容斥原理
容斥原理集合公式card
容斥原理集合公式card摘要：I.引言- 容斥原理简介- 集合公式card 的背景II.容斥原理的基本概念- 集合的表示- 集合的运算- 容斥原理的基本公式III.集合公式card 的推导- 集合公式card 的定义- 集合公式card 的性质- 集合公式card 的推导过程IV.容斥原理集合公式card 的应用- 集合的交、并、补运算- 容斥原理在实际问题中的应用V.结论- 容斥原理集合公式card 的重要性- 未来研究方向正文：I.引言容斥原理，作为集合论中的一个重要理论，为我们研究集合之间的关系提供了有力的工具。
在数学、物理、计算机科学等多个领域中都有着广泛的应用。
而集合公式card，作为容斥原理中的一个重要概念，对于理解容斥原理有着至关重要的作用。
本文将主要介绍容斥原理以及集合公式card 的相关知识。
II.容斥原理的基本概念首先，我们需要了解一些集合论的基本概念。
集合论是数学的一个分支，主要研究集合的性质及其运算。
一个集合可以表示为元素之间的集合关系，例如{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3 的集合。
集合之间可以进行一些基本的运算，如并集、交集和补集等。
例如，A∪B 表示集合A 和集合B 的并集，包含A 和B 中的所有元素；A∩B 表示集合A 和集合B 的交集，包含既属于A 又属于B 的所有元素；A"表示集合A 的补集，包含所有不属于A 的元素。
容斥原理是描述集合之间这些运算性质的一个理论。
它告诉我们，在进行集合运算时，可以通过引入一些虚拟元素来简化计算。
例如，在计算A∪B 时，我们可以引入一个虚拟元素“空集”，表示不包含任何元素的集合。
然后，我们可以将A 和B 分别与空集进行并集运算，从而简化计算过程。
III.集合公式card 的推导集合公式card 是容斥原理中的一个重要概念，它表示集合的基数，即集合中元素的个数。
我们可以通过以下方式推导集合公式card：首先，我们考虑一个包含n 个元素的集合。
容斥原理的应用举例
容斥原理的应用举例什么是容斥原理容斥原理是概率论、组合数学中常用的一种计数方法，它用于求解多个事件的并或交的概率或数量。
容斥原理是以集合论为基础的一种推理思想，通过排除重复计数，从而得到准确的计数结果。
容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| 表示事件 A1、A2、…、An 的并的概率或数量，|A1| 表示事件 A1 的概率或数量，|A1 ∩ A2| 表示事件 A1 和 A2 的交的概率或数量，以此类推。
容斥原理的应用举例容斥原理在组合数学和概率论中有广泛的应用，下面举几个例子来说明容斥原理的具体应用。
例子1：求解有限集合的元素个数假设有三个集合 A、B、C，它们分别有 |A|、|B|、|C| 个元素，求这三个集合的并集的元素个数。
根据容斥原理的公式，有：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |D|其中，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交的元素个数，以此类推。
例子2：求解排列组合中不满足条件的情况假设有两个集合 A 和 B，它们分别有 |A|、|B| 个元素，要求从 A 和 B 中选择指定数量的元素排列组合，但要满足某个特定的条件，那么可以使用容斥原理来计算不满足条件的情况。
Count = |A| * |B| - |A ∩ B|其中，|A ∩ B| 表示满足条件的情况。
例子3：求解事件的概率假设有三个事件 A、B、C，它们分别发生的概率分别为 P(A)、P(B)、P(C)，求这三个事件的并的概率。
容斥原理
容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C详细推理如下：1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。
