行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题
行测技巧：行测备考之容斥问题
行测备考之容斥问题上海市考即将来临，面对行测试卷中的数量关系，很多考生觉得自己数学基础较弱选择全部放弃。
但是数量关系的题量、分值真实存在，大家要克服心理障碍，接受数量关系，由浅及深，不断突破。
在数量关系中有一些较简单易得分的知识点包括容斥、鸡兔同笼、整除、利润等。
今天我们先来学习容斥问题，所谓容斥，从字面意思上理解，就是包容与排斥，容斥问题的本质是研究集合与集合之间的关系。
一、方法1.文氏图法：利用有着重叠区域的圆圈来表示不同的集合，每个区域代表不同的概念。
2.公式法：常见题型有可以直接代入的公式，公式法直观且节省时间，只需明确核心为“保留为一层”。
二、题型（一）两者容斥公式：I=A+B-A∩B+Y例题：40人参加期末考试，某科目只有理论和实验均及格方为通过。
在理论考试中有34人及格，实验有32人及格，两次考试中，都没有及格的有4人。
通过该考试的有多少人？A.30人B.32人C.34人D.36人中公解析：设既没通过理论考试又没通过实验的人数为x，根据两者容斥公式得：34+32-x+4=40，解的x=30，因此选择A。
（二）三者容斥公式1：I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x公式2：I=A+B+C-两者交集-2×三者交集+x例题1：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这三个项目都参加。
三个项目都没有参加的有多少名？A.1人B.2人C.3人D.0人中公解析1：利用公式I=A∪B∪C+x=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+x，本题要求的是x，把数据代入公式18=8+10+12-4-6-5+2+x，解得x=1，因此选择A。
例题2：对某儿童服装生产厂的52件儿童衣物进行质量抽检，其中有8件衣物纤维含量不合格，10件衣物的PH值不达标，9件衣物不符合绳带安全要求，两项都不合格的有7件，有1件产品这三项都不合格。
2019国家公务员考试行测数量关系中的三者容斥
2019国家公务员考试行测数量关系中的三者容斥容斥问题是行测数量关系题型中的高频考点，在考试中经常出现。
对于三者容斥问题，看似简单，同学们在做题时却经常犯错误，究其原因，是对于三者容斥类题型的解题方法没有深入理解，只是一味的记公式，导致遇到一些变形题时容易解错。
下面专家就考试中经常出现的三者容斥问题进行详细的讲解。
三者容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C解决三者容斥问题，需要把握住此核心公式，但是，只是一味的记住核心公式是不够的，要应对一些变形题目，还需从解题原则入手，才能灵活掌握三者容斥问题的解题方法。
重复区域变一层容斥是一种计数问题，计数时要做到不重不漏，需要将图形中的重复区域变为一层。
【例1.】实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?【答案】22人【中公解析】根据前面所述公式：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人，故喜欢篮球和排球的人有22人。
【例2】某公司组织运动会，据统计，参加百米跑项目的有86人，参加跳高项目的有65人，参加拔河项目的有104人。
其中，至少参加两种项目的人数有73人，三项都参加的有32人。
则该公司参赛的运动员有( )人。
A.89B.121C.150D.185【答案】C【中公解析】设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C，根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137，A∩B∩C=32，则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。
公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题
2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题华图教育三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。
近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。
根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：=A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。
因此，本题答案为A 选项。
二、三集合容斥原理作图型若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。
【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 Cx B A名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（）A.5名B.6名C.7名D.4名【答案】B【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。
于是有仰12 2 2 34 3蛙自由只参加1个项目的人数为1+2+3=6。
因此，本题答案为B选项。
行测数学运算16种题型之容斥原理问题
行测数学运算16种题型之容斥原理问题核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人 B．28人 C．30人 D．36人【解析】设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22【例2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A.22B.18C.28D.26【解析】设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22所以，答案为A。
【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.69【解析】设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57所以，答案为A。
行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题
