动到线段AB的中点时，可知,由动点D的速度，可计算出；②根据轴，可知轴，由点F的运动速度可知,推出，所以DE平行且等于OF，可证出四边形DOFE是平行四边形.(2)由题意可知当点D在线段AB上，四边形DOFE构不成矩形，所以计算当点D在线段AB的延长线上，根据,可推出，因为四边形DOFE 要构成矩形，所以使即可求出答案.(3)当点D在线段AB上运动时，由可知，推出，因为四边形ECFM为平行四边形，所以时成立，即可算出点E的坐标；当点D在AB的延长线上，四边形ECFM不可能为平行四边形.【详解】（1）①∵∴，∵为的中点，∴，∵点的运动速度为每秒个单位∴，得：.②∵轴，，可知轴，根据点的运动速度与，可知，∴∵为的中点，∴为的中位线，∴∴∴四边形是平行四边形.（2）要使以点为顶点的四边形是矩形，则点在射线上，如下图所示：∵∴∵，∴即∴（3）由题意可分情况讨论：当点D在线段AB上运动时，如下图所示：∵∴∵四边形为平行四边形∴∴，∵∴∴点的坐标为当点在的延长线上，四边形ECFM不可能为平行四边形所以综上所述：点的坐标为【点睛】本题考查了平面直角坐标系里的动点问题，结合特殊四边形，熟知和掌握坐标与线段的转化和矩形平行四边形的性质是解题关键.23．(1)∠PAG＝45°；(2)点P的坐标为(3，33)；(3)点M的坐标为(0，﹣3)或3 3).【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定定理HL可证出Rt△AOG≌Rt△ADG、Rt△ABP≌Rt△ADP，根据全等三角形的性质可得出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP，由∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP ＝90°，可求出∠P AG＝∠DAG+∠DAP＝45°；（2）由Rt△AOG≌Rt△ADG可得出∠AGO＝∠AGD，结合等角的余角相等可得出∠AGO ＝∠AGD＝∠PGC，由∠AGO+∠AGD+∠PGC＝180°，可得出∠AGO＝∠AGD＝∠PGC ＝60°、∠1＝∠2＝30°，再通过解含30度角的直角三角形即可求出点P的坐标；（3）延长GE交y轴于点M1及延长GP与AB的延长线交于点M2，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点M1及点M2为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标．【详解】解：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO AD AG AG=⎧⎨=⎩，∴Rt△AOG≌Rt△ADG(HL)，∴∠1＝∠DAG．同理，可证Rt △ABP ≌Rt △ADP ，∴∠BAP ＝∠DAP ．∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP ＝90°，∴2∠DAG+2∠DAP ＝90°，∴∠PAG ＝∠DAG+∠DAP ＝45°．(2)∵Rt △AOG ≌Rt △ADG ，∴∠AGO ＝∠AGD ．∵∠1+∠AGO ＝90°，∠2+∠PGC ＝90°，∠1＝∠2，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ．又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC ＝180°，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ＝60°，∴∠1＝∠2＝30°．在Rt △AOG 中，AO ＝3，AG ＝2OG ，AG 2＝AO 2+OG 2，∴OG，∴CG ＝3在Rt △PCG 中，PG ＝2CG ＝2(3，CG ＝3∴PC﹣3，∴点P 的坐标为(3，3)．(3)存在两个M 点，如图所示．①延长GE 交y 轴于点M 1，∵∠AGO ＝∠PGC ，∠PGC ＝∠M 1GO ，∴∠AGO ＝∠M 1GO ．在△AOG 和△M 1OG 中，1190AOG M OG OG OG AGO M GO ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AG ＝M 1G ，∴△AGM 1为等腰三角形．∵A(0，3)，∴点M 1的坐标为(0，﹣3)；②延长GP与AB的延长线交于点M2，作GF⊥AB于点F．∵∠M2AG＝∠AGM2＝60°，∴△AGM2为等边三角形，∴GF垂直平分线AM2．∵A(0，3)，G(3，0)，∴AF＝M2F＝3，∴点M2的坐标为(23，3)．综上所述：点M的坐标为(0，﹣3)或(23，3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、余角、解含30度角的直角三角形、等腰三角形的判定以及等边三角形判定与性质，解题的关键是：（1）通过证全等，找出∠1＝∠DAG、∠BAP＝∠DAP；（2）通过解含30度角的直角三角形求出OG、PC的长度；（3）利用等腰三角形的性质确定点M的位置．24．（1）当t=7s时，四边形ABQP为矩形；（2）当t=6时，四边形PQCD为平行四边形．【解析】【分析】（1）四边形ABQP为矩形,则AP=BQ,所以AP=BC-QC即t=21–2t，求解即可；（2）在梯形ABCD中, AD∥BC，要使四边形PQCD为平行四边形,即PD=QC,因为PD=AD-AP=18-t,QC=2t,所以18-t=2t,求解即可.【详解】（1）由题意知AP=t，CQ=2t，所以BQ=21–2t，∴AP∥BQ，又∵∠B=90°，∴要使四边形ABQP为矩形，只需满足AP=BQ，即：t=21–2t，解得t=7，∴当t=7s时，四边形ABQP为矩形；（2）由题意知：AP=t，QC=2t，PD=18–t，当PD=QC时，四边形PQCD为平形四边形，即18–t=2t，∴t=6，∴当t=6时，四边形PQCD为平行四边形．【点睛】本题考查了动点问题的综合应用,平行四边形和矩形的判定,中等难度,熟练掌握动点问题的分析方法,建立方程之间的等量关系是解题关键.25．5cm.【解析】【分析】取AB中点N，连接DN，MN．根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质证明∠NDB=∠B，根据三角形的中位线定理和平行线的性质证明∠NMB=∠C，结合三角形的外角的性质和已知条件可得∠DNM=∠C=∠NMD，从而发现DM=DN．【详解】取AB中点N，连接DN，MN．在Rt△ADB中，N是斜边AB上的中点，∴DN=12AB=BN，∴∠NDB=∠B，在△ABC中，M，N分别是BC，AB的中点，∴∠NMB=∠C，又∠NDB是△NDM的外角，∴∠NDB=∠NMD+∠DNM，即∠B=∠NMD+∠DNM=∠C+∠DNM，又∠B=2∠C，∴∠DNM=∠C=∠NMD，∴DM=DN，又AB=10cm，∴DM=5cm．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质和三角形的外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）以AB、BC为边作菱形得到如图①的菱形ABCD；以AB为边，BC为对角线作菱形得到如图②的菱形ABDC；以AB为对角线、BC为边作菱形得到如图③的菱形ACBD；（2）分别进行三个菱形的面积可判断菱形ACBD的面积最小．【详解】解:（1）如图①②③；（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20，图②中，BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积＝×6×8＝24，图③中，作AH⊥BC于H，设菱形的边长为x，在Rt△ABH中，AH＝4，AB＝5，则BH＝3，所以CH＝x﹣3，在Rt△ACH中，42+（x﹣3）2＝x2，解得x＝菱形ACBD的面积＝，所以面积最小的菱形为ACBD．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．27．（1）证明见解析；（2）CF=BC+CD；（3）OC=.【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形与正方形的性质，通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF；（2）同理（1）通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，则BD=CF，可得CF=BC+CD；（3）同上通过“边角边”证明△BAD≌△CAF，得到∠ACF=∠ABD=∠BAC+∠BCA，则∠DCF=90°，在Rt△DCF中OC是斜边上的中线，则OC=DF，然后根据正方形的边长求得其对角线的长即可得到答案.【详解】解：（1）∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，∵∠BAC = 90︒，∴∠BAD+∠CAD=90°，∠CAF+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=C，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF；（2）∵四边形ADEF是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF，∵∠BAC = 90︒，∴∠BAD=∠CAD+90°，∠CAF=∠CAD+90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF=BC+CD；（3）同理（1）易证△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ABD=∠ACF，∵∠ABD=∠BAC+∠BCA，∠ACF=∠BCA+∠BCF，∴∠BCF=∠BCA=90°，则在Rt△DCF中，∵DO=FO，∴OC=DF，∵正方形ADEF的边长为2，∴DF=2，则OC=.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.28．（1）6；（2）①②存在，t=2或t=6.【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形性质可得AB的长，利用勾股定理即可求出AC的长；（2）①根据平行四边形的性质可得AD//PE，AD=PE，根据折叠性质可得PE=AP，即可得AP=AD，由D为AB中点可得AD的长，即可得AP的长，进而可求出t的值；②分两种情况讨论：当BD为边时，设DE与PC相交于O，根据三角形内角和可得∠B=60°，根据平行四边形的性质可得CE=BD，CE//BD，BC//DE，可得∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，根据折叠性质可得∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，即可证明∠ADP=∠A，可得AP=PD=PE，可得∠PED=∠PDE=30°，即可得∠PEC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC=2PE，利用勾股定理列方程可求出PE的长，即可得AP的长；当BD为对角线时，可证明平行四边形BCDE是菱形，根据菱形的性质可得∠DCE=30°，可证明DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，利用SAS可证明△ACD≌△ECD，可得AC=CE，根据翻折的性质可证明点P与点C重合，根据AC的长即可求出t值，综上即可得答案.【详解】（1）∵∠C=90°，∠A=30°，BC=∴，∴故答案为： 6（2）①如图，∵D为AB中点，∴AD=BD=12 AB，∵BC=12 AB，∴AD=BD=BC=∵ADEP是平行四边形，∴AD//PE，AD=PE，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴AP=PE，∴AP=AD=23，∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=23.故答案为：23②存在，理由如下：i如图，当BD为边时，设DE与PC相交于O，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，∵四边形DBCE是平行四边形，∴CE=BD，CE//BD，DE//BC，∴∠ECP=∠A=30°，∠CED=∠ADE=∠B=60°，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴∠ADP=∠EDP=30°，AP=PE，∴∠PAD=∠PDA=30°，∴AP=PD=PE，∴∠PED=∠PDE=30°，∴∠PEC=∠PED+∠DEC=90°，∵∠ECP=30°，∴PC=2PE，∴PC2=PE2+EC2，即4PE2=PE2+(232解得：PE=2或PE=-2（舍去），∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=2.ii当BD为对角线时，∵BC=BD=AD，∠B=60°，∴△BCD都是等边三角形，∴∠ACD=30°，∵四边形DBCE是平行四边形，∴平行四边形BCDE为菱形，∴DE=AD，∠ADC=∠CDE=120°，又∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD，∴AC=CE，∴△ECD是△ACD沿CD翻折得到，∵△APD沿PD翻折得到△EPD，∴点P与点C重合，∴AP=AC=6.∵P点从A点出发，沿AC以每秒一单位长度的速度向C运动，∴t=6.故当t=2或t=6时，以B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及平行四边形的性质，在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键.。

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鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题(附答案)

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题（附答案）1．如图，正方形ABCD 边长为2，点P 是线段CD 边上的动点（与点C ，D 不重合），，过点A 作AE ∥BP ，交BQ 于点E ，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ． 2．如图所示，已知四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列能判断它是正方形的条件是（）A ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥B ．AB BC CD DA === C ．AO CO =，BO DO =，AC BD ⊥ D ．AB BC =，CD DA ⊥3．将五个边长都为 2cm 的正方形按如图所示摆放，点 ,,,A B C D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为( )A ．22cmB ．42cmC ．62cmD ．82cm4．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于H ，则DH =（）A ．245B ．125C ．12D ．245．如图,E 为边长为 2 的正方形 ABCD 的对角线上一点,BE=BC,P 为 CE 上任意一点,PQ ⊥BC 于点 Q,PR ⊥BE 于 R,则 PQ+PR 的值为( )A．22B．2C．3D．126．如下图，沿Rt△ABC的中位线DE剪一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④等腰梯形.一定能拼出的是（）A．只有①②B．只有③④C．只有①③④D．①②③④7．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：98．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( )A．4 B．3 C．2 D．19．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，CA，BC的中点．若四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的边需满足的条件是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB=DC 10．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为( )A ．5B ．35C ．25D ．3211．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠，则点B 的坐标为_____________．12．如图，矩形ABCD 中CE BD ⊥于E ，若3DCE ECB ∠=∠，则ACE ∠=___________度。

2020-2021学年鲁教版八年级下册第六章特殊平行四边形单元测试题(含答案)

