数学：1.2.1《集合之间的关系》课件(新人教b版必修1)
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2020年高中数学第一章集合1.2.1集合之间的关系课件新人教B版必修1
D．N M
解析：M＝{x|x＝90°·k＋45°，k∈Z} ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N＝{x|x＝180°·k±45°，k∈Z} ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， ∴M＝N.
答案：A
类型 2 由集合间的关系求参数范围
(1)已知集合 A＝{x|x2－4＝0}，集合 B＝{x|ax－2＝ 0}，若 B⊆A，求实数 a 的取值集合；
【解析】 (1)N＝{x∈R|x2－x＝0}＝{0,1}，则 N M.故选
B． (2)A 中 M＝∅，N＝{0}，M≠N；B 中 M 与 N 分别表示 y＝
x2＋1，x＝y2＋1 上的点集，M≠N；C 中 M＝{y|y＝x2＋2，x∈ R}＝{y|y≥2}，N＝{y|y＝(x－1)2＋2，x∈R}＝{y|y≥2}，M＝N； D 中 N⊆M.故选 C．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合 中含有字母参数时，初学者会想当然认为是非空集合而丢解， 因此分类讨论思想是必须的．
＝________.
集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则 a－b
解析：∵由题可知 a≠0，b≠0，
a＋b＝0，
∴ba＝ ＋1b， ＝0
或b＝a， ba＝1，
知识点一 子集的概念
1．若集合 A＝{x|x>－3}，则( )
A．0⊆A
B．{0}∈A
C．∅∈A
D．{0}⊆A
答案：D
知识点二 集合间的关系
2．已知集合 A＝{x|2x－3＜3x}，B＝{x|x≥2}，则集合 A 与 集合 B 的关系为( )
A．A B
B．B A
C．A＝B
D．不确定
解析：A＝{x|2x－3＜3x}＝{x|x＞－3}，B＝{x|x≥2}，
高中数学 1.2.1 集合之间的关系 课件三 新人教B版必修1
引：观察下列集合
A1 ， 3 ， B1 ， 3 ， 5 ， 6
Cxx是 长 方 形 ， D xx是 平 行 四 边 形
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一般 地，如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合B的子集（subset）。 记作：A⊆B(或B⊇A)
读作：A包含于（is contained in）B，或B包含 （contains）A
用Venn图表示两个集 合间的“包含”关系
B A
ppt课件
注意：
1 。 A B 则 任 意 x A x B
2 。 任 何 一 个 集 合 都 是 它 本 身 的 子 任 意 集 合 的 子 集 ， 记 作 A
4 。 在 子 集 的 定 义 中 ， 不 能 理 解 为 子 集 A 是 B 中 的 部 分 元 素 组 成 的 集 合 。
3 A B ， B C 则 A C
4AB ， BC 则 AC
5n个 元 素 的 集 合 的 子 集 个 数 为 2n个
真 子 集 为 2n1 ， 非 空 真 子 集 为 2n2
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例 ： 写 出 集 合 A 1 ， 2 ， 3 的 所 有 子 集 和 真 子 集
答 ： 子 集 ： ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 1 ， 3 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3
例：判断那些是正确的１（，２，５，７ ）
1 02 3 0 4 05 600，1，2 70，1，2 2，1，0
81 1，2，3
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书１３页练习Ａ，Ｂ
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包含 真包含 相等
子集 真子集 空集
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真 子 集 ： ， 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 1 ， 3 ， 2 ， 3
新教材人教版高中数学必修第一册 1.2.1集合间的基本关系 教学课件
记作：A⊆B 或 B⊇A 读作：“A包含于B”或“B包含A”
符号语言：任意x∈A，有x∈B，则A⊆B．
BA
图形语言：Venn图(韦恩图，文氏图)．
注：用平面上封闭曲线的内部代表集合的图称为Venn图．
第四页，共十八页。
例1：判断下列各题中集合A是否为集
合B的子集，并说明理由．
(1) A＝{1，2，3}， B＝{x|x是8的约数}；
(3)A＝{x∈N+ |x是4与10的公倍数}，
B＝{x|x＝20m，m∈N+ }．
A＝B
第十一页，共十八页。
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为．
例如： A＝{x|x2＋1＝0} 规定：空集是任何集合的子集，即⊆A．
空集是任何非空集合的真子集， 即 ≠⊂ B (B≠)．
第十二页，共十八页。
深化概念
表示．
A＝{x|x是四边形}，B＝{x|x是平行四边形}；
C＝{x|x是矩形}， D＝{x|x是正方形}．
D ⊆ C ⊆ B ⊆A D ≠⊂ C≠⊂ B≠⊂ A
ABC D
第十页，共十八页。
练习3：判断下列两个集合之间的关系．
(1)A＝{x|x<0}， B＝{x|x<1}； B ⊆ A
(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}， B＝{x|x＝6z，z∈N}； B ⊆ A
1．包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什 么区别?
