第二讲 误差处理
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第2章 误差分析及处理讲解
系统误差可被设法确定并消除（引入校正值（函数）、 零点调整等）
2、 随机误差
定义：同一被测量多次测量时，误差的绝对值 和符号的变化不可预知.
特点：单次测量值误差的大小和正负不确定； 但对一系列重复测量，误差的分布有规律：服 从统计规律。
随机误差与系统误差之间即有区别又有联系； 二者无绝对界限，一定条件可相互转化。
f( )
1＝0.5
2 =1.0
3=2.0
图1－2 随机误差的正态分布曲线
越小 ，精密度越高
1、真值
＝lim n
1 n
n i 1
xi
为什么？p13
2、 标准误差或均方根差
lim n
1 n
n
i2
i 1
lim n
1 n
n i 1
( xi
解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置 信区间。
(1) 求出五次测量的平均值 x
x
1 5
5 i 1
xi
989 .69(
0C
)
(2)求 x的标准误差估计值 ˆ x
ˆ x
1 5 4
5
( xi
i 1
x)2
4.85(0 C)
(3)根据给定的置信概率P=95%求得显著性水平a=1P=0.05和自由度v=5-1=4，查表2－2，得 t(0.05,4)=2.78。所以测量结果为
第2章 测量误差的分析与处理
主要内容 2.1 测量误差的概念 2.2 直接测量值的误差分析与处理 2.3 间接测量误差的分析与处理 2.4 系统误差 2.5 误差的综合
研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析误差产生原因，以便 减小和消除误差；
2、 随机误差
定义：同一被测量多次测量时，误差的绝对值 和符号的变化不可预知.
特点：单次测量值误差的大小和正负不确定； 但对一系列重复测量，误差的分布有规律：服 从统计规律。
随机误差与系统误差之间即有区别又有联系； 二者无绝对界限，一定条件可相互转化。
f( )
1＝0.5
2 =1.0
3=2.0
图1－2 随机误差的正态分布曲线
越小 ，精密度越高
1、真值
＝lim n
1 n
n i 1
xi
为什么？p13
2、 标准误差或均方根差
lim n
1 n
n
i2
i 1
lim n
1 n
n i 1
( xi
解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置 信区间。
(1) 求出五次测量的平均值 x
x
1 5
5 i 1
xi
989 .69(
0C
)
(2)求 x的标准误差估计值 ˆ x
ˆ x
1 5 4
5
( xi
i 1
x)2
4.85(0 C)
(3)根据给定的置信概率P=95%求得显著性水平a=1P=0.05和自由度v=5-1=4，查表2－2，得 t(0.05,4)=2.78。所以测量结果为
第2章 测量误差的分析与处理
主要内容 2.1 测量误差的概念 2.2 直接测量值的误差分析与处理 2.3 间接测量误差的分析与处理 2.4 系统误差 2.5 误差的综合
研究误差的意义
正确认识误差的性质，分析误差产生原因，以便 减小和消除误差；
第2章 测量误差分析及处理-2
RV US U0 U S RV RS 1 RS / RV
U0 US RS V U0 RV
将RV=10 M Ω,RS=10 KΩ带入上式，得 方法误差
104 V 7 0.1％ 10
第7页
电子测量技术
2.1.2 测量误差的来源（续）
电压表本身的仪器误差
随机误差定义：测量结果与在重复性条件下，对同一被测 量进行无限多次测量所得结果的平均值之差
i xi x
(n )
第11页
电子测量技术
2.1.3 测量误差的分类（续）
3.粗大误差：
粗大误差是一种显然与实际值不符的 误差。产生粗差的原因有：
①测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实 验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。 ②测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接 测高内阻电源的开路电压
减小途径：提高测量操作技能，严格按照仪器使 用说明书中规定的方法步骤进行操作。