第六章《特殊平行四边形》单元测试题（满分：100分时间：60分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线平分对角2.如图所示，在矩形ABCD 中，AO ＝5，CD ＝6，则AD ＝（）A.5B.6C.7D.83.在菱形中，若一条对角线与菱形的一边长度相等，则这个菱形中较大的内角的度数为（）A.30°B.60°C.150°D.120°4.下列说法中正确的个数为（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形.A.1B.2C.3D.45.在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，若菱形ABCD 的面积为83，则菱形ABCD 的周长为（）A.14B.15C.16D.176.如图所示，在平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，M 、N 是线段BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件可以是（）A.OM ＝21AC B.MB ＝MO C.BD ⊥AC D.∠AMB ＝∠CND 7.如图所示，菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC ＝6，BD ＝8，点P 是BC 边上的一动点，则AP 长度的最小值为（）A.4B.4.8C.5D.5.58.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC 、BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝（）A.22-2B.3-1C.2-2D.2-19.如图所示，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，如果AB ＝5，AD ＝12，那么PE ＋PF ＝（）A.13120B.512C.135D.1360 10.如图所示，在矩形ABCD 内有一点F ，BF ，CF 分别平分∠ABC ，∠BCD ，点E 为矩形ABCD 外一点，连接BE ，CE.现添加下列条件:①EB ∥CF ，CE ∥BF ；②BE ＝CE ，BE ＝BF ；③BE ∥CF ，CE ⊥BE ；④BE ＝CE ，CE ∥BF ，其中能判定四边形BFCE 是正方形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图所示，在正方形ABCD 的内部作等边△DCE ，则∠BAE 的度数是___________.12.如图所示，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC的中点.若AB＝10，AC＝6，则四边形AEDF的周长为____________.13.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为CD的中点，点F为AD上一点，连接BE、EF，满足∠DFE＝2∠EBC，则EF＝__________.14.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为邻边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形.15.在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若点M为线段EF的中点，则线段AM的长为___________.16.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一些条件下面给出了四组条件:①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD，其中正确的序号是_______________.17.如图所示，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD的面积是__________.18.如图所示，正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论:①BE ＝DG ；②BE ⊥DG ；③DE 2＋BC 2＝2a 2＋2b 2，其中正确的结论是__________.（填序号）三、解答题（共46分） 19.（8分）如图所示，菱形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，且∠BED ＋∠F ＝180°，求证:DE ＝DF.20.（8分）如图所示，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，DF ＝DC ，DF ⊥AE 于F.（1）求证:AE ＝BC ；（2）如果AB ＝3，AF ＝4，求EC 的长.21.（8分）如图所示，分别以△ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG ，若O 为EG 的中点.求证:（1）AO ＝21BC ；（2）AO⊥BC.22.（10分）如图所示，在△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝30°，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一动点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF. （1）求证:AF＝CE；（2）若BC＝2CE，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；（3）若C为BE的中点，求证:EF⊥AC.23.（12分）如图①所示，正方形ABCD中，E是边CD上一个动点（点E与点C，D不重合），以CE为一边在正方形ABCD外作矩形ECGF，连接AE，BE，DG，且BE＝DG. （1）求证:矩形ECGF是正方形；（2）当点E在什么位置时，AE＝DG？并给予证明；（3）图①中的正方形ECGF绕点C按顺时针方向旋转任意角度，得到如图②的情形.请你判断图②中的BE与DG的位置关系和数量关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.D9.D 10.D二、填空题11.15° 12.16 13.5 14.51415.5.5或0.5 16.①③④17.23183①②③三、解答题19.证明：如图，过点D作DN⊥AB于N，DM⊥BC于M，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵S菱形ABCD＝AB×DN＝BC×DM，∴DN＝DM，∵∠BED＋∠F＝180°，∠BED＋∠AED＝180°，∴∠F＝∠AED，又∵∠DNE＝∠DMF＝90°，∴△DNE≌△DMF（AAS），∴DE＝DF.20.解析：（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∵DF＝DC，∴AB＝DF，在△ABE和△DFA中，⎪⎩⎪⎨⎧，DF＝ABAFD＝∠B∠，DAF＝∠AEB∠，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴AE＝AD，∴AE＝BC.（2）由（1）知，△ABE≌△DFA，∴BE＝AF＝4，∵∠B＝90°，∴AE＝22B E＋AB＝224＋3＝5，∴BC＝AE＝5，∴EC＝BC-BE＝5-4＝1.。

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题1(附答案)

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习题1（附答案）1．如图，已知α∠，线段m，用尺规作图作菱形ABCD，使它的边长为m，一个内角等于.α∠其具体步骤如下：()1作EAFα∠=∠；()2以点A为圆心，线段m长为半径画弧，交AE于点B，交AF于点D；()3__________；()4连接BC、DC，则四边形ABCD为所作的菱形.第()3步应为()A．分别以点B、D为圆心，以AF长为半径画弧，两弧交于点CB．分别以点E、F为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点CC．分别以点B、D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点CD．分别以点E、F为圆心，以AF长为半径画弧，两弧交于点C2．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A．32B．223C．75D．23．如图，在△ABC中，AC=3、AB=4、BC=5，P为BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，M是GH的中点，P在运动过程中PM的最小值为( )A．2.4 B．1.4C．1.3 D．1.24．在Rt△ABC中，∠C=90°,斜边AB上的中线CD的长为8，则斜边AB的长是( )A．4 B．8 C．12 D．165．如图，四边形ABCD是长方形，AB=3，AD=4．已知A（﹣32，﹣1），则点C的坐标是（）A．（﹣3，32）B．（32，﹣3）C．（3，32）D．（32，3）6．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两邻角的度数分别为（）A．45o，135o B．60o，120o C．90o，90o D．30o，150o 7．如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P是斜边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,EF与AP相交于点O,则OF的最小值为( )A．4.8 B．1.2C．3.6 D．2.48．下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD B．OA=OC，OB=OD C．AC⊥BD D．AB∥CD，AD=BC10．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中判断正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．已知菱形的周长是20cm ，一条对角线长为8cm ，则菱形的另一条对角线长为_____ 12．如图，一块形如“Z”字形的铁皮，每个角都是直角，且 AB=BC=EF=GF=1，CD=DE=GH=AH=3，现将铁片裁剪并拼接成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长是_____．13．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，两条对角线AC 、BD 所夹的钝角为120°，则对角线BD 的长为_____．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4），则C 点的坐标为．16．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ．若AD 6=，AB 8=，E 、F 分别是OD 、CD 的中点，则DEF V 的面积为________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接EB ，EC ，DB 请你添加一个条件___________，使四边形DBCE 是矩形．18．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，已知60AOB ∠=o ，6AC =，则矩形ABCD 的面积是________．19．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边作正方形BCDE ，设正方形的中心为O ，连结AO ，如果AB ＝3，AO ＝22，那么AC 的长等于__________ .20．如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，5,6AC BC AB ===,ABC ∆的顶点,A B 分别在边,OM ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为____________.21．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上的中点，AC 与BE 相交于点F ，连接DF.(注：正方形的四边相等，四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角).(1) 在不增加点和线的前提下,直接写出图中所有的全等三角形;(2) 连接AE,试判断AE 与DF 的位置关系,并证明你的结论;(3) 延长DF 交BC 于点M,试判断BM 与MC 的数量关系，并说明理由．22．如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 边上一点，DF ⊥AP ，BE ⊥AP ．求证：AE=DF ．23．已知，平行四边形ABCD 中，AB=5，AD=12，BD=13．求证：平行四边形ABCD 是矩形。

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习培优练习题3(附答案)