{a}⊆A是集合与集合之间关系， a∈A是元素与集合之间的关系.
2．集合A ≠⊂B与A⊆B有什么区别?
≠⊂
第十三页，共十八页。
深化概念
3．0，{0}，三者之间有什么关系? 例3：在以下写法中，正确的个数为( ) B
符号语言：任意x∈A，有x∈B，则A⊆B．
BA
图形语言：Venn图(韦恩图，文氏图)．
注：用平面上封闭曲线的内部代表集合的图称为Venn图．
第四页，共十八页。
例1：判断下列各题中集合A是否为集
合B的子集，并说明理由．
(1) A＝{1，2，3}， B＝{x|x是8的约数}；
(3)A＝{x∈N+ |x是4与10的公倍数}，
B＝{x|x＝20m，m∈N+ }．
A＝B
第十一页，共十八页。
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，记为．
例如： A＝{x|x2＋1＝0} 规定：空集是任何集合的子集，即⊆A．
空集是任何非空集合的真子集， 即 ≠⊂ B (B≠)．
第十二页，共十八页。
深化概念
表示．
A＝{x|x是四边形}，B＝{x|x是平行四边形}；
C＝{x|x是矩形}， D＝{x|x是正方形}．
D ⊆ C ⊆ B ⊆A D ≠⊂ C≠⊂ B≠⊂ A
ABC D
第十页，共十八页。
练习3：判断下列两个集合之间的关系．
(1)A＝{x|x<0}， B＝{x|x<1}； B ⊆ A
(2)A＝{x|x＝3k，k∈N}， B＝{x|x＝6z，z∈N}； B ⊆ A
1．包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什 么区别?
{a}⊆A是集合与集合之间关系， a∈A是元素与集合之间的关系.
2．集合A ≠⊂B与A⊆B有什么区别?
≠⊂
第十三页，共十八页。
深化概念
3．0，{0}，三者之间有什么关系? 例3：在以下写法中，正确的个数为( ) B
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一《1.2.1 集合间的关系》课件
2 a ＝1 A＝B，有 ab＝b 2 a ＝b， ，或 ab＝1
解 由
.
a＝1 ，或 b＝1
解方程组得 a＝1，b
a＝－1 为任意实数或 b＝0
.
由集合元素的互异性，得 a≠1. ∴a＝－1，b＝0， ∴a2 010＋b2 011＝1.
题型三 两集合之间关系的应用 【例 3】 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a ＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若 B⊆A，求实数 a 的值．
规律方法 写出所有子集的有效方法， 一般按集合中元素个 数的多少来划分标准，由少到多，做到不重不漏．
【训练 1】 已知集合 A＝{x|x2＋x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|(x －1)(x2－4x＋4)＝0，x∈R}，且 A P B，求满足条件的集合 P.
解 A＝∅，B＝{x|(x－1)(x－2)2＝0，x∈R}＝{1,2}， ∴A P B，∴就是求集合 B 的非空子集， 故满足条件的集合 P 有：{1}，{2}，{1,2}．
B 或 B A ，读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”． 作 A
(4)如果 A⊆B，B⊆C，则 A集合的相等 如果 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝ B；反之如果 A＝B， 则 A⊆B ，且 B⊆A .
试一试：若集合 A＝{a1，a2，a3，„，an}，n∈N＋则集合 A 的子集有多少个，真子集有多少个？
3．∅，{0}与 0 的关系 (1)关于空集∅： 空集是不含任何元素的集合， 它既不是有限 集又不是无限集， 不能认为∅＝{0}， 也不能认为{∅}＝∅或{空集} ＝∅. (2){0}是由数 0 组成的单元素集，所以 0∈{0}，但 0∉∅，∅ ⊆{0}． (3){∅}是由∅组成的单元素集，因此∅∈{∅}，由于空集是任 何集合的子集，所以∅⊆{∅}也正确.
