(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x ay b -+-<2r ，点在圆内; （2 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线k ，②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
必修二圆的方程题型归纳非常完美
圆的方程题型一：圆的方程典例1、若圆C 的方程为222440x x y y +++-=，则该圆的圆心坐标为________． 【详解】圆的方程为222440x x y y +++-=,化为:22(1)(2)9x y +++=. 圆的圆心坐标为:(1,2)--.故答案为:(1,2)--.典例2、求满足下列条件的各圆的标准方程:(1)圆心在原点,半径长为3;(2)圆心为点()3,4C ,半径长是5(3)圆心为点(8,3)C -,且经过点(5,1)P【详解】(1)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心在原点，即0,0a b ==，又由半径长为3，即3r =，圆的标准方程为229x y +=.(2)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，以为圆心为点()3,4C ,即3,4a b ==，半径长是5，即5r =，所以圆的标准方程为22(3)(4)5x y -+-=.(3)设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为圆心为点(8,3)C -,即8,3a b ==-，又由圆经过点(5,1)P ，则22(85)(31)5r PC ==-+--=所以圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=.典例3、已知圆C 的圆心坐标为()3,0C ，且该圆经过点()0,4A .（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标.【详解】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径， 所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =； ②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt xt x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， ，所以直线l 的方程为：，所以过定点()6,12--. 题型二：直线与圆的位置关系 典例1、过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=圆心(3,4)C ，半径为 过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ，∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即22340x y x y +--=，两式相减得34200x y +-=， 即直线PQ 的方程为34200x y +-=，故答案为：34200x y +-=．典例2、已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0.（1）直线l 的方程为30x y -=，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB|的值；（2）从圆C 外一点P （4，4）引圆C 的切线，求此切线方程．【详解】（1）化圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0为：（x ﹣2）2+y 2＝4，知圆心（2，0）为半径为2， 故圆心到直线的距离2131d ==+，∴22223AB R d =-=； （2）当斜率不存在时，过P （4，4）的直线是x ＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y ﹣4＝k （x ﹣4）．由24221kk -=+，解得34k =． 此时切线方程为3x ﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x ＝4或3x ﹣4y+4＝0.典例3、已知0m >，0n >，若直线()()1120m x n y +++-=与圆222210x y x y +--+=相切，则m n +的取值范围为（ ）A ．)222,⎡++∞⎣B ．)222,⎡-+∞⎣C ．2,222⎡⎤+⎣⎦D ．(0,222⎤+⎦ 【详解】将圆的方程化为标准方程得()()22111x y -+-=，该圆的圆心坐标为()1,1，半径为1，由于直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切， 则()()22111m nm n +=+++，化简得1m n mn ++=， 由基本不等式可得212m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，即()()2440m n m n +-+-≥， 当且仅当m n =时，等号成立，0m >，0n >，0m n ∴+>，解得222m n +≥+. 因此，m n +的取值范围是)222,⎡++∞⎣.故选：A.【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用基本不等式构造不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.典例4、函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点,则实数k 的取值范围是________. 【详解】由题意可知，函数211y x =-+的图象是以(0,1)为圆心，半径为1r =的上半圆.函数(2)y k x =-的图象是恒过点(2,0)的直线l .如图所示若使得函数211y x =-+ 与函数(2)y k x =-的图象有两个不同的公共点则需直线l 夹在半圆的切线1l 与过点(1,1)的直线2l 之间，即12l l k k k <≤ 直线2l 过点(1,1)与点(2,0)∴221101l k -==-- 又直线1l 为半圆22(1)1y x +-=(1)y ≥的切线∴圆心(0,1)到直线1l ：1(2)l y k x =-的距离等于半径1r = 即112|(02)1|1()1l l k k --=+，解得143l k =-∴413k -<≤-故答案为：4(,1]3-- 典例5、已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=）， 所以A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2， 22(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD ++=+．故选：C.题型三：圆与圆的位置关系典例1、已知圆221:2410C x y x y ++-+=，圆222:(3)(1)1C x y -++=，则这两个圆的公切线条数为（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 【详解】根据题意，圆221:2410C x y x y ++-+=，即22+1+24x y -=（）（）其圆心为12-（，），半径12r =， 圆222:(3)(1)1C x y -++=，其圆心为31-（，），半径21r =， 则有221212435C C r r =+=>+，两圆外离，有4条公切线；故选：D ． 典例2、已知圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，则a 的取值范围是________．【详解】因为圆22()()8(0)x a y a a -+-=>与圆222x y +=有公共点，所以两圆位置关系为外切、相交、内切，所以得到22222222a a ≤≤-++，因为0a >，故解得13a ≤≤，即a 的取值范围为[]1,3.故答案为：[]1,3.典例3、点A 、B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC|＋|BC|的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【详解】解：设M(0，3)关于直线的对称点为P(－3，0)，且N(3，8) ∴故选A.题型四：轨迹问题典例1、设P ()1,0是圆O ：224x y +=内一定点，过P 作两条互相垂直的直线分别交圆O 于A 、B 两点，则弦AB 中点的轨迹方程是_________.【详解】设AB 的中点为(,)M x y ,设11(,)A x y ,22(,)B x y .则12122,2x x x y y y =+=+. (1)由题意,A B 均在圆O 上则有：222211224,4x y x y +=+=. (2) 又由条件有BP AP ⊥，即0BP AP ⋅=.即BP AP ⋅=1122(1,)(1,)x y x y --⋅--=1212121()0x x x x y y +-++= （3）将（1）代入（3）中有：121212121x x y y x x x +=+-=- （4）将（1）中两式平方相加得：2222121244()()x y x x y y +=+++. 即222222112211224422x y x x x x y y y y +=+++++ （5）将（2），（4）代入（5）得：224482(21)x y x +=+-. 即弦AB 中点的轨迹方程是2222230x y x +--=.故答案为：2222230x y x +--= 典例2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,0A ，()0,3B ，动点M 满足，则OM 斜率k 的取值范围是（ ）A B C 3224⎤⎡-⎥⎢⎦⎣D 2334⎤⎡-⎥⎢⎦⎣解析：设点(,)M x y ，∵MB =，∴2222(3)4[(3)]x y x y +-=-+， 整理得：22(4)(1)8x y -++=，则点M 是以(4,)1-为圆心，2为半径的圆，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，故选：A 跟踪训练1、圆心为()2,3A -，半径等于5的圆的方程是( )A.22(2)(3)5x y -++=B.22(2)(3)5x y ++-=C.22(2)(3)25x y -++=D.22(2)(3)25x y ++-=解析：因为圆心(),a b 即为()2,3-，半径=5r ，所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=，故选：C.