容斥原理二
容斥原理二集合公式
容斥原理二集合公式一、基本概念容斥原理是一种计数方法，用于解决多个集合的元素个数之和的问题。
假设有n个集合A1,A2,...,An，定义函数f(S)表示满足条件S的元素个数。
那么容斥原理的二集合公式可以表示为：f(A1∪A2) = f(A1) + f(A2) - f(A1∩A2)二、应用场景容斥原理广泛应用于概率论、组合数学和计算几何等领域，特别适用于求解满足多个条件的元素个数问题。
1. 求解不同条件下元素个数的问题容斥原理可以用来求解满足多个条件的元素个数问题。
例如，假设有一个集合S，它包含了所有既是A的子集又是B的子集的元素。
那么可以通过容斥原理计算出S的元素个数。
2. 求解排斥条件下元素个数的问题容斥原理还可以用来求解排斥条件下元素个数的问题。
例如，假设有一个集合S，它包含了所有既不是A的子集又不是B的子集的元素。
那么可以通过容斥原理计算出S的元素个数。
三、示例分析下面通过一个具体的示例来说明容斥原理的应用。
假设有一个由1到100的整数构成的集合S，现在要求满足以下条件的元素个数：1. 能被2整除的元素个数；2. 能被3整除的元素个数；3. 能被5整除的元素个数。
根据容斥原理的二集合公式，我们可以得到：f(S) = f(A) + f(B) + f(C) - f(A∩B) - f(A∩C) - f(B∩C) + f(A∩B∩C)其中，A表示满足条件1的元素，B表示满足条件2的元素，C表示满足条件3的元素。
根据条件，我们可以计算出：f(A) = 100 / 2 = 50f(B) = 100 / 3 = 33f(C) = 100 / 5 = 20f(A∩B) = 100 / (2*3) = 16f(A∩C) = 100 / (2*5) = 10f(B∩C) = 100 / (3*5) = 6f(A∩B∩C) = 100 / (2*3*5) = 3将这些值代入容斥原理的公式中，就可以求解出满足条件的元素个数。
容斥原理(二)
才子教育小学奥数系列容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。
（人）答：只有两次达到优秀的有11人。
例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。
问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。
才子教育小学奥数系列方法一：（人）方法二：（人）答：共有10个小朋友去了冷饮店。
例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
（人）答：只参加跑和投掷两项的有3人。
例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。
老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解：根据已知条件画出图。
才子教育小学奥数系列三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学又参加英语的有x人，既参加语文又参加英语的有y人，可以列出这样的方程：整理后得：由于x、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2，另一个质数为7。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
二量容斥原理
二量容斥原理嘿，朋友们！今天咱来唠唠二量容斥原理。
你说这二量容斥原理啊，就像是一场奇妙的魔法！想象一下，有两个大圈子，一个圈子里是喜欢吃苹果的人，另一个圈子里是喜欢吃香蕉的人。
那这两个圈子重叠的部分呢，就是既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉的人呀！这是不是很有趣？咱平常生活里不也经常碰到这样的事儿嘛。
比如说，咱班同学，有的喜欢唱歌，有的喜欢跳舞。
那喜欢唱歌和喜欢跳舞这两个群体之间，肯定有一些同学是既喜欢唱歌又喜欢跳舞的呀！这就是二量容斥原理在起作用呢。
再比如，咱去商场买衣服，有些衣服是红色的，有些衣服是蓝色的。
那红色衣服和蓝色衣服这两个类别里，也会有那么几件衣服，它既是红色又是蓝色花纹的呢！这不就跟那两个大圈子一样嘛。
你可别小瞧了这二量容斥原理，它用处可大了去了！在解决好多问题的时候都能派上大用场。
比如说统计人数的时候，要是直接把两个群体的人数一加，那不就把重复的部分也算进去啦？这时候就得用二量容斥原理把重复的部分给去掉，才能得到准确的数字呀。
就像咱分糖果，一堆糖果里有巧克力味的，有水果味的。
要是光数巧克力味的和水果味的糖果数量，然后加起来，那要是有几个糖果既是巧克力味又是水果味的，不就重复计算了嘛！这时候就得用二量容斥原理来好好理一理啦。
二量容斥原理还能让我们更清楚地看到不同事物之间的关系呢！它就像一个神奇的小助手，帮我们理清那些看似杂乱无章的信息。
咱再想想，要是有三个圈子呢？那是不是更复杂啦？但其实道理还是一样的呀，只不过要多考虑一些重叠的部分罢了。
所以啊，朋友们，二量容斥原理可真不是什么高深莫测的东西，它就在我们身边，随时随地都能派上用场呢！只要我们用心去发现，去理解，就能掌握这个有趣又实用的小魔法啦！。
5.3 容斥原理(二)
五年级秋季拓展版
5.3 容斥原理 （二）
容斥原理一：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数
=A类元素个数＋B类元素个数－既是A类又是B类的元素个数。
A
B
C
A或B的个数=A＋B－C
准备题1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有 12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班 至少有一门得满分的同学有多少人？
128＋145＋136－75－56－82＋13 =209（个）
答：六年级一共有209个学生。
例2：某校六(1)班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队， 其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有 34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人， 排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人?