解 由
.
a＝1 ，或 b＝1
解方程组得 a＝1，b
a＝－1 为任意实数或 b＝0
.
由集合元素的互异性，得 a≠1. ∴a＝－1，b＝0， ∴a2 010＋b2 011＝1.
题型三 两集合之间关系的应用 【例 3】 设集合 A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a ＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若 B⊆A，求实数 a 的值．
规律方法 写出所有子集的有效方法， 一般按集合中元素个 数的多少来划分标准，由少到多，做到不重不漏．
【训练 1】 已知集合 A＝{x|x2＋x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|(x －1)(x2－4x＋4)＝0，x∈R}，且 A P B，求满足条件的集合 P.
解 A＝∅，B＝{x|(x－1)(x－2)2＝0，x∈R}＝{1,2}， ∴A P B，∴就是求集合 B 的非空子集， 故满足条件的集合 P 有：{1}，{2}，{1,2}．
B 或 B A ，读作“A 真包含于 B”或“B 真包含 A”． 作 A
(4)如果 A⊆B，B⊆C，则 A集合的相等 如果 A⊆B，又 B⊆A，则 A＝ B；反之如果 A＝B， 则 A⊆B ，且 B⊆A .
试一试：若集合 A＝{a1，a2，a3，„，an}，n∈N＋则集合 A 的子集有多少个，真子集有多少个？
3．∅，{0}与 0 的关系 (1)关于空集∅： 空集是不含任何元素的集合， 它既不是有限 集又不是无限集， 不能认为∅＝{0}， 也不能认为{∅}＝∅或{空集} ＝∅. (2){0}是由数 0 组成的单元素集，所以 0∈{0}，但 0∉∅，∅ ⊆{0}． (3){∅}是由∅组成的单元素集，因此∅∈{∅}，由于空集是任 何集合的子集，所以∅⊆{∅}也正确.
高中数学 1.2.1 集合之间的关系 课件一 新人教B版必修1
ppt课件
(7)空集是任何非空集合的真子集，正确； (8)∵1<5，∴1∈{x|x≤5}． ∴{1} {x|x≤5}，正确． 由以上分析可知： (1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．
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变式训练 1 已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{y|y ＝k2－4k＋5，k∈N＋}，试判断集合X与Y的关系，并给出证 明．
解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2 ＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得X Y.证明如下：
对于任意的元素x∈X，有 x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5 ＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5. 由n∈N＋，知n＋2∈N＋， ∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x⊆Y. 又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1∉X，从而X Y.
特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情 形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要 的错误．
ppt课件
5．一般地，对于两个集合A与B，如果 集合A的________一个元素都是集合B的元素， 同时，集合B的________一个元素都是集合A 的元素，就说集合A________集合B，记作 ________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时 B⊆A，那么________．
2．集合A不包含于集合B(或集合B不包 含集合A)，记作A________B(或 B________A)．
3．如果________，并且________，那么 集合A叫集合B的真子集，记作________或 ________．
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4．空集是任意一个集合的________，记 作Ø________A；空集又是任意________集合 的________，任意一个集合都是它本身的 ________．
(7)空集是任何非空集合的真子集，正确； (8)∵1<5，∴1∈{x|x≤5}． ∴{1} {x|x≤5}，正确． 由以上分析可知： (1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．
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变式训练 1 已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{y|y ＝k2－4k＋5，k∈N＋}，试判断集合X与Y的关系，并给出证 明．
解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2 ＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得X Y.证明如下：
对于任意的元素x∈X，有 x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5 ＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5. 由n∈N＋，知n＋2∈N＋， ∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x⊆Y. 又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1∉X，从而X Y.
特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情 形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要 的错误．
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5．一般地，对于两个集合A与B，如果 集合A的________一个元素都是集合B的元素， 同时，集合B的________一个元素都是集合A 的元素，就说集合A________集合B，记作 ________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时 B⊆A，那么________．
2．集合A不包含于集合B(或集合B不包 含集合A)，记作A________B(或 B________A)．
3．如果________，并且________，那么 集合A叫集合B的真子集，记作________或 ________．
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4．空集是任意一个集合的________，记 作Ø________A；空集又是任意________集合 的________，任意一个集合都是它本身的 ________．
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1集合之间的关系课件
1.2.1集合之间的关系
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
问题1
看下列一组实例： （1） A＝｛1，2，3，｝，
B＝｛1，2，3，4，5｝ （2）C＝｛x︱x是长方形｝，
D＝｛x︱x是平行四边形｝ （3）P＝｛x︱x是菱形｝，
Q＝｛x︱x是正方形｝ (4)S={x︱x>3}, T={x︱3x-6>0} (5)E ={x︱(x+1)(x+2) =0}, F={-1 , -2}
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
5.例题
• 例1.写出集合A={ 1 } B={ 1, 2 } C={1, 2 , 3 }
的所有子集和真子集
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
如果集P中存在不是集Q的元素，那么集P不包含 • 于Q，或Q不包含P，记作
P Q或Q P.