（3）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、 反应速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等 原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错 或数据读取疏失等而引起的误差。
第3页
电子测量技术
2.1.2 测量误差的来源（续）
减小途径：提高测量者的操作技能和工作责任心， 采用更合适的测量方法，采用数字式显示的客观 读数。 （ 4 ）影响误差： 由于各种环境因素（温度、湿 度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的 条件不一致而引起的误差。
(0.005％
2 100％) 0.007％ 100225
可见这里的方法误差较仪器误差大得多。
测得值U0与实际值US间有确定的函数关系，只要知道RS、 RV和U0，那么这里的方法误差可以得到修正。
第02章_测量误差分析与处理(含第1次作业)
测量中，采用适当的技术措施，抑制和减小随机误差;
戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使 干涉条纹疏密适当，实验人员尽量远离测量光路；适当增加重 复测量次数取算术平均值等
测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。 对采集的测量干涉图进行预处理，如低通滤波、平滑滤波等方法 来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则(fǎzé)可以有效消除低频 随机噪声。
操作人员的装夹调整不当，引起测量干涉图像质量低、条纹疏密不 当；
采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小，造成较大的离散化采样 误差。
共八十页
减小激光干涉(gānshè)法测量表面张力随机误差的
技术途径
测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源; 防震台充气减震；关闭空调，减少气流；开机对激光器预热。
1. 误差(wùchā)的概念 2. 误差的基本表示方法 3. 误差的分类 4. 精密度、准确度和精确度 5. 不确定度
共八十页
2.1.1 测量误差的概念(gàiniàn)
测量误差的定义
(dìngyì)
测量误差
被测量的真值
xX0
测定值（测量结果）
共八十页
测量误差的概念(gàiniàn)—测定值(测量结 果)
共八十页
系统误差和随机误差相互(xiānghù)转化
如：现有一支一等水银温度计，它的刻度误差在制造时 可能是随机的，但用此温度计来校准一批二等温度计时， 该温度计的刻度误差就会造成被校准的这一批温度计的
系统误差。
又如，由于温度计刻度不准，用它来测量某恒温槽
（thermostatic bath）的温度时必带来系统误差，但如 果采用多个温度计测此温度，由于每支温度计的刻度 误差有大有小，有正有负，就使得(shǐ de)这些测量误差 具有随机性。
戴工作手套装夹工件，调整光路要尽量减少离焦、倾斜，并使 干涉条纹疏密适当，实验人员尽量远离测量光路；适当增加重 复测量次数取算术平均值等
测量后，对采集的测量数据进行适当处理，抑制和减小随机误差。 对采集的测量干涉图进行预处理，如低通滤波、平滑滤波等方法 来消除中高频随机噪声，用高通滤波法则(fǎzé)可以有效消除低频 随机噪声。
操作人员的装夹调整不当，引起测量干涉图像质量低、条纹疏密不 当；
采集干涉图像的摄像头变焦倍数过小，造成较大的离散化采样 误差。
共八十页
减小激光干涉(gānshè)法测量表面张力随机误差的
技术途径
测量前，找出并消除或减小其随机误差的物理源; 防震台充气减震；关闭空调，减少气流；开机对激光器预热。
1. 误差(wùchā)的概念 2. 误差的基本表示方法 3. 误差的分类 4. 精密度、准确度和精确度 5. 不确定度
共八十页
2.1.1 测量误差的概念(gàiniàn)
测量误差的定义
(dìngyì)
测量误差
被测量的真值
xX0
测定值（测量结果）
共八十页
测量误差的概念(gàiniàn)—测定值(测量结 果)
共八十页
系统误差和随机误差相互(xiānghù)转化
如：现有一支一等水银温度计，它的刻度误差在制造时 可能是随机的，但用此温度计来校准一批二等温度计时， 该温度计的刻度误差就会造成被校准的这一批温度计的
系统误差。
又如，由于温度计刻度不准，用它来测量某恒温槽