鲁教版2020八年级数学下册第六章特殊的平行四边形期中复习培优练习题3（附答案）1．如图，点P是矩形ABCD的对角AC上一点，过点P作EF BCP分别交AB，CD与E、F，连结PB、PD.若AE=2，PF=8，则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．16 C．18 D．202．如图，矩形ABCD中，120AOD∠=o，3AB=，则BD的长是（）A．33B．6 C．3 D．233．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连接DM、DN、MN、CM．若AB＝6，则DN的值为（）A．6 B．3 C．2 D．45．如图，四边形ABCD是长方形，四边形AEFG是正方形，点E，G分别在AB，AD 上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若∠BCF=30°，CD=4，CF=6，则正方形AEFG的面积为（）6．已知长方形的周长为4a ，一边的长为（a –b ），则与它相邻的另一边的长为（） A ．3a +b B ．2a +2b C ．a +3b D ．a +b7．我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形 ()的边上取一点，使得，连接，则等于( )A ．B ．C ．D ．8．如图，将长BC ＝8cm ，宽AB ＝4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为( )A ．4cmB ．17cmC ．25cmD ．35cm9．如图，菱形ABCD 中，AB 4=，ABC 60∠=o ，点E 、F 、G 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则EG FG +的最小值为________．10．三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为________cm ．11．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线之比3:4，则菱形面积为________cm 2 ．12．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知Rt ABC ∆中，90C =o ∠，一条直角边为3，如果Rt ABC ∆是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于________．13．如图，在矩形中，，，点为边上一点，且，点是的中点，点为的中点，则的长为______.14．如图，将矩形ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=6cm ，GH=8cm ，则边AB 的长是__________15．平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，分别添加下列条件：①90ABC ∠=o ；②AC BD ⊥；③AB BC =；④AC 平分BAD ∠；⑤AO DO =．使得四边形ABCD 是矩形的条件有________，是菱形的条件有________．（填序号）16．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点P 在BC 边上，且BP=1，Q 为对角线AC 上的一个动点，则△BPQ 周长的最小值为________17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，作AE ∥BC ，CE ∥AD ，AE 、CE 交于点E ．（1）证明：四边形ADCE 是矩形．（2）若DE 交AC 于点O ，证明：OD ∥AB 且OD=AB ．18．我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=︒，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于A ∠的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．19．如图，在矩形ABCD 中AD=12，AB=9，E 为AD 的中点，G 是DC 上一点，连接BE ，BG ，GE ，并延长GE 交BA 的延长线于点F ，GC=5（1）求BG 的长度；（2）求证：BEG ∆是直角三角形（3）求证：BGF DGF ∠=∠20．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点F ，且F 是AE 的中点．（Ⅰ）求证：四边形AECD 是菱形；（Ⅱ）若AC ＝4，AB ＝5，求四边形ABCD 的面积．21．在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 与点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF、BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：△ADF是等腰三角形．22．已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．(1)如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是(点M与端点B不重合)；∠NCE与∠BAM的数量关系是；(2)若点M在BC的延长线时；①依题意，补全图2；②(1)中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．23．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D、E分别作AC、BD的平行线，交于点O．求证：四边形ODEC为矩形．24．已知：点D是△ABC边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F．（1）若∠B＝∠C，BF＝CE，求证：△BFD≌△CED．（2）若∠B+∠C＝90°，求证：四边形AEDF是矩形．参考答案1．B【解析】【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S矩形EPNB＝S矩形MDFP∴S△DFP＝S△PBE＝12×2×8＝8，∴S阴＝8＋8＝16，故选B．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．2．B【解析】【分析】根据矩形的性质可得OA=OB=OC=OD=12AC=12BD，再证明△AOB为等边三角形，即可得OB=AB=3，由此求得BD的长即可. 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD=12AC=12BD，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∴OB=AB=3，∴BD=2OB=6.故选B.【点睛】本题考查了矩形的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分这一性质是解决问题的关键. 3．C【解析】试题分析：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．故选C．考点：命题与定理．4．B【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到NM＝12CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN＝CM，根据直角三角形的性质得到CM＝12AB＝3，即可得出结果．【详解】解：∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM＝12CB，MN∥BC，又CD＝13BD，∴MN＝CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN＝CM，∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，∴CM＝12AB＝3，∴DN＝3，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．5．A【解析】【分析】由矩形和正方形的性质得出AD∥EF∥BC，AB=CD=4，∠B=90°，证出四边形EFCH平行四边形，∠BHE=∠BCF=30°，得出EH=CF=6，由含30°角的直角三角形的性质求出BE=3，得出AE的长，即可得出正方形的面积．【详解】∵四边形ABCD是矩形，四边形AEFG是正方形，∴AD∥EF∥BC，AB=CD=4，∠B=90°，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∠BHE=∠BCF=30°，∴EH=CF=6，∴BE=12EH=3，∴AE=AB-BE=4-3=1，∴正方形AEFG的面积=AE2=1；故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟记性质并求出四边形EFCH平行四边形是解题的关键．6．D【解析】【分析】根据长方形的周长=2×（长+宽）即可解题.【详解】解：∵长方形的周长为4a，∴这个长方形的长与宽的和为2a，∵一边长为（a–b），∴另一边的长度为2a–（a–b）=a+b，故选D．【点睛】本题考查了长方形的周长,属于简单题,熟悉长方形的周长计算方法是解题关键.7．B【解析】【分析】利用黄金矩形的定理求出=,再利用矩形的性质得,代入求值即可解题.【详解】解：∵矩形ABCD中,AD=BC,根据黄金矩形的定义可知=,∵，∴故选B【点睛】本题考查了黄金矩形这一新定义,属于黄金分割概念的拓展,中等难度,读懂黄金矩形的定义,表示出边长比是解题关键.8．C【解析】【分析】连结AC交EF于O, 设EC=EA=(x)cm，则BE=(8-x)cm,根据勾股定理求出x.由两直线平行和折叠得出∠AFE=∠FEA，从而得出AE=AF=EC，推出四边形AECF为菱形；根据菱形的性质和勾股定理即可得出.【详解】如图所示，补全矩形ABCD，连结AC交EF于O.设EC=EA=(x)cm，则BE=(8-x)cm.在Rt△ABE中，有AE2=AB2+BE2,即x2=（8-x）2+42，解得x=5.∵AD∥BC，∴∠FEC=∠AFE，而由折叠可知，∠FEC=∠FEA，AE=EC，∴∠AFE=∠FEA.∴AE=AF=EC.而AF∥EC，∴四边形AECF为菱形，从而有AC⊥EF.在Rt△ABC中，22AB BC+5OC=125在Rt△COE中，22EC OC-5∴5故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理及折叠的性质，熟练掌握判定和性质定理是解题的关键.9．23【解析】【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点E关于BD的对称点E′，连接E′F与BD的交点即为所求的点G，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知E′F⊥CD时EG+FG的最小值，然后求解即可．【详解】解：作点E关于BD的对称点E′，连接E′F与BD的交点即为所求的点G，如图，∵AB=4，∠ABC=60°，∴点E′到CD的距离为4×33 2∴EG+FG的最小值为23．故答案为：23【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．10．1282【解析】【分析】连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，根据△COH是等腰直角三角形，即可得到∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO2x，IK＝2x−x，根据勾股定理即可得出x2＝22，再根据S菱形BCOI＝IO×CK＝12IC×BO，即可得出BO＝2＋2，进而得到△ABE的周长．【详解】解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，∵三个菱形全等，∴CO＝HO，∠AOH＝∠BOC，又∵∠AOB＝∠AOH＋∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOC＋∠BOH＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO＝2x，IK＝2x−x，∵Rt△CIK中，（2x−x）2＋x2＝22，解得x2＝2＋2，又∵S菱形BCOI＝IO×CK＝12IC×BO，∴2x2＝12×2×BO，∴BO＝22＋2，∴BE＝2BO＝42＋4，AB＝AE＝2BO＝4＋22，∴△ABE的周长＝42＋4＋2（4＋22）＝12＋82，故答案为12＋82．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题时注意：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半．11．96cm2 ．【解析】试题分析：因为菱形的周长为40cm，所以边长=10cm，设两条对角线长分别为3x，4x，因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以根据勾股定理可得（）2+（）2=102，解之得，x=4，则两条对角线长分别为12cm、16cm，∴菱形的面积=12×16÷2=96cm2．考点：菱形的性质．12．23 3.【解析】【分析】“有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．或另一条直角边为3，利用勾股定理求出即可．【详解】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若“有趣中线”BD=AC=3；若“有趣中线”为BD，如图所示，BC=3，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=32+x2，解得：3则△ABC的“有趣中线”的长等于233．【点睛】此题考查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题的关键，注意分类讨论．13．5【解析】【分析】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N，根据矩形性质可得四边形MNCD是矩形，MD=NC，MN=CD，根据EC=2BE可求出CE的长，由三角形中位线的性质可求出NG、NC的长，进而可得MG、AM的长，利用勾股定理求出AG的长即可.【详解】过G作GM⊥AD，延长MG交BC于N，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，MN=CD，∵EC=2BE，BC=6，∴EC=4，∵F为CD的中点，CD=AB=4，∴CF=2，∵G为EF中点，MN//CD，∴NC=EC=2，NG=CF=1，∴MG=MN-NG=4-1=3，AM=AD-MD=6-2=4，∴AG===5.故答案为：5【点睛】本题考查矩形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，三角形的中位线，平行于第三边，且等于第三边的一半；三角掌握相关性质是解题关键.14．485．【解析】【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得GE的长，进而求出HM，AB即为边2HM的长．【详解】解：∵∠HEM=∠HEB ，∠GEF=∠CEF ，∴∠HEF=∠HEM+∠GEF=12∠BEG+12∠GEC=12×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH 为矩形，∵EH=6cm ，GH=8cm ，∴GE=10由折叠可知，HM ⊥GE ，AH=HM ，BH=HM ， ∵6824105HE HG HM GE ⋅⨯===， ∴AB ＝AH+BH ＝2HM ＝2×245＝485．故答案为485．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH 为矩形是解题关键．15．①⑤ ②③④【解析】【分析】四边形ABCD 是平行四边形，要成为矩形加上一个角为直角或对角线相等即可；要使其成为菱形，加上一组邻边相等或对角线垂直均可．【详解】要使得平行四边形ABCD 为矩形添加：①90ABC ∠=o ；⑤AO =DO,2个即可；要使得平行四边形为菱形添加：:②AC ⊥BD ；③AB =BC ；④AC 平分∠BAD 3个即可，故答案为：①⑤，②③④.考查矩形，菱形的判定，熟练掌握它们的判定定理是解题的关键.16．6【解析】分析：根据正方形的性质，点B、D关于AC对称，连接PD与AC相交于点Q，根据轴对称确定最短路线问题，点Q即为所求的使△BPQ周长的最小值的点，求出PC，再利用勾股定理列式求出PD，然后根据△BPQ周长=PD+BP计算即可得解．详解：如图，连接PD与AC相交于点Q，此时△BPQ周长的最小，∵正方形ABCD的边长为4，BP=1，∴PC=4－1=3，由勾股定理得，PD=2222+=+=，345PC CD∴△BPQ周长=BQ+PQ+BP=DQ+PQ+BP=PD+BP=5+1=6．点睛：本题考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的性质，属于基础题型．熟记正方形的性质并确定出点Q的位置是解题的关键．17．(1)详见解析.（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由等腰三角形三线合一的性质可得∠ADC=90°，BD=CD；又因AE∥BC，CE∥AD可得四边形ADCE为平行四边形，所以平行四边形ADCE是矩形．（2）由四边形ADCE是矩形可得OA=OC；在△ABC中由三角形中位线定理可得本题的结论.试题解析：（1）证明：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC，且BD=CD.∵AE∥BC，CE∥AD,∴四边形ADCE是平行四边形,∴四边形ADCE是矩形.（2）∵四边形ADCE是矩形，∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD ∥AB 且OD=AB.考点：三角形三线合一的性质；矩形的判定；三角形的中位线定理.18．（1）平行四边形、等腰梯形等；（2）四边形DBCE 是等对边四边形；（3）四边形DBCE 是等边四边形，证明见解析【解析】【详解】（1）平行四边形、等腰梯形等．（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）．四边形DBCE 是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．如图1，作CG BE ⊥于G 点，作CG BE ⊥交CD 延长线于G 点．∵12DCB EBC A ∠=∠=∠，CD 为公共边， ∴BCF CBG V V ≌．∴BF=CG∵BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A ∠=∠+∠，∴BDF BEC ∠=∠．∴BDF CEG ≌V V ．∴BD CE =．∴四边形DBCE 是等边四边形．19．（1）13（2）见解析（3）见解析【分析】（1）在Rt△BCG中利用勾股定理即可求解；（2）利用勾股定理依次求出BE,EG，再利用勾股定理逆定理即可证明；（3）由E点为AD中点得到E为FG中点，再根据BE⊥FG得到△BFG为等腰三角形，得到∠F=∠BGF，再根据平行线的性质即可证明.【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=12，∠C=90°，∴13=（2）∵E为AD中点，∴AE=DE=6，∴=∵DG=CD-GC=4，∴=∴BG2=DG2+EG2,∆是直角三角形∴BEG（3）∵AE=DE，∠FAE=∠D=90°，又∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG，∴E为EG中点，又BE⊥FG，∴△BFG为等腰三角形，∴∠F=∠BGF，又BF∥CD，∠∴∠F=DGF∠=∠∴BGF DGF【点睛】此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知勾股定理与全等三角形的判定定理. 20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.【解析】【分析】（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD=12S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．【详解】证明（Ⅰ）∵AD∥BC∴∠ADB＝∠DBE∵F是AE中点∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE ∴△ADF≌△BEF∴BE＝AD∵AB⊥AC，E是BC中点∴AE＝BE＝EC∴AD＝EC，且AD∥BC∴四边形ADCE是平行四边形且AE＝EC∴四边形ADCE是菱形；（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC∴S△ABC＝10∵E是BC中点∴S△AEC＝12S△ABC＝5∵四边形ADCE是菱形∴S△AEC＝S△ACD＝5∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15.故答案为：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.【点睛】本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是利用三角形中线的性质求三角形的面积．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得BE∥DF，再由条件BE=DF，DE⊥AB，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；（2）首先根据勾股定理计算出BC 的长，根据平行四边形的性质可得AD=5，再由DF=5可得△ADF 是等腰三角形．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，即BE ∥DF ，又∵BE=DF ，DE ⊥AB ，∴四边形BFDE 是矩形；（2）∵四边形BFDE 是矩形，∴BF ⊥CD ，∴∠BFC=90°，又∵CF=3，BF=4，∴BC=5，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=5，又∵DF=5，∴AD=DF=5，∴△ADF 是等腰三角形．考点：1．矩形的判定；2．等腰三角形的判定．22．（1）045θ︒<≤︒；2NCE BAM ∠=∠（或2NCE θ∠=）（2）①图见解析；②变化：1802NCE BAM ∠=︒-∠（或1802NCE θ∠=︒-）【解析】【分析】（1）连接AC ，根据∠BAC=45°解答即可求出θ的取值范围；通过证明△BAN ≌△BCN 可证明∠BAM=∠BCN ，根据∠BAM+∠AMB=90°，∠ECM+∠CME=90°，∠AMB=∠CME 可知∠BAM=∠ECM ，即可证明2NCE BAM ∠=∠；（2）①根据题意画出图形即可；②连接AC ，根据正方形的性质可证明AN=CN,即可证明∠NAC=∠NCA ，根据外角性质及直角三角形两锐角互余即可求出∠NCE=180°-2∠BAN. 【详解】（1）连接AC ，则∠BAC=45°，∵M 在BC 上，不与B 重合，∴0θ<≤45°.∵AB=BC ，∠ABN=∠CBN=45°，BN=BN ，∴△BAN ≌△BCN ，∴∠BAM=∠BCN ，∵∠BAM+∠AMB=90°，∠ECM+∠CME=90°，∠AMB=∠CME∴∠BAM=∠ECM ，∴∠NCE=∠BCN+∠ECM=2∠BAM故答案为0θ<≤45°；2NCE BAM ∠=∠（或2NCE θ∠=）.（2）①补全图如下：②有变化；∠NCE=180°-2∠BAN.理由如下：如图：连接AC ，∵AC 、BD 是正方形ABCD 的对角线，∴NA=NC ，∴∠NAC=∠NCA ，∴∠ENC=2∠NAC ，∵∠NAC=∠BAN-45°，∠ENC=90°-∠NCE ， ∴90°-∠NCE=2（∠BAN-45°）∴∠NCE=180°-2∠BAN.（或1802NCE θ∠=︒-）【点睛】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定，正方形对角线相等、互相垂直且互相平分，熟练掌握全等三角形的判定定理及正方形性质是解题关键.23．见解析【解析】【分析】先由菱形得到AC⊥BD，再根据DE∥AC，CE∥BD证得四边形ODEC是平行四边形由此得到结论.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形ODEC是平行四边形,∴四边形ODEC为矩形.【点睛】此题考查菱形的性质，矩形的判定定理，熟记矩形的判定定理由此得到思路是解题的关键. 24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△BFD≌△CED；（2）由三角形内角和定理可得∠A＝90°，由三个角是直角的四边形是矩形可判定四边形AEDF是矩形．【详解】（1）∵点D是△ABC边BC上的中点∴BD＝CD又∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F∴∠BFD＝∠DEC＝90°∵BD＝CD，∠BFD＝∠DEC，BF＝CE∴△BFD≌△CED（SAS）（2）∵∠B+∠C＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A＝90°∵∠BFD＝∠DEC＝90°∴∠A＝∠BFD＝∠DEC＝90°∴四边形AEDF是矩形.【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练运用矩形的判定是本题的关键．。