红色 白色 黑色 红、白色 红、黑色 白、黑色 红白黑三色
95 102 89
34
42
54
21
求活动现场的观众有多少？
喜欢3种颜色的人：95＋102＋89－34－42－54＋21 =177(人) 现场的观众：177＋35=212(人)
答：活动现场的观众有212人。
例5：在1到100的自然数中： （1）是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个？
数学得满分 15人
4人
语文得满分 12人
语数都得满分
15＋12－4=23(人)
答：这个班至少有一门得满分的同学有23人。
准备题2：有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘 米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪 断，绳子共被剪成多少段？
3厘米作记号 60段
4厘米作记号 45段
奥数训练专题——容斥原理2
容斥原理1、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？2、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？3、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．（6级）4、五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项．其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人．求这个班的学生人数．（6级）5、光明小学组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有55人，参加国际象棋比赛的有33人，同时参加了围棋和中国象棋比赛的有18人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有10人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的有9人，其中三种棋赛都参加的有5人，问参加棋类比赛的共有多少人？（6级）6、新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人？小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．8、六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项．其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人．问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？9、在某个风和日丽的日子，10个同学相约去野餐，每个人都带了吃的，其中6个人带了汉堡，6个人带了鸡腿，4个人带了芝士蛋糕，有3个人既带了汉堡又带了鸡腿，1个人既带了鸡腿又带了芝士蛋糕．2个人既带了汉堡又带了芝土蛋糕．问：三种都带了的有几人？只带了一种的有几个？9、盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：要可乐、雪碧、橙汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三样都要的只有1人，证明其中一定有1人这三种饮料都没有要．10、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么，数学成绩优秀的有几个学生？有几个人既会游泳，又会滑冰？11、在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3个；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子.如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？①有人摘了山莓；②有人同时摘了三种水果；③有人只摘了山莓；④有人摘了李子和草莓，而没有摘山莓；⑤有人只摘了草莓.12、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参最少，只有4人．那么，参加B 组的有多少人？13、五一班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个．其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？14、某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？图形中的重叠问题1、 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2、把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？3、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？4、 如图，一张长8厘米，宽6厘米，另一个正方形边长为6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长为4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．5、一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积．图32厘米4厘米图36、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？7、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？8、如图所示，A 、B 、C 分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A 与B 、B 与C 的公共部分的面积分别为8、7，A 、B 、C 这三张纸片的公共部分为3．求A 与C 公共部分的面积是多少？容斥原理在数论问题中的应用1、 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？2、 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？3、 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4、 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?5、求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．CB A105、以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？