2严格证明对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明：证明：当时，等式成立()。
假设时结论成立，则当时，所以当时，结论仍成立。
因此对任意，均可使所证等式成立。
3原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
容斥原理和包含排斥原理
容斥原理和包含排斥原理容斥原理和包含排斥原理是概率论中常用的两个方法。
它们可以用来计算概率，计算组合数，以及解决其他一些概率统计上的问题。
容斥原理是指，如果我们要计算两个集合的并集，可以先计算它们的交集，再分别计算它们的差集，最后把差集相加即可。
具体来说，设 A 和 B 是两个集合，则它们的并集可以表示为：A ∪B = A + B - A ∩ B这里的 A ∩ B 表示 A 和 B 的交集，即 A 和 B 中都有的元素。
上式的含义是，我们把 A 和 B 的元素都加起来，但是要把 A 和 B 的交集中的元素从其中减去，避免重复计数。
A ∪B ∪C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C包含排斥原理是容斥原理的一种扩展形式。
它可以解决更复杂的问题，如计算三个以及更多集合的交集大小。
它的基本形式是：|A ∩ B ∩ C ∩ D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|这个式子的含义是，我们把 A、B、C 和 D 的元素都加起来，但是要把 A 和 B、A和 C、A 和 D、B 和 C、B 和 D、C 和 D、A、B、C 和 D 的交集从中减去，避免重复计数，然后再加上 A 和 B、A 和 C、A 和 D、B 和 C、B 和 D、C 和 D、A、B、C 和 D 的交集，避免漏掉某些元素，最后再减去 A、B、C 和 D 的交集，避免重复计数。
总之，容斥原理和包含排斥原理都是非常有用的工具，能够帮助我们解决各种概率统计上的问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择使用哪种方法，以获得更精确的结果。
容斥原理
3.3 容斥原理的应用
例3：从100到999共900个三位数中，相邻 数字不相等的三位数共有多少个？
例5 在数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的全排列中，求： (1)偶数都在原来自己的位置上，而奇数都不在原 来位置上的错排数目； (2)奇数都在原来自己的位置上，而偶数都不在原 来位置上的错排数目； (3)求所有奇数都不在原位置的错排数； (4)求所有偶数都不在原位置的错排数； 例6 求8个字母a,b,c,d,e,f,g,h的全部排列中，只有 四个元素不在原来位置上的排列种数（原来位置指 字母的自然顺序）。
• 例2：某班有25名学生，其中有16人学英语，12 人学日语，6人兼学日语和英语，5人兼学英语和 德语，有2人兼学这3门外语，学德语的8人均兼 学英语或日语。问该班不学这三门外语的有多少 人？
• 例3：1与1000之间不能被5，6，8整除的整 数有多少个？
• 例4：求由a,b,c,d四个字符构成的n位符号串 中，a,b,c,d至少出现一次的符号串的数目。
带有禁止模式的排列问题
重复数有限的集合的组合数
例11. 求长为5的二进制数的个数,要求其中每 个1都与另一个1相邻. 例12. 在所有的n位数中,含有3,8,9,但是不包含 0,4的数有多少个? 例13. 求能被5或7整除,但不能被3整除的三位 数的个数.
例14. 满足下列条件的正整数的全体用集合S 表示:”各位数字不同,且任意两位数字的和不 为9.”这里,S的元素用十进制表示,且S含1位 整数.