【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程，难度较易.2、已知圆C 的圆心在直线0x y -=上，过点(2,2)且与直线0x y +=相切，则圆C 的方程是______．【详解】根据题意，圆C 的圆心在直线0x y -=上，设圆C 的圆心为(,)a a ，半径为r . 又由圆C 过点(2,2)且与直线0x y +=相切，解得1a =，故圆心的坐标为(1,1)，则222(2)(2)2r a a =-+-=， 则圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=.故答案为：22(1)(1)2x y -+-=．3、方程22220x y ax y ++++=表示圆，则实数a 的取值范围是__________． 解：方程22220x y ax y ++++=表示圆，222420a ∴+-⨯> 24a ∴>22a a ∴<->或，即()(),22,a ∈-∞-+∞，故答案为：()(),22,-∞-+∞4的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）k由直线l 与圆221x y +=有公共点得D. 5、已知圆的方程为222880x y x y ++-+=，过点(1,0)P 作该圆的一条切线，切点为A ，那么线段PA 的长度为______．【详解】圆222880x y x y ++-+=，即22(1)(4)9x y ++-=，故(1,4)C -为圆心、半径3R =，6、已知圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，当圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大时，k 的值为（ ）A ．15- B ．-5 C ．15 D ．5解：因为圆C 的方程为222210x y x y ++-+=，配方可得22(1)(1)1x y ++-=， 所以圆的圆心为(1,1)C -半径1r =，直线40kx y ++=可化为4y kx =--，恒过定点(0,4)B -，当直线与BC 垂直时，圆心C 到直线40kx y ++=的距离最大，由斜率公式可得BC 的斜率为4150(1)--=---， 由垂直关系可得：(5)1k -⨯-=-，解得15k =-，故选：A ． 7、知点(),P x y 在圆C ：()()22111x y -+-=上，则2y x+的最小值是____________． 【详解】2y x +表示圆上的点和点()0,2-连线的斜率， 设直线2y kx +=，即20kx y --=，如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小，21211k k --∴=+ ，解得：43k =故答案为：438、若关于x 的方程222x x kx -+=+有且只有一个实数解，则实数k 的取值范围是____.解析：可设2122,2y x x y kx =-+=+，其中212y x x =-+可转化为()2211x y -+=，[]02x ,∈，可转化成直线与圆的位置关系问题，画出图形，再进行求解。
高中数学_圆的方程题型总结_新人教A版必修2
圆的方程题型总结一、基础知识1．圆的方程圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________.圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________.二元二次方程220AxCy Dx Ey F 表示圆的条件为：(1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系：直线0Ax By C ++=，圆222()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________；（2）当______________时，直线与圆相离；当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系圆1C :222111xa yb r ； 圆2C :222222x a y b r则有：两圆相离⇔ __________________； 外切⇔__________________；相交⇔__________________________； 内切⇔_________________； 内含⇔_______________________.二、题型总结：（一）圆的方程☆1.22310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径 . ☆☆2．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51 D ．－51<a <1 ☆☆3．若方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ）A ．E F =B ．D F =C ．DE = D ．,,D EF 两两不相等☆☆☆4．圆0322222=++-++a a ay ax y x 的圆心在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限☆5.若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22430x y x y B. 22430x y x y C. 224340xy x yD. 224380x y x y☆☆6.过圆224x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ∆的外接圆方程是（ ）A. 42x y --22()+()=4 B. 2x y -22+()=4 C. 42x y ++22()+()=5 D. 21x y -+22()+()=5 ☆7.过点1,1A ,1,1B且圆心在直线20xy 上的圆的方程（ ）A. 22314xy B.22314x yC. 22111x y D. 22111x y☆☆8．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ）A ．22(7)(1)1x y +++=B ．22(7)(2)1x y +++=C ． 22(6)(2)1x y +++= D ．22(6)(2)1x y ++-= ☆9．已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求△ABC 外接圆的方程．☆10．求经过点A(2，－1)，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程．2.求轨迹方程☆11.圆224120x y y +--=上的动点Q ，定点()8,0A ，线段AQ 的中点轨迹方程________________ .☆☆☆12．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（ ） A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆☆☆13．已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．3.直线与圆的位置关系 ☆14.圆2211x y 的圆心到直线33yx 的距离是（ ）A.12B. 2☆☆15.过点2,1的直线中,被22240x y x y 截得弦长最长的直线方程为（ ）A. 350x yB. 370x yC. 330xy D. 310x y☆☆16.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）A. ），（2222-B. ），（22-C.），（4242- D. ），（8181- ☆17.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x☆☆18．过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是（ ） A ．a ＞－3 B ．a ＜－3C ．－3＜a ＜－52D ．－3＜a ＜－52或a ＞2 ☆☆19．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则EOF ∆（O为原点）的面积为（ ）A ．32B ．34C D ☆☆20．过点M （0，4），被圆4)1(22=+-y x 截得弦长为32的直线方程为 _ _．☆☆☆21．已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．☆☆☆22．已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．4.圆与圆的位置关系☆23.圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系为☆24．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ____．☆25．两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为（ ） A ．x +y +3=0 B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －3y +7=0☆26．两圆221:2220C x y x y +++-=，222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条☆☆☆27．已知圆1C 的方程为0),(=y x f ，且),(00y x P 在圆1C 外，圆2C 的方程为),(y x f =),(00y x f ，则1C 与圆2C 一定（ ）A ．相离B ．相切C ．同心圆D ．相交☆☆28．求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=， 22x y +2280x y ++-=交点的圆的方程．5.综合问题☆☆29.点A 在圆222x y y +=上,点B 在直线1y x =-上,则AB 的最小 （ ）1 B 12-D 2☆☆30.若点P 在直线23100x y ++=上,直线,PA PB 分别切圆224x y +=于,A B 两点,则四边形PAOB 面积的最小值为（ ）A 24B 16C 8D 4☆☆31. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ） A ．2=bB ．11≤<-b 且2-=bC ．11≤≤-bD ．以上答案都不对☆☆32.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=求:（1）yx的最大值； （2）y x -的最小值；（3）22x y +的最值.☆☆33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？圆的方程题型总结参考答案1. 3122(-,)2.D ；3.C ；4.D ；5.A ；6.D ；7.C ；8.A ； 9．