强化训练鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习试题(含答案解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列关于ABCD 的叙述，正确的是（）A ．若AC BD =，则ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形 D ．若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形2、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝4，AB ＝8，P 为AC 边上的一个动点，D 为PB 上的一个动点，连接AD ，当∠CBP ＝∠BAD 时，线段CD 的最小值是（）A B ．2 C ．1 D ．43、如图，等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于点E 、F ，CAD ∠的平分线分别交BE 、BC 于点M 、N ，连接DM 、EN ，下列结论：①DF DN =；②AE CN =；③DMN ∆是等边三角形；④EN NC ⊥；⑤BE 垂直平分AN ，其中正确的结论个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个4、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE⊥AC 于点E，PF⊥BD于点F．若AB=6，BC=8，则PE+PF的值为（）A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.45、已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(0,4)，点C是线段AB的中点，则线段OC的长为（）A．52B．3 C．4 D．56、下列命题中是真命题的选项是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．三条边都相等的四边形是菱形7、绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BEF的面积为（）A．6 B．7.5 C．12 D．159、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（）A ．6.5B ．8C ．10D ．1210、已知：在△ABC 中，AC =BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，延长DE 至点F ，使得EF =DE ，那么四边形AFCD 一定是（）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，E 为AD 边上的一个动点，连接BE ，将AB 沿着BE 折叠得到A 'B ，A 的对应点为A '，连接A 'D ，当A ′B ⊥AD 时，∠A 'DE 的度数为 ______．2、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，20A ∠=︒，CD 与CE 分别是斜边AB 上的高和中线，那么DCE ∠=_______度．3、如图，在长方形ABCD 中，20AB =，12BC =，E 、F 分别在边AB 、CD 上，且5CF =．现将四边形BCFE 沿EF 折叠，点B ，C 的对应点分别为点B '，C '，当点B '恰好落在边CD 上时，则EF 的长为______．4、如图，在矩形ABCD 中，6AB =，5BC =，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且4EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是______．5、如图，在正方形ABCD 中，AB E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接AF ，DE ，点N ，M 分别为AF ，DE 的中点，连接MN ．则MN 的长为_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上，连接AE 、AF ，且BE ＝DF ．求证：AE ＝AF ．2、如图，长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且G 点在长方形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ．(1)求证：GE DE =；(2)若9DC =，DF 2CF =，求AD 的长；(3)若DC n DF =⋅，求22AD AB 的值． 3、尺规作图并回答问题：（保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形．求作：菱形AECF ，使点E ，F 分别在BC ，AD 上．请回答：在你的作法中，判定四边形AECF 是菱形的依据是．4、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，点B ，点C 均落在格点上．（1）计算AC2+BC2的值等于_____；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．5、在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个菱形相邻的．．．两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x 轴，y轴垂直，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），(1)若b=2，则R（1，-4），S（3，4），T（5，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；(2)若点A，B的“相关菱形”为正方形，求b的值；(3)点C的坐标为（4，4）．若在线段AC上存在点M，使点M，B的“相关菱形”为正方形，请直接写出b的取值范围．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．【详解】=，解：ABCD中，AC BD∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；=，ABCD中，AB AD∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；⊥，ABCD中，AB BC∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；⊥，ABCD中，AC BD∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．2、D【解析】【分析】如图，取AB的中点T，连接CT，DT．首先证明∠ADB=90°，求出CT，DT，根据CD≥CT-DT，可得结论．【详解】如图，取AB的中点T，连接CT，DT．∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∵∠BAD=∠CBD，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ADB=90°，∵AT=TB=4，AB=4，CT=∴DT=1∵CD≥CT-DT，∴CD≥，∴CD的最小值为，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出CT ，DT 的长．3、C【解析】【分析】求出BD AD =，DBF DAN ∠=∠，BDF ADN ∠=∠，证ΔΔDFB DAN ≅，即可判断①，证ΔΔABF CAN ≅，推出CN AF AE ==，即可判断②；求出22.5ADM ∠=︒，即可判断⑤，根据三角形外角性质求出DNM ∠，求出MDN DNM ∠=∠，即可判断③，可证NE NC =，求得90ENC ∠=︒，可判断④．【详解】解：90BAC ∠=︒，AC AB =，AD BC ⊥，45ABC C ∴∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=︒=∠， BE 平分ABC ∠，122.52ABE CBE ABC ∴∠=∠=∠=︒， 9022.567.5BFD AEB ∴∠=∠=︒-︒=︒，67.5AFE BFD AEB ∴∠=∠=∠=︒，AF AE ∴=， M 为EF 的中点，AM BE ∴⊥，90AMF AME ∴∠=∠=︒，9067.522.5DAN MBN ∴∠=︒-︒=︒=∠，在ΔFBD 和ΔNAD 中FBD DAN BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ΔΔFBD NAD ASA ∴≅，DF DN ∴=，故①正确；∵AN 平分∠CAD ， ∴122.52CAN DAN CAD ABF ∠=∠=∠=︒=∠，在AFB ∆和ΔCNA 中4522.5BAF C AB ACABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ΔΔAFB CAN ASA ∴≅，AF CN ∴=，AF AE =，AE CN ∴=，故②正确； =AE AF ，M 为EF 的中点，AM EF ∴⊥，90AMF ∴∠=︒，同理90ADB ∠=︒，BFD AFE ∠=∠， BE 平分ABC ∠，MBA MBN ∴∠=∠，AN BM ⊥，90AMB NMB ∴∠=∠=︒，1801809022.567.5BNM BAM AMB ABM ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，BA BN ∴=，AM MN ∴=，BE ∴垂直平分AN ，故⑤正确；22.522.545DMN DAN ADM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，45BMD ∴∠=︒，4522.567.5DNA C CAN ∠=∠+∠=︒+︒=︒，1804567.567.5MDN DNM ∴∠=︒-︒-︒=︒=∠，DM MN ∴=，ΔDMN ∴是等腰三角形，而67.5MND ∠=︒，ΔDMN ∴不是等边三角形，故③错误，AM MN =，AN BE ⊥，AE EN ∴=，NE NC ∴=，45NEC C ∴∠=∠=︒，90ENC ∴∠=︒，EN NC ∴⊥，故④正确；即正确的有4个，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质、三角形外角性质、三角形内角和定理、直角三角形斜边上中线性质的应用，综合性强，难度适中，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力．4、C【解析】【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案．【详解】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC，∴S△AOD=14S矩形ABCD=12，OA=OD=5，∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =12OA •PE +12OD •PF =12OA （PE +PF ）=12×5×（PE +PF ）=12，∴PE +PF =245=4.8．故选：C ．【点睛】此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．5、A【解析】【分析】根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：点A 的坐标为(3,0)，点B 的坐标为(0,4)，3OA ∴=，4OB =，5AB OA =，点C 是线段AB 的中点，1155222OC AB ∴==⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边边上的中线，解题的关键是正确的理解题意．6、∴OM ＝12CD ＝故选：C ．【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．3．C【解析】【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项．【详解】解：A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；D．四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；故答案选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．7、B【解析】【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF．∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：B【点睛】此题考查了菱形的判定，平行四边形的面积公式以及平行四边形的判定与性质，利用了数形结合的数学思想，其中菱形的判定方法有：一组邻边相等的平行四边形为菱形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形；四条边相等的四边形为菱形，根据题意作出两条高AE和AF，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键8、B【解析】【分析】根据翻折的性质可得，BE＝DE，设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，在直角△ABE中，根据勾股定理可得32＋x2＝（9−x）2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，由矩形的性质可得∠FED＝∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE＝BF，即可得出答案．【详解】解：设AE＝x，则ED＝BE＝9−x，根据勾股定理可得，32＋x2＝（9−x）2，解得：x＝4，由翻折性质可得，∠BEF＝∠FED，∵AD∥BC，∴∠FED＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF＝5，∴S△BFE＝1×5×3＝7.5．2故选：B．【点睛】本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．9、A【解析】【分析】由菱形的性质得出OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD=13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE=6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO=GF即可得出答案．【详解】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD，又∵E是边AD的中点，∴OE=12AD=12×13=6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG=OE=6.5．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．10、B【解析】【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．【详解】解：∵E是AC中点，∴AE=EC，∵DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD=DB，AE=EC，∴DE =12BC ， ∴DF =BC ，∵CA =CB ，∴AC =DF ，∴四边形ADCF 是矩形；故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．二、填空题1、15°##15度【解析】【分析】由菱形的性质可得AB AD =，可证ABD ∆是等边三角形，由等边三角形的性质可得A B '垂直平分AD ，30ABA '∠=︒，由折叠的性质可得AB A B '=，可得75BAA '∠=︒，即可求解．【详解】解：如图，连接AA '，BD ，四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，60A ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，A B AD '⊥，A B '∴垂直平分AD ，30ABA '∠=︒，AA A D ''∴=，A AD A DA ''∴∠=∠，将AB 沿着BE 折叠得到A B '，AB A B '∴=，75BAA '∴∠=︒，15A AD A DA ''∴∠=∠=︒．故答案为：15︒．【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明ABD ∆是等边三角形是解题的关键．2、50【解析】【分析】根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．【详解】解：20A ∠=︒，CD 为AB 边上的高，70ACD ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，CE 是斜边AB 上的中线，CE AE ∴=，20ACE A ∴∠=∠=︒，DCE ∴∠的度数为702050︒-︒=︒．故答案为：50．【点睛】本题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．3、【解析】【分析】由勾股定理求出B 'F ，得到D B '，过点B '作B 'H ⊥AB 于H ，连接BF ，则四边形ADB H '是矩形，求出HE ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，则四边形BCFG 是矩形，利用勾股定理求出EF 的长．【详解】解：在长方形ABCD 中，90,20,12B C CD AB AD BC ∠=∠=︒====，AB CD ∥，由折叠得90,90,12,B B C C B C BC C F CF '''''∠=∠=︒∠=∠=︒====5，∴13B F '，∴205DB CD CF B F ''=--=--13=2，过点B'作B'H⊥AB于H，连接BF，则四边形ADB H'是矩形，∴AH=D B'=2，∵∠B'EF=∠BEF，∠B'FE=∠BEF，∴∠B'EF=∠B'FE，∴B'E=B'F=13，∴HE=，过点F作FG⊥AB于G，则四边形BCFG是矩形，∴BG=FC=5，∴EG=13-5=8，∴EF故答案为【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确引出辅助线利用推理论证进行求解是解题的关键．4、11【解析】【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM+BM最小，从而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．【详解】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB由对称的性质得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG－BM则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG－BM∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90°∴CG=2CD=12∵M为线段EF的中点，且EF=4∴1=22BM EF=在Rt△BCG中，由勾股定理得：13BG∴GM=BG－BM=13－2=11即CP+PM的最小值为11．【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．5、1【解析】【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB=CD=BC AB∥CD，∠C=90°，证得△AEM≌GDM，得到AM=MG，AE=DG=12AB，根据三角形中位线定理得到MN=12FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．【详解】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=BC AB∥CD，∠C=90°，∴∠AEM=∠GDM，∠EAM=∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME=MD，在△AEM和GDM中，EAM DGM AEM GDM ME MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEM ≌△GDM （AAS ），∴AM =MG ，AE =DG =12AB =12CD ， ∴CG =12CD∵点N 为AF 的中点，∴MN =12FG ， ∵F 为BC 的中点，∴CF =12BC∴FG，∴MN =1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出AM =MG 是解决问题的关键．三、解答题1、见解析．【解析】【分析】利用正方形的性质可证明△ABE ≌△ADF ，可得AE ＝AF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，∵BE ＝DF ，在Rt△ABE 与Rt△ADF 中，AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴Rt△ABE ≌Rt△ADF （SAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键．2、 (1)见解析(2) (3)224AD AB n= 【解析】【分析】（1）由折叠得AE GE =，由中点得AE DE =，由此得到结论；（2）连接EF ，依据DF 2CF =，求出DF 、CF ，根据长方形的性质得到9AB DC ==，由△ABE ≌△GBE ，得到9BG AB ==，证明Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，得到6GF DF ==．由勾股定理求出BC 即可得到AD ；（3）设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，得到()1BF BG GF na a n a =+=+=+，由勾股定理求出2BC ，再求出2224AD BC na ==，即可得到答案．(1)证明∵GBE 是由ABE △折叠而成，∴△ABE ≌△GBE ，∴AE GE =，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，∴GE DE =；(2)解：连接EF ，∵DF 2CF =， ∴229633DF DC ==⨯=， ∴963CF DC DF =-=-=．∵四边形ABCD 是长方形，∴AD BC =，9AB DC ==，90A C D ∠=∠=∠=︒．∵△ABE ≌△GBE ，∴9BG AB ==，90A BGE FGE ∠=∠=∠=︒．在Rt EGF 和Rt EDF 中，∵GE DE =，EF EF =∴Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，∴6GF DF ==．∴9615BF BG GF =+=+=，在Rt BCF 中，∵15BF =，3CF =，∴BC∴AD BC ==＝．(3)解：设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，∴()1CF DC DF na a n a =-=-=-，又∵BG AB na ==，GF DF a ==，∴()1BF BG GF na a n a =+=+=+，在Rt BCF 中，∵()1BF n a =+，()1CF n a =-，∴ ()()22222222114BC BF CF n a n a na =-=+--=，∴ 2224AD BC na ==， ∴2222244AD na AB n a n ==．【点睛】此题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，解题的关键是掌握各知识点，考查分析问题能力及推理论证能力．3、证明见解析；邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形或对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．【详解】解：如图，四边形AECF 即为所求作．理由：四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO ，∵EF 垂直平分线段AC ，∴OA =OC ，在△AEO 和△CFO 中，EAO FCO AO OCAOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴AE =CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EA=EC或AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．故答案为：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、 11 见解析【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．【详解】解：（1）AC2+BC2）2+32＝11；故答案为：11；（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．5、 (1)R，S(2)3-或5(3)3-≤b≤0或5≤b≤8【解析】【分析】（1）由A（1，4）、B（2，0）、R（1，-4）、S（3，4），可判断点B在AR的垂直平分线上，也在AS 的垂直平分线上，由“相关菱形”的定义，可判断点R、S能成为点A、B的“相关菱形”的顶点；（2）作点A关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点N，由“相关菱形”的定义和正方形的性质，可得BN=AN=4，然后按点B在AE左侧及点B在AE右侧，分点求出b的值；（3）分别作点A、C、M关于x轴的对称点A′、C′、F，连接AA′、CC′、AF分别交x轴于点G、H、Q，当点Q与点G重合时，b的值最小；当点Q与点H重合时，b的值最大；由“相关菱形”的定义和正方形的性质，可得BQ=MQ=4，按点B在AF左侧及点B在AF右侧分别列出不等式组求出b的取值范围．(1)解：当b=2时，则B（2，0）.如图1、图2，连接AR、AS，∵A（1，4）、B（2，0）、R（1，-4）、T（3，4），∴点B在AR的垂直平分线上，点B也在AS的垂直平分线上，∴点R、S能成为点A、B的“相关菱形”的顶点．故答案为：R，S．(2)解：过点A作AH垂直x轴于H点．∵ 点A，B的“相关菱形”为正方形，∴ △ABH为等腰直角三角形．∵ A（1，4），∴ BH=AH=4．∴b =3-或5．(3)解：如图4，作分别作点A、C、M关于x轴的对称点A′、C′、F，连接AA′交x轴于点G，连接CC′交x轴于点H，则G（1，0）、H（4，0）；连接MF交x轴于点Q，∵点M、B的“相关菱形”为正方形，∴BQ=MQ=4．当点B在MF左侧时，则Q（b+4，0），由题意，得1≤b+4≤4，解得-3≤b≤0；当点B在MF右侧时，则Q（b-4，0），由题意，得1≤b-4≤4，解得5≤b≤8．综上所述，b的取值范围是-3≤b≤0或5≤b≤8．3-≤b≤0或5≤b≤8．【点睛】此题考查菱形了的判定与性质、正方形的判定与性质、一元一次不等式组的应用、图形与坐标等知识，解题的关键是正确地画出图形并且能综合运用有关知识和方法；涉及求点的坐标及动点的坐标的取值范围，要分类讨论，求出所有符合条件的值和取值范围，以免丢解．。