（thermostatic bath）的温度时必带来系统误差，但如 果采用多个温度计测此温度，由于每支温度计的刻度 误差有大有小，有正有负，就使得(shǐ de)这些测量误差 具有随机性。
【资料】误差处理2.汇编
Dij
cij
0
Xi X j
0
0
Dij
dij
0
Yi Yj
0
0
Dij
eij
0
Zi Z j
0
0
误差方程矩阵形式 V DB D xlD , P D
联合平差中法方程的构建和求解
误差方程矩阵形式
VA tBx l,
P
VD BDxlD,
PD
法方程解的矩阵形式
x t B A T T P PB A A T P A T P B D T P D B B D 1 B T P A T B P lD T P D llD
空间距离 D ij(X i X j)2 (Y i Y j)2 (Z i Z j)2
j (Xj,Yj,Zj)
i (Xi,Yi,Zi)
误差方程 v i j c iX ji c iX jj d iY j i d iY j j e iZ j i e iZ jj ( D i j D i 0 ) j p D
将GPS摄站坐标视为带权观测值引入自检校光 束法平差所得到的一个基础方程
Vx AtBxCc
lx 权E
Vc Exx
lc 权Pc
Vs
Ecc
ls 权Ps
Vg At
RrDdlg 权Pg
GPS辅助光束法法方程
BTABT+BPc
BTA ATAATPgA
光束法区域网平差
以一幅影像所组成的一束光线作为平差的基本 单元，以中心投影的共线方程作为平差的基础 方程，通过各个光线束在空间的旋转和平移使 同名光线实现最佳的交会，并使整个区域最佳 地纳入到地面控制点坐标系统中，从而求得像 片的定向参数及加密点的地面坐标。
误差处理
误差与数据处理一、测量与误差1、所谓测量：就是用计量仪器对被测物理量进行量度。
2、测量值：用测量仪器测定待测物理量所得的数值。
3、真值：任一物理量都有它的客观大小，这个客观量称为真值。
最理想的测量就是能够测得真值，但由于测量是利用仪器，在一定条件下通过人来完成的，受仪器的灵敏度和分辨能力的局限性，环境的不稳定性和人的精神状态等因素的影响，使得待测量的真值是不可测得的。
4、误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的偏差，这种偏差就称为测量值的误差。
设被测量的真值为 a,测量值为x,则测量误差为我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。
5、测量的任务是：（1）设法使测量值中的误差减到最小。
（2）求出在测量条件下被测量的最近真值。
（3）估计最近真值的可靠程度二、误差的分类：1、系统误差：●系统误差：在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差叫系统误差。
当条件发生变化时，系统误差也按一定规律变化。
系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。
例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物体质量总是偏大或偏小；再例如当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时。
●产生系统误差的原因：（1）仪器误差：由测量仪器、装置不完善而产生的误差。
（2）方法误差（理论误差）：由实验方法本身或理论不完善而导致的误差。
（3）环境误差：由外界环境（如光照、温度、湿度、电磁场等）影响而产生的误差。
（4）读数误差：由观察者在测量过程中的不良习惯而产生的误差。
●系统误差的消除：由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。
例如：对不等臂天平，可以用交换被测物和砝码的位置，分别测出被测物质量和，则待测物的质量2、偶然误差●偶然误差（随机误差）：在同一条件下，多次测量同一物理量时，测量值总是有稍许差异而变化不定，这种绝对值和符号经常变化的误差称为偶然误差。
第二章 测量误差分析和处理
2.8 测量不确定度
第2章 2.8.1 概述 2.8.2 不确定度的评定 2.8.3 不确定度的合成 2.9 有效数字及其计算规则 2.9.1 有效数字 2.9.2 计算规则
2.1 随机误差的分布规律 2.1.1 随机误差的正态分布性质 2.1.2 正态分布密度函数与概率积分