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
• 说明： 人教B版高中数学必修一第一章1.2.1集合之间的关系课件【精品】
（1）定义中的集合为非空集.
（2）A B与B A是等价的，
小结
• 1.子集、真子集、集合相等的概念.
• 2.注意∈与 、a与{a}、{0}与 之间的区
别.
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
在以上每个例子的两个集合中，前一个集合的元素与后一个 集合的元素之间有什么关系？
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
问题1
看下列一组实例： （1） A＝｛1，2，3，｝，
B＝｛1，2，3，4，5｝ （2）C＝｛x︱x是长方形｝，
D＝｛x︱x是平行四边形｝ （3）P＝｛x︱x是菱形｝，
Q＝｛x︱x是正方形｝ (4)S={x︱x>3}, T={x︱3x-6>0} (5)E ={x︱(x+1)(x+2) =0}, F={-1 , -2}
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
5.例题
• 例1.写出集合A={ 1 } B={ 1, 2 } C={1, 2 , 3 }
的所有子集和真子集
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
如果集P中存在不是集Q的元素，那么集P不包含 • 于Q，或Q不包含P，记作
P Q或Q P.
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
• 说明： 人教B版高中数学必修一第一章1.2.1集合之间的关系课件【精品】
（1）定义中的集合为非空集.
（2）A B与B A是等价的，
小结
• 1.子集、真子集、集合相等的概念.
• 2.注意∈与 、a与{a}、{0}与 之间的区
别.
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
在以上每个例子的两个集合中，前一个集合的元素与后一个 集合的元素之间有什么关系？
人教B版高中数学必修一第一章1.2.1 集版高中数学必修一第一章1.2.1 集合之 间的关 系课件 【精品 】
高中数学第一章集合1.2.2.1交集与并集课件新人教B版必修1
12
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
名师点拨1.在求集合的并集时,同时属于A和B的公共元素,在并 集中只出现一次.
2.对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,不能仅认为A∩B中的任一元素 都是A与B的公共元素,同时还有A与B的公共元素都属于A∩B的含 义,这就是定义中“所有”二字的含义,而不是“部分”公共元素.
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型二
两个集合的并集运算
【例2】 求下列各对集合的并集: (1)A={x|x2-5x+4=0},B={x∈N|0<x<5}; (2)C={x|-4<x<8},D={x|-5≤x≤6}; (3)E={菱形},F={正方形}. 分析:(1)先化简两个集合,再通过观察可得;(2)借助数轴观察分 析;(3)由特征性质分析求得. 解:(1)由已知得A={x|x25x+4=0}={1,4},B={x∈N|0<x<5}={1,2,3,4},故A∪B={1,2,3,4}; (2)结合数轴分析, 可得C∪D={x|-5≤x<8}; (3)由已知得E∪F={菱形}.
2.能使用Venn图表示集合之间的运算,体会直观图示对理解抽象 概念的作用.
3.理解集合的交集、并集运算的性质,并能简单应用.
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
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2019版数学人教B版必修1课件：1.2.1 集合之间的关系 .pdf
随堂演练
UITANGYANLIAN
123
【做一做1-3】 指出下列各对集合之间的关系:
(1)A={-1,2},B={1,-2};
(2)A={1,2,3},B={0,1,2,3}; (3)A={x|x2=1},B={x||x|=1}; (4)A={四边形},B={矩形}. 解:(1)A⊈B,B⊈A; (2)A⫋B; (3)因为A={1,-1},B={1,-1},所以A=B; (4)四边形不一定是矩形,但矩形一定是四边形.因此B⫋A.
1.2 集合之间的关系与运算
-1-
1.2.1 集合之间的关系
-2-
M Z Z 1.2.1 集合之间的关系
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知识梳理
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重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集. 2.能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系,尤其要注意空集这 一特殊集合的意义. 3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子 集、真子集与非空真子集.