鲁教版八年级下《第六章特殊平行四边形》单元测试卷含答案

第六章特殊平行四边形单元测试卷题号一二三总分得分一、选择题(每题3分,共30分)1.如图,已知菱形ABCD的边长为3,∠ABC=60°,则对角线AC的长是( )A.12B.9C.6D.32.下列命题为真命题的是( )A.四个角相等的四边形是矩形B.对角线垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.四边相等的四边形是正方形3.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是( )A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形4.如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )A. B. C. D.5.如图,已知正方形ABCD的对角线长为,将正方形ABCD沿直线EF 折叠,则图中阴影部分的周长为( )A.2B.4C.8D.66.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的有( )①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形.A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )A.16B.17C.18D.198.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(-3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是( )A.(4,5)B.(5,3)C.(5,4)D.(4,3)9.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,则下列结论错误的是( )A.AF=AEB.△ABE≌△AGFC.BE=DFD.BE=EF10.如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:①△APE≌△AME;②PM+PN=BD;③PE2+PF2=PO2.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题(每题3分,共24分)11.如图,一个平行四边形的活动框架,对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状,则∠α也随之变化,两条对角线长度也在发生改变.当∠α的度数为___________时,两条对角线长度相等.12.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为___________.13.已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点,AE=AD,过点E作AC的垂线,交边CD于点F,那么∠FAD=___________.14.如图是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动菱形衣架,若墙上钉子间的距离AB=BC=15 cm,则∠1=___________.15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连接DE,则DE的最小值为___________.16.如图,已知正方形ABCD的边长为1,连接AC,BD,CE平分∠ACD交BD 于点E,则DE= .17.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.若AB=8,AD=12,则四边形ENFM的周长为.18.如图,在边长为2的菱形 ABCD中,∠DAB=60°.连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACEF,使∠FAC=60°.连接AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH,使∠HAE=60°,……,按此规律所作的第n个菱形的边长是.三、解答题(19,20题每题9分,21题 10分,22,23题每题12分,24题14分,共66分)19.如图,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.求证:BD=CE.20.如图所示,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB 于点H,连接OH.求证:∠DHO=∠DCO.21.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)求证:四边形OCED是菱形;(2)若AB=3,BC=4,求四边形OCED的面积.22.如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)若∠FDC=30°,求∠BEF的度数.23.如图所示,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E 处,BE与AD交于点F.(1)线段BF与DF相等吗?请说明理由.(2)若将折叠的图形恢复原状,点F与BC边上的点G正好重合,连接DG,试判断四边形BGDF的形状,并说明理由.(3)若AB=4,AD=8,在(2)的条件下,求线段DG的长.24.如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究线段OE与OF的数量关系并加以证明.(2)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?(3)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE__________是菱形(填“可能”或“不可能”).请说明理由.参考答案一、1.【答案】D 2.【答案】A3.【答案】D解：首先根据三角形中位线定理知:所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解.4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】A解：①当AB=BC时,它是菱形,正确;②当AC⊥BD时,它是菱形,正确;③当∠ABC=90°时,它是矩形,正确;④当AC=BD时,它是矩形,因此④是错误的.7.【答案】B 8.【答案】C 9.【答案】D10.【答案】D解：∵四边形ABCD是正方形,∴∠PAE=∠MAE=45°.∵PM⊥AC,∴∠PEA=∠MEA.又∵AE=AE,∴根据“ASA”可得△APE≌△AME.故①正确;由①得PE=ME,∴PM=2PE.同理PN=2PF,又易知PF=BF,四边形PEOF是矩形,∴PN=2BF,PM=2FO.∴PM+PN=2FO+2BF=2BO=BD.故②正确;在Rt△PFO中,∵FO2+PF2=PO2,而PE=FO,∴PE2+PF2=PO2.故③正确.二、11.【答案】90°解：对角线相等的平行四边形是矩形.12.【答案】12解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8,∴菱形的面积=×6×8=24.∵O是菱形两条对角线的交点,∴阴影部分的面积=×24=12.13.【答案】22.5°解：如图,由四边形ABCD是正方形,可知∠BAD=∠D=90°,∠CAD=∠BAD=45°.由FE⊥AC,可知∠AEF=90°.在Rt△AEF与Rt△ADF中, AE=AD,AF=AF,∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL). ∴∠FAD=∠FAE=∠CAD=×45°=22.5°.14.【答案】120°15.【答案】4.8 16.【答案】-117.【答案】20解：点N是BC的中点,点E,F分别是BM,CM的中点,由三角形的中位线定理可证EN∥MC,NF∥ME,EN=MC,FN=MB.又易知MB=MC,所以四边形ENFM是菱形.由点M是AD的中点,AD=12得AM=6.在Rt△ABM中,由勾股定理得BM=10.因为点E是BM的中点,所以EM=5,所以四边形ENFM 的周长为20.18.【答案】(2)n-1三、19.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD.又∵BE=AB,∴BE=CD.∴四边形BECD是平行四边形.∴BD=CE.20.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,OD=OB,AC⊥BD.∵DH⊥AB,∴∠AHD=∠BHD=90°.∴∠BDH+∠ODC=90°.∵∠DCO+∠ODC=90°,∴∠BDH=∠DCO.在Rt△BHD中,OB=OD,∴OH=OD.∴∠DHO=∠BDH.∴∠DHO=∠DCO.21.(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED为平行四边形.∵四边形ABCD为矩形,∴OD=OC.∴四边形OCED为菱形.(2)解:∵四边形ABCD为矩形,∴BO=DO=BD.∴S△OCD=S△OCB=S△ABC=××3×4=3.∴S菱形OCED=2S△OCD=6.22.(1)证明:在△BCE与△DCF中,∴△BCE≌△DCF.(2)解:∵△BCE≌△DCF,∴∠EBC=∠FDC=30°.∵∠BCD=90°,∴∠BEC=60°.∵EC=FC,∴∠CEF=45°.∴∠BEF=105°.23.解:(1)相等.理由:∵在△ABF和△EDF中,∠A=∠E=∠C=90°,∠AFB=∠EFD,AB=ED=CD,∴△ABF≌△EDF.∴BF=DF.(2)四边形BGDF是菱形.理由:由四边形ABCD是矩形,易得AD∥BC,则BG∥DF.∵△BCD沿BD折叠之后得到△BED,∴BC=BE.而恢复原状后,点F与点G重合,则BG=BF,而由(1)得BF=DF,∴BG=DF.∴四边形BGDF为平行四边形.又∵BF=DF,∴四边形BGDF为菱形.(3)由(2)知DG=BG,∴CG=8-DG.又∵CD2+GC2=DG2,即42+(8-DG)2=DG2,解得DG=5.24.解:(1)OE=OF.证明如下:∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠BCE.又∵MN∥BC,∴∠NEC=∠ECB.∴∠NEC=∠ACE.∴OE=OC.∵CF是∠ACD的平分线,∴∠OCF=∠FCD.又∵MN∥BC,∴∠OFC=∠FCD.∴∠OFC=∠OCF.∴OF=OC.∴OE=OF.(2)当点O运动到AC的中点,且△ABC满足∠ACB为直角时,四边形AECF 是正方形.理由如下:∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,又∵EO=FO,∴四边形AECF是平行四边形.∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO.∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF.∴四边形AECF是矩形.已知MN∥BC,当∠ACB=90°时,∠AOE=90°,∴AC⊥EF.∴四边形AECF是正方形.(3)不可能.理由如下:连接BF,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°.若四边形BCFE是菱形,则BF⊥EC.但在一个三角形中,不可能存在两个角为90°,故四边形BCFE不可能为菱形.。