7、分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.8、在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有个．9、在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？10、50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?11、有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3， (2000)然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？12、写有1到100编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？13、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?14、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段．15、一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段．16、一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米画一个刻度，涂完后再从左端开始每隔3厘米画一个刻度，再从左端每隔5厘米画一个刻度，再从左端每隔7厘米画一个刻度，涂过按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？容斥原理中的最值问题1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？2、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?3、某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？4、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．5、60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？6、图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33，44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?7、甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个?8、在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？9、甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆?。
容斥原理
容斥原理（二）效能训练：姓名：1、13．65扩大（）倍是1365；6.8缩小（）倍是0.0682、把7.4343434343……用简便方法写出来是（），保留两位小数是（）。
3、把7.1687保留整数约是（），精确到千分位约是（）.4、4.09×0.05的积有（）小数，5.2×4.76的积有（）位小数。
5、根据13×28=364，很快地写出下面各式的积。
1.3×2.8= 0.13×0.28= 13×2.8=0.013×28= 0.13×2.8= 1.3×0.028=6、在（）里填上>、<或=163×0.8（）16336×2.8（）367、判断题（正确的打√，错误的打×）①、0.03与0.04的积是0.12。
（）②、一个数的1.65倍一定大于这个数。
（）③、53.78保留一位小数是53.8。
（）④、一个数乘小数，积一定小于这个数。
（）8、选择（把正确答案的序号填入括号里）①、一个小数的小数点右移动2位，再向左移动3位，这个小数（）。
A、扩大了10倍B、缩小10倍C、扩大100倍D、缩小1000倍②、下面各式得数小于0.85的是（）。
A、0.85×1.01B、0.85×0.99C、 0.85×19、直接写出得数。
0.6×0.83×0.9 2.5×0.4 3.6×0.412.5×8 50×0.04 80×0.3 1.1×910、脱式计算（能简算的要用简算）12.5×0.4×2.5×89.5×101 4.2×7.8+2.2×4.211、列式计算：1、 25乘4.8减5，差是多少？2、比4.7的1.5倍多3.05的数是多少？典型例题1、在参加数学竞赛的46人中，做第一题的有32人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？开心一练：全班46名同学，仅会乒乓球的有28人，即会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？典型例题2、一个单位有70个职工，其中有的职工会打网球，有的会打乒乓球，有的两样都会，现在知道会打网球的48人，会打网球又会打乒乓球的有24人，问会打乒乓球的有多少人？典型例题3、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？（1）两道题全对的有人。
小升初培优之计数原理之容斥原理 (2)
【例5】(★★★) 甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆，乙浇了 68盆，丙浇了58盆，那么3个人都浇过的盆数最少是多少 盆？
【例6】(★★★☆) 唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与 孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与 沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡 过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同 时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难。请问：师徒四人 共同渡过的有多少难？
【例2】(★★) 某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日 语，3人既会英语又会俄语，2人既会俄语又会日语，2 人既会英语又会日语，1人三种语言全会。只会1种外语 的人比1种外语也不会的人多______人。
【例3】(★★★) 1~1000之中，有多少个自然数不是2的倍数也不是3的倍 数也不是5的倍数？
容斥公式1：大饼＝A＋B－AB 容斥公式2：大饼＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
A
B
消重 不漏不重
A C