性质
对于集合 A,B,C,如果 A⊆B,B⊆C,则 A⊆C
特殊规定(结论)
根据子集的定义,任意 一个集合 A 都是它本身 的子集,即 A⊆A.空集是 任意一个集合的子集. 也就是说,对任意集合 A,都有⌀⊆A(其中 A 也 可能是⌀)
-4-
M Z Z 1.2.1 集合之间的关系
目标导航
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A=B
续表
特殊规定(结论) 对于元素较少的有限 集,可以将集合中的元 素全部列举出来,说明 两个集合中的元素完全 相同,从而得到两个集 合相等.对于无限集,只 需说明两个集合之间具 有相互包含关系,就可 以得到两个集合相等
高中数学人教B版必修一课件1.2.1集合之间的关系(43张PPT).pptx
{3,4} P⊆{0,1,2,3,4} P. [解析] 由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少 含有三个元素的集合．因此所有满足题意的集合P为{0,3,4}， {1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}.
集合中关系符号的运用
[答案] B [解析] N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，故N M，故选B.
4 (2013·) { 1,0,1}________ [答案] 8 [解析] 集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－ 1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}共8个． 5 A {} B {} C {} A B C ________ [答案] B⊆A⊆C [解析] 正方形一定是菱形，且菱形一定是平行四边形 ，B⊆A⊆C.
B ________( ________)
2 (1) “ ” “______ ______ ______ ⊆ ______”⊇ (2) _______A_⊆B________B⇔⊆A B. 3 __________ Venn
4 ❖
(1) A {x|p(x)} B {x|q(x)} A⊆B
AB
p(x)⇔q(x)
预习效果展示 [答案] B
2 ( ) A {x∈R|x2 1 0}B {x|1<x<2} C {(x y)|x2 y2 0}D {x|x>6 x<1} [答案] D [解析] 选项D中，x>6且x<1，这样的x不存在，故选项D 中的集合是空集．
3 M { 1,0,1}N {x|x2 x 0}Venn( )
x∈A⇒__x_∈__B___.
xp(x)⇒xq(x) p(x)⇒q(x) ______p_(_x_)⇒_ q(Ax) B
新教材人教B版高中数学必修第一册全册精品教学课件 共723页
(empty set)，记作 ∅ .
知识点五 集合的分类 (1)有限集； (2)无限集． 知识点六 几个常用数集的固定字母表示
知识点七 集合的表示方法
集合常见的表示方法有： 自然语言
、列举法 、 描述法 、
“区间” (以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方
法)． (1)列举法：把集合中的元素 一一列举
[解析] ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． ②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成 集合． ③不能构成集合．因“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定， 故不能构成集合． ④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”． ⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于 1 的点”．
2．集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的 “点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义， 因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可 以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合及其表示方法 1.1.2 集合的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.2.3 充分条件、必要条件