综合解析鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形专题训练练习题(精选含解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（）A B．3 C．125D．2452、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，连接BD，∠BAD的角平分线交BD、BC分别于点O、E，若EC=3，CD=4，则BO的长为（）A ．4B ．C ．D ．3、如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，BE ＝CF ＝2，CE 与DF 交于点H ，点G 为DE 的中点，连接GH ，则GH 的长为（）A B C ．4.5 D ．4.34、已知菱形ABCD ，对角线AC =6，BD =8，则菱形ABCD 的面积为（）A ．48B ．36C ．25D ．245、如图，正方形纸片ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、()31230,0,0h h h h >>>，若15h =，22h =，则正方形ABCD 的面积S 等于（）A ．34B ．89C ．74D ．1096、如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．127、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D为边AB上的中点，那么下面结论错误的是（）A．12CD AB=B．12CB AB=C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B8、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A．测量对角线是否互相平分B．测量一组对角是否都为直角C．测量对角线长是否相等D．测量3个角是否为直角9、下列说法中正确的是（）A．矩形的对角线平分每组对角；B．菱形的对角线相等且互相垂直；C．有一组邻边相等的矩形是正方形；D．对角线互相垂直的四边形是菱形．10、下列说法错误的是（）A．平行四边形对边平行且相等B．菱形的对角线平分一组对角C ．矩形的对角线互相垂直D ．正方形有四条对称轴第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则AM 的最小值是______________．2、如图，矩形纸片ABCD ，AD ＝4，AB ＝2，点F 在线段AD 上，将△ABF 沿BF 向下翻折，点A 的对应点E 落在线段BC 上，点M ，N 分别是线段AD 与线段BC 上的点，将四边形CDMN 沿MN 向上翻折，点C 恰好落在线段BF 的中点C '处，则线段MN 的长为 __________________．3、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，20A ∠=︒，CD 与CE 分别是斜边AB 上的高和中线，那么DCE ∠=_______度．4、如图，在矩形ABCD 中，3,5AB BC ==，点P 在CD 边上，联结AP ．如果将ADP 沿直线AP 翻折，点D 恰好落在线段BC 上，那么ADP ABCPS S 四边形的值为_________．5、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，在对角线BD 上有一点P ，则PC +PE 的最小值是_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：在平行四边形ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，H ，使得BE ＝2AB ，DH ＝2CD ．连接EH ，分别交AD ，BC 于点F ，G ．(1)求证：AF ＝CG ；(2)连接BD 交EH 于点O ，若EH ⊥BD ，则当线段AB 与线段AD 满足什么数量关系时，四边形BEDH 是正方形？2、（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且45∠=︒，则EAF（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF，BE，DF之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45∠=︒，则EF，BE，DF之间的EAF数量关系是______（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=AF的长．3、如图，四边形ABCD是一个正方形，E、F分别在AD、DC边上，且DE=CF，AF、BE交于O点，请说出线段AF和BE的关系，并证明你的结论．4、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．5、在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点．连接AE，过点B作BF⊥AE于F．交AD于H．(1)如图1，过点D作DG⊥AE于G，求证：△AFB≌△DGA；(2)如图2，点E为CD的中点，连接DF，求证：FH+FE；(3)如图3，AB＝1，连接EH，点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写出点P运动的路径长．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据菱形的面积以及OA的长，求得OB的长，勾股定理求得边长AB，进而根据菱形的面积等于()AB PE PF⨯+，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴11,,22AO AC OB BD AO OD==⊥，AB AD=OA＝4，S 菱形ABCD＝24，1242AC BD ∴⨯= 即122242OA OB ⨯⨯⨯⨯= 3OB ∴=Rt AOB 中，5AB连接PAPE ⊥AB ，PF ⊥AD ，∴22()ABD ABP APD ABCD S S S S ==+△△△菱形11222AB PE AD PF ⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭()AB PE PF =⨯+S 菱形ABCD ＝24，5AB =245PE PF ∴+= 故选D【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．2、C【解析】【分析】连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，进而解答即可．【详解】解：连接DE．在直角三角形CDE中，EC=3，CD=4，根据勾股定理，得DE=5．∵AB=AD，AE平分BAD∠∴AE⊥BD，BO=OD，∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．∴DE=BE=5．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∴BC=BE+EC=8，∴四边形ABED是菱形，由勾股定理得出BD=∴1.2BO BD == 故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理的运用以及菱形的判定和性质，题目难度适中，根据条件能够发现图中的菱形ABDE 是关键．3、A【解析】【分析】根据正方形的四条边都相等可得BC ＝DC ，每一个角都是直角可得∠B ＝∠DCF ＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE ≌△DCF ，得∠BCE ＝∠CDF ，进一步得∠DHC ＝∠DHE ＝90°，从而知GH ＝12DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠DCF ＝90°，BC ＝DC ，在△CBE 和△DCF 中，BC CC B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBE ≌△DCF （SAS ），∴∠BCE ＝∠CDF ，∵∠BCE +∠DCH ＝90°，∴∠CDF +∠DCH ＝90°，∴∠DHC ＝∠DHE ＝90°，∵点G为DE的中点，∴GH＝12DE，∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，∴DE===∴GH故选A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4、D【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，∴菱形的面积S=12AC•BD=12×8×6=24．故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．5、C【解析】【分析】如图，记2l 与AD 的交点为,Q 记BC 与3l 的交点为,H 过B 作4BE l ⊥于,E 过D 作4DM l 于,M 再证明,ABO CDH ≌BCE CDM ≌△△，可得7,5,BE CMCE DM 再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，记2l 与AD 的交点为,Q 记BC 与3l 的交点为,H 过B 作4BE l ⊥于,E 过D 作4DM l 于,M正方形,ABCD,90,AB BC CD AD BADABC BCD ADC 90,90,ABO AOB CDH ADH 23,l l ∥ 则,AOB ADH ,ABO CDH,ABO CDH ≌135,h h （全等三角形的对应高相等） 237,BE h h 90,BCDBEC DMC 90,EBCBCE BCE DCM,EBC DCM ,BCE CDM ≌7,5,BE CM CE DM2225774.BC ∴=+=故选C【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明,ABO CDH ≌BCE CDM ≌△△是解本题的关键.6、B【解析】【分析】根据菱形的性质可证出ΔΔCFO AEO ≅，可将阴影部分面积转化为BOC ∆的面积，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】解：四边形ADCB 为菱形，OC OA ∴=，//AB CD ，FCO OAE ∠=∠，FOC AOE ∠=∠，()CFO AEO ASA ≅,∴CFO AOE S S =,∴CFO BOF BOC S S S +=, ∴1111··6864242BOC S AC BD =⨯=⨯⨯⨯= 故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为BOC ∆的面积为解题关键．7、B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质结合等腰三角形的性质及含30 角的直角三角形的性质，三角形外角的性质判定即可求解．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为边AB 上的中点，12AD BD CD AB ∴===，故A 选项正确，不符合题意； A ACD ∴∠=∠，故C 选项正确，不符合题意；DCB B ∠=∠，2ADC DCB B B ∴∠=∠+∠=∠，故D 选项正确，不符合题意；只有当30A ∠=︒时，12CB AB =，故B 选项错误，符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．8、D【解析】【分析】矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．9、C【解析】【分析】根据矩形及菱形的性质，菱形及正方形的判定定理依次判断即可得．【详解】解：A、矩形的对角线不平分每组对角，故选项错误；B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故选项错误；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；故选：C．【点睛】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．10、C【解析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．【详解】解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．二、填空题1、6 5【解析】【分析】根据题意，AM=12EF，利用三个直角的四边形是矩形，得到EF=AP，得AM=12AP，当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，计算AP的长即可．【详解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC，∴BC边上的高h=125，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF的中点，∴AM=12EF，∴AM=12AP，∴当AP最小时，AM有最小值，根据垂线段最短，当AP为BC上的高时即AP=h时最短，∴AP的最小值为125，∴AM的最小值为65，故答案为：65．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短原理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．2【解析】【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而求出BF＝BC'，过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，进而求出BH＝1，再用勾股定理求出CC'CK股定理求出CN＝53，最后用面积建立方程求出MN即可．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，CD＝AB，BC＝AD＝4，∵2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵将△ABF沿BF向下翻折，点A的对应点E落在线段BC上，∴∠BEF＝∠A＝90°，AB＝BE，∴四边形ABEF是正方形，∴BF是正方形ABEF的对角线，∴∠EBF＝45°，BF＝∵C'是BF的中点，BF，∴BC'＝12过点C'作C'H⊥BC于H，CC'与MN的交点记作点K，在Rt△BHC'中，BH＝C'H'＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，在Rt△CHC'中，CC'，由折叠知，CK＝12CC'设CN＝x，则HN＝3﹣x，∵将四边形CDMN沿MN向上翻折，∴CC'⊥MN，C'N＝CN＝x，在Rt△C'HN中，根据勾股定理得，C'H2+HN2＝C'N2，∴12+（3﹣x）2＝x2，∴x＝53，∴CN＝53，连接CM，∵S△CMN＝12CN•CD＝12MN•CK，∴MN＝CN CDCK⋅52⨯，．【点睛】此题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理和面积法解题，作出辅助线构造直角三角形求出CC'是解题的关键所在．3、50【解析】【分析】根据直角三角形中线的性质及互为余角的性质计算．【详解】解：20A ∠=︒，CD 为AB 边上的高，70ACD ∴∠=︒，90ACB ∠=︒，CE 是斜边AB 上的中线，CE AE ∴=，20ACE A ∴∠=∠=︒，DCE ∴∠的度数为702050︒-︒=︒．故答案为：50．【点睛】本题主要考查了直角三角形中线的性质及互为余角的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 4、513【解析】【分析】先根据翻折的性质得出AD ′=AD =5，DP =PD ′，，然后在Rt △ABF 中由勾股定理求出BD ′=4，D ′C =1，设DP =x ，则D ′P =x ，PC=3-x ，在RtCD ′P 中，由勾股定理求出列方程求出x 即可，然后利用三角形的面积公式求出S △ADP 和ABCP S 四边形的面积即可．【详解】解：∵AB =3，BC =5，∴DC =3，AD =5，又∵将△ADP 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点D ′，∴AD ′=AD =5，DP =PD ′，在Rt △ABD ′中，AB =3，AD ′=5，∴BD，∴D ′C =5-4=1，设DP =x ，则D ′P =x ，PC =3-x ，在Rt △CD ′P 中，D ′P 2=D ′C 2+PC 2，即x 2=12+（3-x ）2，解得x =53，即DP 的长为53，∵AD =5，∴S △ADP =12×DP ×AD =12×53×5=256，ADP ABCD ABCP S S S =-矩形四边形=3×5-256=656， ∴ADP ABCPS S 四边形=255665136=，故答案为：513．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了矩形的性质以及勾股定理．5、【解析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：如图，连接AE，PA，∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，∴点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，∴BE=2，∴AE=√AA2+AA2=√42+22=2√5，故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)当AD时，四边形BEDH是正方形【解析】【分析】（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∴∠AEF=∠CHG，∵BE=2AB，DH=2CD，∴BE=DH，∴BE-AB=DH-DC，∴AE=CH，∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，∴∠EAF=∠GCH，∴△EAF≌△HCG(ASA)，∴AF=CG；(2)解：当AD时，四边形BEDH是正方形；理由：∵BE∥DH，BE=DH，∴四边形EBHD是平行四边形，∵EH⊥BD，∴四边形EBHD 是菱形，∴ED =EB =2AB ，当AE 2+DE 2=AD 2时，则∠BED =90°，∴四边形BEDH 是正方形，即AB 2+(2AB )2=AD 2，∴AD ，∴当AD 时，四边形BEDH 是正方形．．【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．2、（1）见解析；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；②BE EF DF =+，见解析；（3）【解析】【分析】（1）证明EAF GAF ∆≅∆，可得出EF FG =，则结论得证；（2）①将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆根据SAS 可证明EAF MAF ∆≅∆，可得EF FM =，则结论得证；②将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，证明AFE ANE ∆≅∆，可得出EF EN =，则结论得证；（3）求出2DG =，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC ∆中，得出关于x 的方程，解出x 则可得解．【详解】（1）证明：把ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADG ∆，如图1，BAE DAG ∴∠=∠，AE AG =，90B ADG ∠=∠=︒，180ADF ADG ∴∠+∠=︒，F ∴，D ，G 三点共线，45EAF ∠=︒，45BAE FAD ∴∠+∠=︒，45DAG FAD ∴∠+∠=︒，EAF FAG ∴∠=∠，AF AF =，()EAF GAF SAS ∴∆≅∆，EF FG DF DG ∴==+，EF DF BE ∴=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE ∆绕点A 顺时针旋转90︒至ADM ∆，EAB MAD ∴∠=∠，AE AM =，90EAM =︒∠，BE DM =，45FAM EAF ∴∠=︒=∠，AF AF =，()EAF MAF SAS ∴∆≅∆，EF FM DF DM DF BE ∴==-=-；②如图3，将ADF ∆绕点A 逆时针旋转90︒至ABN ∆，AN AF ∴=，90NAF ∠=︒，45EAF ∠=︒，45NAE ∴∠=︒，NAE FAE ∴∠=∠，AE AE =，()AFE ANE SAS ∴∆≅∆，EF EN ∴=，BE BN NE DF EF ∴=+=+．即BE EF DF =+．故答案为：BE EF DF =+．（3）解：由（1）可知AE AG ==正方形ABCD 的边长为6，6DC BC AD ∴===，∴3==DG ．3BE DG ∴==，633CE BC BE ∴=-=-=，设DF x =，则3EF FG x ==+，6CF x =-，在Rt EFC 中，222CF CE EF +=，222(6)3(3)x x ∴-+=+，解得：2x =．2DF ∴=，AF ∴=【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．3、AF =BE ，AF ⊥BE ，证明见解析．【解析】【分析】先根据正方形的性质证得AE =DF ，然后再证明△AEB ≌△AFD 可得∠ABE =∠FAD ，然后再根据直角三角形的性质证得∠AOE =90°即可．【详解】解：AF ⊥BE ，AF =BE ,证明如下：证明：∵正方形ABCD∴AB =AD =DC ,∠D =∠BAD =90°∵CF =DE∴AE =AD -DE ,DF =DC -CF∴AE =DF在△AEB 和△AFD 中AB =AD , ∠D =∠BAD , AE =DF∴△ABE ≌△DAF （SAS ）∴∠ABE =∠FAD ，AF =BE∵∠BAD =90°∴∠ABE +∠AEB =90°∴∠FAD +∠AEB =90°∴∠AOE =90°，AF ⊥BE ．∴AF =BE ，AF ⊥BE ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，根据题意证得△ABE ≌△DAF 成为解答本题的关键．4、 (1)见解析(2)AD =2AB ，理由见解析【解析】【分析】（1）由SSS 证明△ABM ≌△DCM ，得出∠A =∠D ，由平行线的性质得出∠A +∠D =180°，证出∠A =90°，即可得出结论；（2）先证明△BCM 是等腰直角三角形，得出∠MBC =45°，再证明△ABM 是等腰直角三角形，得出AB =AM ，即可得出结果．(1)证明：∵点M 是AD 边的中点，∴AM =DM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，AB ∥CD ，在△ABM 和△DCM 中，AM DM AB DC BM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABM ≌△DCM （SSS ），∴∠A=∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠A=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形；(2)解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：∵△BCM是直角三角形，BM=CM，∴△BCM是等腰直角三角形，∴∠MBC=45°，由（1）得：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠AMB=∠MBC=45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AB=AM，∵点M是AD边的中点，∴AD=2AM，∴AD=2AB．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．5、 (1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，证明∠BAF＝∠ADG，然后由AAS证△AFB≌△DGA即可；（2）如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，先证△ABH≌△DAE（ASA），得AH ＝DE，再证△DJH≌△DKE（AAS），得DJ＝DK，JH＝EK，则四边形DKFJ是正方形，得FK＝FJ＝DK＝DJ，则DF FJ，进而得出结论；（3）如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b，由（2）得△ABH≌△DAE（ASA），则AH＝DE，再由直角三角形斜边上的中线性质得PD＝PH＝PE，然后由等腰三角形的性质得DH＝2DK＝2b，DE＝2DT，则AH＝DE＝1﹣2b，证出PK＝QK，最后证点P在线段QR上运动，进而由等腰直角三角形的性质得QR DQ(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵DG⊥AE，BF⊥AE∴∠AFB＝∠DGA＝90°∵∠FAB+∠DAG＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°∴∠BAF＝∠ADG在△AFB和△DGA中∵AFB DGABAF ADG AB AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFB≌△DGA（AAS）．(2)证明：如图2，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J由题意知∠BAH＝∠ADE＝90°，AB＝AD＝CD∵BF⊥AE∴∠AFB＝90°∵∠DAE+∠EAB＝90°，∠EAB+∠ABH＝90°∴∠DAE＝∠ABH在△ABH和△DAE中∵BAH ADE AB ADABH DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABH≌△DAE（ASA）∴AH＝DE∵点E为CD的中点∴DE＝EC＝12CD∴AH＝DH∴DE＝DH∵DJ⊥BJ，DK⊥AE∴∠J＝∠DKE＝∠KFJ＝90°∴四边形DKFJ是矩形∴∠JDK＝∠ADC＝90°∴∠JDH＝∠KDE在△DJH和△DKE中∵J DKEJDH KDE DH DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DJH≌△DKE（AAS）∴DJ＝DK，JH＝EK∴四边形DKFJ是正方形∴FK＝FJ＝DK＝DJ∴DFFJ2FJ =∴FH+FE＝FJ﹣HJ+FK+KE＝2FJ．(3)解：如图3，取AD的中点Q，连接PQ，延长QP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K，设PT＝b由（2）得△ABH≌△DAE（ASA）∴AH＝DE∵∠EDH＝90°，点P为EH的中点∴PD＝12EH＝PH＝PE∵PK⊥DH，PT⊥DE∴∠PKD＝∠KDT＝∠PTD＝90°∴四边形PTDK是矩形∴PT＝DK＝b，PK＝DT∵PH＝PD＝PE，PK⊥DH，PT⊥DE ∴PT是△DEH的中位线∴DH＝2DK＝2b，DE＝2DT∴AH＝DE＝1﹣2b∴PK＝12 DE＝12﹣b，QK＝DQ﹣DK＝12﹣b∴PK＝QK∵∠PKQ＝90°∴△PKQ是等腰直角三角形∴∠KQP＝45°∴点P在线段QR上运动，△DQR是等腰直角三角形∴QR DQ∴点P【点睛】本题考查了三角形全等，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用．。