人至少有一个兴趣。其中，有12人 喜欢音乐，有21人喜欢折纸，其中有8人两种兴趣都喜 欢．请问： ⑴ 只喜欢音乐的有____人。 ⑵ 只喜欢折纸的有____人。 ⑶ 一共有___人。
2
【拓展】(★★☆) 一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度， 每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，如果按 刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？
【例4】(★★★☆) 模块二：典型的拉灯问题. 2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编 号为1、2、 2006.将编号为2的倍数的灯各拉一下，再将 编号为3的倍数的灯各拉一下，最后将编号为5的倍数的 灯各拉一下，最后亮着的灯有______盏。
容斥原理（2）
容斥原理例1一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。
(1)订阅报纸的总人数是多少？(2)两种报纸都没订阅的有多少人？例2有62名学生，其中会弹钢琴的有1 1人，会吹竖笛的有56人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3艺术节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有23幅不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？例4五(1)班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：例5某班有60名同学参加乒乓球、羽毛球和足球三个兴趣小组，参加乒乓球兴趣小组的有32人，参加羽毛球兴趣小组的有22人，参加足球兴趣小组的有28人，有20人既参加乒乓球兴趣小组又参加羽毛球兴趣小组，有18人既参加乒乓球兴趣小组又参加足球兴趣小组，有16人既参加羽毛球兴趣小组又参加足球兴趣小组。
已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个，那么，三个兴趣小组都参加的学生有多少人？例6某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一种。
结果学习英语的有20人，学习日语的有12人，学习德语的有18人，其中有5人既学了英语又学了日语，有2人既学了日语又学了德语，没有人同时学习三种语言。
那么，既学英语又学德语的有多少人？例7松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。
有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛，其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。
求：(1)只参加数学竞赛的有多少人？(2)只参加作文竞赛的有多少人？(3)只参加美术竞赛的有多少人？练习与思考：1．四(2)班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人。
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课题：分数的加减法姓名：班级：课题：姓名：一|、填空题1、是（）的倍数的数叫偶数；不是（）的倍数的数叫奇数。
2、（）既不是质数也不是合数，（）是偶数但不是合数。
3、最小的质数是（），最小的合数是（）奇数中最小的合数是（）4、自然数a(a＞0)的最大因数是（），最小倍数是（）。
5、同时是2和3的倍数的数中，最小的是（）。
两位数中最大的是（）6、360的约数有（）个，她的约数的和是（）。
7、一个长方体的棱长总和是48厘米，长、宽、高的和是（）厘米，若一个正方体和这个长方体的棱长总和相等，那么这两个数是（）8、两个数的最大公因数是1，那么这两个数是（）9、三个连续自然数的和是39，这三个自然数分别是（），（）和（）。
10、A=2×3×5，B=3×3×5，A、B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。
11、A÷B=4，那么A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）12、N表示自然数，2N表示（）数，2N+1表示（）数。
13、一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，将个位数字与十位数字调换，得到新的两位数，这两个两位数的和是132，求这个两位数是（）14、123×456456-456×123123=（）15、两个邮递员同时从相距4000米的两地相向而行，已知骑摩托车的每分钟行800米，骑自行车的每分钟比骑摩托车的少行600米，（）分钟后两人在途中相遇。
二、选择题1、一个合数至少有（）个因数A．1 B. 2 C. 3 D. 42、A和B的最大公因数是1，最小公倍数是（）A. A、BB. A+BC. AD. B3、三个连续自然数的和一定是（）A.3的倍数B.偶数C.奇数D.既是偶数也是奇数4、140分解质因数是（）A. 2×2×5×7=140B. 2×3×5×7=140C. 140=4×5×7D.-140=2×2×5×75、已知A=2×2×3×3×5，那么A的约数有（）个A.3B.4C.18D.无法确定6、在自然数1——100中，不能被7或13整除的数有（）个。
A.218B.772C.782D.7927、自然数A除以自然数B，商是5，A和B的最大公因数是（）。
A. AB. BC. 5D. A、B8、1÷7的商中，小数点后87位数字的和是（）。
A.378B.387C.385D.3589、河水的速度是每小时3千米，船逆水航行12小时，共行300千米，这条船在静水中每小时行（）。
A.27千米B.28千米C.28.5千米D.29千米10、从东泰小学中选出205名11岁的学生，那么他们之中至少有（）人是同一月出生。
A.16B.17C.18D.19三、判断题1、一个大于0的自然数，不是质数就是合数。
（）2、两个不相同的奇数之和一定是合数。
（）3、A的三次方等于3×A。
（）4、把一个正方体切成两个相同的长方体后，体积不变，表面积也不变。
（）5、平行四边形是轴对称图形。
（）四、计算题（简算）①999×222+333×334 ②9999×7+1111×37③48×1.08+1.2×56.8 ④1992×20052005-2005×19921992⑤19.98×37-199.8×1.9+1998×0.82⑥0.888×125×73+999×3五、应用题1、某列车通过360米长的第一个隧道用去24秒，接着通过216米长的第二个隧道用去16秒。
