3导数的计算(公开课)
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说课：函数的单调性与导数 (3) 公开课一等奖课件PPT
( 教师说明：)
应正确理解“某个区间”的含义，它必是 定义域 内的某个区间。
（三）.知识应用 1．应用导数求函数的单调区间
基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数
(填“增”或“减”)。 （学生口答）
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，
在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为___ 函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函 数”)。
三、说学法
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．自主探究法：
让学生自己发现问题，自己归纳总结，自 己评析解题对 错，从而提高学生的 参与意识和数学表达能力。
2．比较法： 分组竞赛，对于同一个问题要求用不同方法，使学生从
中体验导数法的优越性。
四、说教学过程
（一）．回顾与思考
提问引入： 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2、 教学目标
知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调 区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合 的思维意识。
情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思 考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
3、重点与难点
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
当x 3或x 2时，f '( x) 0;
当x 3或x 2时，f '( x) 0. 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案 进行投影分析。）
应正确理解“某个区间”的含义，它必是 定义域 内的某个区间。
（三）.知识应用 1．应用导数求函数的单调区间
基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数
(填“增”或“减”)。 （学生口答）
(2)．函数 y = x2－3x 在[2,+∞)上为______函数，
在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为___ 函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函 数”)。
三、说学法
为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．自主探究法：
让学生自己发现问题，自己归纳总结，自 己评析解题对 错，从而提高学生的 参与意识和数学表达能力。
2．比较法： 分组竞赛，对于同一个问题要求用不同方法，使学生从
中体验导数法的优越性。
四、说教学过程
（一）．回顾与思考
提问引入： 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。）
2、 教学目标
知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调 区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合 的思维意识。
情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思 考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
3、重点与难点
重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
当x 3或x 2时，f '( x) 0;
当x 3或x 2时，f '( x) 0. 试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。
（分析题意后让学生尝试画图，并就学生中出现的两类答案 进行投影分析。）
导数的计算(共42张PPT)
为 y'=n·xn-1.
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
课前预习导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
2.函数 y=ax 与 y=ex 及 y=logax 与 ln x 的求导公式有何特点?
提示:(ax)'=axln a,(ex)'=exln e=ex,故函数 y=ex 可看作函数 y=ax 的特殊
1
1
1
情况;(logax)'=xlna,(ln x)'=xln = x ,故函数 y=ln x 也可看作函数 y=logax
=
2
4
x
4
x,∴y'=
3
4
2 x-n2 x
=cos
nx+x
1
2
1
1
2
x
2
1
1
1
+ 4 x '=-4sin x.
(6)∵y=xln x = xln x,
1
x
4
-2sin2 cos2 =1- sin2
∴y'=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x.
1
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1.2
导数的计算
问题导学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
(4)∵y= n
1
2
4
+
2
1-x 3 1
=4 + 4cos
2
=1-2·
2x
(5)∵y=nx+x
的特殊情况.
1.2
问题导学
导数的计算
课前预习导学
计算导数课件
4x-y-2=0,求切点坐标.
求切点的步骤：
【解题关键】利用导数的几何意义.
（1）设切点坐标； （2）求切线斜率；
【解析】 设切点坐标为（x0，y0 ),
y＇ 4x切线的斜率k 4x0 ,
（3）列方程，解 x0； （4）解 y0.
又切线平行于4x-y-2=0，切线的斜率k 4,
x0 1,
y 0
(3)y＝5 x3； (4)y＝2x.
(3)y′＝(5 x3)′＝(x35)′＝35x－23＝553x2； (4)y′＝(2x)′＝2xln2.
例4.(2016·池州高二检测)抛物线x2=2y上点(2,2)
处的切线方程是
2x-y-.2=0
求切线方程的步骤: （1）求导数；
【解题关键】先根据导数求出切线斜率,（2）求切线斜率；
lim x0
y lim f (x0 x) f (x0 )
x
x0
x
3 、 求 y=f(x)在某点处的切线方程的步骤: (1) 导数； (2) 求切线斜率； (3) 求切点；
（4）写点斜式方程； （5）变为一般式。
y
O
x
高铁是一个目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又 快捷.设一辆高速列车走过的路程s(单位:m)关于时间 t(单位:s)的函数s=f(t)=40t2,求它的瞬时速度.
思考2：函数在定义域内任意一点都有导数吗？
3(x x)2 (x x) (3x2 x) 3(x)2 6xx x.
当x趋于0时,可以得出导函数
f (x) lim f (x x) f (x) lim (3x 6x 1) 6x 1.
x0
x
x0
【变式练习】 解：
想一想:两个有相同导数的函数是否是同一个函数？ 提示:不一定.因为两个函数相差一个常数，则它们有 相同的导数，反之也成立，即 f′(x)=g′(x)⇔f(x)=g(x)+c(常数). 例如:f′(x)=g′(x)=3x2，则 f(x)=x3+m,g(x)=x3+n(m,n为常数),而m与n未必 相等.