中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?中公教育解析：由题意可画图如下：则有上述公式可知：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
2018贵州公务员考试行测数量关系中的三者容斥
2018贵州公务员考试行测数量关系中的三者容斥容斥问题是行测数量关系题型中的高频考点，在考试中经常出现。
对于三者容斥问题，看似简单，同学们在做题时却经常犯错误，究其原因，是对于三者容斥类题型的解题方法没有深入理解，只是一味的记公式，导致遇到一些变形题时容易解错。
下面中公教育专家就考试中经常出现的三者容斥问题进行详细的讲解。
一、三者容斥问题基本公式三者容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C解决三者容斥问题，需要把握住此核心公式，但是，只是一味的记住核心公式是不够的，要应对一些变形题目，还需从解题原则入手，才能灵活掌握三者容斥问题的解题方法。
二、解题原则重复区域变一层容斥是一种计数问题，计数时要做到不重不漏，需要将图形中的重复区域变为一层。
三、例题应用【例1.】实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?【答案】22人【中公解析】根据前面所述公式：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人，故喜欢篮球和排球的人有22人。
【例2】某公司组织运动会，据统计，参加百米跑项目的有86人，参加跳高项目的有65人，参加拔河项目的有104人。
其中，至少参加两种项目的人数有73人，三项都参加的有32人。
则该公司参赛的运动员有( )人。
A.89B.121C.150D.185【答案】C【中公解析】设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C，根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137，A∩B∩C=32，则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。
行测数量关系备考：容斥问题
行测数量关系备考：容斥问题行测数量关系备考：容斥问题容斥问题一直是行测数量关系考试当中的“常客”，而如此“文艺”的名字之下，本质研究的其实就只是集合间关系的一类问题。
那么集合间的关系都有哪些呢?一般来说，我们把容斥问题分成三大类研究，分别是二者容斥、三者容斥和容斥极值，其中以三者容斥问题最为常考，也是相对来说最难理解的一类问题。
今天就为大家解释什么是三者容斥?它又难在哪里?【例2】某研究中心就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进展市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人?A.1B.3C.5D.7通过以上两道题目，我们不难发现，容斥问题本身难度并不是很大，只要找到题目中数据描绘的特点，对应正确的公式，还是很容易解决的。
比例统一的方法如下：1.找不同比例当中都出现的不变量(某个量、总量、差量等)2.将不变量的份数统一为最小公倍数3.其他量保持比例不变同倍数变化理解完以上相关的方法，我们就详细来看题目感受一下。
【例1】A：B=2：3，B：C=2：3，C比A多10，那么A+B+C=?A.35B.36C.37D.38【解析】答案：D。
根据题干信息可知，给出了一个实际量C比A多10，那么我们就需要找到实际量10所对应的比例份数进展相关的解题，同时我们可以发现题干给出了两个比例，两个比例都出现了B这个不变量，在和A做比的时候是3份，在和C做比的时候是2份，但是B所代表的实际量是一样的，所以把B分成不同的份数每一份所代表的实际量就不一样。
那么我们将B的份数变成一样即可，所以将B统一为最小公倍数6，那么其他量保持比例不变同倍数变化。
得到A:B:C=4:6:9，可以发现C比A多了5份，这5份正是对应的10，题目求A+B+C，通过比例可以知道共有19份，所以答案为38，选D。
【例2】林先生的水果摊销售苹果、芒果、香蕉三种水果，第一天苹果、芒果、香蕉三种水果的收入之比为8:7:5，第二天的收入之比7:9:14.假设第二天苹果的销售收入减少了100元，但这三种水果的总收入不变，问第二天香蕉的收入为多少元?A.180B.200C.280D.360【解析】答案：C。
衢江区事业单位考试行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题
衢江区事业单位考试行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题有学员一提到言语就头大，所以现在我们在笔试行测中言语理解与表达中的逻辑填空可能是大部分考生最为头疼的题型了。
它主要集中考查考生运用词语进行表达应用的能力，并且越来越多地将普通实词和成语以结合、杂糅的方式出现，往往一道试题需要我们填很多空，让很多词让我们考生“狼狈不堪”，甚至会有直接蒙的做法。
首先我们要在日常生活中和学习中多积累词汇含义和准确使用之余，也应该有意识地去梳理和把握做题过程中涉及的技巧和方法。
这次中公教育张文静老师将为大家简单的介绍逻辑填空中如何通过语境上下文的提示及首先提炼出关键信息来做题，希望可以给广大考生提供帮助。
之所以称为逻辑填，也就是这个句子中含有一定的逻辑关系，所以你所填写词语与文段语境要有逻辑关系，在解题时，应对语境进行分析，确保上下文、前后句能准确对应。
许多题目都可以用此方法快速确定正确选项。
我们一起结合题来看一下如：关键信息+论证方式法这一技巧是源自于片段阅读的技巧，他的主要作用是通过关键信息或论证方式迅速确定提纲的大语境从而可以排除明显违背题干意思的选项。
例1、无论是古代的邮驿系统还是现代的邮政系统，书信从寄信人到收信人手中，都需要经过一个时间、空间的旅行，它的特点是慢。
而这种慢又了人们的情感体验方式和书信体验方式。
正是因为书信的，古人的时空感知才变得遥远而漫长，而等待、盼望、忐忑、焦虑等等，便成为这种时空观的产物。
依次填入划横线部分最恰当的一项是：A.成就真实B.培养细腻C.塑造迟缓D.丰富浪漫【解析】：题干中我们可以看到第一个空是无从下手，所以我们要从第二个空开始看起，第二空前提到“正是因为书信的……”应该是说前文提到的书信的特点，即它的特点是慢，所以迟缓更符合文意。
很明显答案就出来了，选C。
例2、怎么才能让老板给自己加薪?职场上最纠结的事情莫过于此。
可是偏偏就有人 ,幽默地给我们做出了榜样。
漫画《老板，求加薪》中给我们列出了加薪三十六计，从借刀杀人到，书中的妙计连连，让人忍俊不禁。
国家公务员考试行测：数量关系容斥问题
国家公务员行测考试中会考察到容斥问题，容斥问题的实质就是数数，在数数的时候能准确将题目中所涉及的量明确分类，而且分类的时候不能重复，也不能遗漏。
