小题专项集训(十) 数列(二)
高二数学数列专题练习题(含答案)
高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。
2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。
3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。
4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。
5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。
最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。
1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。
其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。
常用的数列有等差数列和等比数列。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。
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由 4S2＝S1＋3S3，得 4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，
即 3q2－q＝0，又 q≠0，∴q＝1 3.
答案
1 3
12． 设 数 列 {an}的通项公式为 an＝ 2n－ 7(n ∈ N*)，则 |a1|＋|a2| ＋… ＋|a15| ＝
. 解析 由 an＝2n－7≤0，得 n≤72，即 ai≤0(i＝1,2,3)，记 Sn 为数列{an}的前 n
答案 D 10．定义运算“*”，对任意 a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝
c*(ab)＋(a*c) ＋(c*b)． 设 数 列 {an}的 通 项 为
an
＝
n*
1 n
*0
，
则
数
列
{an
}
为
( )． A．等差数列 C．递增数列
B．等比数列 D．递减数列
解析 由题意知 an＝n*n1*0＝0]n·1n＋(n*0)＋n0]1)＝1＋n＋1n，显然数列 {an}
n
②{(－1)n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k 为常数)也是等方差数列．
其中真命题的序号为
(将所有真命题的序号填在横线上)．
解析 ①正确，因为 a2－a2＋1＝p，所以 a2＋1－a2＝－p，于是数列{a2}为等差
nn
n
n
n
数列．②正确，因为(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0 为常数，于是数列{(－1)n}为等方
1－q · >0，
1－q41－q6 1＋q2 1－q6
所以Sa44>aS.66综上所述，应选 B. 答案 B
学海无涯
3．(2013·广东六校联考)在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，
【2020】人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版
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时 间：__________________
———综合训练篇
一、选择题：
1． 在等差数列中，，则的值为 （ D ）
A．18B．20C．22D．24
2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A．16B．32C．64D．27
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和Sn.
17．解：（Ⅰ），
，…………………………………………2分
，即
………………………………………………4分
∴数列为首项，公差为2的等差数列 …………………………6分
（Ⅱ）由（1）得：，即
……………………………………………………8分
b1 = 1，当，
（I）哪一年两产品获利之和最小？
（II）至少经过几年即可达到或超过预期计划？
16．
故第20xx年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）
（II）
…………………………………………（1分）
17.（选做题）已知函数的反函数为，数列{an}满足：a1 = 1， ，数列是首项为1，公比为的等比数列.
三、解答题：
15．已知是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.
15.[解法1]由已知………………（2分）
当
…………（4分）
………………（8分）
当……（10分）
所以，成等比数列.………………………………………………（12分）
[解法2]由已知，……………（2分）
A. B. C. D.
数列专项训练(含答案)
数列与数学归纳法专项训练1. 如图，曲线y2= x(y�0)上的点E与x轴的正半轴上的点Q及原点0构成一系列正三角形D.OP从，D.Q1P从，…D.Qn-1P从…设正三角形Q n-l�Q n的边长为a n'n EN*记Q。
为0),�(S n,O). Cl)求a l的值，(2)求数列{a n}的通项公式a n02. 设忆｝，｛九｝都是各项为正数的数列，对任意的正整数n,都有a n, 历，a n+l成等差数列，历，a n+l'b�+l成等比数列．(1)试问仇｝是否成等差数列？为什么？1(2)如果a,=l,b1 =五，求数列厂｝的前n项和s".3. 已知等差数列{a n }中，a2=8,S6=66. 。