解：解法一：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-=． ① 因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是222222222(4)(1),(6)(3),(3)(0).a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩可解得21,3,25.a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以△ABC 的外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．解法二：因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，所以先求AB 、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．∵31264AB k --==--，0(3)1363BC k --==---， 线段AB 的中点为（5，－1），线段BC 的中点为33(,)22-， ∴AB 的垂直平分线方程为11(5)2y x +=-， ①BC 的垂直平分线方程333()22y x +=-． ②解由①②联立的方程组可得1,3.x y =⎧⎨=-⎩∴△ABC 外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），半径||5r AE ===．故△ABC 外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．10．解：因为圆心在直线x y 2-=上，所以可设圆心坐标为(a ,-2a )，据题意得：2|12|)12()2(22--=+-+-a a a a ， ∴ 222)1(21)21()2(a a a +=-+-， ∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为2， ∴所求的圆的方程为2)2()1(22=++-y x .11.41x y --22()+()=4；12.D ；13．解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合 P 1{|||||}2M MA MB ==．由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为平方后再整理，得 2216x y +=． 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 122x x +=， 102y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2216x y +=上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：221116x y +=②将①代入②整理，得22(1)4x y -+=．所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）． 14.A ；15.A ； 16.B ； 17.D ； 18.D ； 19.C ； 20.x =0或15x ＋8y －32=0；21．解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54. 又直线AC 的斜率21-=AC k ,所以直线BD 的斜率为 2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即22．解：由01220503206222=++-⇒⎩⎨⎧=-+=+-++m y y y x m y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴51242121m y y y y又OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5274-m ∴05125274=++-m m 解得m =3. 23.相交； 24.02=-+y x ； 25.C ； 26.B ； 27.C ； 28．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，解这个方程组求得两圆的交点坐标A （－4，0），B （0，2）．因所求圆心在直线0x y +=上，故设所求圆心坐标为(,)x x -，则它到上面的两上交点 （－4，0）和（0，2即412x =-，∴3x =-，3y x =-=，从而圆心坐标是（－3，3）．又r = 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为230x y ++=，它与直线0x y +=交点（－3，3）就是圆心，又半径r = 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法三：（用待定系数法求圆的方程）同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）．设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=，因两点在此圆上，且圆心在0x y +=上，所以得方程组 222222(4)(3)0a b r a b r a b ⎧--+=⎪+-=⎨⎪+=⎩，解之得33a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）设所求圆的方程为222221024(228)0x y x y x y x y λ+-+-++++-=(1)λ≠-，即 222(1)2(5)8(3)0111x y x y λλλλλλ-+++-+-=+++．可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++．因圆心在直线0x y +=上，所以15011λλλλ-+-=++，解得2λ=-． 将2λ=-代入所设方程并化简，求圆的方程226680x y x y ++-+=．29.A ； 30.C ； 31.B ；32.（1）3；（2）62--；（3）()22min 43x y += ；()22max 743x y +=+.33．解：我们以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系． 这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为22230x y +=① 轮船航线所在直线l 的方程为17040x y +=，即472800x y +-=② 如果圆O 与直线l 有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果O 与直线l 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．由于圆心O （0，0）到直线l 的距离22|4070280|280306747d ⨯+⨯-==>+，所以直线l 与圆O 无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结由于题目对于具体的格式并没有限制，下面将逐步介绍圆的方程知识点以及一些相关题型的归纳总结。
一、圆的基本知识在开始介绍圆的方程之前，我们先来回顾一些与圆相关的基本知识：1. 定义：圆是由平面上到一个定点的距离恒等于一个定值的所有点的集合。
2. 元素：圆心、半径。
3. 直径：连接圆上任意两个点，并通过圆心的线段称为圆的直径，它的长度是半径的两倍。
4. 弦：连接圆上的两个点，并没有通过圆心的线段。
5. 弧：连接圆上的两个点，并在圆上的部分。
6. 弧长：弧所对应的圆周上的一部分的长度。
二、圆的方程类型及示例1. 标准方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2在标准方程中，(a,b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
例如，圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25。
2. 一般方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0在一般方程中，系数D、E、F的值决定了圆心与半径的关系，可以通过配方将一般方程转化为标准方程。
例如，圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0。
三、常见的圆相关题型归纳1. 求圆心和半径：已知圆的方程，求圆心和半径的长度。
策略：将方程与标准方程形式进行对比，通过对坐标系上的平移和缩放得到圆心和半径。
示例：已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 4y + 9 = 0，则圆心为(3, 2)，半径为√10。
2. 求圆与直线的交点：已知圆心、半径和直线方程，求圆与直线的交点坐标。
策略：将直线方程代入圆的方程，解圆方程与直线方程联立方程组，求解得到交点坐标。
示例：已知圆的方程为(x-1)^2 + (y+2)^2 = 5，直线方程为y = 2x + 1，则交点坐标为(-1, -1)和(2, 5)。
3. 判断点的位置关系：已知圆心、半径和点的坐标，判断点与圆的位置关系。
策略：计算点到圆心的距离，与半径进行比较。
(完整版)高中数学圆知识+习题总结.docx
