数列的通项公式
求数列的通项公式
求数列通项公式法一 ：公式法：运用等差（等比）数列的通项公式.法二：前n 项和法：已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：不能忘记讨论1=n ）Sn 表达式中含an ：已知n a 与n S 的关系式，利用)2(1≥-=-n S S a n n n ，将关系式转化为只含有n a 或n S 的递推关系，再利用上述方法求出n a .已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn （注意：要验证能否合二为一）例1 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，则n a = 。
变式 数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，._______85=<<k a k ，则若 变式 已知数列{}n a 的前n 项和公式，求{}n a 的通项公式①n n S n 322+=；②132-⋅=n n S例2设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式； 变式 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设2n n n a b =，求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和的公式法三:：利用前n 项积，已知数列}{n a 前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n ＝1－n n T T （注意：不能忘记讨论1=n ）. 例 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a __________.法四 ：累加法：已知)2)((1≥=--n n f a a n n ，且{f(n)}成等差（比）数列，则求n a 可用累加法. 常见基本形式：三种例 数列}{n a 满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列1{}n n a a +-是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）求数列}{n a 的前n 项和n S .变式 已知数列}{n a ；①若满足291=a ，)2(121≥-=--n n a a n n ，则n a =_______________.变式 已知数列{}n a 满足11a =，)1(11+=-+n n a a n n (2)n ≥，则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++=--111(2)n ≥，则n a =_______________.法五：累乘法例 若满足a 1=1,)2(11≥+=-n n n a a n n ，则n a =_______________. 变式已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式=n a ( ) A. 12-n B.11-+n nn ）（ C. 2n D. n 法六 ：构造辅助数列法： 已知数列}{n a 的递推关系，研究a n 与a n －1的关系式的特点，可以通过变形构造，得出新数列)}({n a f 为等差或等比数列.共有六种类型：类型一：待定系数法例 已知数列满足1a =1，1n a +=2n a +3，则n a =_______________.变式 已知点,3121),11=+=+a x y a a n n 上，且在直线（则n a =_______________. 变式 已知数列{}n a 满足11a =，n n n a x a x a ，求的两实根，且满足为方程，26-60312=+=+-+βαβαβα类型二 取倒法例 已知数列}{n a 满足11=a ，131+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列}{n a 满足11=a ，3231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 类型三 取倒法与待定系数法相结合 例 已知数列}{n a 满足11=a ，231+=+n n n a a a ，则n a =_______ 变式 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，．求{}n a 的通项公式；变式 变式 已知数列}{n a 的首项1a a =（a 是常数且1a ≠-），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）}{n a 是否可能是等差数列，若可能，求出}{n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设(,n n b a c n N =+∈c 是常数)，若{}n b 是等比数列，求实数c 的值，并求出}{n a 的通项公式。
数列的递推公式和通项公式
数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。
一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。
一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。
1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。
其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。
例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。
利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。
1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。
非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。
以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。
在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。
此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。
二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。
通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。
通项公式也常被称为数列的一般项公式。
2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。
例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。
通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
数列求通项公式的9种方法
例
9：已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1
an an
2
，求{an} 的通项公式.
例 10（拓展）.设由 a1
1, an
an1
2n 1an1
n
1
2,3,定义数列an ，试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1
1 ， an1
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 ， an1
1 2 an
2n ，求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2n1 ，求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 2an 3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2 ，求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·qn－1 am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an＝SS1n，－Sn－1，
n＝1， n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋ n＋3.