yQ1 QX2C I)求数列{a n }的通项公式；2 1C II)设仇＝，兀=b l + b2 + ... + b n , 求证：T n 2—.(n+l)a n 63 1 14. 酰n数列{a n}中a l=—,a n=2-(n?:2, n EN十），数列｛仇｝，满足丸＝5 a n-1 a n -1C n E N+)Cl)求证数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项与最小项，并说明理由；(3)记S n=b l +b2 +…+b求1iin(n-I)b nn➔oo sn+l5已知数列{a,,}中，a,>O,且8,c=厂汇，(I)试求a的值，使得数列{a n}是一个常数数列；(II)试求a的取值范围，使得a,i+1>a n对任何自然数n都成立；(III)若a1=2,设b n=I a叶1-a n l c严1,2, 3, …)，并以＄表示数列｛妇的前n项的和，求证：55,<—·1 x+l 1 6. (1)已知：x E (O+oo ), 求证<l n <—;x+lx x 1 1 1 1 1(2)已知：nEN且n�2,求证：—＋—十···+—<n n <l+—+···十2 3 n 2 n-l7. 已知数列忆｝各项均不为0'其前n 项和为S n , 且对任意nEN*, 都有(1-p )· 旯=p -p a n(p为大于1的常数），并记f(n) =1 + C ! . a l + c �. a2 + ... + c : . a n 2n .s n(1)求a n ;p+l(2)比较f (n+l )与·f (n)的大小nE N 勹2p (3)求证：(2n -l)·f (n) :5笘/(i ):', ; : �·[勹;::厂}nE N 勹．8. 已知nEN*,各项为正的等差数列{a n }满足a 2·a 6 = 21, a 3 + a 5 = 10 , 又数列{lgb n }的前n 项和是1S n = n (n+ l ) l g 3 --n (n -l)。
数列专项复习题
数列专项复习题数列专项复习题数列是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在高中数学中，数列的知识点也是必不可少的。
为了帮助大家复习数列，下面将给出一些数列专项复习题，希望对大家的学习有所帮助。
1. 求下列数列的通项公式：(1) 1, 2, 4, 8, 16, ...(2) 2, 5, 8, 11, 14, ...(3) 3, 6, 12, 24, 48, ...解析：(1) 这个数列是一个等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)，其中n为项数。
(2) 这个数列是一个等差数列，通项公式为an = 3n - 1，其中n为项数。
(3) 这个数列也是一个等比数列，通项公式为an = 3 * 2^(n-1)，其中n为项数。
2. 求下列数列的前n项和：(1) 1, 3, 5, 7, 9, ...(2) 2, 4, 6, 8, 10, ...(3) 3, 6, 9, 12, 15, ...解析：(1) 这个数列是一个等差数列，公差为2，首项为1，前n项和的公式为Sn =(2n^2 - n) / 2。
(2) 这个数列也是一个等差数列，公差为2，首项为2，前n项和的公式为Sn =n(n + 1)。
(3) 这个数列也是一个等差数列，公差为3，首项为3，前n项和的公式为Sn = 3n。
3. 求下列数列的极限：(1) 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...(2) 1, 2, 3, 4, 5, ...(3) 1, -1, 1, -1, 1, ...解析：(1) 这个数列是一个等比数列，公比为1/2，当n趋向于无穷大时，数列的极限为0。
(2) 这个数列是一个等差数列，公差为1，当n趋向于无穷大时，数列的极限不存在。
(3) 这个数列是一个周期数列，当n为奇数时，数列的值为1；当n为偶数时，数列的值为-1。
因此，数列的极限也不存在。
4. 求下列数列的递推关系式：(1) 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...(2) 1, 2, 4, 7, 11, 16, ...(3) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...解析：(1) 这个数列是一个斐波那契数列，递推关系式为an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 1。
数列解答题基础50题(适合学困生,超基础)
1．(1)
(2)
【来源】河南省新未来2023届高三5月联考文科数学试题
【分析】（1）利用递推式得出 是以1为首项，3为公比的等比数列，求出 ，进而求解 即可.
（2）利用错位相减法求解数列前 项和即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
又 ， 是以1为首项，3为公比的等比数列，
， ，
即数列 的通项公式为 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
12．在数列 中， ， ， ．
(1)设 ，求证：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
13．已知数列 的首项为 ，且满足 ，数列 满足 ，且 ．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求 ．
14．已知数列 是公比为2的等比数列， ， ， 成等差数列．
38．写出一个分别满足下列条件的数列 的通项公式：
(1)从第2项起，每一项都比它的前一项大2；
(2)各项均不为0，且从第二项起，每一项都是它的前一项的3倍．
39．设等差数列 的前n项和为 ．
(1)已知 ， ，求 ；
(2)已知 ，公差 ，求 ．
40．记 为数列 的前 项和，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
41．已知等差数列 的前三项依次为 ，4， ，前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式及 的值；
(2)设数列 的通项 ，求证 是等比数列，并求 的前 项和 .