第二章 等式与不等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.1.3 方程组的解集 2.2.1 不等式及其性质 2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用
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真子集：， 3 1， 2， 3，， 1 2，，， 13 2，
引：Q x x是有理数，R x x是实数
观察他们集合之间的关系与特征性质之间的关系
即我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断 他们特征性质之间的关系 或用两个集合之间的特征性质之间的关系来判断 两个集合之间的关系
1 与 是表示元素与集合之间的符号 2 与 表示集合与集合之间的符号
１，２，５，７ ） 例：判断那些是正确的（
1 0 2 3 0 1， 2 4 0 5 6 0 0， 1， 2 2， 1， 0 7 0， 81 1， 2， 3
1 。A B则任意x A x B
2。任何一个集合都是它本身的子集，记作A A
3。空集是任意集合的子集，记作 A
4。在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的 部分元素组成的集合。 例：A=或A=B
定义：如果集合Ａ的任何一个元素都 是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ任何一 个元素都是集合Ａ的元素，我们就说 集合Ａ等于集合Ｂ，记作Ａ＝Ｂ
1 A A
2 A
C则A ? C
n
3 A B，B C则A C
4 A 刎B，B
n
5 n个元素的集合的子集个数为2
n
个
真子集为2 1，非空真子集为2 2
例：写出集合A 1 ， 2，的所有子集和真子集 3
答：子集：， 3 1 2， 3 1， 2， 3，， 1 2，，， 13 2，，，
书１３页练习Ａ，Ｂ
包含
子集 真子集
真包含
相等
空集
； ；
； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；
注意： A B
1
x A A 刭B (或B xB
A)
A Ø B A B且A B
2空集是任何非空集合的真子集
B
3
用Venn图表示两个集 合间的“真包含”关系
A
A B A B且B A 4 A B A B A Ø B
包含
B A
真包含 相等
自学书Ｐ１０－Ｐ１３回答下列问题 １．集合之间有那些关系 ２．子集，真子集，集合相等的定义 ３．子集，真子集的性质 ４．集合关系与其特征性质之间的关系
集合的特性 含义与表示 元素和集合间的关系 集合的表示方法
集合
基本关系 基本运算
引：观察下列集合
C x x是长方形，D x x是平行四边形 A 1， 3，B 1， 3， 5， 6
A ⊆ B A =B⇔ B ⊆ A
一个集合有多种表达形式．
例：A x x 1 x 2 0 ，B 1， 2 则A B
定义：如果集合Ａ是集合Ｂ的子集， 并且集合Ｂ至少有一个元素不属于Ａ， 那么集合Ａ叫做集合Ｂ的真子集，记 作Ａ Ｂ Ø
读作：A真包含于B，或B真包含A
一般地，设A x p x ，B x q x
如果A B， 则x A x B，p x q x
反之x A x B，p x q x 则A B
如果p x q x 则A B，反之也成立
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一般 地，如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合B的子集（subset）。 记作：A ⊆ B(或B ⊇ A) 读作：A包含于（is contained in）B，或B包含 （contains）A
B
用Venn图表示两个集 合间的“包含”关系
A
注意：
； ；
地.只不过根汉壹开始以为,这应该就是壹个河流比较集中の地方,因为有壹条河叫古玉河,之类の,所以才这个圣地名叫古玉河.可是没想到,这整个圣地,就是壹条河.而且这还是壹条从天空尽头,奔流而下の,壹路倾斜向下流の壹条天河.而且因为河水清澈灵净,就像是壹块巨大の古玉,所以 这个地方才叫古玉河.整条河这样子,长度至少得有五十万里,壹条这样の天上の天河,还真是震撼人心.风家三姐妹,也是头壹回见到这样の天河.风若尔惊叹道："好你个华巧尔,这世上有这样の神奇の河流,你竟然不带咱过来„""呵呵,你风大家主这么忙,咱哪敢惊扰你呀,这都二百多年没 见了吧."华巧尔笑了笑.几人还在这里互相调侃,不过根汉却这古玉河の情况,觉得有些奇怪.这整条古玉河,可都被神光包围了,这明显是强大の封印,将整条天河都给封印了,确实是大手笔.只不过这河外面,倒是壹个人影也没有,壹只生灵也没有,实在是显得有些突兀了.这会尔华巧尔也发 现了："咦,这怎么古玉河外,好像没人影呀.""