1． 圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合 (轨迹 )标准方程(x － a)2＋ (y － b)2＝ r 2 (r ＞ 0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，(D 2＋圆心： －D ，－E，一般方程22E 2－ 4F ＞ 0)半径：1D 2＋E 2－ 4F22． 直线与圆的位置关系 (半径为 r ，圆心到直线的距离为 d)相离 相切相交图形方程＜ 0＝ 0＞ 0量观点 化几何d ＞ rd ＝ rd ＜ r观点3． 圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1， r 2， d ＝ |O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形|r 1－ r 2|＜ d ＜d ＞ r 1＋ r 2 d ＝ r 1＋ r 2 d ＝ |r 1－ r 2| d ＜ |r 1－ r 2| r 1＋ r 24.弦长的 2 种求法(1) 代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式 ＞ 0 的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2) 几何法：若弦心距为 d ，圆的半径长为 r ，则弦长 l ＝ 2 r 2－ d 2．1.圆 (x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 6 与直线 2x＋ y－ 5＝ 0 的位置关系是 ()A ．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离2.若直线 x－ y＋ 1＝ 0 与圆 (x－a)2＋ y2＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围为 ________．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上到直线3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1的点的个数为 ()A ． 1B． 2C． 3D． 43.过原点且与直线6x－ 3y＋ 1＝ 0平行的直线 l 被圆 x2＋ (y－3)2＝ 7所截得的弦长为________．4.若圆 C1： x2＋ y2＝ 1 与圆 C2： x2＋ y2－ 6x－ 8y＋ m＝ 0 外切，则 m＝ ()A． 21B． 19C． 9D．－ 115.若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞ 0)的公共弦长为 2 3，则 a＝ ________．6.已知点 M 是直线 3x＋ 4y－ 2＝0 上的动点，点 N 为圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 上的动点，则 |MN |的最小值是 ()A ．9B． 1 5413C．5D．51与圆 x2＋ y2－ 2x＝ 15 相交于点 A，B，则弦 AB 的垂直平分线方程的斜7.若直线 y＝－ x－ 22截式为 ________．8.已知圆 M ：x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切D．相离9.已知圆 C 经过点 A(2，－ 1)，和直线x＋ y＝ 1 相切，且圆心在直线y＝－ 2x 上．(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．。
高中数学_圆的方程题型总结_新人教A版必修2
圆的方程题型总结一、基础知识1圆的方程圆的标准方程为____________________ ;圆心____________ ，半径 ________ .圆的一般方程为_______________________________________ ;圆心 ____________ ,半径—兀—次方程Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件为:⑴ ______ _____ ；⑵ __________2.直线和圆的位置关系：直线Ax By C 0,圆(x a)2(y b)2 r2，圆心到直线的距离为 d.贝H：(1) ________________ d= ；(2)当_________________时，直线与圆相离；当_______________ 时，直线与圆相切；当_______________ 时，直线与圆相交；(3)弦长公式： ______________________ .3.两圆的位置关系「 2 2 22 2 2圆C i: (x- sii) + (y- b i) = r i ；圆C2：(x- a?) + (y- b?) = D则有：两圆相离 ________________________ ；外切相交______________________________ ；内切内含____________________________ .、题型总结:(一)圆的方程2 2☆ 1. x y 3x y 1 0的圆心坐标_________________________ ，半径☆☆ 2.点(2a, a 1)在圆x2+y2—2y-4=0的内部，贝U a的取值范围是( )A . - 1<a <1 B.0< a <1 C.1-1<a <5 1D.—丄 <a <15☆☆ 3 .若方程x 22yDx Ey F0(D 2E 24F 0）所表示的曲线关于直线y x 对称，必有（)A . E FB . D FC .DE D .D,E,F 两两不相等 ☆☆☆ 4 .圆 x 2y 2 ax 2ay 2a 23a 0 的圆心在（)A .第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限☆ 5.若直线 3x- 4y+ 12 =0与两坐标轴交点为 A,B,则以线段 AB 为直径的圆的方程是( )A. x 22+ y + 4x -3y = 0B.2 2 .x + y - 4x- 3y= 0C. x 2 2+ y + 4x -3y - 4: =0 D. 2 2x + y - 4x--3y + 8 =0☆☆ 6.过圆 2 x 2y4外一点 P 4,2 作圆的两条切线 ,切点为 A,B ,则 ABP 的外接圆方程是（)A. (x 4) 2+(y 2)2=4B. x 2+(y 2)2=4C. (x4)2+(y 2)2=5D.2 2(x 2) +(y 1) =5C (- 3, 0),求厶 ABC 外A. (x-3)2+ (y + 1)2= 4B.2(x+ 3)2+ (y- 1) = 4、, 、22 2 C. (x- 1) + (y- 1) = 1D.(X+1)+ (y+ 1) = 1 ☆☆8. 圆 x 2 y 2 2x 6y 90关于直线 2x y 5 0对称的圆的方程是( )A . (x7)22(y 1)1B . (x2 27) (y 2)1 C. (x 6)2 2(y 2)1D. (x 2 26) (y 2) 1☆ 7.过点A （1,- 1）, B （- 1,1）且圆心在直线x+ y- 2 = 0上的圆的方程（☆ 9.已知△ ABC 勺三个项点坐标分别是 A( 4，1)，B( 6，- 3),接圆的方程.☆ 10.求经过点A(2 , —1),和直线x y 1相切，且圆心在直线y 2x上的圆的方程.2.求轨迹方程☆ 11.圆X2 y2 4y 12 0上的动点Q，定点A 8,0 ，线段AQ的中点轨迹方程☆☆☆ 12.方程x y 1 .X2y24 0所表示的图形是(A. —条直线及一个圆B.两个点C. 一条射线及一个圆D.两条射线及一个圆☆☆ 13.已知动点M到点A (2, 0)的距离是它到点B (8, 0)的距离的一半，求：(1)动点M的轨迹方程；(2 )若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.3.直线与圆的位置关系2☆ 14.圆(x- 1)2+ y =1的圆心到直线y=^x的距离是()A. -B.C. 1D..322☆ ☆ 15.过点(2,1)的直线中，被x2 +2y - 2x + 4y =0截得弦长最长的直线方程为( )A. 3x- y-5=0B.3x + y- 7 =0C. x+ 3y-3= 0D.x- 3y + 1 =0☆☆ 16.已知直线l过点(2,0),当直线l与圆x2 y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A.( 2 2,2 2)B. ( - 2, ..2) C.(242、/ 1 1 )D.(4 8 8☆ 17.圆 2 x2y4x0在点P(1,-. 3)处的切线方程为()A.x3y20 B . x .. 3y40f-t—C.x、、40 D . x 、、3y202 2☆☆ 18.过点P( 2,1)作圆C：x+y—ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，贝U a取值范围是()A. a> —3B. a v —32C. —3v a< ——D.2 、—3 v a v ——或a>255☆☆ 19.直线x 2y 3 0 与圆(x 2)2(y3) 9交于E、F两点，则EOF (OA. B. 6-5 D. 3一55☆☆ 20.过点M 0,4),被圆(x 1)2y24截得弦长为2・・3的直线方程为为原点)的面积为( )☆☆☆ 21．已知圆C: x 1 2 y 2 2 25 及直线l : 2m 1x m 1 y mR(1)证明：不论m取什么实数，直线I与圆C恒相交；( 2)求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．☆☆☆ 22.已知圆x2+y2+x —6y+m=0和直线x+2y —3=0交于P、Q两点，且以圆恰过坐标原点，求实数m的值.7m 4.PQ为直径的4. 圆与圆的位置关系☆ 23.圆x 2 y 2 2x 0与圆x 2 y 2 4y 0的位置关系为 _______________________ ☆ 24•已知两圆C i ：x 2 y 2 10,C 2 ：x 2 y 2 2x 2y 14 0.求经过两圆交点的公共弦所在x 2 y 2 2x 2y 8 0交点的圆的方程.A . x +y +3=0 C. 3x — y — 9=02B. 2x — y —5=0 y 2 2x 2y 2D. 4x — 3y +7=01 0的公切线有且0 , C 2: x 2 y 2 4x2y 仅有( )A . 1条B . 2条C.3条D.4条 ☆☆☆ 27.已知圆C 1的方程为f (x, y) 0，且P(x °, y °)在圆C 外,圆C 2的方程为f (x, y)= f (x °, y °)，则C1与圆C 2疋( )A .相离B .相切 C.同心圆D.相交 的直线方程__ __ •. . 2 2 2 2☆ 25 .两圆x +y — 4x +6y =0和x +y — 6x =0的连心线方程为()☆☆ 28.求圆心在直线x y 0上，且过两圆x 22y 2x 10y24 0,5. 综合问题☆☆ 29•点A在圆x2 y2 2y上，点B在直线y x 1上，则AB的最小()A、、2 1 B 1 鼻C 〔2 D 22 2☆☆ 30.若点P在直线2x 3y 10 0 上,直线PA,PB分别切圆x2 y24于代B两点,则四边形PAOB面积的最小值为( )A 24B 16C 8D 4☆☆ 31.直线y x b与曲线x J1 y2有且只有一个交点，则b的取值范围是( )A. tB. 1 b 1 且b <2C. 1 b1 D •以上答案都不对☆☆ 32.如果实数x, y 满足x2 y24x 1 0 求：(1) y的最大值；x(2) y x的最小值；2 2(3) x y的最值.☆☆ 33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径长30 km 的圆形区域．已知港口位于台风正北处，如果这艘40 km 轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？圆的方程题型总结参考答案1. (- 3,1) ; -14 ;2.D ;3.C ;4.D ;5.A ;6.D ;7.C ;2 2 29.解：解法一：设所求圆的方程是(x a)2 (y b)2因为 A (4, 1), B (6, — 3), C (— 3, 所以它们的坐标都满足方程①，于是8.A ;0)都在圆上, (4(6(3a)2 (1 a)2 ( 3 a)2 (0 b)2 b)2 b)2 2r ,r 2,可解得 2r .1, 3, 25.所以△ ABC 的外接圆的方程是(x 1)22(y 3)25 .