2.1.1 随机误差的正态分布性质 (1)有界性 在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、 相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。 (2)单峰性 随机误差具有分布上的单峰性。 (3)对称性 大小相等、符号相反的随机误差出现的概率相同，其分 布呈对称性。 (4)抵偿性
2.2.2 均方根误差的估计与贝塞尔公式
2.2.3 测量结果的置信度
2.2.3 测量结果的置信度
图2-3 P(-λ≤μ≤+λ)的图形解释
2.2.4 测量结果的误差评价 1.标准误差 2.极限误差
1.标准误差
标准误差实际上是相应于置信概率P=0.683的误 差限。在一定置信概率之下，高精密度的测量得 到较小的误差限，低精密度的测量具有较大的误 差限。
图２-２ 不同σ值的正态分布曲线
2.1.2 正态分布密度函数与概率积分
表2-1 ϕ(z)=22π ∫z0expdz－z22数值简表
2.2 直接测量误差分析与处理 2.2.1 算术平均值原理、真值的估计 2.2.2 均方根误差的估计与贝塞尔公式 2.2.3 测量结果的置信度 2.2.4 测量结果的误差评价 2.2.5 小子样误差分析、t分布及其应用 2.2.6 非等精度测量与加权平均
2.2.5 小子样误差分析、t分布及其应用
2.2.6 非等精度测量与加权平均
第2章 2.3 间接测量误差分析与处理 2.3.1 误差传布原理 2.3.2 间接测量误差分析在测量系统设计中的应用 2.4 组合测量的误差分析与处理 2.4.1 最小二乘法原理 2.4.2 正规方程、未知参数最佳估计值的求取 2.4.3 组合测量的误差 2.5 粗大误差
第2章 2.8.1 概述 2.8.2 不确定度的评定 2.8.3 不确定度的合成 2.9 有效数字及其计算规则 2.9.1 有效数字 2.9.2 计算规则
2.1 随机误差的分布规律 2.1.1 随机误差的正态分布性质 2.1.2 正态分布密度函数与概率积分
2.1.1 随机误差的正态分布性质 (1)有界性 在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、 相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。 (2)单峰性 随机误差具有分布上的单峰性。 (3)对称性 大小相等、符号相反的随机误差出现的概率相同，其分 布呈对称性。 (4)抵偿性
2.2.2 均方根误差的估计与贝塞尔公式
2.2.3 测量结果的置信度
2.2.3 测量结果的置信度
图2-3 P(-λ≤μ≤+λ)的图形解释
2.2.4 测量结果的误差评价 1.标准误差 2.极限误差
1.标准误差
标准误差实际上是相应于置信概率P=0.683的误 差限。在一定置信概率之下，高精密度的测量得 到较小的误差限，低精密度的测量具有较大的误 差限。
图２-２ 不同σ值的正态分布曲线
2.1.2 正态分布密度函数与概率积分
表2-1 ϕ(z)=22π ∫z0expdz－z22数值简表
2.2 直接测量误差分析与处理 2.2.1 算术平均值原理、真值的估计 2.2.2 均方根误差的估计与贝塞尔公式 2.2.3 测量结果的置信度 2.2.4 测量结果的误差评价 2.2.5 小子样误差分析、t分布及其应用 2.2.6 非等精度测量与加权平均
2.2.5 小子样误差分析、t分布及其应用
2.2.6 非等精度测量与加权平均
第2章 2.3 间接测量误差分析与处理 2.3.1 误差传布原理 2.3.2 间接测量误差分析在测量系统设计中的应用 2.4 组合测量的误差分析与处理 2.4.1 最小二乘法原理 2.4.2 正规方程、未知参数最佳估计值的求取 2.4.3 组合测量的误差 2.5 粗大误差
大学物理实验-误差处理
逐差法是一种处理实验数据的方法，通过计算相邻数据之间的
差值，消除一些系统误差的影响，提高数据的精度。
逐差法应用
02
在处理具有周期性变化或线性关系的实验数据时，逐差法可以
有效地减小误差，提高数据的可靠性。
注意事项
03
在使用逐差法时，要注意数据的选择和处理方式，避免引入新
的误差。
最小二乘法拟合直线
最小二乘法概念
熟练技能
提高实验操作技能，减少操作过程中的随机误差。
多次测量
对同一物理量进行多次测量，以减小偶然误差的 影响。
环境条件对实验结果影响
温度
温度变化会影响仪器稳定性和测量准确度，需保持恒温环境。
湿度
湿度过高可能导致仪器受潮、生锈等问题，影响测量精度。
电磁干扰
电磁场会对电子仪器的测量结果产生干扰，需采取屏蔽措科研项目和学术活动，了解 学科前沿动态和最新研究成果，培养 科研素养和创新意识。
THANKS.