42．已知等比数列 的首项 ，公比 ，在 中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列 .
(1)求 的通项公式及前 项和 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
数列练习题及答案
数列练习题及答案数列是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
数列练习题是数学学习中常见的一种练习形式，通过解答这些练习题可以帮助学生巩固对数列的理解和运用。
本文将介绍一些常见的数列练习题及其答案，希望对读者的数学学习有所帮助。
第一类数列练习题是求下一个数或者找规律。
例如：1，2，4，7，11，16，？这是一个递增的数列，每个数与前一个数之差依次为1，2，3，4，5，因此下一个数应该是16+6=22。
第二类数列练习题是求数列的通项公式。
通项公式是指数列中的每一项与项数之间的关系式。
例如：2，4，6，8，10，...这是一个等差数列，每个数与前一个数之差都为2，因此通项公式为an=2n。
第三类数列练习题是求数列的前n项和。
求前n项和可以通过求和公式或者逐项相加的方式来计算。
例如：1，3，5，7，9，...这是一个等差数列，首项为1，公差为2，求前n项和可以使用求和公式Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
所以前n项和为Sn=n/2(1+an)，其中an=a1+(n-1)d，代入公式得到Sn=n/2(1+a1+(n-1)d)。
第四类数列练习题是求数列的极限。
极限是指数列中的项随着项数的增加趋向于某个确定的值。
例如：1，1/2，1/4，1/8，...这是一个等比数列，公比为1/2，随着项数的增加，每一项都趋向于0，所以极限为0。
通过解答这些数列练习题，可以帮助学生巩固对数列的理解和运用。
同时，数列练习题也培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
在解答数列练习题时，学生需要观察数列中的规律，并找到相应的解题方法。
这种思维过程可以培养学生的观察力和分析能力。
除了练习题，数列还有许多其他的应用。
在数学中，数列被广泛应用于数学分析、微积分、概率论等领域。
在物理学中，数列被用来描述运动的轨迹和变化规律。
在经济学中，数列被用来描述经济指标的变化趋势。
在计算机科学中，数列被用来解决各种算法和数据结构问题。
数列基础练习题及答案
数列专题1．数列1,3,7,15, 的通项公式n a 等于（ ）A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12-n2．各项不为零的等差数列{n a }中，2a 3－27a ＋2a 11＝0，数列{n b }是等比数列，且b 7＝a 7， 则b 6b 8＝（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．163．已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S =A ．44B ．33C ．22D ．114．等差数列{}n a 的公差0d ≠，120a =，且3a ，7a ，9a 成等比数列．n S 为{}n a 的前n 项和，则10S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C ．90D ．1105．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）A ．64B ．81C ．128D ．243 6．已知{}n a 是等比数列，21,441==a a ，则公比q =（ ） A 、21- B 、2- C 、2 D 、21 7．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．8．设数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，且123,1,1a a a --是等比数列{}n b 的前三项.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .9．已知等差数列{a n }满足a 3=5，a 5﹣2a 2=3，又等比数列{b n }中，b 1=3且公比q=3．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知306,6312=+=a a a ，求n a 和n S 。
2021届高考数学总复习模块三数列限时集训(十)数列、等差数列与等比数列文
限时集训〔十〕数列、等差数列与等比数列根底过关1.数列{a n } 是等差数列,假设a 1+a 7=-8,a 2=2,那么数列{a n }的公差d= ( ) A .-1B .-2C .-3D .-42.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,且a 1>0.假设S 2>2a 3,那么q 的取值范围是 ( ) A .(-1,0)∪0,12B .-12,0∪(0,1)C .(-∞,-1)∪12,+∞ D .-∞,-12∪(1,+∞)3.数列{a n }的前n 项和S n =n 2-7n ,假设3<a k <6,那么k 等于 ( ) A .9B .8C .7D .64.a ,1,c 成等差数列,a 2,1,c 2成等比数列,那么log a+c (a 2+c 2)等于 ( ) A .1 B .1或log 26 C .3D .3或log 265.在等差数列{a n }中,假设a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,那么数列{a n }的前9项和为 ( ) A .297B .144C .99D .666.-9,a 1,a 2,a 3,-1五个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列,那么a 1-a 3a 2等于( )A .43B .-43C .±43D .±237.在数列{a n }中,假设a 1+a 2+…+a n =2n-1(n ∈N *),那么a 12+a 22+…+a a 2= ( ) A .(43)a -1B .4n-1C .4n-1D .4a -138.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,那么a aa a= ( )A .4n-1B .4n-1C .2n-1D .2n-19.在数列{a n }中,a 1=a ,a 2=b ,且a n+2=a n+1-a n (n ∈N *),假设数列{a n }的前n 项和为S n ,那么S 2021= ( ) A .0B .aC .2bD .a+b10.在等差数列{a n}中,2a9=a12+12,那么数列{a n}的前11项和S11= ()A.24B.48C.66D.13211.数列a1,a2a1,a3a2,…,a aa a-1是首项为1,公比为2的等比数列,那么a101=()A.2100B.24950C.25050D.2515112.