所以先求 解法二：因为△ ABC 外接圆的圆心既在 ABAB 的垂直平分线上, 也在BC 的垂直平分线上, 坐标.BC 的垂直平分线方程, 求得的交点坐标就是圆心kAB訂线段AB 的中点为(5,2， k pc0 (_3)1 6 3，线段 ••• AB 的垂直平分线方程为 BC 的垂直平分线方程 y3(x 1 2(x 3).25),解由①②联立的方程组可得1'ABC 外接圆的圆心为E( 1,— 3),3.半径 r |AE| 、(4 1)2 (1 3)25 .故厶ABC 外接圆的方程是(x2 21) (y 3)25.BC 的中点为2 21 2(a 2) (12a)齐 a),••• a =1 ,••• 圆心为(1 , - 2),半径为 2 ,•••所求的圆的方程为(X 1)2 (y 2)22.11. ( x 4)2+(y 1)2=4 ； 12.D ； 13.解：(1)设动点M( x , y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P {M || MA| 1| MB |}.由两点距离公式，点 M 适合的条件可表示为 .「(X —刁2—y 2 \ (X —8)2—y 2， 平方后再整理，得 x 2 y 216 . 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程.(2)设动点N 的坐标为(x , y ), M 的坐标是(X 1, y 1). 由于A (2, 0),且N 为线段 AM 的中点，所以2 x 1 0 y..x- ,y-.所以有为2x 2 , y 1 2y ①2 2由(1)题知，M 是圆x 2 y 2 16上的点， 所以M 坐标(X 1, y )满足：x/ y 12 16② 将①代入②整理，得(x 1)2y 2 4 .所以N 的轨迹是以(1, 0)为圆心，以2为半径的圆(如图中的虚圆为所求). 14. A ; 15.A ; 16.B ; 17.D ; 18.D ; 19.C ; 20. x =0 或 15x + 8y — 32=0; 21 •解:(1)直线方程l : 2m 1 x m 1 y 7m 4,可以改写为m2x y 7 x y 40,所2x y 7以直线必经过直线2x y 7 0和x y 4 0的交点.由方程组y'解得x y 4X 3,即两直线的交点为 A (3,1)又因为点A 3,1与圆心C1,2的距离d5,所以 y 1该点在C 内,故不论m 取什么实数，直线I 与圆C 恒相交.(2)连接AC,过A 作AC 的垂线，此时的直线与圆C 相交于B 、D . BD 为直线被圆所截得的最短弦长•此时，AC 5, BC 5,所以BD 2. 25 5 4 •. 5 .即最短弦长为 45.又直线AC 的斜率k Ac1,所以直线BD 的斜率为2.此时直线方程2(a 2)2 (2a 1)2| a 2a 1 |•、2为：y 12 x 3，即2x y 5 0.• X 1X 2+y 1y 2=0,而 X 1X 2=9— 6( y 1+y 2)+4 yy 2= 4m 27 5_m0 解得 m=3.5x y 20 ; 25.C ;26.B ;27.C ;28•解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心） 将两圆的方程联立得方程组2 2x y 2x 10y 24 0 x 2 y 2 2x 2y 8 0解这个方程组求得两圆的交点坐标A (— 4 , 0),B (0 , 2).22.解：由xx 2y2y x 6ym 05y 220y 12 m 03 0y 1 y 2 4 12 m y#25因所求圆心在直线xy 0上，故设所求圆心坐标为 （x,x ）则它到上面的两上交占 八、、 (-4, 0)和(0, 2) 的距离相等，故有4一x ）L （0一x ）2 .X 2—（2一x ）2,即 4x 12, ••• x3 , y x 3，从而圆心坐标是（—3 , 3）..10, 故所求圆的方程为（x 3）2 （y 3）2 10 . 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标 A （- 4, 0）, B （0, 2）,弦AB 的中垂线为2x y 它与直线x y 0交点（—3, 3）就是圆心，又半径 r S0 , 故所求圆的方程为（x 3）2 （y 3）2 10 . 解法三：（用待定系数法求圆的方程）同解法一求得两交点坐标为A (-4, 0),B (0, 2).设所求圆的方程为（x a ）2(y b)22r ,因两点在此圆上，且圆心在x y上,（4所以得方程组a 2a)2 b 2 (3 b)2b 02rr2，解之得b 3 , r .10又 OPL OQ • 4m 27523.相交；24.故所求圆的方程为（x 3）2 （y 3）210 .1)，解法四：（用“圆系”方法求圆的方程•过后想想为什么？） 设所求圆的方程为即 x 2 y 22(1)2(5) x y8(3 )0 .1111可知圆心坐标为（一 5)1 1因圆心在直线x y0上，所以150，解得211将2代入所设方程并化简，求圆的方程29.A ； 30.C ； 31.B ；32.（ 1） , 3 ；（ 2） ,6 2 ；（ 3） x 2x 2 y 2 6x 6y 8 0.y 2 4^3 ； x 2 y 27 4/3minmax这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 x 2 y 2 302①轮船航线所在直线I 的方程为 -乞〔，即 4x 7y 280 0② 70 40如果圆O 与直线I 有公共点，则轮船受影响，需要改变航 向；如果O 与直线I 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向.由于圆心 0（ 0, 0）到直线I 的距离d |4 0 7 0 280|280 30, *42 7267'所以直线I 与圆O 无公共点•这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向.33•解：我们以台风中心为原点 0,东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系.2 2x y 2x 10y 2422(x y 2x 2y 8)0(。
(完整版)高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结倘若充分挖掘本题的几何关系,不难得出二在以=为直径的圆上。
而‘丄刚类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。
常用的圆系方程有如下几种：⑴以宀为圆心的同心圆系方程:■ 1-■■_■■-⑵过直线’"T 与圆! 1的交点的圆系方程x2矽+£ + 兄（出+旳+U）三0⑶过两圆［「一、_1一 J八和圆〔-< I的交点的圆系方程IL I + ［此圆系方程中不包含圆：，直接应用该圆系方程，必须检验圆【是否满足题意, 谨防漏解。
当'=时，得到两圆公共弦所在直线方程（q・（耳-芯砂+（耳■用）=0例1:已知圆一::与直线「丁1相交于'L•两点，匚为坐标原点，若1 '-，求实数叫的值。
好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线" ——I与圆/ ! 1 -的交点的圆系方程为: b亠工一6戸+空+ 乂（戈+ 2丁一3）= 0 即又 n 满足方程①，则叱一口二：|故亡=：例2:求过两圆h ? _和’）I」’I _ 1：的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆•「一一和•「」I —一的公共弦方程为疋+b - 2弘［0-1尸 + 0 —1尸-16］二0 即2z+2^-ll=0过直线L与圆''■ —「的交点的圆系方程为依题意, 匚在以’-为直径的圆上，则圆心（显然在直线?+/ - 25+l(2x+2y-11) = 0分析：此题最易想到设出「」—「•，由…一-得到---•，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心i 必在公共弦所在直线- ；■■ -上。
即- 二+二八，则例3:求证：m为任意实数时，直线(m—1)x + (2m —1)y= m—5恒过一定点P，并求P点坐标。
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a ,b )，半径为)0(>r r （2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径2422FE D r -+=（3）圆的直径式方程：若),(),,(2211y x B y x A ，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x（4）圆的参数方程：①)0(222>=+r r y x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）；②)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin ,cos (θθr b r a ++（θ为参数，(a,b )为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系： ①⇔>-+-222)()(r b y a x 点P 在圆外； ②⇔=-+-222)()(r b y a x 点P 在圆上； ③⇔<-+-222)()(r b y a x 点P 在圆内.（2）点),(00y x P 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：①⇔>++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆外； ②⇔=++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆上； ③⇔<++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型1 求圆的方程 思路提示（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b )和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）ABC ∆的三个顶点分别为A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点A (6,5),B (0,1),且圆心在直线3x +10y +9=0上； （3）经过点P (-2,4),Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长等于6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可.