这个列车的车长是多少米？2、13、将一个棱长20厘米的正方体从一个顶点切去一个棱长4厘米的小正方体后，这个立体图形的表面积是多少？3、有三根铁丝，长度分别是120厘米，180厘米和300厘米，现在要把它们截成相等的小段，每一根都不能有剩余，每小段最长为多少厘米？一共有多少段？4、有一堆苹果，3个3个的数余2个，4个4个的数余3个，5个5个的数余4个，这堆苹果最少有多少个？5、两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是48，这两个自然数是多少？6、有一个长方体，如右图，（单位：厘米）现将它“切成”完全一样的三个长方体。
（3分）（1）共有（）种切法。
（2）怎样切，使切成三块后的长方体的表面积的和比原来长方体的表面积增加得最多，算一算表面积最多增加了多少？六、附加题1、2、暑假期间，小明和小华都报名到夏日游泳馆学游泳，7月10日两人第一次到游泳馆学习，以后小明每3天去一次，小华每4天去1次。
（1）小明从7月10号到8月15日共去了多少次？（2）小华从7月10日到8月15日共去了多少次？（3）他们两个同时在游泳馆学习游泳的日期分别是多少(4)若游泳馆按学习次数收费，收费标准如下：每人每次：5元5次卡每张：22元小华怎样付费合适？小明怎样付费较合适？小升初必考题行程问题综合一. 直线上的相遇与追及例题1. 甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。
问：东西两地间的距离是多少千米？（某重点中学2007年小升初考题）1、一列快车和一列慢车，同时从甲、乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续行驶3小时后到达乙站。
已知慢车每小时行45千米，甲、乙两站相距多少千米？2、甲、乙二人分别以每小时3千米和5千米的速度从A、B两地相向而行．相遇后二人继续往前走，如果甲从相遇点到达B地共行4小时，那么A、B两地相距多少千米？3．兄弟两人同时从家里出发到学校，路程是1400米。
哥哥骑自行车每分钟行200米，弟弟步行每分钟行80米，在行进中弟弟与刚到学校就立即返回来的哥哥相遇。
从出发到相遇，弟弟走了多少米？相遇处距学校有多少米？4．A、B两地相距38千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，甲每小时行8千米，乙每小时行11千米，甲到达B地后立即返回A地，乙到达A地后立即返回B地，几小时后两人在途中相遇？相遇时距A地多远？5．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过5小时相遇，相遇后各自继续前进，又经过3小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有120千米。
甲、乙两车的速度各是多少？例题2. 两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。
如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？（某重点中学2006年小升初考题）二. 火车过人、过桥与错车问题例题3. 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。
已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。
求列车与货车从相遇到离开所用的时间。
（某重点中学2005年五年级上学期期末考试试题）例题4. 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。
一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？（某重点中学2008年小升初考题）1、小明坐在行驶的列车上，从窗外看到迎面开来的货车经过用了6秒，已知货车长168米；后来又从窗外看到列车通过一座180米长的桥用了12秒。
货车每小时行多少千米。
2、一支部队排成1200米长的队伍行军，在队尾的通讯员要与最前面的营长联系，他用6分钟时间跑步追上了营长，为了回到队尾，在追上营长的地方等待了24分钟。
如果他从最前头跑步回到队尾，那么只需要几分钟。
3、解放军某部出动80辆汽车参加工地劳动，在途中要经过一个长120米的隧道。
如果每辆汽车的长为10米，相邻两辆汽车相隔20米，那么，车队以每分钟500米的速度通过隧道，需要多少分钟？4.快、慢两列火车相向而行，快车的车长是50米，慢车的车长是80米，快车的速度是慢车的2倍，如果坐在慢车的人见快车驶过窗口的时间是5秒，那么，坐在快车的人见慢车驶过窗口的时间是多少？三. 多个对象间的行程问题例题5. 有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。
现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。
那么，东、西两村之间的距离是多少米？1、甲、乙两人从A地到B地，丙从B地到A地。
他们同时出发，甲骑车每小时行8千米，丙骑车每小时行10千米，甲丙两人经过5小时相遇，再过1小时，乙、丙两人相遇。
求乙的速度。
2、甲、乙、丙三人行走的速度依次分别为每分钟30米、40米、50米。
甲、乙在A地，丙在B地，同时相向而行，丙遇乙后10分钟和甲相遇。
求A、B两地相距多少米？3．甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。
甲从A地，乙和丙从B出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B 两地的距离。
四. 环形问题与时钟问题例题6. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？1．体育场的环形跑道长400米，小刚和小华在跑道的同一起跑线上，同时向相反方向起跑，小刚每分钟跑152米，小华每分钟跑148米。
几分钟后他们第3次相遇？2．甲乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。
如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度？例题7. 有一座时钟现在显示10时整。
那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？1．四点到五点之间，时钟的时针与分针在什么时刻成直角？2．爷爷在晚上7点多出去散步，出去的时候时针与分针正好在一条直线上，回来的时候时针与分针恰好重合，问爷爷出去散步了多长时间？3．一只钟表的时针与分针均指在4和6之间，且钟面上的"5"恰好在时针与分针的正中央，问这是什么时刻？4．小亮晚上9点整将手表对准，他在早晨8点到校时，却迟到了10分钟，那么小明的手表每小时慢几分钟？五. 流水行船问题1、船在河中航行时，顺水速度是每小时12千米，逆水速度是每小时6千米。
船速每小时多少千米，水速每小时多少千米？2、一只轮船在静水中的速度是每小时21千米，船从甲城开出逆水航行了8小时，到达相距144千米的乙城。
这只轮船从乙城返回甲城需多少小时？4、一只船在静水中每小时航行20千米，在水流速度为每小时4千米的江中，往返甲、乙两码头共用了12.5小时，求甲、乙两码头间距离。