扩展不确定度及应用
扩展不确定度定义
扩展不确定度是在合成不确定度的基础上， 考虑包含因子而得到的更广泛意义上的不确 定度。它表示了测量结果可能落入的区间范 围。
扩展不确定度的应用
扩展不确定度在科研、工程等领域中具有广 泛的应用。它可以帮助研究人员了解测量结 果的可靠性，为决策提供依据。同时，扩展 不确定度也是实验结果比较、仪器校准、标 准制定等方面的重要参考指标。
问题解决能力
面对实验中遇到的问题和困难，我能够积极思考并寻找解决方法，问题解决能力得到了提 高。
对未来学习建议
深入学习误差理论
建议进一步学习误差理论的相关知识，掌握更复杂的误差 处理方法和技术，提高实验数据的准确性和可靠性。
误差的基本性质与处理
第２章 误差的基本性 质与处理
单击此处添加文本
第１节 随机误差
01 测量列：对同一量， 多次等精度重复测 量……
02 每个测量值都含有 误差，就个体而言 是无规律的。但从 总体上，随机误差 服从一定的统计规 律。可以用统计学 的方法，从理论上 估计随机误差对测 量结果的影响。
01 随机误差产生的原因：
01
随机误差产生的原因也可以认为是由不可 控制的或不值得耗费很大财力物力去消除 的各种因素造成的。在这些随机因素中， 有的我们已经认识到，估计到，有些我们 可能尚未发现，但是它们肯定是影响测量 的次要因素。
02
在某些情况，经剔除后尚残存的那些数值 微小、符号可变可不变的系统误差也混在 随机误差中间。测量时把一切次要因素都 统统考虑进去是不必要的，有时也是不可 能的。科学的方法正是要抓住主要的，忽 略次要的因素，并估价次要因素造成的影 响范围，从而得到可以信赖的结果。随机 误差越小，测量结果的精密度越高。
n1
n1 （德国）
• 由列上相页应图 小中 的可 误以 差看就出占，优标势准，误任差一测的量数值值对小算，术则平该均测值量的
分散就小，测量的可靠性就大，即测量精度高；反之，
测量精度就低。
• 是正态分布曲线
f (x)
1
e x2 22
的拐点
（曲线凹凸性发生改变的点，由曲线2上各点切线方向的
走向确定）。
f
f
f
y1 x1 x11 x2 x21
xn xn1
y2
f x1
x12
f x2
x22
f xn
xn2
f
f
ym x1 x1m x2 x2m
f xn
xnm
单击此处添加文本
第１节 随机误差
01 测量列：对同一量， 多次等精度重复测 量……
02 每个测量值都含有 误差，就个体而言 是无规律的。但从 总体上，随机误差 服从一定的统计规 律。可以用统计学 的方法，从理论上 估计随机误差对测 量结果的影响。
01 随机误差产生的原因：
01
随机误差产生的原因也可以认为是由不可 控制的或不值得耗费很大财力物力去消除 的各种因素造成的。在这些随机因素中， 有的我们已经认识到，估计到，有些我们 可能尚未发现，但是它们肯定是影响测量 的次要因素。
02
在某些情况，经剔除后尚残存的那些数值 微小、符号可变可不变的系统误差也混在 随机误差中间。测量时把一切次要因素都 统统考虑进去是不必要的，有时也是不可 能的。科学的方法正是要抓住主要的，忽 略次要的因素，并估价次要因素造成的影 响范围，从而得到可以信赖的结果。随机 误差越小，测量结果的精密度越高。
n1
n1 （德国）
• 由列上相页应图 小中 的可 误以 差看就出占，优标势准，误任差一测的量数值值对小算，术则平该均测值量的
分散就小，测量的可靠性就大，即测量精度高；反之，
测量精度就低。
• 是正态分布曲线
f (x)
1
e x2 22
的拐点
（曲线凹凸性发生改变的点，由曲线2上各点切线方向的
走向确定）。
f
f
f
y1 x1 x11 x2 x21
xn xn1
y2
f x1
x12
f x2
x22
f xn
xn2
f
f
ym x1 x1m x2 x2m
f xn
xnm
大学物理实验—误差处理