解析 （1）解法一：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题意有，⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++--=+++-0505508220265F E D F E D F E D 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=2024F E D 故所求圆的方程为0202422=---+y x y x解法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x =2,BC 的中垂线方程为x +y -3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P (2,1),且半径5)51()12(||22=-++==AP r所以所求圆的方程为25)1()2(22=-+-y x 即0202422=---+y x y x（2）AB 的中垂线与AB 垂直，则斜率231-=-=ABk kAB 的中点(3,3)，则由点斜式可得)3(233--=-x y ， 即线段AB 的中垂线方程为3x+2y-15=0由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x ，解得⎩⎨⎧-==37y x ，所以圆心为C(7,-3),又65||=BC故所求的圆的方程为65)3()7(22=++-y x（3）设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将点P ，Q 的坐标分别代入，得⎩⎨⎧-=+-=--1032042F E D F E D ，又令y =0,得02=++F Dx x .设21,x x 是方程的两根，则由韦达定理有F x x D x x =-=+2121,，由6||21=-x x有364)(21221=-+x x x x ，即3642=-F D解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=842F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=086F E D故所求圆的方程为084222=---+y x y x 或08622=--+y x y x评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线0872:=+-y x l 上的圆的方程. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程例9.18 已知圆的半径为10，圆心在直线y =2x 上，圆被直线y=x 截得的弦长为24，求此圆的方程. 分析 求圆的标准方程，就是求222)()(r b y a x =-+-中的a,b,r ，可优先考虑待定系数法. 解析 解法一：设圆的方程为10)()(22=-+-b y a x .由圆心在直线y=2x 上，得b=2a （①） 由圆在直线y=x 上截得的弦长为24，将y=x 代入10)()(22=-+-b y a x ，整理得010)(22222=-+++-b a x b a x 由弦长公式，得24||221=-x x即24)10(2)(2222=-+-+b a b a ，化简得2±=-b a （②） 由式①②可得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距2)22(22=-=r d ，又弦心距等于圆心(a,b )到直线x-y =0的距离，即22||=-=b a d ，又已知b =2a ，解得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a 故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x 评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式1 求与x 轴相切，圆心在直线3x-y =0上，且被直线x-y =0截得的弦长为72的圆的方程例9.19 圆01222=--+x y x 关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）A.21)2()3(22=-++y x B.21)2()3(22=++-y xC.2)2()3(22=-++y x D.2)2()3(22=++-y x解析 解法一：（推演法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)1(22=+-y x ，得圆心为(1,0)，半径为2，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+⨯2110032212a b b a ,得⎩⎨⎧=-=23b a . 故对称圆的方程是2)2()3(22=-++y x 解法二：（排除法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)2(22=+-y x ,得2=r ,则对称圆的半径也应为2，故排除选项A,B ，在选项C 中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为211302-=---，与直线032=+-y x 垂直.故选C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变.变式1 若不同两点P ,Q 的坐标分别为，)3,3(),,(a b b a --,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线l 对称的圆的方程为______题型2 直线系方程和圆系方程 思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：0)()(22221111=+++++C y B x A C y B x A λλ)0(2221≠+λλ简记为：)0(022212211≠+=+λλλλl l 当01≠λ时，简记为：021=+l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：)1(0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x简记为：)1(021-≠=+λλC C ，不含2C当1-=λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）0)()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 注 与圆C 共根轴l 的圆系0:=+l C C λλ例9.20 （1）设直线01:1=+-y x l 与直线022:2=++y x l 相交于点P,求过点P 且与直线0132:3=--y x l 平行的直线4l 的方程.（2）求圆心在直线0143=-+y x 上且过两圆0222=-+-+y x y x 与522=+y x 的交点的圆的方程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.解析 （1）解法一：由⎩⎨⎧=++=+-02201y x y x ，得交点)0,1(-P .因为34//l l ，故设032:4=+-C y x l ，又4l 过点)0,1(-P ，故0)1(2=+-C ，得2=C即0232:4=+-y x l解法二：设0)1(22:4=+-+++y x y x l λ，即02)1()2(:4=++-++λλλy x l 因为34//l l ，所以）（）（λλ-=+-1223，得8-=λ，故0232:4=+-y x l (2)设所求圆为)1(0)5(222-≠=-++-+-+λλy x y x y x 化为一般式0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 所以)1(212,)1(212λλ+-=-+=-E D ，故圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛++）（，）（λλ121-121代入直线0143=-+y x 中，得01)1(24)1(23=-+-+λλ解得23-=λ，把23-=λ代入所设的方程中，得0112222=--++y x y x 故所求圆的方程为0112222=--++y x y x评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往能够简化运算，快速得出结论.变式1 过直线042=++y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点且面积最小的圆的方程是_________ 变式2 （1）设直线0:1=-y x l 与直线04:2=-+y x l 相交于点P ，求过点P 且与直线0543:3=++y x l 垂直的直线4l 的方程.（2）已知圆042:22=---+m y x y x C ，若直线02:=-+y x l 与圆C 相交于A,B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点），求m 的值和以AB 为直径的圆的方程.题型3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点)0,4(),0,1(N M 的距离之比为21.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）若直线3:+=kx y l 与曲线W 交于A,B 两点，在曲线W 上是否存在 一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由. 解析 （1）设点P 的坐标为),(y x P ，由题意知21||||=PN PM ，即2222)4()1(2y x y x +-=+- 即4:22=+y x W（2）因为直线3:+=kx y l 与曲线W 相交于A,B 两点，所以213),(2<+=kl O d即25>k 或25-<k ① 假设曲线W 上存在点Q ，使得2||,=+=OQ OB OA OQ 因为A,B 在圆上，所以||||OB OA =，且OB OA OQ +=由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直平分. 故1||21),(==OQ l O d ，即1132=+k，解得22±=k ，符合式①所以存在点Q ，使得OB OA OQ +=评注 在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆. 