高一数学暑期复习专题18——等差、等比数列性质应用-副本

高一数学暑期复习专题18——等差、等比数列性质应用
【重难点讲解】
1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）．
2．等差数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1＋ ×d ；⑵ a n ＝a m ＋ ×d
3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．
4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ．
5．数列{a n }是等差数列的两个充要条件是：⑴ 数列{a n }的通项公式可写成a n ＝pn ＋q(p, q ∈R)；⑵ 数列{a n }
的前n 项和公式可写成S n ＝an 2＋bn(a, b ∈R)6．等差数列{a n }的两个重要性质：⑴ m, n, p, q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ；⑵ 数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列
7．等比数列的定义：)
()(
＝q （q 为不等于零的常数）． 8．等比数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1q n
－1 ⑵ a n ＝a m q n －m
9．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q q 10．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．
11．等比数列{a n }的几个重要性质：⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ；⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列；⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ．
12．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨
⎧<≥+001n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧可解得S n 达到最小值时n 的值．
【典型例题】
例1. 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60；(2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28；(3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．
变式训练1.在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．
例2. 已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝a
a n -1． ⑴ 求证：数列{
b n }是等差数列；⑵ 求数列{a n }的通项公式．
变式训练2.已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n a n ∈=，且11=a ，
（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若11+=
n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和
例3. 已知{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{
n S n }前n 项和。

求T n ．
变式训练3．两等差数列{a n }、{b n }的前n 项和的比
'5327n n S n S n +=+，则55a b 的值是 （ ） A ．2817 B ．4825 C ．5327 D ．2315
例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：
⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？
⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？
⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？
变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50
万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
例5.已知等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a2a n－1＝128，S n＝126，求项数n和公比q的值．
变式训练5.已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝ ．
例6. 设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，它的前n 项和为40，前2n 项和为3280，且前n 项中数值最大项为27，求数列的第2n 项．
变式训练6.已知等比数列{a n }前n 项和S n ＝2n －1，{a n 2}前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
例7. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
变式训练7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 等于（ ）
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
例8. 已知函数f(x)＝(x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ≠1)，若a 1＝f(d －1)，a 3＝f(d ＋1)，b 1＝f(q －1)，b 3＝f(q ＋1)，
(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2) 设数列{c n }对任意的自然数n 均有：
12211)1(++=+++n n
n a n b c b c b c ，求数列{c n }前n 项和S n ．
变式训练8.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d>0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式；⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有
1332211+=+⋯⋯+++n n
n a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2007的值．
例9. 是否存在互不相等的三个实数a 、b 、c ，使它们同时满足以下三个条件：
① a ＋b ＋c ＝6；② a 、b 、c 成等差数列；③ 将a 、b 、c 适当排列后成等比数列．
变式训练9.若a 、b 、c 成等差数列，b 、c 、d 成等比数列，111,,c d e
成等差数列，则a 、c 、e 成（ ） A ．等差数列 B ．等比数列
C ．既成等差数列又成等比数列
D ．以上答案都不是
例10. 已知公差大于0的等差数列{
n a 1}满足a 2a 4＋a 4a 6＋a 6a 2＝1，a 2，a 4，a 8依次成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ．
变式训练10.已知
111,,a b c 成等差数列，求证：,,b c a c a b a b c
+++也成等差数列。

例11. 已知△ABC 中，三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，边a 、b 、c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．
变式训练11.若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a = （ ）
A.4
B.2
C.-2
D.-4
例12. 数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝31S n ，n ＝1，2，3……求：⑴ a 2、a 3、a 4的值及{a n }的通项公式；⑵ a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值.
变式训练12.设数列{}n a 的前n 项的和14122333
n n n S a +=-⨯+，......3,2,1=n 求首项1a 与通项n a 。