容斥原理之三者容斥问题
三者容斥问题公式
三者容斥问题公式三者容斥问题是一种涉及三个集合的计数问题，它的基本思想是利用包含与排除原理，也叫容斥原理，来避免重复计数或漏算。
三者容斥问题有一个基本公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|这个公式的含义是，要求出三个集合的并集的元素个数，可以先分别求出每个集合的元素个数，然后减去两两相交的部分，因为这些部分被重复计算了，最后加上三个集合都相交的部分，因为这部分被多次减去了。
三者容斥问题的推导为了理解这个公式是如何推导出来的，我们可以用维恩图来进行说明。
如下图所示，我们用三个圆形来表示三个集合A、B、C，它们之间有七个不同的区域，分别用1、2、3、4、5、6、7来标记。
如果我们要求出三个集合的并集A∪B∪C，那么就相当于求出这七个区域的总和。
我们可以用下面的方法来计算：首先，我们可以求出每个集合自身的元素个数，即|A|=1+4+5+7，|B|=2+4+6+7，|C|=3+5+6+7。
如果我们把这三个数相加，就得到了1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7=63。
但是这个数显然大于A∪B∪C的元素个数，因为有些区域被重复计算了。
其次，我们可以看到两两相交的部分被重复计算了两次，即A∩B=4+7，B∩C=6+7，C∩A=5+7。
如果我们把这三个数相减，就可以消除重复计算的部分。
即63−4−7−6−7−5−7=27。
但是这个数又小于A∪B∪C的元素个数，因为有一个区域被多次减去了。
最后，我们可以看到三个集合都相交的部分被多次减去了，即A∩B∩C=7。
如果我们把这个数再加回来，就可以得到正确的结果。
即27+7=34。
综上所述，我们就得到了三者容斥问题的公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|三者容斥问题的应用三者容斥问题在实际生活中有很多应用场景，例如：统计某高校做有关碎片化学习的问卷调查结果²。
2019国家公务员考试行测数量关系中的三者容斥
2019国家公务员考试行测数量关系中的三者容斥容斥问题是行测数量关系题型中的高频考点，在考试中经常出现。
对于三者容斥问题，看似简单，同学们在做题时却经常犯错误，究其原因，是对于三者容斥类题型的解题方法没有深入理解，只是一味的记公式，导致遇到一些变形题时容易解错。
下面专家就考试中经常出现的三者容斥问题进行详细的讲解。
三者容斥问题的常用公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C解决三者容斥问题，需要把握住此核心公式，但是，只是一味的记住核心公式是不够的，要应对一些变形题目，还需从解题原则入手，才能灵活掌握三者容斥问题的解题方法。
重复区域变一层容斥是一种计数问题，计数时要做到不重不漏，需要将图形中的重复区域变为一层。
【例1.】实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?【答案】22人【中公解析】根据前面所述公式：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人，故喜欢篮球和排球的人有22人。
【例2】某公司组织运动会，据统计，参加百米跑项目的有86人，参加跳高项目的有65人，参加拔河项目的有104人。
其中，至少参加两种项目的人数有73人，三项都参加的有32人。
则该公司参赛的运动员有( )人。
A.89B.121C.150D.185【答案】C【中公解析】设参加百米跑、跳高、拔河项目的运动员分别构成集合A、B、C，根据三集合容斥问题公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C，A∩B+B∩C+A∩C=73+2×32=137，A∩B∩C=32，则A∪B∪C=86+65+104-137+32=150(人)。
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
三集合容斥原理
三集合容斥原理三集合容斥原理是概率论和组合数学中一种重要的计数方法，它可以用来解决多个集合的交集和并集的计数问题。
在实际问题中，我们经常会遇到需要计算多个集合的交集或并集的情况，而三集合容斥原理可以帮助我们简化计算过程，提高计算效率。
本文将介绍三集合容斥原理的定义、公式推导以及应用实例，希望能帮助读者更好地理解和运用这一原理。
三集合容斥原理的定义。
假设有三个集合A、B、C，我们希望计算它们的交集和并集的情况。
三集合容斥原理告诉我们，三个集合的交集和并集的计数可以通过容斥原理来进行计算。
具体来说，三集合容斥原理可以表示为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| +|A∩B∩C|。
其中，|A|表示集合A的元素个数，|A∩B|表示集合A和集合B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和集合B的并集的元素个数。
通过这个公式，我们可以计算出三个集合的并集的元素个数，从而解决相关的计数问题。
三集合容斥原理的公式推导。
为了更好地理解三集合容斥原理，我们可以通过公式推导来解释这一原理的由来。
假设集合A、B、C的元素个数分别为|A|、|B|、|C|，我们希望求出三个集合的并集的元素个数。
首先，我们可以将三个集合的并集表示为：A∪B∪C = A + B + C A∩B A∩C B∩C + A∩B∩C。
通过这个公式，我们可以看出，当我们计算三个集合的并集时，需要减去两两交集的元素个数，再加上三个集合的交集的元素个数，这样才能得到正确的并集的元素个数。
这就是三集合容斥原理的由来。
三集合容斥原理的应用实例。
为了更好地理解三集合容斥原理的应用，我们可以通过一个实际的例子来说明。
假设有一个班级，其中有60名学生，其中30名学生会打篮球，40名学生会踢足球，50名学生会打乒乓球。
我们现在希望知道至少会一项运动的学生人数是多少。
根据三集合容斥原理，我们可以通过以下步骤来计算至少会一项运动的学生人数：1. 首先，计算三项运动的并集，即篮球、足球和乒乓球的并集，即A∪B∪C。
三集合容斥原理
三集合容斥原理
三集合容斥原理是一种常见的概率理论，它有助于解决一些复杂的概率问题。
它可以用来解释一些现象，如天气预报中的概率降雨或概率暴风雨。
三集合容斥原理的核心思想是：如果有三个互不相交的集合A，B 和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C 的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C 的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