第三章
容斥原理
3.1 引论
在这一章，将得出并应用一个重要的计数公式，叫做容斥原 理。回忆加法原理在集合间不相重迭的情况下，即在这些集合确 定一个划分的情况下，给出了这些集合的并的成员的简单计数公 式。容斥原理则将给出最一般情形下的一个公式，此时集合间可 以重迭而没有限制，这个公式应该更复杂，但是应用也将更广泛。 容斥原理又叫逐步淘汰原理，是组合分析中十分常用、十分 重要的计数原理，甚至在概率论和数论等领域也经常应用这个原 理。容斥原理的基本思考方法是将难的问题分解成若干简单的问 题，通过对这些简单问题的结果代数求和来得到这个难的问题的 解，也就是通过间接计数来解决直接计数不容易解决的问题。
容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
容斥原理知识点
容斥原理知识点
容斥原理是一种计数方法，主要用于解决重叠问题。
其基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
例如，有3个集合A、B和C，它们的并集是{1,2,3,4,5}，而集合A是{1,2,3}、集合B是{3,4}、集合C是{4,5}。
虽然数字3在两个集合中出现，但在求并集时只计算一次；数字4在集合B和集合C中出现，但在求并集时也只计算一次。
这样，求出的并集既无遗漏又无重复。
以上内容仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学老师获取更准确的信息。
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显然有25+22+24-12-9-8+x=45 由Casio定理解得x=3
这里我们用到了容斥原理
容斥原理：
描述成文字就是： n个集合的并集的大小=总和-两两之交+三三
之交-四四之交……
稍微贴一下度受百科上的证明
稍微贴一下度受百科上的证明
这证明太吓人了
容易发表一些感慨的限制，并且限制数非常 少(<=20) 4.反正到最后就是求并集的大小时利用交集 的大小来代替
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容斥原理
吉大附中 PoPoQQQ
首先来道小学奥数题
某校六(1)班假期有45名同学参加了体育训练
队，其中参加足球队的有25人，参加排球队 的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排 球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9 人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都 参加的有多少人？
小学奥数？你在逗我！
BZOJ 1042 硬币购物
最终方案数=不考虑限制的方案数-一种硬币
超出限制的方案数+两种硬币超出限制的方案 数-三种硬币超出限制的方案数+四种硬币超 出限制的方案数 如果某种硬币的限制为a[i]，且超出了限制， 那么这种硬币至少选择了a[i]+1个 方案数即为f[n-(a[i]+1)*w[i]] 多个硬币超出限制同理
对于每个i 枚举的次数是O(n/i)
O(1/1+1/2+...+1/n)=O(logn)
时间复杂度均摊O(nlogn)
BZOJ 1042 硬币购物
给定4种硬币的面值，多次询问当这四种硬币
有一定数量限制时达到某一价值的方案数 每次跑一遍多重背包一定TLE 考虑容斥原理 首先不考虑限制 跑一遍完全背包 令f[i]为不考虑限制时达到i价值的方案数 然后我们容斥原理
然后就枚举计算即可
链剖时间复杂度O(nlog^2n*2^k)
线段树维护DFS序时间复杂度O(nlogn*2^k)
挺吓人的但是不会TLE 放心写吧 这题啥时候变土豪了0.0 我写的时候还没呢
适用范围
1.计数/求和问题
2.支持区间加法和区间减法 3.本来这题是能做的，但是加了一些令人很
BZOJ 3589 动态树
其实这题和动态树毛关系没有……
给定一棵以1为根的有根树，每个节点有点权，
提供两种操作： 1.以某个节点为根的子树所有节点权值+x 2.求一些链的并集的点权和，其中这些链都 是由某个节点出发指向链的根
BZOJ 3589 动态树
子树修改链上求和，显然树链剖分
其实仔细看看还是能看懂的
治好了我多年的公式恐惧症
理论基础铺垫完毕
下面进入例题阶段
BZOJ 2005 NOI2010 能量采集
给定n和m，求
考虑当n=m的情况 枚举最大公因数p，那么以p为最大公因数的
点对的数量等于n/p以内互质的点对的数量 而n/p以内互质的点对数=φ(n/p)的前缀和*2-1 利用线性筛得到所有数的欧拉函数，这个问题 就可以线性出解 但是n和m的限制不同，这个方法失效了！
考虑容斥原理
沿用之前的解法，仍旧枚举最大公因数i
令f[i]为以i为最大公因数的点对数 这个不是很好求
令g[i]为以i为公因数的点对数
那么显然有g[i]=(n/i)*(m/i)
然而这其中有些数的最大公因数为2i,3i,4i,...
我们要把它们减掉
考虑容斥原理
故有
有人可能会有疑问：这不是O(n^2)的么 不然
如果不会链剖可以写线段树维护DFS序 看到并集妥妥容斥原理
ห้องสมุดไป่ตู้
O(2^k)枚举，利用状压确定符号和方案
两条链的交集求法如下：
令链顶为一条链中深度最小的节点，链底为
深度最大的
BZOJ 3589 动态树
那么交集的链底为两条链链底的LCA
交集的链顶为两条链链顶中深度较大者 若交集的链顶深度大于链底则交集为空