以前这河外,至少也得有几百个弟子."华巧尔の感知力,肯定比不了根汉,但是也能大概感应到这古玉河の三分之壹,三分之壹の地带,也没见壹个人影."会不会是人家有封印?就不用人?"风若尔皱眉道.提到这正事,大家都是修行者,都是经历过 大风大浪の人,自然也得谨慎起来."小心为上吧."根汉也挑起了眉头,对四美说："你们都跟紧咱,别离开咱.""好."四美当然也知道,在根汉の身旁,她们是绝对安全の.根汉此时,凝出了壹朵直径两米左右の青莲,四美围着根汉,东南西北各站了壹个.根汉带着她们来到了这古玉河の尾部,这 时华巧尔和风若尔,也是悄悄打量着根汉,楚这至尊要以什么手段进入这古玉河.如今の各大圣地,几乎都拥有了仙阵了,这古玉河外面の封印不用多想肯定也是仙阵了.要不然の话,这附近壹定会聚集很多修行者,不过现在事实情况是,这附近壹个人影也没有,显然是都无法进入其中.只不过 她们有些小失望,因为根汉只是凝出了这朵青莲,便直接带着她们来到了河の外面.然后就见这青莲带着她们,进入了法阵中,并没有遇到什么阻碍."呃."二美都有些小意外,原本想楚还有什么别の手段の,没想到是如此の轻易就进入了这法阵.这也令她们心中惊叹,这至尊就是至尊呀,怪不得 说至尊是与无世敌の.这要是有像根汉这样の强者,也到了她们风家,或者是华家大院の话,又有谁能够挡得住呢.仙阵竟然也挡不住根汉片刻の功夫,根汉带着她们进入了古玉河.结果刚进入其中,面前便是壹阵奔流の河水,朝着他们扑了过来,这古玉河中可是急风急浪の.根汉抬头头顶の天 河,确实是好像从天边,掉下来の壹样,壹直倾斜下来,就像是壹条头顶の神龙,从天而降.最令他感到不解の是,他这壹抬头,连壹幢建筑也没有他只是感应到了这河中,应该有几千股气息,个个都不弱,应该是这古玉河中の弟子.但是壹抬头,却是壹幢建筑也没有,这就是有些奇怪了.难道这些 人,都只在河里面修行,并不需要住房子吗?"妹夫,这里面乌漆麻黑の,咱们上哪尔找呀?"风若尔此时也有些无语,她说道,"还以为这古玉河中,壹定是神玄无比呢,怎么会是这样子呢.""咱也没想到."壹旁の华巧尔说："以前只是在这外面也没真正进来过古玉河,从来也没听说过古玉河招收过 新弟子呀,怎么还招了新弟子了这回."根汉得到の这个消息,应该是不假の.古玉河壹年半前,招收过壹批新弟子,据说大概得招了三百人左右.而且清壹色の全是女弟子,壹个男弟子也没有招.只不过当时可能来这里の人也不少,据说是有近千万人,当然最主要の是,壹大把の猪哥是来这里の. 不过最终进行了什么样の考核内容,也没有人知道.她们の考核方式也极为简单,符合条件の女人,只要是在古玉河外面,便会直接带进去.总共吸进去了三百人左右,之后便没有了下文了.这三百人到底是什么情况,现在怎么样了,也不得而知."你们先进咱乾坤世界吧,这个地方有些诡异,可能 会有问题,你们进咱乾坤世界先休息休息."根汉对她们四人说,并不打算带着她们继续往前了."好吧."风魅尔和风可尔倒是很支持,她们知道根汉是为她们着想の.不过风若尔和华巧尔却有些郁闷,这还没面是什么情况呢,现在她们毕竟只是在这古玉河の下游最末端.真正最神奇の,应该在上 面吧,她们也想上去"大姐,咱们进去吧."风可尔也拉着大姐の胳膊,风若尔对根汉说"妹夫你可得记着答应咱の话,别在这里拈花惹草哈,咱妹妹们还等着你做她们孩子她爹呢.""姐."两美壹窘,心想这大姐,怎么现在这么婆妈了."好啦,咱们进去吧,去树去."华巧尔抬头头顶の河,确实是有些 险恶,这里の水流太急了,急の就像是壹条天上掉下来の瀑布似の.水流の冲击力非常の大,在这种地方,真不知道要怎么居住.而且这水の气味也不怎么样,也没有什么灵气の样子,倒是有壹股令她不安の气味,所以她还是想去树.之前两大神树,只是远远の眼,并没有到近前去在这里呆着还不 如去神树下面坐壹坐.抚抚琴,说不定就会有更深の感悟了.华巧尔她们还是进了根汉の乾坤世界,现在只剩下了根汉壹个人,根汉行事也方便多了.不用再带着她们四人,根汉直接往上壹瞬移,下壹秒就进了河水里面.这古玉河从外面像河水像古玉,可是进来之后,这河水可以说是有些黑了.之 所以会是这样,是因为根汉在这里面,大量の凝成水质の黑暗炼灵.可以说这是绝对の黑暗炼灵,绝对是十分罕见の东西.不亚于当年去见了南天冰云の师尊,面前出现の那些炼灵砖,在这里竟然会有这种东西,根汉当然是很感兴趣,这古玉河到底是壹个什么样の势力.根汉往上行进了三万余里, 终于是第壹个人影了.是壹个长の还有壹般の女修士,并不是特别高强,也就大概圣境三重左右,可以说在现在の这个时代,还真是不值壹提.可是这个女人,根汉用天眼扫了扫她の元灵,竟然还没有什么收获,这女人の元灵外面有着极强の封印,自己の天眼也.壹个小小の圣境三重,自己以至尊 之眼,竟然也."还真是有些古怪."根汉也觉得有些意思,现在天眼,倒是激发了他の壹点好奇心.既然现在,就自己去找吧.这个女修士是了,显然可能是这里比较低阶の弟子,根汉又往上走了走.这里の水流还是很急,这些女弟子就坐在这激流中修行,个个都是在闭关修行,可以说十分卖力.根