鲁教版八年级数学下册第六章《特殊平行四边形》单元测试题含答案

鲁教版八下《特殊四边形》检测题班级姓名分数一、选择题（每小题5分，共50分）1、平行四边形两个邻角的角平分线所成的角是（）A . 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定2、下列说法正确的是（）A. 一组对边相等的四边形是平行四边形B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C. 一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形3、在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC ＝4，则ＢＤ的长为（）A. 38B. 34C. 32D. 84、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线平分一组对角D. 对角线相等5、四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，能判定它为正方形的题设是（）（A ）AO=CO ，BO=DO; （B ）AO=CO=BO=DO;（C ）AO=CO ，BO=DO ，AC ⊥BD; （D ）AO=BO=CO=DO ，AC ⊥BD6、已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点得到得四边形是（）A.梯形B.矩形C. 菱形D. 正方形7、如果等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个等腰梯形的锐角等于（）A. 60°B. 30°C. 45°D. 15°8、如图（1） ABCD 中，∠C ＝108°，BE 平分∠ABC ，则∠AEB 等于（）A. 18°B. 36°C. 72°D. 108°9、如图（2），O 为平行四边形ABCD对角线AC 、BD 的交点，EF 经过点O ，且与边CD 、AB 分别交于点E 、F ，则图中的全等三角形有 ( )A. 2对B. 3对C. 5对D. 6对10、如图（3），在梯形ABCD 中A Ｄ∥ＢＣ，对角线AC ⊥ＢＤ，且ＡＣ＝１２，ＢＤ＝９，则AD+BC= （）1、矩形一个角的平分线分矩形一边为1㎝和3㎝两部分，则这个矩形的面积为。

鲁教版(五四制)八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合训练练习题(精选含解析)