下面专家为大家讲解容斥问题的几种题型及解题方法，希望能对考生有所帮助。
一、两者容斥问题如上图所示，一个班级的总人数为I人，其中喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，两者都不喜欢的有Y人，问两者都喜欢的至少有多少人?解析：这个例题很经典，当我们用一般方法去思考时很容易把自己绕进去，所以在这里专家给大家一个很好用的公式，只要把这个模板套进去，式子自然就列出来了，对于这道题，显然题目让求得量是X，那么根据图可得I = A + B - X + Y,在这里要减去X就是因为，A 和B里边都含有X，相加完之后X重复了一次，所以要把多余的这一次减掉，此时，对应着题目所给的量代入，即可求出X的值。
强化练习：电视台向100个人调查昨天收看电视情况，有62人看过一频道，有34人看过六频道，有11个人两个频道都看过，问：两个频道都没有看过的有多少人?A 4B 15C 17D 25解析：这道题和上面讲述的例题一样，只要明白这道题让求得量是Y就可以了，所以直接套公式I = A + B - X + Y，I、A、B、X分别对应100、62、34、11，代入就能求出Y为15，所以答案选B。
二、三者容斥问题如上图所示，这个模型表示的含义是：一个班一共有学生I人，喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，喜欢英语的有C人，只喜欢语文和数学的有e人，只喜欢语文和英语的有f人，只喜欢数学和英语的有g人，三科都喜欢的有X人，三科都不喜欢的有Y人，对于这个模型可以表示为I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y,对于这个式子一定要明白每一个量表示的是什么意思，这样做题的时候就容易知道让我们求得量是谁，到时候直接套公式就行了。
强化练习：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，其中有89人看过甲片，47人看过乙片，63人看过丙片，24人三部电影全看过，20人一部也没看过，则只看过其中两部电影的人数是( )A 69人B 65人 C57人 D 46人解析：这道题的文法跟例题有一点点出入，但变化不大，在公式I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y中， e + f + g作为一个整体来看，表示的量就是只看过两部电影的人数，也就是要求的量，所以直接把题目所给出的量代入即可，所求答案为46人，选D。
2016公务员行测做题技巧：三者容斥问题讲解
2016公务员行测做题技巧:三者容斥问题讲解2016国家公务员考试已经悄然拉开序幕，如何在前期的备考中占得先机，从而在竞争如此激烈的国考战场中脱颖而出，想必是每个有志向考上公务员的同学心中最为关心的问题。
众所周知，国考中行测考试题量大时间短，很多同学最后没有考出好成绩往往不是题不会做，而是没有足够的时间做。
而要想在考试过程中做到得心应手，提高做题效率，缩短做题时间，中公教育专家认为考生必须在平时的学习过程中对常考题型的解题思路非常熟悉。
容斥问题是国考行测考试数学运算部分考试频率非常高的一类型题，而三者容斥问题则是容斥问题中的典型题目。
虽然三者容斥问题的核心本质很简单，但是考试题目却千变万化，下面我们就一起来了解一下三者容斥问题中的四种典型题型。
容斥问题的解题原则是把重复数的次数变成一次，而我们常常采取文氏图的方法来解题，那么在文氏图当中解题原则的本质就是把重复的面积变成一层。
【中公解析】注意到题目中给的是准备参加两种考试的有46人，即两层的区域;准备参加三种考试的有24人，即三层的区域。
所以根据容斥原理的解题原则，每个区域都变成一层，则总共接受调查的学生人数=63+89+47-46-2×24+15=120，选A。
例2:某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，至少准备选择参加两种考试的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。
问接受调查的学生共有多少人?A.120B.144C.177D.192【中公解析】此题与第一题的区别在于所给条件多出两个字变为“至少准备选择参加两种考试的有46人”虽然只多出了至少两个字，但是它代表的含义就有所不同。
至少准备选择参加两种考试的有46人表示的是参加两种考试和参加三种考试的人数之和，即文氏图中两层和三层之和，所以减去46后，两层减了一次，三层也减了一次，因此三层只需再减一次就够了。
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行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题
中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?
中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：
101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有
A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C
这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没
了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?
中公教育解析：由题意可画图如下：
则有上述公式可知：
58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人
故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?
中公教育解析：本题和上题相比，较一般的三者容斥更为复杂。
因为，题干中所出现的喜欢篮球、喜欢足球、喜欢排球的三种集合都是在全集100人中考查，且题干中出现了同时不属于这三种集合的元素。
中公点拨：此类型题的做法大家只要记住构造全集即可，题干中不知道的设为未知数。
外框的长方形代表全集，用I来表示，D代表同时不属于集合A，B，C三个集合的元素。
构造全集I= A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+D
由此可得本题：设篮球和排球都喜欢的有x人，则有
100=58+68+62-45-33-x+12+5
解得x=27。
中公教育专家提醒考生：容斥问题的关键在于计数时不能重复，不能漏掉。
如三者容斥这种比较复杂的容斥问题可以现根据题意画出其图形(叫文氏图)，然后再根据公式及题干所求问题计算。
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