导数的计算市公开课一等奖省优质课获奖课件
的切线，一定是以点 P 为切点；过点 P 的切线，点 P 则不一定
是切点，则应设出切点 B 的坐标(x0，f(x0))，再求曲线在点 B 处
的切线斜率 k＝f′(x0)，此时切线方程 l：y－f(x0)＝f′(x0)(x－
x0)．由点 P 在直线 l 上，求出 x0，再代入切线方程，求出切线.
课前探究学习
的斜率 k＝f′(x0)＝6x02－3，所以切线方程为 y＝(6x20－3)x＋32， 又点 N 在切线上，所以有 2x30－3x0＝(6x20－3)x0＋32，解得 x0＝ －2，故切线方程为 y＝21x＋32.
在求曲线的切线方程时，注意两个说法：求曲
线在点 P 处的切线方程和求曲线过点 P 的切线方程．在点 P 处
课堂讲练互动
活页第规26范页训练
见Word版活页训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页第规27范页训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页第规23范页训练
【变式 3】 求曲线 y＝cos x 在点 Aπ6 ， 23处的切线方程． 解 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，∴y′|x＝π6 ＝－sinπ6 ＝－12，∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6 ，
π 即 x＋2y－ 3－ 6 ＝0.
【例 2】 求下列函数的导数．
(1)y＝5x；
(2)y＝x13；
(3)y＝4 x3； (4)y＝log3x； (5)y＝(1－ x)(1＋ 1x)＋ x； (6)y＝( ＋1)( －1)＋1. [思路探索] 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形 式，再利用公式求导．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页第规17范页训练
1 xln a
导数的计算 ppt课件
ppt课件
12
例1：假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 （p 单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系: p(t) p0 (1 5%)t.其中p0为t 0时的物价。假定某种商品 的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0.01）
解：由导数公式：p '(t) 1.05t p0 ln1.05 p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
练习: 1．求下列函数的导数：
1 (1) y x 3
(2) y 3 x (3) y cos x
(5) y log5 x (6) y log1 x
2
(7) y 2x6 (8) y 2x 3
(9) y e x
(10) y ln x
(1) y 4x
(2)
y
log
x 3
(4) y 3x
y 1 , x (x x)x
f
(x)
(1)' x
lim
x0
y x
lim
x0
(x
1 x)x
1 x2
.
公式三：（
1 x
）' ppt课件
1 x2
7
1) y f (x) C y ' 0
2) y f (x) x, y ' 1
3) y f (x) x2, y ' 2x
4) y f (x) 1 , x
4.求切线方程的步骤：
（1）找切点
（2）求出函数在点x0处的变化率 f (x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f (x0) f (x0)(x x ).0ppt课件
导数的四则运算法则 公开课课件
2
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
五、课堂练习
1 3 4 练习 3 曲线 y x x 在点(1, ) 处的切线与坐标轴围成 3 1 3 的三角形的面积为 . 9 1 x *练习 4 已知 f ( ) ，则 f ( x )等于( D ) x 1 x 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 (1 x ) (1 x ) 1 x 1 x *练习 5 1 已知直线 y kx 是曲线 y ln x 的一条切线， 则k的 值为 . e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ln x y (3) x2 .
四、典型例题
例题 2 已知直线 l1 为曲线 y = x + x - 2在点 A(1,0)处的切 线， l 2 为该曲线的另一条切线，且 l1 ^ l2 .求直线 l 2 的方程；
y
2
x
o
A(1,0)
2 20 ( , )B 3 9
l1
l2
四、典型例题
p( t ) = p0 (1 + 5%)t p0 = = 51， 其中 p0 为 t = 0时的物价.假定某种商品的 p 那么在第 10 个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)？
p(t ) 1.05 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 解析： p(t ) = p0 (1 + 5%)t = 5? 1.05t t t ) = 1.05t ln1.05 ¢ p ( 所以 pⅱ ( t ) = (5? 1.05 ) 所以 p¢ (10) = 1.0510 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年,这种商品的价格约以 0.08 元/年的速度上涨.
1 x ln a 1 x .
；
一、复习与自主学习
②自主学习 教材 P83~P84 问题 1 记忆基本初等函数的导数公式; 问题 2 上述公式可以给我们的求导带来很大的便利，那 么为什么还要求导运算法则？ 问题 3 记忆求导运算法则，你发现运算法则有何规律?
高中数学课件-第2章 §3 计算导数
C.3
D.0
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【解析】 对于①，y′＝0－（x6x3）′＝－x36x2＝－x43，正确；
1
2
对于②，y′＝13x3-1＝13x-3，不正确；
对于③，f′(x)＝3，故 f′(1)＝3，正确.
【答案】 B
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3.若 f(x)＝10x，则 f′(1)＝________.
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1.速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数. 2.求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导 函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.
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[再练一题] 2.(1)求函数 f(x)＝ 1 在(1，1)处的导数；
分别将 t＝0 或 t＝32代入①式，
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得 k＝－a 或 k＝247－a， 由题意得它们互为相反数得 a＝287.
