容斥原理

1、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
2、五（1）班36个同学在一次测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问有几个同学两题都不对？
容斥原理（也称包含与排斥原理或逐步淘汰原理或取舍原理） 在计数时，为了既不重复也不遗漏，人们研究出一种新的方法，这种间接的计数方法称为容斥原理。

其基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

这个原理直观易懂，思路明确，方法也是程式化，是学习组合数学中计数问题的一个十分重要的基本工具。

1、对于两个有限集合A 、B 的容斥原理,如图： B A B A B A -+=
2、对于三个有限集合A 、B 、C 的容斥原理，如图：
C
B A
C B B A B A C B A C B A +---++=
容斥原理的灵活运用
导入 知识精讲
【例1】如图所示： （1）已知：∠AOB=90°，∠COD=80°。

∠COB=30°，求∠AOD 。

（2）已知：∠AOB=100°，∠COD=70°，∠AOD=135°，求∠COB 。

【巩固】
1、如图，桌面上放有两本书，A 的面积是56，B 的面积是48，桌面面积是200，书本未覆盖部分面积是116，求两本书重叠部分的
面积。

例题精讲
B A D B
C A O
2、如下图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积。

【例2】50 名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50 依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

问：现在面向老师的同学还有多少名?
【巩固】
1、有100 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，100，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3 的倍数的灯线拉一下，这时亮着的灯有多少盏？
2、有2008 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2008，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
【例3】在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。

如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【巩固】
1、某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
求这个班的学生共有多少人？
2、在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：
（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；
（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；
（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；
（4）其他标签号均奖1支铅笔．
那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?
【例4】有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。

第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。

只有两次达到优秀的有多少人？
【巩固】
1、有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。

已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。

问：只参加跑和投掷两项的有多少人？
2、70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.
求：(1)只得短跑奖的人数;
(2)得二项奖的总人数;
(3)一项奖均未得的人数.
【例5】某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

【巩固】
1、某校五年级三班有51人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有20人。

老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有8人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

2、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。

问这个班最多多少人？最少多少人？
【例6】有个老师他想知道自己所带班的60人中，游泳、自行车、乒乓球这三个运动班上的普及程度，于是就在班问了一下，当他分别问会游泳、会自行车、会乒乓球请举手时，分别有40人、45人、48人举手，问这三项运动都会的有22人举手，问完这些后就有事先走了，后来他想知道班上最多有多少学生这三项运动都不会，能否根据有限的条件计算出来。

【巩固】
五（1）班有28位同学，每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。

其中仅参加数学与语文小组的人数等于仅参加数学小组的人数，没有同学仅参加语文或仅参加自然小组，恰有6个同学参加数学与自然小组但不参加语文小组，仅参加语文与自然小组的人数是3个小组全参加的人数的5倍，并且知道3个小组全参加的人数是一个不为0的偶数，那么仅参加数学和语文小组的人有多少人？
练习
1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？
2、四(二)班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人．
⑴问语文数学都写完的有多少人？
⑵只写完语文作业的有多少人？
圆B表示这50个数中能被5整除的数，则阴影部分表示的数
是。

4、某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人．其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种
小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？
5、某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好．问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？
6、新年联欢会上，共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人；50人没有参加演奏；10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有多少人．。