数列{a n}是等差数列,a3=5,a9=17,数列{b n}的前n项和S n=3n-1,假设1+a m=b4,那么正整数m 等于()A.29B.28C.27D.2613.设数列{a n}是公差不为0的等差数列,S n为其前n项和,假设a12+a22=a32+a42,S5=5,那么a7的值为.14.数列{a n}满足a1=2,(2n-1)a n+1=(2n+1)a n(n∈N*),那么a5= .15.直线l:nx+(n+1)y=1(n∈N*)与坐标轴围成的三角形的面积为a n,那么数列{a n}的前10项和S10为.能力提升16.数列{a n}是以3为公差的等差数列,S n是其前n项和,假设S10是数列{S n}中的唯一最小项,那么数列{a n}的首项a1的取值范围是()A.[-30,-27]B.(30,33)C.(-30,-27)D.[30,33]17.在等差数列{a n}中,a1≠0,a aa2a是一个与n无关的常数,那么这个常数的可能值的集合为()A.{1}B.1,12C.12D.0,1,1218.假设数列{a n}满足a1=1,且a n+1=a1+a n+n(n∈N*),那么1a1+1a2+…+1a2018=()A.40302016B.40322017C.40342018D.4036201919.正项数列{a n}的前n项和为S n,假设2S n=a n+1a a(n∈N*),那么S2021= ()A.2021+√20182018B.2021-√20182018C.2021D.√201820.设a,b为实数,关于x的方程(x2-18x+a)(x2-18x+b)=0的4个实数根构成以d为公差的等差数列,假设d∈[0,4],那么a+b的取值范围是.限时集训(十)根底过关1.C [解析] 依题意有a 2-d+a 2+5d=-8,又a 2=2,所以d=-3.应选C .2.B [解析] 依题意有a 1+a 1q>2a 1q 2,因为a 1>0,所以2q 2-q-1<0,解得-12<q<1,又因为q ≠0,所以-12<q<0或0<q<1.应选B .3.D [解析] 当n=1时,a 1=S 1=-6;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n-8.综上有a n =2n-8(n ∈N *). 令3<2k-8<6,又k ∈N *,可得k=6.应选D .4.B [解析] 依题意有a+c=2,a 2c 2=1,所以ac=±1,a 2+c 2=(a+c )2-2ac=4-2ac ,所以a 2+c 2=2或6,所以log a+c (a 2+c 2)=log 2(a 2+c 2)=1或log 26.应选B .5.C [解析] 因为a 1+a 4+a 7=39,所以3a 4=39,可得a 4=13.由a 3+a 6+a 9=27得a 6=9,所以数列{a n }的前9项和S 9=9(a 1+a 9)2=9(a 4+a 6)2=9×(13+9)2=99.应选C .6.A [解析] 设等差数列的公差为d ,那么-1=-9+4d ,解得d=2,所以a 1-a 3=-2d=-4.对于等比数列,有a 22=-9×(-1)=9,所以b 2=3或b 2=-3,显然b 2=3不合题意,所以b 2=-3,所以a 1-a 3a 2=43.应选A .7.D [解析] 当n=1时,a 1=1,当n ≥2时,a n =(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时满足上式,所以a n =2n-1,a a 2=4n-1,即数列{a a 2}是首项为1,公比为4的等比数列,那么a 12+a 22+…+a a 2=1−4a 1−4=4a -13.应选D .8.C [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,那么q=a 2+a 4a 1+a 3=12,所以a a a a =a 1(1-a a )a 1a a -1(1-a )=1−a a a a -1(1-a )=1−12a 12a -1×12=2n -1.应选C .9.C [解析] 由题意可得a 1=a ,a 2=b ,a 3=b-a ,a 4=-a ,a 5=-b ,a 6=a-b ,a 7=a ,a 8=b ,…,于是可知{a n }是以6为周期的数列,且S 6=0,又2021=336×6+3,所以S 2021=a 1+a 2+a 3+336×S 6=2b.应选C . 10.D [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,∵在等差数列{a n }中,2a 9=a 12+12,∴2(a 1+8d )=a 1+11d+12,∴a 1+5d=12,∴数列{a n }的前11项和S 11=112(a 1+a 11)=112(a 1+a 1+10d )=11(a 1+5d )=11×12=132.应选D .11.C [解析]∵a 1,a 2a 1,a 3a 2,…,aa a a -1是首项为1,公比为2的等比数列,∴a a a a -1=2n-1,∴a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·aa a a -1=1×21×22×…×2n-1=2a (a -1)2,∴a 101=25050.应选C .12.C [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,又a 9=17,a 3=5,所以6d=a 9-a 3=17-5=12,可得d=2,从而可得a 1=1,所以a n =2n-1.因为数列{b n }的前n 项和S n =3n-1,所以当n ≥2时,S n-1=3n-1-1,b n =S n -S n-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1,所以b 4=2×33=54.由1+a m =b 4得1+2m-1=54,解得m=27.应选C .13.9 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ,那么由题意得a 12+(a 1+a )2=(a 1+2a )2+(a 1+3a )2,5a 1+10d=5,解得a 1=-3,d=2,所以a 7=-3+6×2=9. 14.18 [解析] 由题可得a a +1a a =2a +12a -1,所以a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a aaa -1=2×31×53×…×2a -12a -3=4n-2,所以a 5=18.15.511 [解析] 直线l :nx+(n+1)y=1(n ∈N *)与坐标轴的交点为1a,0,0,1a +1,∴直线l 与坐标轴围成的三角形的面积a n =12×1a×1a +1=121a -1a +1,那么数列{a n }的前10项和S 10=12×1-12+12-13+…+110-111=12×1-111=511.能力提升16.C [解析] 因为公差d=3>0,所以数列{a n }是递增数列,又S 10是数列{S n }中的唯一最小项,所以{a 10<0,a 11>0,即{a 1+9a <0,a 1+10a >0,解得-30<a 1<-27.