鲁教版（五四制）八年级数学下册第六章特殊平行四边形综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列关于ABCD 的叙述，正确的是（）A ．若AC BD =，则ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形 D ．若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形2、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的点A 和点C 分别落在x 轴和y 轴正半轴上，AO ＝4，直线l ：y ＝3x +2经过点C ，将直线l 向下平移m 个单位，设直线可将矩形OABC 的面积平分，则m 的值为（）A ．7B ．6C ．4D ．83、如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a 、b ，且a 2＋b 2＝ab ＋10，那么小正方形的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．54、如图，正方形纸片ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、()31230,0,0h h h h >>>，若15h =，22h =，则正方形ABCD 的面积S 等于（）A ．34B ．89C ．74D ．1095、如图，在MON ∠的两边上分别截取OA ，OB ，使OA OB =；再分别以点A ，B 为圆心，OA 长为半径作弧，两弧交于点C ；再连接AC ，BC ，AB ，OC ．若2AB =，4OC =，则四边形AOBC 的面积是（）A ．B ．8C ．4D ．526的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且EF AB⊥于点F，连接DE，当22.5ADE∠=︒时，EF=（）A．1 B．2C1D．1 47、下列命题是真命题的有（）个．①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．A．1 B．2 C．3 D．48、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14 B．16 C．18 D．129、下列说法：①不可能事件发生的概率为0；②随机事件发生的概率为12；③事件发生的概率与实验次数无关；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是必然事件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①④10、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．四个角相等B．对角线互相垂直C．对角互补D．对角线相等第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AD、BC上一点，将四边形ABFE沿着EF折叠，点B恰好与点D重合，点A与点A'重合，∠A'DC的角平分线交EF于点O，若AE＝5，BF＝13，则OD＝_____．2、已知：在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是_____________．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，M是BC的中点，P是A′B′的中点，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是_____．4、矩形的性质定理1：矩形的四个角都是______．矩形的性质定理2：矩形的对角线______．5、将两个直角三角板如图放置，其中AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ECD ＝90°，∠D ＝60°．如果点A 是DE 的中点，CE 与AB 交于点F ，则∠BFC 的度数为 _____°．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在矩形ABCD 的CD 边上取一点E ，将BCE 沿BE 翻折，得到BFE △．(1)如图1，点F 恰好在AD 上，若75FEB ∠=︒，求出AB ：BC 的值．(2)如图2，E 从C 到D 的运动过程中．①若5AB =，8BC =，ABF ∠的角平分线交EF 的延长线于点M ，求M 到AD 的距离：②在①的条件下，E 从C 到D 的过程中，直接写出M 运动的路径长．2、如图，现将一张矩形ABCD 的纸片一角折叠，若能使点D 落在AB 边上F 处，折痕为CE ，恰好∠AEF =60°，延长EF 交CB 的延长线于点G ．(1)求证：△CEG 是等边三角形；(2)若矩形的一边AD =3，求另一边AB 的长．3、如图，在▱ABCD 中，AE 平分∠BAD 交CD 于点E ，DF 平分∠ADC 交AB 于点F ，AE 与DF 交于点O ，连接EF ，OC ．(1)请依题意补全图形．求证：四边形ADEF 是菱形；(2)若AD =4，AB =6，∠ADC =60°，求OC 的长．4、如图，长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE ，且G 点在长方形ABCD 内部，延长BG 交DC 于点F ．(1)求证：GE DE =；(2)若9DC =，DF 2CF =，求AD 的长；(3)若DC n DF =⋅，求22AD AB 的值． 5、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、DC 上的点，且AE CF =，90DEB ∠=︒，求证：四边形DEBF 是矩形-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A 、B 、D 错误，C 正确；即可得出结论．【详解】解：ABCD 中，AC BD =，∴四边形ABCD 是矩形，选项A 符合题意； ABCD 中，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B 不符合题意； ABCD 中，AB BC ⊥，∴四边形ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项C 不符合题意； ABCD 中，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形，选项D 不符合题意；【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法是解决问题的关键．2、A【解析】【分析】如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，先求出C 和A 的坐标，然后根据矩形的性质得到D 是AC 的中点，从而求出D 点坐标为（2，1），再由当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，进行求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，OB 交于点D ，∵C 是直线32y x =+与y 轴的交点，∴点C 的坐标为（0，2），∵OA =4，∴A 点坐标为（4，0），∵四边形OABC 是矩形，∴D 是AC 的中点，∴D 点坐标为（2，1），当直线32y x =+经过点D 时，可将矩形OABC 的面积平分，由题意得平移后的直线解析式为32y x m =+-，∴3221m ⨯+-=，∴7m =，【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．3、A【解析】【分析】由正方形1性质和勾股定理得2218a b +=，再由2210a b ab +=+，得1018ab +=，则8ab =，即可解决问题．【详解】解：设大正方形的边长为c ，大正方形的面积是18，218c ∴=，22218a b c ∴+==，2210a b ab +=+，1018ab ∴+=，8ab ∴=，∴小正方形的面积222()218282b a a b ab =-=+-=-⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出8ab =．4、C【解析】【分析】如图，记2l 与AD 的交点为,Q 记BC 与3l 的交点为,H 过B 作4BE l ⊥于,E 过D 作4DM l 于,M 再证明,ABO CDH ≌BCE CDM ≌△△，可得7,5,BE CMCE DM 再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，记2l 与AD 的交点为,Q 记BC 与3l 的交点为,H 过B 作4BE l ⊥于,E 过D 作4DM l 于,M正方形,ABCD,90,AB BC CD AD BADABC BCD ADC 90,90,ABO AOB CDH ADH 23,l l ∥ 则,AOB ADH ,ABO CDH,ABO CDH ≌135,h h （全等三角形的对应高相等） 237,BE h h 90,BCDBEC DMC 90,EBCBCE BCE DCM,EBC DCM ,BCE CDM ≌7,5,BE CM CE DM2225774.BC ∴=+=故选C【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明,ABO CDH ≌BCE CDM ≌△△是解本题的关键.5、C【解析】【分析】根据作法判定出四边形OACB 是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解．【详解】根据作图，AC BC OA ==，∵OA OB =，∴OA OB BC AC ===，∴四边形OACB 是菱形，∵2AB =，4OC =，∴12442OACB S =⨯⨯=菱形．故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．6、C【解析】【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．7、B【解析】【分析】根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．【详解】解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；④四条边都相等的四边形是菱形，正确；⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．故选：B ．【点睛】此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．8、B【解析】【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：22ED CF EF ==，结合图形得出CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，再由中位线的性质得出22BE OF ==，在Rt CED 中，利用勾股定理确定10ED =，即可得出结论．【详解】解：在正方形ABCD 中，BO DO =，BC CD =，90BCD ∠=︒，∵F 为DE 的中点，O 为BD 的中点，∴OF 为DBE 的中位线且CF 为Rt CDE 斜边上的中线，∴22ED CF EF ==，∴CEF 的周长为EF EC FC ED EC ++=+，∵1OF =，∴22BE OF ==，∵6CE =，∴268BC BE CE =+=+=，∴8CD BC ==，在Rt CED 中，90ECD ∠=︒，8CD =，6CE =，∴10ED ==，∴CEF 的周长为10616EF EC FC ED EC ++=+=+=，故选：B ．【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．9、C【解析】根据事件的概念：事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，①必然事件发生的概率为1，即P （必然事件）1=；②不可能事件发生的概率为0，即P （不可能事件）0=；③如果A 为不确定事件（随机事件），那么0P <（A ）1<，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①不可能事件发生的概率为0，说法正确；②随机事件发生的概率为0到1，故说法错误；③事件发生的概率与实验次数无关，故说法正确；④“画一个矩形，其对角线互相垂直”是随机事件，故说法错误．正确的说法有：①③．故选：C ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键．10、B【解析】略二、填空题1、【解析】【分析】连接BO ，BE ，根据折叠的性质求得BFE DFE ∠=∠,根据矩形的性质可得AD BC ∥，进而可得DEF BFE ∠=∠，DE DF =，证明Rt A DE '≌Rt CDF ，四边形EDFB 是平行四边形，Rt BDC 中勾股定理BD 即可求得OD 的长．如图，连接BO ，BE四边形ABCD 是矩形,,90AB CD BC AD A ∴==∠=︒,AD BC ∥将四边形ABFE 沿着EF 折叠，点B 恰好与点D 重合，点A 与点A '重合，5,,A E AE A D AB BF DF ''∴====13=,BFE DFE ∠=∠，OB OD =AD BC ∥DEF BFE ∴∠=∠DEF DFE ∴∠=∠DE DF ∴=13=在Rt A DE '中，12A D '==12DC AB A D '∴===在Rt A DE '与Rt CDF 中，A D CD ED FD ='⎧⎨=⎩∴Rt A DE '≌Rt CDFA DE CDF '∴∠=∠,5FC A E '== OD 是A DC '∠的角平分线A DO CDO '∴∠=∠EDO FDO ∴∠=∠又DE DF =OD EF ⊥∴,AD BC ∥ED BF ∴∥又ED DF BF ==ED BF ∴=∴四边形EDFB 是平行四边形OD OB ∴=在Rt BDC 中，12,13518DC BC ==+=BD ∴OD ∴=故答案为：【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，等边对等角，勾股定理，平行四边形的性质与判定，根据折叠的性质证明四边形EDFB 是平行四边形是解题的关键．2、菱形【解析】由已知条件得出GF 是△ADC 的中位线，GE 是△ABC 的中位线，EH 是△ABD 的中位线，由三角形中位线定理得出GF ∥EH ，GF =EH ，得出四边形EGFH 是平行四边形，再证出GE =EH ，即可得出四边形EHFG 是菱形．【详解】∵点E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，∴GF 是△ADC 的中位线，GE 是△ABC 的中位线，EH 是△ABD 的中位线，∴GF ∥AD ，GF =12AD ，GE =12BC ，EH ∥AD ，EH =12AD ，∴GF ∥EH ，GF =EH ，∴四边形EGFH 是平行四边形，又∵AD =BC ，∴GE =EH ，∴四边形EGFH 是菱形．故答案是：菱形【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定方法；解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，由三角形中位线定理得出线段之间的关系．3、3【解析】【分析】连结PC ，根据30°直角三角形性质得出AB =2BC =4，根据将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，得出A B ''=AB =4，根据M 为BC 中点，求出CM =112122BC =⨯=，根据直角三角形斜边中线性质得出CP =A B 114222，利用两点距离得出PM ≤PC +CM ，当点P 、C 、M 三点共线时PM 最大【详解】解：连结PC ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，∠BAC ＝30°，∴AB =2BC =4，∵将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A′B′C′，∴A B ''=AB =4，∵M 为BC 中点，∴CM =112122BC =⨯=， ∵点P 为A B ''的中点，△A B C ''是直角三角形，∴CP =A B 114222，根据两点间距离得出PM ≤PC +CM ，当点P 、C 、M 三点共线时PM 最大，PM 最大=PC +CM =2+1=3．故答案为：3．【点睛】本题考查30°直角三角形性质，三角形旋转性质，线段中点，直角三角形斜边中线性质，掌握30°直角三角形性质，三角形旋转性质，线段中点，直角三角形斜边中线性质，利用三角形三边关系是解题关键．4、直角相等【解析】略5、120【解析】【分析】DE，由∠D=60°，得到△ACD是等先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AC=AD=AE=12边三角形，那么∠ACD=60°，∠ACF=30°，再由三角形的外角性质可求出∠BFC的度数．【详解】解：∵∠DCE=90°，点A是DE的中点，DE，∴AC=AD=AE=12∵∠D=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ACF=∠DCE-∠ACD=30°，∵∠FAC=90°，∴∠BFC=∠FAC+∠ACF=90°+30°=120°故答案为：120【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角和定理等知识，求出∠ACF=30°是解题的关键．三、解答题1、 (1)12(2)①3，②80 13【解析】【分析】（1）①设DF=m，解直角三角形求出AB，AD（用m表示即可）；（2）①如图，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G．证明△BMH≌△BMF（AAS），推出BH=BF=8，可得结论．②如图3-2中，当点E与D重合时，求出MG的长，可得结论．(1)如图，设DF=m．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，由翻折的性质可知，∠BEF=∠BEC=75°，∠C=∠BFE=90°，EF=EC，∴∠FED=180°-75°-75°=30°，∴EF=EC=2DF=2m，DE，∴∠AEFD=60°，∠AFB=30°，AB=CD=2m，∵AF+3m，∴BC=AD+4m，∴12 ABBC==．(2)①如图，过点M作MK⊥AD于K，MH⊥BA交BA的延长线于H，交CD的延长线于G．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠BAD=∠ABD=∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=BC=8，∵MH⊥AB，MK⊥AD，∴∠H=∠HAK=∠AKM=90°，∴四边形AKMH是矩形，∴AH=MK，∵BM平分∠ABF，∴∠MBH=∠MBF，∵∠H=∠AFM=90°，BM=BM，∴△BMH≌△BMF（AAS），∴BH=BF，∵BF=BC=8，∴BH=BC=8，∴MK=AH=BH-AB=8-5=3，∴M到AD的距离为3．②如图，当点E与D重合时，∵△BMH≌△BMF，∴MH=MF，设MH=MF=m，∵四边形AHGD是矩形，∴AH=DG=3，GH=AD=8，∠G=90°，∵CD=DF=5，GM=GH-HM=8-m，在Rt△DGM中，则有（8-m）2+32=（5+m）2，解得m=24 13，∴GM=8-2413=8013，观察图象可知，当E从C到D的过程中，点M运动的路径是线段MG，∴点M的运动的路径的长为80 13．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，判断出BH =BF =BC 是解题的关键．2、 (1)见解析(2)【解析】【分析】（1）根据补角性质求出∠FED =180°-∠AEF =180°-60°=120°，根据折叠△EDC ≌△EFC ，得出∠DEC =∠FDC =6201DEF ∠=︒，∠DCE =∠FCE ，根据四边形ABCD 为矩形，∠D =90°，∠DCB =90°，再求∠GCE =∠DCB -∠DCE =90°-30°=60°即可；（2）先根据30°直角三角形性质得出EF =2AE ，利用折叠性质FE =ED ，得出ED =2AE ，根据AD =AE +ED =3AE =3，求出AE =1，ED =2AE =2，利用30°直角三角形性质和勾股定理即可求解．(1)解：∵∠AEF =60°，∴∠FED =180°-∠AEF =180°-60°=120°，∵折叠，△EDC ≌△EFC ，∴∠DEC =∠FEC =6201DEF ∠=︒，∠DCE =∠FCE ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D =90°，∠DCB =90°，∴∠DCE =90°-∠DEC =90°-60°=30°，∴∠FCE =∠DCE =30°，∴∠GCE =∠DCB -∠DCE =90°-30°=60°，∴∠GCE =∠GEC =60°，∴△ECG 为等边三角形；(2)解：∵∠AEF =60°，∠A =90°∴∠AFE =90°-∠AEF =30°，∴EF =2AE ，∵FE =ED ，∴ED =2AE ，∵AD =AE +ED =3AE =3，∴AE =1，ED =2AE =2，∵∠DCE =30°，∠D =90°，∴CE =2ED =2×2=4，∴CD ED 22224223，∴矩形的另一边长为AB =CD =【点睛】本题考查折叠性质，矩形性质，30°直角三角形性质，勾股定理，等边三角形判定，一元一次方程掌握折叠性质，矩形性质，30°直角三角形性质，勾股定理，等边三角形判定是解题关键．3、 (1)作图见解析，证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）以D 为圆心画弧交AD CD 、分别于点M N 、，以M N 、为圆心，大于12MN 为半径，画弧交点为Q ，连接DQ 并延长与AB 交点即为F ，连接EF OC 、即可补全图形；由DF 平分∠ADE ，AE 平分∠BAD 可知12EDF ADF ADE ∠=∠=∠，12FAE EAD FAD ∠=∠=∠，由四边形ABCD 是平行四边形，知AF DE ∥ ，EDF AFD ∠=∠，DEA FAE ∠=∠，可知ADF AFD ∠=∠，EAD DEA ∠=∠，可得AF AD AD DE ==，，AF DE ∥，进而可证四边形AFED 是菱形．（2）如图2，过点O 作OG ⊥CD 于G ，四边形ADEF 是菱形，∠ADF =∠EDF =30°，90AOD ∠=︒，在Rt AOD △中，12OA AD =，由勾股定理得OD = 在Rt DOG 中，12OG OD =，由勾股定理得DG CG CD DG =-，在Rt OCG △中，勾股定理求解OC 即可．(1)解：补全图形如图1所示，以D 为圆心画弧交AD CD 、分别于点M N 、，以M N 、为圆心，大于12MN 为半径，画弧交点为Q ，连接DQ 并延长与AB 交点即为F ，连接EF OC 、即可；证明：∵DF 平分∠ADE ，AE 平分∠BAD ∴12EDF ADF ADE ∠=∠=∠，12FAE EAD FAD ∠=∠=∠ ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AF DE ∥∴EDF AFD ∠=∠，DEA FAE ∠=∠，∴EDF ADF AFD ∠=∠=∠，FAE EAD DEA ∠=∠=∠∴AF AD AD DE ==，∵AF DE AF DE =∥，∴四边形AFED 是平行四边形∵AF AD DE ==∴四边形AFED 是菱形．(2)解：如图2，过点O 作OG ⊥CD 于G∴90OGD ∠=︒∵四边形ADEF 是菱形∴∠ADO =∠ODG =30°，90AOD ∠=︒∴在Rt AOD △中，122OA AD ==，由勾股定理知OD ，在Rt DOG 中，12OG OD ==3DG == ∴3CG CD DG =-=在Rt OCG △中，由勾股定理知OC ==∴OC =【点睛】本题考查了角平分线，菱形的判定与性质，含有30°的直角三角形，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活综合运用．4、 (1)见解析(2) (3)224AD AB n= 【解析】【分析】（1）由折叠得AE GE =，由中点得AE DE =，由此得到结论；（2）连接EF ，依据DF 2CF =，求出DF 、CF ，根据长方形的性质得到9AB DC ==，由△ABE ≌△GBE ，得到9BG AB ==，证明Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，得到6GF DF ==．由勾股定理求出BC 即可得到AD ；（3）设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，得到()1BF BG GF na a n a =+=+=+，由勾股定理求出2BC ，再求出2224AD BC na ==，即可得到答案．(1)证明∵GBE 是由ABE △折叠而成，∴△ABE ≌△GBE ，∴AE GE =，∵E 是AD 的中点，∴AE DE =，∴GE DE =；(2)解：连接EF ，∵DF 2CF =， ∴229633DF DC ==⨯=， ∴963CF DC DF =-=-=．∵四边形ABCD 是长方形，∴AD BC =，9AB DC ==，90A C D ∠=∠=∠=︒．∵△ABE ≌△GBE ，∴9BG AB ==，90A BGE FGE ∠=∠=∠=︒．在Rt EGF 和Rt EDF 中，∵GE DE =，EF EF =∴Rt △EGF ≌Rt △EDF (HL )，∴6GF DF ==．∴9615BF BG GF =+=+=，在Rt BCF 中，∵15BF =，3CF =，∴BC∴AD BC ==＝．(3)解：设DF a =，则AB DC n DF na ==⋅=，∴()1CF DC DF na a n a =-=-=-，又∵BG AB na ==，GF DF a ==，∴()1BF BG GF na a n a =+=+=+，在Rt BCF 中，∵()1BF n a =+，()1CF n a =-，∴ ()()22222222114BC BF CF n a n a na =-=+--=，∴ 2224AD BC na ==， ∴2222244AD na AB n a n ==．【点睛】此题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定及性质，勾股定理求线段长，解题的关键是掌握各知识点，考查分析问题能力及推理论证能力．5、证明见解析【解析】【分析】平行四边形ABCD ，可知AB CD AB CD =，；由于AE CF = ，可得BE DF =，BE DF ，知四边形DEBF 为平行四边形，由90DEB ∠=︒可知四边形DEBF 是矩形．【详解】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB CD AB CD =，∵AE CF BE AB AE DF DC CF ==-=-，，∴BE DF =∵BE DF BE DF =，∴四边形DEBF 为平行四边形又∵90DEB ∠=︒∴四边形DEBF 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等知识．解题的关键在于灵活掌握矩形的判定．。

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