变式训练 10
求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)
怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。
数列的通项公式(普通版)
数列的通项公式一、知识梳理1.数列的通项公式：如果数列}{n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；记作:)(n f a n =.2.数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥3.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，首项:1a ，公差:d ，第n 项:n a ；4.等比数列的通项公式：11-=n n q a a ，首项:1a ，公比:q ，第n 项:n a ；二、题型精析1.观察法求通项公式（1）......321,161,81,41,21 （2）......251,161,91,41,1 （3） (11)10,98,76,54,32--（4） (9910),638,356,154,32 （5）......9...999,......99,9 n ， （6）......9...999.0,......99.0,9.0 n2.公式法求通项公式（1）数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+ ，求数列}{n a 的通项公式.；（2）数列{}n a 中，()1111,2,22n n a a a n -==≥求数列}{n a 的通项公式.；3.累加法与累乘法求通项公式（1）累加法：形如)(1n f a a n n +=-,（其中)(n f 为可求和的数列） 例1.已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(1≥+=-n n a a n n ，求n a .巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(121≥-+=-n n a a n n ，求n a .（2）累乘法：形如)(1n f a a n n=-，（其中)(n f 为可求积的数列） 例2.已知数列}{n a ，其中11=a ，)2(21≥⋅=-n a a n n n ，求n a .巩固练习：已知数列{}n a ，其中11=a ，)2(11≥⋅-=-n a nn a n n ，求n a .4.构造数列法求通项公式构造数列法：形如q pa a n n +=+1（q p ,为常数，且0≠p ，1≠p ,0≠q ） （1）数列{}n a 中，已知11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式. （2）数列{}n a 中，已知11=a ,)(32*1N n a a n n ∈+=+，求数列{}n a 的通项公式.巩固练习：数列{}n a 中，111,,31nn n a a a a +==+求数列{}n a 的通项公式.5.已知n a 与n S 的关系求通项公式已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .（1）若2n S n =，求n a ； （2）若n n S 2=，求n a ；巩固练习：已知数列{}n a 的其前n 项和为n S ，求通项n a .（1）若n n S n 232-=，求n a ； （2）若23-=nn s ，求n a ；6.数列通项公式的综合应用已知数列}{n a 的前n 项和)(242+∈+-=N n n n S n ，（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）当n 为何值时，n S 达到最大？最大值是多少？三、拓展演练 1.选择题（1）数列3，12，30，60，…的一个通项公式是( )A.32)1(9+-=n n a nB.4652+-=n n a n C .2)2)(1(++=n n n a n D.21217l 12+-=n n a n （2）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2 （3）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =-，则数列的通项公式是（ ） A ．21n a n =- B ．21n a n =- C ．21n a n =-+ D ．21n a n =-+ （4）在等比数列{}n a 中，若0>n a ，6491=a a ，2064=+a a ，则=n a （ ） A ．22-nB ．n -82C ．22-n 或n -82D ．n -22或22-n（5）数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 ( ) A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 （6）已知数列{}a n 中，a 13=-且a a n n =+-211，则此数列的通项公式为 A.123-⋅-n B.n 2- C.52-n D.12--n （7）数列{}n a 中，11a =，12,()2nn n a a n N a ++=∈+，则5a =（ ） A.25 B.13 C.23 D. 12（8）数列{}n a的通项公式是)n a n N +=∈，若3111-=++n n a a ，则n 的值为（ ）A.12 B .9 C .8 D .6（9）已知等比数列}{n a 的前n 项和21n n S =-，则22212n a a a +++ 等于（ ）A.2(21)n -B.1(21)3n -C.41n -D.1(41)3n -（10）在数列{}n a 中，11=a ，0>n a ，4221+=+n n a a ，则=n a （ ）A ．34-nB ．12-nC ．34-nD ．12-n2.填空题（1）数列 ,1614,813,412,211的一个通项公式是n a =___________.（2）已知数列{}n a 中，233,211-==+n n a a a ，则4a =_________.（3）数列}{n a 中，21=a ，n a a n n 21+=+(n *∈N )，则100a 的值是_________. （4）已知数列{}n a 中， 1121,13n n a a a +==+)(+∈N n ，则通项n a = __________. （5）数列{}n a 的前n 项和114n n S a =+，则n a = .（6）数列{}n a 中，23=a ，17=a ，又数列{11n a +}为等差数列，则n a =__________.3.