应选C .17.B [解析] 设等差数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)d ,那么a 2n =a 1+(2n-1)d ,所以a a a 2a=a 1+(a -1)a a 1+(2a -1)a =a 1-a +aa a 1-a +2aa ,因为aa a 2a是一个与n 无关的常数,所以a 1-d=0或d=0,所以a aa 2a的值可能是1或12.应选B .18.D [解析] 由题意可得a n+1-a n =n+1,那么a 1=1,a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n-1=n ,以上各式相加可得a n =a (a +1)2,那么1a a=21a -1a +1,所以1a 1+1a 2+…+1a2018=2×1-12+12-13+…+12018-12019=40362019.应选D .19.D [解析] 当n ≥2时,2S n =2(S n-1+a n )=a n +1a a,即a a 2+2S n-1a n -1=0,所以a n =-S n-1±√a a -12+1.又由a n >0得a n =-S n-1+√a a -12+1,那么S n =a n +S n-1=√a a -12+1,所以a a 2-a a -12=1,即数列{a a 2}是公差为1的等差数列,又2S 1=2a 1=a 1+1a 1,解得a 1=1(舍去a 1=-1),即S 1=1,a 12=1,所以a a 2=n ,所以S 2021=√2018.应选D .20.[122,162] [解析] 设4个实数根依次为m ,m+d ,m+2d ,m+3d ,不妨设 m ,m+3d 为x 2-18x+a=0的两个实数根,那么m+d ,m+2d 为方程x 2-18x+b=0的两个根,由韦达定理得2m+3d=18,即m=9-32d ,又m (m+3d )=a ,(m+d )(m+2d )=b ,故a+b=9-32d9+32d +9-12d9+12d =81-94d 2+81-14d 2=162-52d 2,又因为d 2∈[0,16],所以a+b∈[122,162],即a+b 的取值范围是[122,162].。
数列练习题（含答案）基础知识点
数列练习题（含答案）基础知识点数列基础知识点和⽅法归纳1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+前n 项和()()11122n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的⼆次函数）n S 的最值可求⼆次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥??≤?可得n S 达到最⼤值时的n 值.当100a d <>，，由100n n a a +≤??≥?可得n S 达到最⼩值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等⽐数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等⽐中项：x G y 、、成等⽐数列2G xy ?=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =??=-?≠?-?（要注意！）性质：{}n a 是等⽐数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等⽐数列,公⽐为n q .注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =； 2n ≥时，1n n n a S S -=-.3．求数列通项公式的常⽤⽅法（1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =?+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=?=?≥?［练习］数列{}n a 满⾜111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代⼊得14n nS S +=；⼜14S =，∴{}n S 是等⽐数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·（2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a n a a n +==+，，求n a解 3212112123n n a a a n a a a n--=·……·……，∴11n a a n =⼜13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，⽤迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=?-=-=?…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……［练习］数列{}n a 中，()111132n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312n n a =-）（4）等⽐型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等⽐数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+?=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c = -，∴1n d a c ?+-是⾸项为11d a c c +-，为公⽐的等⽐数列∴1111n n d d a a c c c -??+=+ ?--??·，∴1111n n d d a a c c c -?=+---?（5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a 为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·，∴21n a n =+( 附：公式法、利⽤{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等⽐1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 )4. 求数列前n 项和的常⽤⽅法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++??==-≠ ?+??·∴11111223111*********nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++??=-=-+-++-?? ? ? ? ???∑∑…… 11111n d a a +??