变式1 在ABC ∆中，若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值为__________变式2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面B A l ,,=βα 是l 上的两个点，C,D 在平面β内，且αα⊥⊥CB DA ,,AD =4,AB =6,BC =8，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则P-ABCD 体积的最大值是（ ）A.324B.16C.48D.144例9.22 如图9-11所示，已知P (4,0)是圆3622=+y x 内的一点，A,B 是圆上两动点，且满足︒=∠90APB ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析 解法一：设AB 的中点为R ,点Q 的坐标为(x,y ),则在ABP Rt ∆中||||PR AR =，又因为R 是弦AB 的中点，由垂径定理，在ORA Rt ∆中36||||22=+OR AR ，又2222|)|2(|)|2()|||(|2PR OR OP OQ +=+(*), 得72362)|||(|2||||2222=⨯-+=+PR OR OP OQ , 故56||72||22=--OP OQ则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是5622=+y x 解法二：设AB 的中点为R ，Q 的坐标为(x,y),则⎪⎭⎫⎝⎛+2,24y x R ，在矩形APBQ 中有||21||||PQ AR PR ==在ORA Rt ∆中，36||||||222==+OA RA OR则()[]364412242222=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ，即5622=+y x 评注 式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ 外一点，有2222OB OA OQ OP +=+变式1 已知圆422=+y x 上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内的一定点，P ，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点M 的轨迹方程；（2）若︒=∠90PBQ ，求线段PQ 中点N 的轨迹.变式2 已知点P (0,5)及圆024124:22=+-++y x y x C（1）直线l 过P 且被圆C 截得的线段长34||=AB ，求l 的方程； （2）求过点P 的圆C 的动弦的中点M 的轨迹方程.题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 思路提示方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径F E D r 42122-+=例9.23方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.()2,-∞-B.⎪⎭⎫⎝⎛-0,32 C.()0,2-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2解析 由0122222=-+++++a a ay ax y x可得0143)(2222>+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a y a x即04432<-+a a ，得322<<-a .故选D 评注 对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1 方程042422=+-++m y mx y x 表示圆的方程的充要条件是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,41mB.()+∞∈,1mC.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈41,mD. ),1(41,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈ m变式2 若圆02)1(222=-+-++a ay x a y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数a 的值为______ 题型5 点与圆的位置关系判断 思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A (1,1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.)1,1(-B.)1,0(C.),1()1,.(+∞-∞-D.{}1,1-解析 点A (1,1)在圆内部，满足4)()(22<++-a y a x ，即4)1()1(22<++-a a ，解得11<<-a 故选A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点),(00y x P 在圆上,则22020)()(r b y a x =-+-； 若点),(00y x P 在圆外,则22020)()(r b y a x >-+-； 若点),(00y x P 在圆内,则22020)()(r b y a x <-+-.反之也成立.变式1 点A (1,0)在圆0332222=-++-+a a ax y x 上，则a 的值为_______变式2 过占P (1,2)可以向圆024222=-+-++k y x y x 引两条切线，则k 的范围是（ ）A.)7,(-∞B.)7,0(C.)7,3(D.),5(+∞题型6 与圆有关的最值问题 思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y 满足方程01422=+-+x y x（1）求xy的最大值和最小值； （2）求x y -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值分析 方程01422=+-+x y x 表示圆心为（2，0），半径为3的圆.--=x y x y 的几何意义是圆上一点M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b ，可看作直线y=x+b 在y 轴上的截距；22y x +是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.解析 （1）原方程可化为3)2(22=+-y x ，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设k xy=，即kx y =.当直线kx y =与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时31|02|2=+-k k ，解得3±=k故xy的最大值为3，最小值为3- （2）设y-x =b ，即y =x +b ，当y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时32|02|=+-b ，即62±-=b ，故y-x 的最大值为62+-，最小值为62--（3）解法一：（几何法）22y x +表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故()347)32(2max22+=+=+y x,()347)32(2min22-=-=+y x解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程3)2(22=+-y x设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x （θ为参数,)2,0[πθ∈） 则()θθθcos 347)sin 3(cos 322222+=++=+y x故当1cos -=θ时，()347)32(2min22-=-=+y x当1cos =θ时，()347)32(2max22+=+=+y x解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为3)2(22=+-y x ，可得222(3）--=x y且[]32,32+-∈x故14)2(32222-=--+=+x x x y x 由[]32,32+-∈x故[]347,3471422+-∈-=+x yx故所求最大值为347+，最小值为347-评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如ax b y --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题 变式 1 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0≥-+m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞B.),21[+∞-C.]12,(---∞D.]12,(+-∞ 变式2 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0)2(22≥-+-m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞ B.),51[+∞- C.]15,(--∞ D.]15,(+-∞题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程225x y --=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆分析 对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围解析 由题可知0,55≤≤≤-y x ，且2522=+y x ，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D变式1 方程21y x -=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆 例9.27 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A.{}2,2- B.{}211|-=≤<-b b b 或 C.{}11|≤≤-b b D.{}2|≥b b 分析 利用数形结合法求解解析 将曲线方程21y x -=变形为)0(122≥=+x y x ，当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时，满足12|00|=--b ，整理可得2||=b ，即2±=b .如图9-12所示，可得当2-=b 或11≤<-b 时，直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.故选B变式1 当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 变式2 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[]221,1+- B.[]221,221+- C.[]3,221- D.