解答题（1）数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，n S 是前n 项和，试求{}n a 的通项公式，100a 及100S .（2）设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，111a b ==，243a a b +=，342a b b =，求{}n a ，{}n b 的通项公式．（3）数列}{n a 的通项公式为254n a n n =-+，求：① 数列中有多少项负数？ ② n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值.（4）已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式及前n 项和.（5）设数列{a n }的前项的和))(1(31*N n a S n n ∈-=.① 求a 1；a 2； ② 求证：数列{a n }为等比数列．（6）已知数列{a n }，其前n 项和为n S① 若)1(2-=n n a S ，求数列{a n }的通项公式．② 若首项是1，n a ＝1-n a ＋3n －2 (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式． ③ 若首项是1，)1(11-+=-n n a a n n (+∈N n 且n ≥2 )，求数列{a n }的通项公式．④ 若首项是1，各项均为正值，且)(0)1(1221+++∈=+-+N n a a na a n n n n n ，求数列{a n }的通项公式．。
数列通项公式求法
数列通项公式求法数列是由一系列数字按照一定的规律排列形成的序列。
其中通项公式（或叫递推公式）是指可以通过一个整数n来表示第n项的公式。
求数列的通项公式的方法有几种，下面将详细介绍常用的两种方法：等差数列和等比数列的通项公式的求法。
（一）等差数列的通项公式的求法：1.首先，我们需要先来了解等差数列的基本概念。
等差数列是指数列中的每一项与其前一项之间的差相等。
2.设等差数列的首项为a1，公差为d。
则该等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项。
3.利用已知条件求解a1和d的具体值，并将这些值代入通项公式中，我们就可以得到该等差数列的通项公式。
举例说明：假设我们要求解一个等差数列，已知首项a1=3，公差d=2、那么我们可以利用通项公式an = a1 + (n-1)d来求解后续的项。
当n=1时，an=a1+(n-1)d=3+(1-1)×2=3；当n=2时，an=a1+(n-1)d=3+(2-1)×2=5；当n=3时，an=a1+(n-1)d=3+(3-1)×2=7；...可以发现，该数列的通项公式为an=2n+1（二）等比数列的通项公式的求法：1.首先，我们需要了解等比数列的基本概念。
等比数列是指数列中的每一项与前一项的比值相等。
2.设等比数列的首项为a1，公比为q。
则该等比数列的通项公式可以表示为：an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n项。
3.利用已知条件求解a1和q的具体值，并将这些值代入通项公式中，我们就可以得到该等比数列的通项公式。
举例说明：假设我们要求解一个等比数列，已知首项a1=2，公比q=3、那么我们可以利用通项公式an=a1*q^(n-1)来求解后续的项。
当n=1时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(1-1)=2；当n=2时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(2-1)=6；当n=3时，an=a1*q^(n-1)=2*3^(3-1)=18；...可以发现，该数列的通项公式为an=2*3^(n-1)。
数列公式大全
数列公式大全数列是数学中的重要概念，在各种数学问题中都扮演着重要的角色。
数列公式是数列中各项之间的关系表达式，也是解决数列问题的关键。
本文将为您提供一个数列公式大全，帮助您更好地理解和应用数列公式。
等差数列公式等差数列是最常见的数列类型之一，其特点是每一项与前一项之间的差值相等。
等差数列的通项公式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的前n项和公式如下：Sn = (a1 + an) × n ÷ 2其中，Sn表示前n项和。
等比数列公式等比数列也是常见的数列类型，其特点是每一项与前一项之比相等。
等比数列的通项公式如下：an = a1 × r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
等比数列的前n项和公式如下：Sn = (a1 × (1 - r^n)) ÷ (1 - r)其中，Sn表示前n项和。
斐波那契数列公式斐波那契数列是一种特殊的数列，其特点是每一项是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式如下：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn表示第n项，F0 = 0，F1 = 1，n表示项数。
几何数列公式几何数列也是一种常见的数列类型，其特点是每一项与前一项之比相等。
几何数列的通项公式如下：an = a1 × q^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
几何数列的前n项和公式如下：Sn = (a1 × (1 - q^n)) ÷ (1 - q)其中，Sn表示前n项和。
反比数列公式反比数列是一种特殊的数列，其特点是每一项与前一项之乘积为常数。
反比数列的通项公式如下：an = k / n其中，an表示第n项，k表示常数，n表示项数。
总结本文为您介绍了等差数列、等比数列、斐波那契数列、几何数列和反比数列的通项公式和前n项和公式。
求数列的通项公式(教师版)
求数列的通项公式(教师版)1、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2、数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1或a n +1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1)，则这个关系式就称为数列的递推公式．3、由数列的递推公式求数列的通项公式的常见方法(1)待定系数法：①形如a n ＋1＝ka n ＋b 的数列求通项；②形如a n ＋1＝ka n ＋r ∙b n 的数列求通项；(2)倒数法：形如a n ＋1＝pa nqa n ＋r的数列求通项可用倒数法；(3)累加法：形如a n ＋1－a n ＝f (n )的数列求通项可用累加法；(4)累乘法：形如a n ＋1a n＝f (n )的数列求通项可用累乘法；(5) “S n ”法：数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.；S n 与a n 的混合关系式有两个思路：①消去S n ，转化为a n 的递推关系式，再求a n ；②消去a n ，转化为S n 的递推关系式，求出S n 后，再求a n .考向一 待定系数法例1—1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求数列{a n }的通项公式。