【答案】
27 8
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[构建·体系]
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1.已知 f(x)＝xα(α∈Q＋)，若 f′(1)＝14，则 α 等于(
)
1
1
A.3
B.2
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若函数 f(x)＝(x－1)2，那么 f′(x)＝________.
【提示】 ∵f(x)＝x2－2x＋1，
∴Δ Δyx＝f（x＋ΔΔ x）x－f（x）＝2x＋Δx－2.
故 f′(x)＝ lim
△x→0
Δ Δyx＝△lxi→m0
(2x＋Δx－2)＝2x－2.
1.2.1《导数的计算》省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
x
xx
x x xx
x2
1 x
•
， x
所以
y'
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
•
x
1 x2
.
11/32
探究
画出函数
y
1 x
图象.依据图象,描述它改变情况,并求出
曲线在点(1,1)处切线方程.
y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
12/32
5.函数 y = f (x) = x 导数
因为 y f x x f x x x x
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1oga x )' ___x_l_n_a__
20/32
4.求以下函数导数
(1) y x12 (2) y x x (3) y 1 (4) y 5 x3
x4
1
(5) y x (6) y x3
21/32
小结、基本初等函数导数公式 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=___0__;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g ( x)2
3:求以下函数导数
(1)y=tanx
sin x cos2 x sin2 x 1
y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
y'
x2 6x (x2 3)2
3
27/32
堂上练习 求以下函数导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
2y 3 2x 4x2 5x3 1 x4
6
3y (2x3 1)(3x2 x)
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2.函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点(x0,y0 ) 附近的变化规律：
1) | f (x) | 越大,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“陡” 2) | f (x) | 越小,则f(x)在(x0 ,y0 )附近就越“平缓”
3.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y＝f(x)的图象如图所示，AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一 条割线，此割线的斜率是ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0. 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的 极限位置为直线 AD，这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的 切__线__．于是，当 Δx→0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点
2
1
x2
f
(
x)
3
sin
3
2
32
f ( x) sin x
f ( x) 0
小结：利用求导公式求导，只需根据所给的函数
解析式的结构特征，利用相关知识变形到公式左
边的形式，再用公式求导即可。
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
A 的切线 AD 的斜率 k，即 k＝_f__(_x_0_)＝_Δl_ixm_→_0 _f__x_0＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0_.
4.函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
1 x ln a
8.若f ( x) ln x，则f ( x) 1 x
快速反应：求下列函数的导数：
(1) f ( x) x2015
(2) f ( x) 3x
f ( x) 2015 x2014
f ( x) 3x ln 3
(3)
f
f (x)
( x)
log12
x
x ln 2
y' 3x2
y
'
1 x2
1x2
y'
1
1 1 x2
2x 2
f ( x) axa1
基本初等函数的导数公式
为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表，高考 不要求推导，只要求记住即可！
1.若f ( x) c，则f ( x) 0
2.若f ( x) xa，则f ( x) axa1(a R)
导数的计算
1.2.1 几种常见函数的导数
回顾
1.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f (x0 x) f (x0);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 :
y f (x0 x) f (x0 ) ;
x
x
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
(2) f ( x) x3 e x
(3) f ( x) 2x5 3x2 4
f ( x) y lim y lim f ( x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
原函数
f (x) 3x2
f(x)在x=x0处的导数
f ' (x0 ) 6x0
求导
导函数
f '(x) 6x
x=x0时的函数值
新课——几种常见函数的导数
数的平方.即:
f
(
x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
g(
x)
g(x)2
(g( x) 0)
例1:求下列函数的导数:
(1) y 2x2
(1) y 4x
反思：常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数。
(2) y 2x5 3x2 4 (3) y (2x 3)2 (4) y tan x
3.若f ( x) sin x，则f ( x) cos x
4.若f ( x) cos x，则f ( x) sin x
5.若f ( x) a x，则f ( x) a x ln a
6.若f ( x) e x，则f ( x) e x
7.若f
(x)
loga
x,则f ( x)
求下列函数的导数:
2) y f ( x) x 1
3) y f ( x) x2
4）y f ( x) x3
5) y f ( x) 1 x1
x
1
6) y f ( x) x x 2
猜想:当f ( x) xa 时
y' 1 1x0
y ' 2x1 这又说明什么?
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
(4) f ( x) ( 1 ) x 5x
5
1
f ( x) 5x ln 5
3
2
(5) f ( x) x x x x 2 x 2 (6) f ( x) 3 x2 x 3
(7)
f
( x)
3
1
x2
f ( x) sin2( x) cos x
(8)
f
( x)
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函y=f(x)=c的导数. 解 : y f (x) C, y f (x x) f (x) C C, y 0, x f (x) C lim y 0. x0 x
公式1: f ( x) C 0 (C为常数)
(2) y 10x4 6x
(3) y 8x 12
(4)
y
1 (cos x)2
反思：有些函数，变形后再求导数，更简单些。妙！
(5) y 2x tan x
反思：对于相对复杂的函数，在求导数时，切莫一味贪快， 否则将酿成大祸！
课堂训练：求下列函数的导数：
(1) f ( x) 2e x