=-［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (1)21n n a S n ===-+…………，（2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等⽐数列，求数列{}n n a b （差⽐数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公⽐.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nxS xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++?=++++…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ??++++++= ? ? ?????由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ?? ?????+=+=+= ?+++???? +∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ?=++++++=+++= ? ? ??????????????⼆、等差等⽐数列复习题⼀、选择题1、如果⼀个数列既是等差数列，⼜是等⽐数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为⾮零的常数数列（C ）存在且唯⼀（D ）不存在2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等⽐数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等⽐数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则ycx a +的值为（）（A ）21（B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等⽐中项，y 是b ,c 的等⽐中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等⽐数列（B ）成等⽐数列不成等差数列（C ）既成等差数列⼜成等⽐数列（D ）既不成等差数列，⼜不成等⽐数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等⽐数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列（D ）zy x 1,1,1成等⽐数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（）①⼀定是等⽐数列，但不可能是等差数列②⼀定是等差数列，但不可能是等⽐数列③可能是等⽐数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，⼜不是等⽐数列⑤可能既是等差数列，⼜是等⽐数列（A ）4（B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1?,1617,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n 9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满⾜5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为（）（A ）97 （B ）78 （C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成⼀个新的数列，则此数列的前n 项和为（）（A ）2)133(+n n （B ）53+n （C ）23103-+n n （D ）231031-++n n⼆、填空题13、各项都是正数的等⽐数列{}n a ，公⽐1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公⽐q =14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等⽐数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满⾜n n a S 411+=,则n a =16、在2和30之间插⼊两个正数，使前三个数成等⽐数列，后三个数成等差数列，则插⼊的这两个数的等⽐中项为⼆、解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公⽐为q 的等⽐数列，46,10,1321===b b b ，求公⽐q 及n b 。
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小题专项集训(十) 数列(二)(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )．A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1±2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 答案 C2．设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则 ( )．A.a 4S 4＝a 6S 6 B.a 4S 4>a 6S 6C.a 4S 4<a 6S 6D.a 4S 4≤a 6S 6解析 由题意得q >0，当q ＝1时， 有a 4S 4－a 6S 6＝14－16>0，即a 4S 4>a 6S 6； 当q ≠1时，有a 4S 4－a 6S 6＝a 1q 3(1－q )a 1(1－q 4)－a 1q 5(1－q )a 1(1－q 6)＝q 3(1－q )·1－q 2(1－q 4)(1－q 6)＝q 31＋q 2·1－q 1－q 6>0，所以a 4S 4>a 6S 6.综上所述，应选B.答案 B3．(2013·广东六校联考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )．A ．2B ．4C ．8D ．16解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，∴b 6·b 8＝b 27＝16.答案 D4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的取值为( )．A ．5B ．6C ．4D ．7解析 由S 10>0，S 11<0，知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5，选A. 答案 A5．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数中也可以确定的是( )．A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 13解析 若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .由a 2＋a 6＋a 10＝3a 6为常数，则a 6为常数，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11a 6为常数．答案 B6．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项等于( )．A ．145B ．203C ．109D ．29解析 因为等差数列共有奇数项，项数为2n ＋1，所以S 奇＝(n ＋1)a 中，S 偶＝na 中，中间项a 中＝S 奇－S 偶＝319－290＝29. 答案 D7．已知数列{a n }的首项a 1＝1，并且对任意n ∈N *都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N *)为坐标的点在曲线y ＝12x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( )．A ．a n ＝n 2＋1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n解析 由题意，得S n ＝12a n (a n ＋1)， ∴S n －1＝12a n －1(a n －1＋1)(n ≥2)． 作差，得a n ＝12(a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1)， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0. ∵a n >0(n ∈N *)，∴a n －a n －1－1＝0， 即a n －a n －1＝1(n ≥2)．∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝n (n ∈N *)． 答案 D8．在等差数列{a n }中，若3a 5＝8a 12>0，S n 是等差数列{a n }的前n 项之和，则S n取得最大值时，n ＝( )．A ．12B ．14C ．16D ．18解析 因为在等差数列中，3a 5＝8a 12，所以5a 5＋56d ＝0，又因为a 5>0，所以a 1>0，d <0且d ＝－576a 1，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝a 1152(157n －5n 2)，当n ＝15.7时，S n 取得最大值，因为n ∈N *，所以S n 取得最大值时n ＝16. 答案 C9．如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝( )．A ．4 016B ．1 004C ．2 008D ．2 012解析 由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2，所以f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2 012)f (2 011)＝2×1 006＝2 012. 答案 D10．定义运算“*”，对任意a ，b ∈R ，满足①a *b ＝b *a ；②a *0＝a ；(3)(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(c *b )．设数列{a n }的通项为a n ＝n *1n *0，则数列{a n }为 ( )．A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列解析 由题意知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n *1n *0＝0]n ·1n ＋(n *0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0]1n )＝1＋n ＋1n ，显然数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列；又函数y ＝x ＋1x 在[1，＋∞)上为增函数，所以数列{a n }为递增数列． 答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13. 答案 1312．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.解析 由a n ＝2n －7≤0，得n ≤72，即a i ≤0(i ＝1,2,3)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，易得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n －7n ＝n 2－6n .所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 15＝－2S 3＋S 15＝－2×(－9)＋135＝153. 答案 153 13．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为________． 解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910，∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9. 答案 －914．在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________. 解析 ∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2)．两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒a n ＋1a n ＝43(n ≥2)⇒n ≥2时，数列{a n }是以43为公比，以a 2为首项的等比数列，∴n ≥2时，a n ＝a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2. 令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝13， ∴a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2(n ≥2)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝113⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥215．(2013·南通模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断： ①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列； ②{(－1)n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．答案 ①②③。