解：设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )即a n ＋1＝2a n －t ⇒t ＝－3.故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n＋3)，令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列，则b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.例1—2 在数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋4·3n ，数列{a n }的通项公式。
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法数列是指按照一定规律排列的一组数。
解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。
设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。
我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。
设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。
除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。
这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。
通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。
而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。
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小结 由数列的通项公式可以求出数列的指定项，要注意 n ＝1,2,3，….如果数列的通项公式较为复杂，应考虑运算化简 后再求值．
例 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….
解 (1)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数， 考虑(－1)n＋1 具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式 为 an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N*.
例 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项 公式．
根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察数列的特征，并进行联想、
转化、归纳，同时要熟悉一些常见数列的通项公式．下表中的一些基本数列，
Байду номын сангаас
你能准确快速地写出它们的通项公式吗？
数列 －1,1，－1,1，…
(1)an＝cos n2π；
(2) bn＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1.
解 (1)a1＝cos 2π＝0，a2＝cos π＝－1， a3＝cos 32π＝0，a4＝cos 2π＝1，
a5＝cos52π＝0， a2 012＝cos 2 0212π＝cos 1 006π＝1.
例 根据数列的通项公式，分别写出数列的前 5 项与第 2 012 项．
(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成 分数再观察：12，42，92，126，225，…，所以，它的一个通项公 式为 an＝n22，n∈N*.
例 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….
(3)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项 公式为 10n，可得原数列的一个通项公式为 an＝10n－1，n∈N*.
例 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)12，2，92，8，225，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)0,1,0,1，….
1,2,3,4，… 1,3,5,7，… 2,4,6,8，… 1,2,4,8，… 1,4,9,16，… 1，12，13，14，…
通项公式
an＝ (－1)n an＝ n an＝ 2n－1
an＝ 2n an＝ 2n－1
an＝ n2 1
an＝ n
例 根据数列的通项公式，分别写出数列的前 5 项与第 2 012 项．
0 (4)an＝
1
n为奇数 n为偶数
或 an＝1＋2－1n (n∈N*) 或 an＝1＋c2os nπ (n∈N*)．
小结 据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分 析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相 邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对 值特征．并对此进行联想、转化、归纳． 同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、 转化而达到问题的解决．
(1)an＝cos n2π；
(2) bn＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1.
(2)b1＝1×1 2＝12，b2＝1×1 2＋2×1 3＝1－12＋12－13＝1－13＝23， b3＝1×1 2＋2×1 3＋3×1 4＝1－12＋12－13＋13－14＝34， 同理 b4＝45，b5＝56，b2 012＝22 001123.