用数学表示，三集合容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
三集合容斥原理可以被用来研究一些概率问题。
例如，假设有三个不同的事件A，B和C，计算它们的概率的总和，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
另一个例子是，假设有三个不同的事件A，B和C，那么在这三个事件中，有多少种可能的组合，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=2^3-1=7 。
总之，三集合容斥原理是一种有用的概率理论，它可以帮助我们解决一些复杂的概率问题。
它的核心思想是：如果有三个互不相交的
集合A，B和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
容斥原理之三者容斥问题
容斥原理之三者容斥问题浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?中公教育解析：由题意可画图如下：则有上述公式可知：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
三量容斥原理的公式
三量容斥原理的公式
三量容斥原理是组合数学中的一种重要的计数方法。
它可以用来计算多个集合的交集、并集和补集的元素数量。
三量容斥原理的公式可以用于解决包含多个条件的计数问题。
设A、B、C为三个集合，我们有以下三量容斥原理的公式：
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
上述公式中，|X| 表示集合X的元素数量。
公式的含义是，将A、B、C集合的元素数量相加，然后减去所有两两交集的元素数量，再加上所有三个集合的交集的元素数量，即可得到三个集合的并集的元素数量。
这个公式的原理可以理解为，在计算多个条件同时满足的情况时，我们需要考虑重叠的部分。
公式中的加减项就是为了排除重复计算的部分。
例如，当我们计算A、B、C三个集合的并集时，我们首先将A、B、C的元素数量相加，然后减去A 与B的交集、A与C的交集、B与C的交集的元素数量，以避免重复计算。
最后再加上A、B、C三个集合的交集的元素数量，确保所有重叠的部分被正确计算。
三量容斥原理的公式在解决概率、组合计数、集合论等领域的问题时都具有广泛的应用。
它能够帮助我们更准确地计算多个条件组合下的元素数量，提供了一种简单而有效的计算方法。
通过灵活运用这一原理，我们可以更好地解决实际问题，满足计数需求。
三者容斥问题3个公式
三者容斥问题3个公式三集合容斥问题是公考中的常客，主要通过公式法和画图法解决，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式记得特别溜，做题时却不知用哪个好。
如何用1秒的时间快速准确挑选出公式呢？这是我们必须要具备的能力，今天我们一起来习得。
首先，何时能用公式解决三集合容斥问题？题目中没有“只”，即题目中没有出现只满足一个条件的表述。
其次，三集合容斥常用的三个公式是什么？（1）标准型：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总-都不的（2）拓展1：A+B+C-同时满足两项的-2ABC=总-都不的（3）拓展2：A+B+C-满足两项以上的-ABC=总-都不的再次，如何1秒挑选三集合容斥公式？三个公式中，差别最明显的是关于两项的描述。
若题目给出“满足AB、满足AC、满足BC”的排比式描述，应用标准型公式；若题目给出同时满足两项的描述，则用拓展1公式；若题目给出满足两项以上的描述，则用拓展2公式。
其他的条件在选公式的时候，一点也没用，直接找题目中关于两项的描述即可，选公式1秒足已。
最后，如何快速解呢？大部分题目，尾数不同，用尾数法。
来来来，上菜了。
【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。
A.14B.15C.18D.17【秒选公式】题目中出现“抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种”这种排比式的满足两项的描述，选标准型。
【答案】C【解析】本题考查三集合容斥。
设三种食品添加剂都不达标的有x种，代入三集合容斥原理标准公式可得：68+77+59-54-43-35+30=120-x，解得x=18（尾数为8）。
故本题答案为C选项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
容斥原理之三者容斥问题
浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题
中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?
中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有
A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C
这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?
中公教育解析：由题意可画图如下：
则有上述公式可知：
58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人
故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人，还有5人三种球都不喜欢，则篮球和排球都喜欢的多少人?
中公教育解析：本题和上题相比，较一般的三者容斥更为复杂。
因为，题干中所出现的喜欢篮球、喜欢足球、喜欢排球的三种集合都是在全集100人中考查，且题干中出现了同时不属于这三种集合的元素。
中公点拨：此类型题的做法大家只要记住构造全集即可，题干中不知道的设为未知数。
外框的长方形代表全集，用I来表示，D代表同时不属于集合A，B，C三个集合的元素。
构造全集I= A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+D
由此可得本题：设篮球和排球都喜欢的有x人，则有
100=58+68+62-45-33-x+12+5
解得x=27。
中公教育专家提醒考生：容斥问题的关键在于计数时不能重复，不能漏掉。
如三者容斥这种比较复杂的容斥问题可以现根据题意画出其图形(叫文氏图)，然后再根据公式及题干所求问题计算。
本文来源：金华中公教育。