但是,n>10以后,n再
增加, s(x) 减小缓
慢,因此,在物理实
0 0 5 5 10 10 15 15
nn
验教学中一般取n为 测量次数对 s(x ) 的影响 6～10次
3、随机误差的正态分布规律：
例，用秒表测单摆的周期T，将各测
量值出现的次数列表如下。 测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10
继续检验，直到无坏值为止。
例 对某物体进行15次测量，测值为：
xi 11.42 11.44 11.40 11.43 11.42
11.43 11.40 11.39 11.30 11.43 11.42 11.41 11.39 11.39 11.40 检测是否有坏值。
计算: x1 nxi 11 5xi 1.1 405
f ()
拐点
对称性 有界性
68.3%
x 0 x
北方民族大学物理实验中心 Fundamental physics experiment 12
标准误差的物理意义
若测量的标准误差 很小，则测得值的
离散性小，重复测量 所得的结果相互接近， 测量的精密度高；
如果 很大，误差 分布的范围就较宽， 说明测得值的离散性 大，测量的精密度低。
次数n
11288522
10
n=30 次
图3 统计直方图
测量值xi 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10
次数n 0 2
4 10 14 16 7
5
1
1
n=60 次
图3 统计直方图
测量xi值 次n数
第二章 误差的基本性质与处理
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
解：计算得到的值分别填于表中，因此有
0.250 mm 0.0330mm 1010 1 0.250 z 1.253 mm 0.0104mm 10 10 1
1.253
4 5
f ( ) d
1 2
可解得或然误差为 ：
2 3
0.6745
第一节 随机误差
图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的 坐标。σ（标准差）值为曲线上拐点A的横坐标，θ （平均误差）值为曲线右半部面积重心B的横坐标， ρ（或然误差）值的横坐标线则平分曲线右半部面积。
x
n
第一节 随机误差
x
n
当n愈大，算术平均值越接近被测量的 真值，测量精度也愈高。
由图可知, x 的减小很 σ一定时，当n>10以后， 慢。因此一般情况下取n=10以内较为适宜。
第一节 随机误差
例2-4 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定 已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为 mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09， 75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。 解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样， 表中的算术平均值为: n
第一节 随机误差
符合正态分布的随机误差分布密度如式（2-2） 所示。 1 2 /( 2 2 ) f ( ) e 2 由此式可知：σ值越小，e的指数绝对值越大， 因而f(δ)减小的越快即曲线变陡。而σ越小，在e 前边的系数变大，即对应于误差为零（δ=0）的纵 坐标也大，即对应零误差的纵坐标也大，曲线变高。 如图2-2所示。
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第二讲 测量与误差处理（一）