[]3,21- 变式3 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,,)2(2),(222, {}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,,122),(，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______有效训练题1.若直线y =kx 与圆03422=+-+x y x 的两个交点关于直线x +y +b =0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2 2.若点(4a -1,3a +2)不在圆25)2()1(22=-++y x 的外部，则a 的取值范围是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55,55 B.)1,1(- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-55,55 D.]1,1[- 3.设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P （ ）A.必在圆222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上三种情形都有可能 4.已知圆422=+y x ，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)1(22x y x B. ()104)1(22<≤=+-x y xC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)2(22x y x D. ()104)2(22<≤=+-x y x 5.已知两点A (-1,0),B (0,2)，点P 是圆1)1(22=+-y x 上任意一点，则PAB ∆面积的最大值与最小值分别是（ ） A.)54(21,2- B.)54(21),54(21-+ C.54,5- D. )25(21),25(21-+ 6.已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为（ ） A.31 B.51 C.31- D.51- 7.定义在),0(+∞上的函数f (x )的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若1)(22≤+y x f ，则y x y x 2222+++的最小值是______8.已知圆C 经过()()5,1,1,3A B 两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______9.已知直线R m m x y l ∈+=,:.若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，该圆的方程为_______10.根据下列条件求圆的方程.（1）经过点(1,1)P 和坐标原点，并且圆心在直线2310x y ++=上；（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -；（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)A B C -（4）已知一圆过(4,2),(1,3)P Q --两点，且在y 轴上截得的线段长为.11.设定点(3,4)M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为两边做平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.12.集合22(,)|((1)4A x y x y ⎧⎫⎪⎪=++≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 集合{}22()(,)|22,B m x y y x mx m m m R ==-++∈，设集合B 是所有()B m 的并集，求A B ⋂的面积。
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类型一：巧用圆系求圆的过程
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的 方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：
⑴以
为圆心的同心圆系方程
⑵过直线
与圆
的交点的圆系方程
倘若充分挖掘本题的几何关系
，不难得出 在以 为直径的圆上。 而 刚
好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。
l1：3x 4y 6 0 ，或 l 2：3x 4 y 16 0 ．
设圆 O1：(x 3)2 ( y 3)2 9 的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d 2 ，则
33 4 3 6
3 3 4 3 16
d1
32 42
3， d2
1． 32 42
∴ l1与 O1 相切，与圆 O1 有一个公共点； l2 与圆 O1 相交，与圆 O1 有两个公共点． 即符合题意的
和
，解之可得 故 的交点且面积最小的圆的方
的公共弦方程为
例 1：已知圆
与直线
坐标原点，若
，求实数 的值。
相交于 两点， 为
分析：此题最易想到设出
，由
用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于
得到
，利
的方程，最后验证得解。
1
过直线
，即
与圆
的交点的圆系方程为
，即
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆
分析：不论 m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意 两直线的交点。
解：由原方程得
围是 2 m 2 或 m 2 2 .
2
变式练习： 1.若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 y 恰有一个公共点，则 解析：利用数形结合 .
k 的取值范围是 ___________.
答案：－ 1＜ k≤ 1 或 k=－ 2
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例 4 已知圆 C：（x－1）2＋（ y－ 2）2＝25，直线 l：（2m+1）x+（m+1） y－ 7m－
4=0（m∈R） .
（ 1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 .
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得
m(x＋ 2y－1)－ (x ＋y－ 5)＝ 0，①
x 2y 1 0
x9
解得
即x y 5 0
y 4，
例 6 圆 (x 3)2 ( y 3)2 9 上到直线 3x 4 y 11 0 的距离为 1 的点有几个？ 分析： 借助图形直观求解．或先求出直线 l1 、 l 2 的方程，从代数计算中寻找解答．
∴直线过定点 P（ 9，－ 4）
设圆心 O1 到直线 3x 4 y 11 0 的距离为 d ，则 d
3 3 4 3 11 32 42
2 3．
∴圆 O1 到 3x 4y 11 0 距离为 1 的点有两个．
显然， 上述误解中的 d 是圆心到直线 3x 4 y 11 0 的距离， d r ，只能说明此直线与圆有
两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为
.
（ 1）证明： l 的方程（ x+y－ 4）+m（ 2x+y－ 7） =0.
∵ m∈ R，∴
2x+y－ 7=0， x+y－4=0， 得
即 l 恒过定点 A（3， 1） .
x=3， y 3) 2 9 的圆心为 O1(3 , 3) ，半径 r 3 ．
设圆心 O1到直线 3x 4 y 11 0 的距离为 d ，则 d
2 ∴ l 的方程为 2x－ y－ 5=0. 评述：若定点 A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？
思考讨论
又 r d 3 2 1． ∴与直线 3 x 4 y 11 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴符合题意的点共有 3 个．
解法二： 符合题意的点是平行于直线 3x 4 y 11 0 ，且与之距离为 1 的直线和圆的交点． 设
可设圆的参数方程为
x 3 cos ,
（ 是参数）．
y 4 sin ,
则 d x2 y 2 9 6cos cos2 16 8 sin sin 2 26 6 cos 8sin 26 10 cos( ) （其中 tan
所以 dmax 26 10 36 ， d min 26 10 16 ．
4
）．
3
点共 3 个． 说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
3 3 4 3 11
32 42
2 3．
如图，在圆心 O1 同侧，与直线 3x 4 y 11 0 平行且距离为 1 的直线 l1 与圆有两个交点，这
两个交点符合题意．
∵圆心 C（ 1， 2），｜ AC｜＝ 5 ＜5（半径）， ∴点 A 在圆 C 内，从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点 . （ 2）解：弦长最小时， l⊥ AC，由 kAC＝－ 1 ，
的直径，圆心
必在公共弦所在直线
上。即
，则
类型二：直线与圆的位置关系
例 5、 若直线 y x m 与曲线 y 4 x2 有且只有一个公共点，求实数 m 的取值范围 .
代回圆系方程得所求圆方程
解：∵曲线 y 4 x2 表示半圆 x 2 y 2 4( y 0) ，∴利用数形结合法，可得实数 m 的取值范
例 3:求证： m 为任意实数时，直线 (m－1)x＋ (2m－ 1)y＝ m－ 5 恒过一定点 P，并 求 P 点坐标。
1．
(法 2)圆上点到原点距离的最大值
d 1 等于圆心到原点的距离
d
' 1
加上半径
1，圆上点到原点距离
的最小值 d2 等于圆心到原点的距离
'
d 1 减去半径 1．
所以 d1 32 42 1 6 ． d2 32 42 1 4． 所以 dmax 36 ． d min 16 ．
解：过直线
与圆
的交点的圆系方程为：
，即
………………… . ①
依题意， 在以 为直径的圆上，则圆心（
）显然在直线
⑶过两圆
和圆
的交
上，则
点的圆系方程
又
满足方程①，则
此圆系方程中不包含圆 ，直接应用该圆系方程， 必须检验圆 是否满足题意，
谨防漏解。
例 2：求过两圆
和
程。
当
时，得到两圆公共弦所在直线方程
解：圆
2
所求直线为 3x 4 y m 0 ，则 d
m 11 1，
32 42
∴ m 11 5 ，即 m 6 ，或 m 16 ，也即
的最大、最小值． 分析： (1)、 (2) 两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解： (1)(法 1)由圆的标准方程 (x 3)2 ( y 4)2 1 ．