1. 测量是按照某种规律，用数据来描述观察到的现象， 是对非量化实物的量化过程。在机械工程里面，测量指将
被测量与具有计量单位的标准量在数值上进行比较，从而
确定二者比值的实验认识过程。
2.测量的四个要素 1）测量对象； 2）计量单位； 3）测量方法； 4）测量的准确度。
引用误差与检测设备的精度有密切关系：精度等级是
以它的允许误差占其量程的百分数来划分的。 我国工业仪表精度等级有：0.005、0.02、0.05、 0.1、0.2、0.35、0.4、0.5、1.0、1.5、2.5、4.0等。 级数越小，精度（准确度）就越高。
1. 正态分布 随机误差是以不可预定的方式变化着的误差，但在 一定条件下服从统计规律 。
3. 部分名词 1）等精度测量：在同一条件下所进行的一系列重复 测量；
2）非等精度测量：在多次测量中对测量测量结果精
确度有影响的条件不能完全维持不变的测量； 3）真值：被测量本身所具有的真正值； 4）测量误差：用测量器具进行测量时测量结果与被 测量真值之间的差异。
按照误差出现的规律，可分为：系统误差、随机误差、 粗大误差；
为无穷次时，所有测量值的算数平均值即等于真值。
2）标准差σ ① 测量列中单次测量的标准差 在等精度测量列中，单次测量的标准差可以按 照贝塞尔（Bessel）公式计算：
v v v n 1
2 1 2 2 2 n
i 1
n
vi2
n 1
由于正态分布概率函数 是一个指数方程，它是随着
y f
分布规律：
1 2
2 2 e 2
对称性、单峰性、有界性、抵偿性。
2. 随机误差的评价指标 由于随机误差大部分按正态分布规律出现的，具有统 计意义，通常以正态分布曲线的两个参数——算术平均值
和均方根误差作为评价指标。
1）算术平均值x 对某一量进行一些列等精度测量时，由于存在随机误 差，其测量值不同，应以全部测量值的算数平均值作为最 后测量结果。由随机误差的对称性可以说明，当测量次数
阿贝—赫尔默特准则——周期性系统误差
5）计算数据比较法
随机误差和标准差变化而变
化的。因此，单次测量的
标准差σ是表征同一被测
量的n次测量的测量值分
散性的参数，如右图。
② 测量列算术平均值的标准差 在多次测量求平均值的测量过程中，必须考虑算 数平均值可靠性的评定标准，测量列算术平均值的标 准差即可作为算术平均值可靠性的标准。
x
x 为算术平均值的标准差（均方根误 上式中，
d 1
几个典型 t值的概率情况分析
t 0.67 |δ|=tσ 0.67σ 不超出|δ|的概率 2Φ（ｔ） 0.4972 0.6826 超出 |δ|的概率 1-2Φ（ｔ） 0.5028 0.3174
1
1σ
2σ 3σ 4σ
2
0.9544
0.9973 0.9999
0.0456
0.0027 0.0001
n
差）； σ为测量列中单次测量的标准差；n为测
量次数。可见n越大，测量精度越高。
3. 测量的极限误差 测量的极限误差是极端误差，检测量结果的误差不 超过该极端误差的概率为P，并使出现概率为（１-P），
误差超过该极端误差的
2
e
2 2 2
1.系统误差：在同一条件下，多次测量同一量时，绝对值
和符号保持不变或者按一定规律变化的误差。
2.随机误差：在同一条件下，多次测量同一量时，绝对值 和符号以不可预定的方式变化的误差。 3.粗大误差：超出规定条件下预期的误差。
1. 绝对误差：x x A0
x x 100 % 2. 相对误差（示值相对误差）： x x 3. 满度相对误差（引用误差）： n 100 % xn
3 4
1.系统误差的发现： 1）理论分析法 2）实验对比法：多台向类或相近的仪表对同一被测
量进行测量，通过分析测量结果的 差异来判断系统误差
是否存在。
3）残余误差观察法：将一个测量列的残余误差坐标 系依次连接后，通过观察误差曲线即可判断有无系统误差 的存在。
4）残余误差校核法： 马利科夫准则——累进性系统误差
1. 测量是按照某种规律，用数据来描述观察到的现象， 是对非量化实物的量化过程。在机械工程里面，测量指将
被测量与具有计量单位的标准量在数值上进行比较，从而
确定二者比值的实验认识过程。
2.测量的四个要素 1）测量对象； 2）计量单位； 3）测量方法； 4）测量的准确度。
引用误差与检测设备的精度有密切关系：精度等级是
以它的允许误差占其量程的百分数来划分的。 我国工业仪表精度等级有：0.005、0.02、0.05、 0.1、0.2、0.35、0.4、0.5、1.0、1.5、2.5、4.0等。 级数越小，精度（准确度）就越高。
1. 正态分布 随机误差是以不可预定的方式变化着的误差，但在 一定条件下服从统计规律 。
3. 部分名词 1）等精度测量：在同一条件下所进行的一系列重复 测量；
2）非等精度测量：在多次测量中对测量测量结果精
确度有影响的条件不能完全维持不变的测量； 3）真值：被测量本身所具有的真正值； 4）测量误差：用测量器具进行测量时测量结果与被 测量真值之间的差异。
按照误差出现的规律，可分为：系统误差、随机误差、 粗大误差；
为无穷次时，所有测量值的算数平均值即等于真值。
2）标准差σ ① 测量列中单次测量的标准差 在等精度测量列中，单次测量的标准差可以按 照贝塞尔（Bessel）公式计算：
v v v n 1
2 1 2 2 2 n
i 1
n
vi2
n 1
由于正态分布概率函数 是一个指数方程，它是随着
y f
分布规律：
1 2
2 2 e 2
对称性、单峰性、有界性、抵偿性。
2. 随机误差的评价指标 由于随机误差大部分按正态分布规律出现的，具有统 计意义，通常以正态分布曲线的两个参数——算术平均值
和均方根误差作为评价指标。
1）算术平均值x 对某一量进行一些列等精度测量时，由于存在随机误 差，其测量值不同，应以全部测量值的算数平均值作为最 后测量结果。由随机误差的对称性可以说明，当测量次数
阿贝—赫尔默特准则——周期性系统误差
5）计算数据比较法
随机误差和标准差变化而变
化的。因此，单次测量的
标准差σ是表征同一被测
量的n次测量的测量值分
散性的参数，如右图。
② 测量列算术平均值的标准差 在多次测量求平均值的测量过程中，必须考虑算 数平均值可靠性的评定标准，测量列算术平均值的标 准差即可作为算术平均值可靠性的标准。
x
x 为算术平均值的标准差（均方根误 上式中，
d 1
几个典型 t值的概率情况分析
t 0.67 |δ|=tσ 0.67σ 不超出|δ|的概率 2Φ（ｔ） 0.4972 0.6826 超出 |δ|的概率 1-2Φ（ｔ） 0.5028 0.3174
1
1σ
2σ 3σ 4σ
2
0.9544
0.9973 0.9999
0.0456
0.0027 0.0001
n
差）； σ为测量列中单次测量的标准差；n为测
量次数。可见n越大，测量精度越高。
3. 测量的极限误差 测量的极限误差是极端误差，检测量结果的误差不 超过该极端误差的概率为P，并使出现概率为（１-P），
误差超过该极端误差的
2
e
2 2 2
1.系统误差：在同一条件下，多次测量同一量时，绝对值
和符号保持不变或者按一定规律变化的误差。
2.随机误差：在同一条件下，多次测量同一量时，绝对值 和符号以不可预定的方式变化的误差。 3.粗大误差：超出规定条件下预期的误差。
1. 绝对误差：x x A0
x x 100 % 2. 相对误差（示值相对误差）： x x 3. 满度相对误差（引用误差）： n 100 % xn
3 4
1.系统误差的发现： 1）理论分析法 2）实验对比法：多台向类或相近的仪表对同一被测
量进行测量，通过分析测量结果的 差异来判断系统误差
是否存在。
3）残余误差观察法：将一个测量列的残余误差坐标 系依次连接后，通过观察误差曲线即可判断有无系统误差 的存在。
4）残余误差校核法： 马利科夫准则——累进性系统误差